METODIČKI PRIRUČNIK - zuns.me 6 - prirucnik unutra.pdf · METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE) Autori Izdavač Glavna i odgovorna urednica

Radoje Šćepanović Ivona Adžić Vanja Đurđić-Kuzmanović

METODIČKI PRIRUČNIKIZ MATEMATIKE

(ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE)

Drugo izdanje

PODGORICA, 2006.

Zavod za udžbenike i nastavna sredstvaPODGORICA

METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE)

Autori

Izdavač

Glavna i odgovorna urednica

Urednik

Recenzenti

Lektura

Korektura

Ilustracija i dizajn

Tehnički urednik

Prepress

Za izdavača

Štampa

Tiraž

ISBN

dr Radoje Šćepanović, Ivona Adžić, Vanja Đurđić - Kuzmanović

Zavod za udžbenike i nastavna sredstva - Podgorica

Nataša Živković

Lazo Leković

dr Žana Kovijanić, mr Goran Šuković, Nada Novović, Radovan Damjanović, mr Zoran Lalović

Sanja Marjanović

Biljana Ćulafić

Studio MOUSE - Podgorica

Rajko Radulović

Studio MOUSE - Podgorica

Nebojša Dragović

GRAFO ZETA - Podgorica

1000

86-303-0937-7

Savjet za opšte obrazovanje, rješenjem br. 01-389 od 19. 12. 2005. godine, odobrio je ovaj priručnik za upotrebu u devetogodišnjim osnovnim školama.

3Metodički priručnik iz matematike

SADRŽAJ

PREDGOVOR ............................................................................................................................................5

1. CILJEVI I PROGRAMSKI SADRŽAJI PO POJEDINIM TEMAMA .............................................7

2. DIDAKTIČKE PREPORUKE PO POJEDINIM TEMAMA ..........................................................15

2.1. PONAVLJANJE GRADIVA PRETHODNOG RAZREDA .........................................................16

2.2. DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA ..........................................................................................16

2.3. RAZLOMCI .......................................................................................................................................22

2.4. SKUPOVI TAČAKA .........................................................................................................................33

2.5. UGLOVI I MJERENJE UGLOVA ...................................................................................................38

2.6. RAZMJERA I PROCENAT .............................................................................................................44

2.7. OSNA I CENTRALNA SIMETRIJA ...............................................................................................49

2.8. ZAPREMINA TIJELA ......................................................................................................................54

2.9. OBRADA I PRIKAZIVANJE PODATAKA ...................................................................................56

LITERATURA ........................................................................................................................................ 59



PREDGOVOR

Poštovane koleginice i kolege,

Priručnik je namijenjen Vama koji predajete matematiku u VI razredu devetogodišnje osnove škole. Priručnik predstavlja dio udžbeničkog kompleta za VI razred i u potpunosti se oslanja na Udžbenik i Zbirku zadataka (ZZ) od istih autora.

Priručnik ima dvije cjeline.

U prvoj je predložen plan (jedan od mogućin načina) realizacije Nastavnog programa. Od 180 časova, koliko je predviđeno za cijelu školsku godinu, isplanirano je 155. Preostalih 25 časova je ostavljeno vama, da ih sami planirate prema konkretnim uslovima u razredu.

U drugoj cjelini su data metodska uputstva za svaku od 9 tema koje se izučavaju u VI razredu. Ovdje smo bili u dilemi šta i kako uraditi. Moguća su bila dva prilaza. Prvi, da za svaku nastavnu jedinicu damo metodska uputstva. Drugi, da za svaku od tema nabrojimo pojmove koji se uvode, damo opšta uputstva i na kraju obradimo jednu ili dvije nastavne jedinice. Izabrali smo ovaj drugi prilaz. To smo uradili i zbog načina kako je napisan Udžbenik (u kojem se jasno vide sve tri faze nastavnog časa za svaku nastavnu jedinicu).

Nadamo se da će vam predloženi priručnik korisno poslužiti kako u planiranju nastavnih jedinica tako i u realizaciji istih.

AutoriPodgorica, 4. 10. 2005. godine



1. CILJEVI I PROGRAMSKI SADRŽAJI PO POJEDINIM TEMAMA

U VI razredu devetogodišnje osnovne škole učenici će upoznavati i produbljivati znanja iz dvije oblasti: Aritmetika i algebra (74 časa, orijentaciono) i Geometrija i mjerenje (54 časa, orijentaciono) koje su razrađene po nastavnim temama:

- Djeljivost brojeva (19 časova)- Razlomci (58 časova, orijentaciono)- Razmjera i procenat (6 časova)- Skupovi tačaka (13 časova, orijentaciono)- Uglovi i mjerenje uglova (23 časa, orijentaciono)- Osna i centralna simetrija (16 časova, orijentaciono)- Mjerenje zapremine (5 časova, orijentaciono)- Obrada i prikazivanje podataka (9 časova, orijentaciono)

Nastavnim planom i programom predviđeno je 180 časova (5 časova nedjeljno). Orijentaciono je raspoređeno 155 časova. Na taj način je data određena sloboda nastavniku u planiranju godišnjeg rasporeda gradiva. Autori Udžbenika su pojedine nastavne sadržaje obradili sa više naslova, izbjegavajući preopterećenost teksta. Nastavnik ima punu slobodu i mogućnost obrade predloženih nastavnih jedinica, u skladu sa određenim situacijama.

Ove godine ispred vas će se naći učenici IV razreda koji su već izučavali nastavnu temu „Zapr-emina” ali su ostali uskraćeni za nastavnu temu „Skupovi”. Mišljenja smo da na to treba upozoriti nastavnike koji će naći najbolje rješenje za prevazilaženje toga problema.

Udžbenikom su obrađene one teme koje su propisane Nastavnim programom, a sa prethodno pomenutim problemom nastavnici će se sretati sve dok se ne završi ciklus prelaska sa osmogodišnjeg na devetogodišnje školovanje.

Predlažemo tabelarni prikaz godišnjeg rasporeda gradiva, koji se razlikuje od dosadašnjeg. Za ovakav prilaz smo se odlučili jer još uvijek nije sigurno kako će se godišnje planiranje odvijati, pa smo na taj način htjeli da nastavniku damo mogućnost sagledavanja jedne varijante.


TABELARNI PRIKAZ GODIŠNJEG RASPOREDA GRADIVA

Redni broj časa

Naziv teme, tematske cjeline i nastavne je-dinice

Broj časova nastave

Operativni ciljevi

2.1. Ponavljanje gradiva iz prethodnih razreda (6 časova)

1. čas Uvodni čas - upozna-vanje sa Nastavnim pro-gramom i literaturom.

1 • Navesti elemente i osnovna svojstva skupa N0• Sabirati, oduzimati, množiti i dijeliti u skupu N• Upoređivati prirodne brojeve• Znati svojstva operacija sabiranja i množenja u skupu N• Čitati i pisati razlomke, prikazati ih grafički i pomoću modela

ab

, a, b {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 1n , n N

• Koristiti pojmove: skup, podskup, unija, presjek, prazan skup i odgovarajuće simbole

• Znati mjerne jedinice za površinu• Izračunavati površinu pravougaonika i kvadrata

2. čas Prirodni brojevi 1

3. čas Razlomci 1

4. čas Skupovi (Zapemina) 1

5.čas Jedinice za mjerenje površi-na i mjerenje površine

1

6. čas Kontrolna pismena vježba

1

2.2. Djeljivost prirodnih brojeva (19 časova)

7. čas Sadžalac prirodnih brojeva 1

• Usvojiti i upotrebljavati pojmove: je djeljivo, je sadržalac• Odrediti da li je neki broj sadržalac datog broja• Usmeno odrediti i zapisati nekoliko sadržalaca datog prirodnog

broja• Usmeno odrediti i zapisati djelioce prostog broja• Usvojiti dijeljenje u skupu N sa ostatkom i zapis a = bq + r• Usvojiti pravila za djeljivost sa 2, 5 i 10k, k N• Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 2,

5 i 10k, k N• Usvojiti pravila za djeljivost sa 3 i 9• Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 3 i

9 • Usvojiti pravila za djeljivost sa 4 i 25• Uz pomoć pravila djeljivosti odrediti da li je dati broj djeljiv sa 4 i

25• Usvojiti pravila djeljivosti zbira, razlike i proizvoda brojeva• Odrediti da li je dati broj prost ili složen.• Rastaviti dati broj na proste činioce• Usmeno odrediti skup djelilaca nekih brojeva• Pismeno odrediti najveći zajednički djelilac datih brojeva• Usmeno odrediti najveći zajednički djelilac brojeva• Usmeno odrediti skup sadržalaca nekih brojeva.• Pismeno odrediti najmanji zajednički sadržalac datih brojeva

(NZS)• Usmeno odrediti najmanji zajednički sadržalac nekih brojeva

(NZS)• Skup djelilaca dva broja ili više brojeva upotrebljavati pri rješavanju

jednostavnijih tekstualnih zadataka

8. čas Djelilac prirodnih bro-jeva 1

9. čas Sadržalac i djelilac priro-dnih brojeva 1

10. čas Dijeljenje sa ostatkom i zapis a=bq+r 1

11. čas Djeljivost zbira i proizvoda 1

12. časPravila djeljivosti prirod-nih brojeva sa 2, 5 i 10k, k N

1

13. časDjeljivost zbira i proiz-voda, pravila djeljivosti sa 2, 5 i 10n

1

14. čas Pravila djeljivosti sa 3 i 9 1

15. čas Pravila djeljivosti za 4 i 25 1

16. čas Pravila djeljivosti 1

17. čas Prosti i složeni brojevi. Uzajamno prosti brojevi 1

18. čas Prosti i složeni brojevi. Uzajamno prosti brojevi 1

19. časRastavljanje složenih prirodnih brojeva na proste činioce

1

20. čas Zajednički djelioci.NZD brojeva 1


21. čas Zajednički djelioci.NZD brojeva 1 • Rješavati različite zadatke koristeći NZS i NZD dva broja i više

prirodnih brojeva• Ponoviti i utvrditi stečena znanja o sadržaocima, djeliocima,

pravilima djeljivosti, rastavljanju složenog broja na proste činioce, NZS i NZD

22. čas Zajednički sadržaoci.NZS brojeva 1

23. čas Zajednički sadržaoci.NZS brojeva 1

24. čas Primjena NZD i NZS 1

25. čas Kontrolna pismena vježba 1

2.3. Razlomci (prvi dio, 19 časova)

26. čas Grafički prikaz razlomka. Razlomak kao dio cjeline 1 • Usvojiti pojam razlomka

• Upotrebljavati izraze: razlomak, imenilac, brojilac, razlomačka crta

• Dijeliti cijelo na jednake dijelove na modelima, slikama• Zapisati pomoću razlomka dio figure koji je obojen (figura je

data na slici)• Odrediti ab od c (kada je c sadržalac broja b)• Proširiti razlomak:

- datim brojem - na zahtijevani imenilac - na zahtijevani brojilac

• Skratiti razlomak datim brojem• Odrediti najveći zajednički djelilac brojioca i imenioca datog

razlomka• Usvojiti pojam nesvodljivog razlomka• Skraćivanjem dovesti razlomak do nesvodljivog• Proširiti dva ili više razlomaka na najmanji zajednički imenilac• Upoređivati razlomak sa brojem 1• Prepoznati razlomke koji su veći od 1, manji od 1 i jednaki 1 i

usvojiti nazive za takve razlomke• Usmeno odrediti koji je od dva razlomka veći (odnosno man-

ji) tamo gdje je to moguće• Urediti po veličini dva razlomka

27. čas Izračunavanje ab

od c (b djelilac od c)

1

28. čas Proširivanje i skraćivanje razlo-maka. Jednakost razlomaka 1

29. čas Razlomci 1

30. čas Vrste razlomaka 1

31. čas Upoređivanje razlomaka 1

32. čas Vrste i upoređivanje razlo-maka 1

33. čas Skup Q0+. Prikazivanje razlo-

maka na brojnoj polupravoj 1

34. čas Razlomci 1

35. čas Sabiranje i oduzimanje razlo-maka jednakih imenilaca 1

36. čas Sabiranje i oduzimanje razlo-maka različitih imenilaca 1 • Poređati date razlomke od najvećeg do najmanjeg i obrnuto

• Ocijeniti između kojih se prirodnih brojeva nalazi dati razlo-mak

• Prikazati razlomak na brojnoj polupravoj• Odrediti kojem razlomku odgovara data tačka na brojnoj

polupravoj• Odrediti različite razlomke koji odgovaraju istoj tački na bro-

jnoj polupravoj• Razlomke sa imeniocem 1 zapisati kao prirodan broj• Uočiti da je razlomak prirodan broj, ako je brojilac sadržalac

imenioca• Nepravi razlomak napisati u obliku mješovitog broja• Mješoviti broj zapisati u obliku nepravog razlomka• Uočiti da je razlomak čiji je brojilac 0 jednak broju 0• Uočiti da zapis

n0 , n∈N nema smisla

• Sabirati i oduzimati razlomke jednakih imenilaca• Prikazivati grafički (na krugu i brojnoj polupravoj) zbir i raz-

liku razlomaka jednakih imenilaca• Usmeno dopuniti do 1 razlomak koji je manji od 1• Sabirati i oduzimati razlomke različitih imenilaca• Zapisati razlomak u obliku nesvodljivog razlomka• Zapisati nepravi razlomak u obliku mješovitog broja i obrnuto

i tako ih sabirati i oduzimati• Oduzimati razlomak od cijelog broja• Izračunati vrijednost jednostavnijeg brojnog izraza u kojem

se javljaju razlomci sa jednakim i različitim imeniocima

37. čas Razlomci 1

38. čas Mješoviti brojevi i nepravi razlomci 1

39. čas Sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva 1

40. čas Sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva 1

41. i 42. čas Sistematizacija gradiva 2

43. i 44. čas Pismeni zadatak i analiza 2


2.4. Skupovi tačaka (13 časova)

45. čas Tačka, prava, ravan 1

• Usvojiti osnovne pojmove: tačku, pravu i ravan i njihovo označavanje

• Usvojiti da dvije različite tačke određuju samo jednu pravu• Usvojiti pojam kolinearnih i nekolinearnih tačaka• Usvojiti odnose prave i ravni (prava p prodire ravan, prava p

pripada ravni, prava p paralelna datoj ravni) i odgovarajuće simboličke matematičke zapise

• Usvojiti da je ravan određena sa tri nekolinearne tačke• Usvojiti pojmove “između” i “podudarno”• Usvojiti pojmove duži i poluprave• Ocijeniti, izmjeriti i simbolički zapisati rastojanje između dvije

tačke• Povezati pojam duži i rastojanja između dvije tačke• Usvojiti pojam “podudarno” za duži• Grafički sabirati i oduzimati duži• Usvojiti pojmove poluravan, prostor i poluprostor• Ponoviti pojmove: otvorena i zatvorena izlomljena linija• Usvojiti pojam mnogougaone linije i mnogougla• Usvojiti pojmove konveksnog i nekonveksnog skupa tačaka• Usvojiti pojam kružne linije i kruga i njihovo označavanje• Razlikovati kružnu liniju i krug• Usvojiti i razlikovati elemente kruga• Usvojiti pojam kružnog luka i tetive• Usvojiti pojam sječice• Razlikovati sječicu od tetive

46. čas Poluprava, duž. Rasto- janje između dvije tačke 1

47. čas Tačka, prava, ravan, po-luprava, duž 1

48. čas Grafičko prenošenje duži 1

49. čas Poluravan, prostor i po-luprostor 1

50. časOtvorena i zatvorena izlomljena linija. Mnogou-gao

1

51. čas Grafičko prenošenje du-ži. Mnogougao 1

52. časKonveksni skupovi tača- ka. Prejek, unija i razlika skupova.

1

53. čas Konveksni i nekonveksni skupovi tačaka 1

54. čas Kružna linija i krug 1

55. čas Kružni luk i tetiva 1

56. čas Kružna linija, krug, te-tiva 1

57. čas Kontrolna pismena vje-žba 1

2.5. Uglovi i mjerenje uglova (23 časa)

58. časUgao, elementi ugla i obi- lježavanje ugla 1

• Usvojiti i razlikovati pojmove: ugaona linija, ugao, tjeme ugla, krak ugla, oblast ugla

• Usvojiti i razlikovati konveksne i nekonveksne uglove i simbolički ih zapisivati

• Usvojiti pojam centralnog ugla, kružnog luka i tetive• Prenositi uglove i upoređivati ih• Usvojiti pojam opruženog ugla• Usvojiti da je ugao od 10 jednak 180-om dijelu opruženog ugla• Mjeriti date uglove pomoću uglomjera• Uglomjerom crtati ugao date mjere u stepenima• Usvojiti da je 10=60’, 1’=60’’

• Pretvarati mjeru ugla iz jedne mjerne jedinice u drugu• Usvojiti pojam oštrog, pravog, tupog, opruženog, punog ugla• Grafički sabirati i oduzimati uglove• Aritmetički sabirati i oduzimati uglove

59. čas Ugao, mjerenje ugla i elementi ugla 1

60. i 61. čas Centralni ugao, kružni luk i tetiva 1 1

62. i 63. čas Prenošenje uglova i upo- ređivanje uglova 1 1

64. i 65. čas Mjerenje uglova i vrste uglova 1 1

66. čas Grafičko sabiranje i oduz-imanje uglova 1

67. čas Aritmetičko sabiranje i oduzimanje uglova 1

68. časGrafičko i aritmetičko sabiranje i oduzimanje uglova

1

69. čas Komplementni i suple-mentni uglovi 1


70. čas Susjedni, uporedni i una-krsni uglovi 1

• Usvojiti komplementne i suplementne uglove• Prepoznati susjedne, uporedne, unakrsne uglove• Razlikovati uporedne i susjedne uglove• Usvojiti da su unakrsni uglovi međusobno jednaki• Prepoznati uglove sa paralelnim kracima• Usvojiti kada su uglovi sa paralelnim kracima jednaki, a kada

suplementni• Prepoznati uglove sa normalnim kracima• Usvojiti kada su uglovi sa normalnim kracima jednaki, a kada

suplementni

71. časUglovi (susjedni, upore-dni, unakrsni, komple-mentni, suplementni)

1

72. čas Uglovi sa paralelnim kracima 1

73. čas Uglovi sa normalnim kracima 1

74. čas Uglovi sa paralelnim i normalnim kracima 1

75. i 76. čas Sistematizacija gradiva 2

77. i 78. časPismeni zadatak sa anal-izom (II) 2

79. čas Sistematizacija gradiva 1

80. čas Zaključivanje ocjena (kraj I polugođa) 1

2.6. Razlomci (drugi dio, 39 časova)

81. čas Ponavljanje gradiva iz prethodnog polugodišta 1

• Usvojiti pojam decimalnog razlomka • Decimalni razlomak zapisati u obliku decimalnog broja• Decimalan broj zapisati u obliku decimalnog razlomka• Prevesti razlomak u decimalan broj• Zapisati decimalan broj u obliku razlomka• Objasniti značenje decimalnog zareza• Odrediti cijeli i decimalni dio u decimalnom zapisu razlomka• Decimalan broj zaokružiti na zadati broj decimala• Upoređivati decimalne brojeve• Sabirati i oduzimati decimalne brojeve • Rješavati tekstualne zadatke• Usvojiti i upotrebljavati svojstva sabiranja • Izračunati vrijednost brojnih izraza u kojem se javljaju razlomci u

oba zapisa• Izračunati vrijednost brojnog izraza koji sadrži slovne oznake za

date vrijednosti promjenljivih• Uočavati zavisnost vrijednosti izraza od vrijednosti promjenljive

u izrazu• Upotrebljavati svojstva sabiranja za lakše računanje brojnih izraza• Zapisati brojni izraz sa razlomcima na osnovu datog teksta• Rješavati jednačine u skupu Q0

+

• Rješavati nejednačine u skupuQ0+

• Rješenja nejednačine predstaviti na brojnoj polupravoj i pomoću skupa

• Proizvod razlomka sa prirodnim brojem napisati kao zbir i izračunati

• Formulisati pravilo za množenje razlomka prirodnim brojem• Formulisati pravilo za množenje razlomka razlomkom

82. časTest provjere usvojenosti pređenog gradiva (30 mi-nuta)

1

83. čas Prevođenje razlomka u decimalan broj 1

84. čas

Zapisivanje decimalnih brojeva sa konačno mnogo decimala u obliku ra-zlomka

1

85. čas Decimalan broj 1

86. časPribližna vrijednost bro-ja. Zaokruživanje deci-malnog broja

1

87. časUpoređivanje razlomaka zapisanih u decimalnom obliku

1

88. čas

Zaokruživanje decimalnog broja i upoređivanje razlomaka zapisanih u decimalnom obliku

1

89. čas Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva 1

90. čas Sabiranje i oduzimanje razlomaka 1

91. čas Svojstva sabiranja razlo-maka 1

92. časBrojni izrazi sa sabira-njem i oduzimanjem ra-zlomaka

1


93. časBrojni izrazi i svojstva operacije sabiranja razlo-maka

1

• Skratiti razlomke prije množenja• Množiti razlomak sa razlomkom• Množiti decimalan broj prirodnim brojem• Formulisati pravilo za množenje decimalnog broja dekadnom

jedinicom• Množiti decimalan broj dekadnom jedinicom• Formulisati pravilo množenja decimalnog broja decimalnim bro-

jem• Množiti decimalne brojeve• Usvojiti da za množenje razlomaka važe zakoni komutacije i aso-

cijacije• Usvojiti da je broj 1 neutralni element za množenje u skupu Q0

+

• Dijeliti razlomak prirodnim brojem.• Datom razlomku odrediti njemu recipročan razlomak• Usvojiti da je proizvod razlomka i njemu recipročnog razlomka

jednak jedinici• Dijeliti razlomak razlomkom• Usvojiti pojam dvojnog razlomka• Formulisati pravila za dijeljenje decimalnog broja prirodnim bro-

jem i dekadnom jedinicom• Dijeliti decimalni broj prirodnim brojem• Dijeliti decimalan broj dekadnom jedinicom• Zapisati nedecimalan razlomak u obliku beskonačnog decimalnog

periodičnog broja• Odrediti vrijednost datog brojnog izraza u kome figurišu četiri

osnovne računske operacije• Primjenjivati prioritet računskih operacija i pravilo korišćenja

zagrada• Izračunati vrijednost brojnog izraza koji sadrži slovne oznake kao

zamjenu za brojeve• Rješavati jednačine u skupu Q0

+

• Rješavati nejednačine u skupu Q0+

• Rješenja nejednačine predstaviti na brojnoj polupravoj i skupovno• Formirati i rješavati jednačine i nejednačine na osnovu teksta

94. čas Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q0

+ 1

95. čas Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u Q0

+ 1

96. časNejednačine sa sabiran-jem i oduzimanjem u Q0

+1

97. časNejednačine sa sabiran-jem i oduzimanjem u Q0

+1

98. čas Kontrolna pismena vje-žba 1

99. čas

Množenje razlomka pri-rodnim brojem. Mno- ženje razlomka razlom-kom

1

100. čas

Množenje razlomka pri-rodnim brojem. Mno- ženje razlomka razlom-kom

1

101. i 102 čas

Množenje decimalnih brojeva 1 1

103. čas Svojstva množenja ra-zlomaka 1

104. čas Množenje razlomaka 1

105. čas Dijeljenje razlomka pri-rodnim brojem 1

106. i 107. čas

Dijeljenje razlomka ra-zlomkom 1 1

108. i 109. čas

Dijeljenje decimalnih brojeva 1 1

110. i 11.1 čas

Brojni izrazi sa razlom-cima 1 1

112. i 113. čas

Jednačine sa množenjem i dijeljenjem u Q0

+ 1 1

114. i 115. čas

Nejednačine sa mno- ženjem i dijeljenjem u Q0

+1 1

116. i 117. čas

Sistematizacija sadržaja (razlomci) 2

118. i 119. čas

Pismeni zadatak sa anali-zom (III) 2


2.7. Razmjera i procenat (6 časova)

120. i 121. čas

Razmjera i proporcija 1 1 • Usvojiti pojam razmjere• Određivati razmjeru u konkretnim slučajevima• Usvojiti pojam proporcije• Usvojiti osnovno svojstvo proporcije• Određivati nepoznati član proporcije• Usvojiti pojam procenta• Izraziti dio cjeline kao razlomak sa imeniocem 100

• Zapisati p 100 od a kao p% od a

• Prikazati grafički p% od cijelog • Izraziti procenat:

- decimalnim razlomkom- decimalnim brojem

• Pročitati p% sa dijagrama• Izračunati p% od a• Usmeno računati p% od a• Povećati, smanjiti datu količinu za p%• Rješavati tekstualne zadatke sa procentom

122. i 123. čas

Procenat 1 1

124. i 125. čas

Primjena procenta.Sistematizacija gradiva

2

2.8. Osna i centralna simetrija (16 časova)

126. i 127. čas Osna simetrija u ravni 1 1 • Prepoznati osnovne transformacije u ravni: osnu i centralnu

simetriju• Usvojiti simbolički zapis osne simetrije i opisati osobine te trans-

formacije• Nacrtati osnosimetričnu sliku tačke, prave, duži, ugla, figure u odnosu

na datu pravu (osu)• Prepoznati osnosimetrične figure i odrediti im ose simetrije• Usvojiti simbolički zapis centralne simetrije i opisati osobine te

transformacije• Nacrtati centralnosimetričnu sliku tačke, prave, duži, ugla, figure u

odnosu na datu tačku• Prepoznati centralnosimetrične figure i odrediti im centar simetri-

je• Usvojiti pojam simetrale duži i znati odgovarajuće oznake• Konstruisati simetralu duži• Konstruisati normalu na datu pravu iz date tačke• Odrediti rastojanje od date tačke do date prave• Usvojiti pojam simetrale ugla i znati odgovarajuće oznake• Konstruisati simetralu ugla• Rješavati jednostavne konstruktivne zadatke• Konstruisati uglove od: 600, 300, 450, 900,150, 750 • Znati uslove pod kojima data prava i dati krug imaju: jednu, više i

nijednu zajedničku tačku• Usvojiti pojam sječice i tangente• Razlikovati pojmove sječica i tangenta

128. čas Osnosimetrične figure 1

129. i 130. čas

Centralna simetrija u rav-ni. Centralnosimetrične figure

1 1

131. čas Osna i centralna simetri-ja u ravni 1

132. i 133. čas Simetrala duži 1 1

134. i 135. čas

Konstrukcija normale na pravu, rastojanje od tačke do prave

1 1

136. i 137. čas Simetrala ugla 1 1

138. i 139. čas

Konstrukcija uglova od 600, 300, 900 i 450 1 1

140. čas Odnos kruga (kružne linije) i prave 1

141. čas Kontrolna pismena vježba 1

2.9. Mjerenje zapremine (5 časova )

142. i 143. čas

Zapremina tijela. Je-dinice za mjerenje zapr-emine tijela

1 1• Usvojiti pojam zapremine tijela• Usvojiti jedinice za mjerenje zapremine i njihove oznake (mm3,

cm3, dm3 i m3)• Upoređivati jedinice za mjerenje zapremine i prevođenje jednih u

druge• Usvojiti da je 1l=1dm3

144. i 145. čas

Zapremina kocke i zapr-emina kvadra 1 1

146. čas Kontrolna pismena vje-žba

• Razlikovati zapreminu od površine• Računati zapreminu kocke i kvadra


2.10. Obrada i prikazivanje podataka (9 časova)

147. časMjerenje, bilježenje re-zultata i uređivanje po-dataka

1

• Mjerenja, bilježenje podataka i slaganje podataka po veličini• Razvrstavanje podataka po različitim kriterijumima• Prikazivanje podataka: tabele, dijagrami sa stupcima, kružni di-

jagrami • Čitati podatke iz tabela, dijagrama sa stupcima i kružnih di-

jagrama

148. čas Dijagram sa stupcima 1

149. čas Kružni dijagram 1

150. čas Obrada podataka 1

151. čas. Sistematizacija gradiva 1

152. i 153. čas

Pismeni zadatak sa anal-izom (IV) 2

154. i 155. čas

Sistematizacija gradiva i zaključivanje ocjena 2


2. DIDAKTIČKE PREPORUKE PO POJEDINIM TEMAMA

Radi lakšeg praćenja daljeg teksta, na početku dajemo neka objašnjenja. Da ne bismo smanjivali i ugrožavali slobodu nastavnika, na kojoj se insistira novim Nastavnim programom, izabrali smo 12 nastavnih jedinica i njih u potpunosti obradili. U njima su zastupljeni i prikazani različiti oblici rada (frontalni, grupni, individualni, rad u parovima) i korišćeni su različiti metodi rada, različita nastavna sredstva i pomagala. One mogu biti obrazac za realizaciju preostalih nastavnih jedinica, a možete ih smatrati i kao jedan od mogućih pristupa. Nadamo se da će ovo pomoći nastavnicima da sami lakše osmisle i realizuju ostale nastavne sadržaje.

Na početku nekoliko riječi o Udžbeniku i Zbirci zadataka.

Udžbenik za VI razred je osnovna literatura i izvor znanja za učenike. Koristi se u svim etapama nastavnog časa, a najčešće pri obradi gradiva. Od velike je važnosti za samostalan rad kod kuće. Pisan je matematičkim jezikom koji je prilagođen uzrastu učenika i cilj je bio da ga svaki učenik može samostalno koristiti. Većina nastavnih jedinica je napisana na dvije stranice sa rubrikom ponavljanje na početku lekcije. Ovakav pristup predstavlja novinu u pisanju udžbenika. Na taj način smo htjeli da pomognemo nastavniku da što bolje realizuje čas, koji mora da ima svoj logički i metodološki slijed.

Skoro svaka nastavna jedinica se završava rubrikom pitanja, koja su vezana za sadržaj nastavne jedinice.

Cilj je da na kraju časa učenici, uz pomoć nastavnika, odgovore na postavljena pitanja i tako sažete odgovore zapamte. Naravno, ovo je preporuka autora i njih se nastavnik ne mora strogo pridržavati.

Pored pomenute dvije rubrike, neke nastavne jedinice sadrže i rubriku zanimljivosti iz matema-tike (istorijske podatke, šale, dosjetke, mozgalice, zanimljive zadatke). Neki od tih zadataka su dosta ozbiljni i zahtijevaju od učenika da dobro logički promisle prije nego ih riješe. Ovi zadaci nijesu predviđeni kao obavezni za učenike.

Zbirka zadataka se koristi u svim etapama nastavnog časa, a najčešće pri uvježbavanju gradiva i pri izradi domaćih zadataka kod kuće. Podijeljena je na tematske cjeline u okviru kojih su zadaci razvrstani u tri grupe. Grupe su napravljene prema težini zadataka: grupa A (lakši zadaci), grupa B (srednje teški zadaci) i grupa C (teži zadaci). Naravno, u zavisnosti od kriterijuma nastavnika, neki zadaci bi mogli i promijeniti grupe. Zato na ove podjele ne treba gledati previše strogo. Ipak, poštujući navedenu podjelu postiže se ujednačenost kriterijuma za ocjenjivanje: za isto znanje ista ocjena.

U Zbirci zadataka postoji i grupa zadataka D koji su takmičarskog nivoa. U rješavanju nekih od njih koriste se nestandardne metode rješavanje (tj. metode koje se ne izučavaju u redovnoj nastavi matematike). Sa zadacima iz grupe D treba biti krajnje obazriv, davati ih povremeno najboljim učenicima okupljenim u matematičke sekcije ili za domaći rad (opet najboljima).

Zbirkom zadataka su predviđeni i testovi provjere usvojenih znanja nakon svake teme. Ove testove učenici treba da rade kod kuće ili na časovima utvrđivanja. Bitno je da se učenicima da povratna informacija o nivou postignutog znanja iz određene teme.


2.1. PONAVLJANJE GRADIVA PRETHODNOG RAZREDA

1. nastavni čas (uvodni čas) Na uvodnom času učenici se upoznaju sa nastavnim planom rada i matematičkom literaturom,

objasne im se oblici rada, način ocjenjivanja njihovih aktivnosti, upozore na važnost samostalnog i redovnog pisanja domaćih zadataka.

Nastavni časovi broj 2 − 6Prirodne brojeve i računske operacije sa prirodnim brojevima (sabiranje, oduzimanje, množenje

i dijeljenje) učenici su upoznali u ranijim razredima osnovne škole.Upoznali su i pravila (zakone) koji vrijede u skupu N za pojedine računske operacije. Znaju

da upoređuju dva prirodna broja, odrede prethodnik i sljedbenik i znaju da elementima skupa N0 pridruže tačke brojne poluprave. Budući da se u nastavnom planu za VI razred pojavljuje tema „Djeljivost prirodnih brojeva" logično je obnoviti i utvrditi znanja koja učenici posjeduju o skupu N. To se može uraditi na nastavnom času broj 2.

U prethodnim razredima učenici su se upoznali sa razlomcima oblika 1n

, n N i 1n

, a N0 , b N , a u VI razredu će ta znanja proširiti, pa je logično jedan nastavni čas odvojiti za ponavljanje i utvrđivanje ovih nastavnih sadržaja (nastavni čas broj 3).

Učenici prelaze iz IV razreda osmogodišnje u VI razred devetogodišnje škole, pri čemu se ne poklapaju novi i stari nastavni program. Naime, u IV razredu se izučavala tema „Zapremina", koja je novim nastavnim programom predviđena za VI razred, ali ostaje neobrađena tema „Skupovi". O skupovima treba govoriti na 4. nastavnom času. Skup je jedan od osnovnih pojmova u matematici koji se ne definiše. Takođe, ne definišu se ni pojmovi: element skupa i pripada skupu. Preko konkret-nih primjera skupova stvara se kod učenika intuitivna slika o svakom od navedenih pojmova. Tako će ih učenici usvojiti i koristiti.

Učenici ove godine upoznaju jedinice mjere za zapreminu, pa bi bilo logično na početku obnoviti jedinice za mjerenje površine (nastavni čas broj 5).

Šesti nastavni čas predviđen je za kontrolnu pismenu vježbu broj 1, kojom nastavnik može dobiti povratnu informaciju o stepenu usvojenosti gradiva prethodnih razreda.

2.2. DJELJIVOST PRIRODNIH BROJEVA

Upoznavanjem osobina prirodnih brojeva učenici se postepeno uvode u elementarnu teoriju o brojevima, tako da sadržaje o djeljivosti brojeva u skupu N0 ne treba posmatrati izolovano, već u sklopu svih sadržaja o brojevima. Pri obradi sadržaja o djeljivosti prirodnih brojeva treba se oslanjati na već stečena znanja učenika u ranijim razredima o računskim operacijama, njihovim svojstvima i osnovnim zakonima.

Pojmovi koji se uvode su: • sadržalac prirodnog broja • djelilac prirodnog broja• prost broj• složen broj• uzajamno prosti brojevi• najveći zajednički djelilac• najmanji zajednički sadržalac


Učenici pojmove sadržalac i djelilac relativno brzo shvataju. Problem se javlja kada se pojam djelioca ponovo uvodi kod dijeljenja sa ostatkom, jer se jedan te isti pojam koristi u dva različita slučaja. Smatramo da neće doći do zabune ako u zapisu a = b . q + r, broj b nazovemo djeliocem, q količnikom, a r ostatakom dijeljenja. Ako je ostatak dijeljenja jednak nuli, tada je b djelilac broja a. Do sada su se u nekim udžbenicima za b koristili pojmovi: nepotpuni količnik ili djelitelj.

Nastavnim programom nije predviđeno izučavanje djeljivosti zbira i proizvoda brojeva. Bez obzira na to u Udžbeniku su ovi sadržaji obrađeni zbog izvođenja pravila djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 9... i matematičke korektnosti.

Kriterijume djeljivosti, određivanja NZS i NZD učenici lako pamte i primjenjuju, ali su teški za razumijevanje. Stoga je za obradu ovih nastavnih sadržaja potrebno ostaviti više vremena i izvoditi ih sa više strpljenja, korišćenjem induktivnog načina zaključivanja, navodeći učenike da sami don-ose zaključke. Takođe je potrebno nastojati da učenici sami zaključe važnost kriterijuma djeljivosti sa 2, 3, 4, 5, 9, 25 i 10k, k N i pokazati im to na primjerima sa većim brojevima. Nastavnik može i odustati od obrade kriterijuma djeljivosti prirodnih brojeva sa 4 i 25, jer ih nema u Nastavnom programu. Predlažemo korišćenje što više tekstualnih zadataka koji nijesu previše složeni, jer su oni sami po sebi problemski i učenicima teški.

Pojam prostog broja je bitan i svaki učenik bi trebalo da razumije njegovo značenje. Za manje brojeve, na primjer do 100, učenik treba da zna provjeriti da li je on prost ili nije. Kod obrade prostih brojeva skup prirodnih brojeva se razbija na tri disjunktna skupa: prosti brojevi, složeni brojevi i broj 1. Naglasiti da se ova podjela vrši na osnovu broja djelilaca prirodnog broja. Ako prirodni broj ima više od dva djelioca, taj broj je složen; ako ima samo dva djelioca on je prost; ako ima samo jedan djelilac, to je broj 1.

Rastavljanje na proste činioce je veoma bitno, naročito zbog određivanja NZD i NZS dva ili više brojeva. Kada svi učenici savladaju rastavljanje na činioce na osnovu definicije, treba uvesti i drugi način – shemu sa crtom. Primjenom ovog postupka do izražaja dolazi formalizacija i šablonsko učenje, što nije poželjno. To isto važi i kod određivanja NZD i NZS. Naročito je važno insistirati na usmenom određivanju NZD i NZS u jednostavnijim primjerima.


Nastavna jedinica (1)PRAVILA DJELJIVOSTI

(uvježbavanje)

Redni broj časa:Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Djeljivost prirodnih brojevaNastavna jedinica: Pravila djeljivostiTip časa: uvježbavanje (utvrđivanje) gradivaCilj nastavnog časa: naučiti i primjenjivati pravila djeljivosti brojeva Oblici rada: frontalni, individualni Metode rada: usmeno izlaganje, demonstracijaNastavna sredstva:- tabela za unošenje rezultata rada - nastavni listići sa zadacima po nivoima znanja Tok časa

Uvodni dio časa: Zajednička analiza domaćeg zadatka. Učenici međusobno upoređuju rezultate, a zatim kroz razgovor sa nastavnikom pronalaze greške. Nastavnik daje uputstva za one zadatke kod kojih su učenici najviše griješili ili ih uopšte nijesu radili. Kroz analizu domaćih zadataka treba ponoviti pravila djeljivosti prirodnih brojeva.

Glavni dio časa: Nastavnik dijeli zadatke u tri grupe (A, B, C) različite težine, a učenici se sami opredjeljuju za željenu grupu i rade zadatke individualno. Nastavnik obrazlaže da su u grupi A najlakši zadaci, u grupi B zadaci srednje težine i u grupi C najteži zadaci.

Zadaci po nivoima (ZZ – Zbirka zadataka)

A

1. (ZZ, zadatak 42, strana 9) Zaokruži tačna tvrđenja: a) 10 | 620 b) 10 | 333 c) 100 | 380 d) 100 | 35000 e) 1000 | 7200

2. (ZZ, zadatak 44, strana 9) Napiši po jedan jednocifren, dvocifren, trocifren broj koji je djeljiv sa 5

3. (ZZ, zadatak 46, strana 9) Zvjezdicu zamijeni ciframa tako da je: a) 2 | 174* b) 2 | 34*2

4. (ZZ, zadatak 60, strana 10) Iz skupa P = {27, 124, 3021, 8325, 3360, 23900} izdvoj brojeve koji su: a) djeljivi brojem 9 b) djeljivi brojem 3 c) djeljivi brojem 3 i nijesu djeljivi brojem 9 d) nijesu djeljivi brojem 3

B

1. (ZZ, zadatak 48, strana 9) Petar je kupio 5 jednakih kutija sa jednakim brojem olovaka u njima. Može li u njima biti:

a) 92 b) 90 c) 75 olovaka?


2. (ZZ, zadatak 50, strana 9) Odredi sve elemente skupova: a) A = {n | n N , n paran broj i 13< n 28}

b) B = {n | n N , n neparan broj i 25 n < 33}

3. (ZZ, zadatak 53, strana 10) Pomoću cifara 0, 2 i 5 (cifre se ne ponavljaju) napiši sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa

10.

4. (ZZ, zadatak 64, strana 11) Ne izvodeći računske operacije zaključi da li je: a) 3 | (913521 + 342 – 4311) b) 9 | (342 + 7623 + 999945) c) 3 | (21 .23 + 191 . 234 – 3)

C

1. (ZZ, zadatak 55, strana 10) Razmisli pa dopuni rečenice: Kvadrat parnog broja je .......... broj Kvadrat neparnog broja je ...... broj

2. (ZZ, zadatak 56, strana 10) Ne vršeći naznačene računske operacije ispitaj tačnost tvrđenja: a) Broj 24573 + 329 je djeljiv brojem 2 b) Broj 7925 − 128 je djeljiv brojem 5 c) Broj 3240 + 835 + 2300 + 10 istovremeno je djeljiv sa 5 i 2 d) Broj 18 .111 + 237 .30 je djeljiv brojem 5

3. (ZZ, zadatak 69 b), strana 11) Napiši sve trocifrene brojeve koji su djeljivi sa 2 i 3 i kod kojih su cifre jedinica i desetica

jednake, a cifra stotina veća od cifre jedinica

4. (ZZ, zadatak 81, strana 12) Kupac je u prodavnici rekao: „Trebaju mi dvije čokolade po 90 centi, 2 soka po 25 centi, 10

kg jabuka i 5 kolača, ali njihovu cijenu nijesam zapamtio. Prodavac je napisao ček na iznos od 7 eura i 58 centi. Kupac je rekao: “Vi ste pogriješili“. Prodavac je provjerio i saglasio se sa kupcem. Kako je kupac otkrio grešku?

Završni dio časa:Nakon završenog rada (preostalo je 15 minuta) nastavnik na pripremljenoj tabeli evidentira broj bodova. Analizira zadatke sa učenicima i zajedno zapažaju nejčešće greške.Nastavnik bi nakon časa trebalo da pregleda sve radove učenika i evidentirati rezultate njihovog rada. Tako će dobiti kompletnu sliku o stepenu usvojenosti nastavnih sadržaja vezanih za pravila djeljivosti.

Tabela

RezultatRedni broj Učenik Grupa Zadaci ( upisati + ili −) Broj bodova

1 2 3 41.2.3.4.::


Nastavna jedinica (2)ZAJEDNIČKI SADRŽAOCI.NZS BROJEVA

(obrada novog gradiva)

Redni broj časa : Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Djeljivost prirodnih brojevaNastavna jedinica: Zajednički sadržaoci. NZS brojevaTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: • usvojiti pojam zajedničkih sadržalaca i najmanjeg zajedničkog sadržaoca dva ili više

brojeva • prepoznati probleme u kojima se koristi najmanji zajednički sadržalac dva i više bro-

jevaOblici rada: individualni, frontalni Metode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: pisani materijal (za svakog učenika), grafo folije i flomasteri

Tok časa

Uvodni dio časa: Podjela programiranog materijala učenicima, uz napomenu da pažljivo pročitaju tekst prije davanja odgovora na postavljeno pitanje i prije rješavanja zadataka.

Glavni dio časa: Učenici rade samostalno. Nastavnik pomaže onim učenicima koji suviše sporo napreduju ili se ne snalaze.

Završni dio časa:a) Saopštavanje i prezentacija rezultata rada na grafo foliji, uz razmjenu zapažanja, zaključaka na

nivou nastavnik-učenik, učenik-učenik.b) Domaći zadatak – po nivoima (Zbirka zadataka).

Zajednički sadržaoci. NZS brojeva (pisani materijal za svakog učenika)

1. Zaokruži tačnu rečenicu: a) Broj 12 je sadržalac broja 2. b) Broj 16 je sadržalac broja 3.

2. Napiši prva četiri sadržaoca broja 15: ___ , ____, ____, ____.

3. Da li je skup sadržalaca prirodnog broja konačan? DA NE

4. Jedan broj može biti ZAJEDNIČKI SADRŽALAC za dva ili više brojeva. Na primjer, broj 18 je zajednički sadržalac za brojeve 6 i 9, jer je djeljiv sa 6 i 9.

Dopuni rečenicu : ___________ sadržalac dva ili više brojeva je broj koji je ________ datim brojevima.

5. Iz skupa {6, 7, 12, 15, 18, 23, 24, 27, 30} izdvoj brojeve koji su zajednički sadržaoci brojeva 3 i 4 i

popuni kružiće.


6. Dva broja imaju više zajedničkih sadržalaca. Među njima jedan je najmanji i nazivamo ga NAJMANJI ZAJEDNIČKI SADRŽALAC datih brojeva. Tako je najmanji zajednički sadržalac brojeva 2 i 3 broj 6, a brojeva 6 i 9 broj 18 i zapisujemo NZS (2, 3) = 6 , NZS (6, 9) = 18.

Na crticama napiši najmanji zajednički sadržalac brojeva 8 i 12. ……………………

7. Kao što postoji najmanji zajednički sadržalac za dva broja, tako postoji i za tri i više brojeva. Na primjer, NZS (4, 6, 9) = 36, jer je 36 najmanji broj djeljiv brojevima 4, 6, 9.

Na crticama napiši NZS (3, 5, 10) ………………….. 8. Određivanje najmanjeg zajedničkog sadržaoca datih brojeva može se zapisati šematski.

30, 36 2 15, 18 2 15, 9 3 5, 3 3 5, 1 5 1, 1

Obratiti pažnju na sljedeće:- Dijeljenje prostim brojevima izvodi se sve dok je barem jedan broj u datom redu djeljiv tim

brojem, a brojevi koji nijesu djeljivi tim brojem prepisuju se ispod.- Dijeljenje prostim brojevima vrši se sve dok se na kraju u svim kolonama ne dobiju je-

dinice.Koristeći šemu, odredi: a) NZS (36, 48) b) NZS (15, 28, 42)

36, 48

15, 28, 42

9. Usmeno odredi, a zatim zapiši NZS (2, 5) = …….. NZS (3, 33)= ……..

Dodatni zadatak (nije obavezan, rade ga samo učenici koji stignu da urade sve prethodne za-datke).

10. U luci se nalaze dva turistička broda. Jedan se u luku vraća svaka dva dana, a drugi svaka tri dana. Iz luke su isplovili zajedno. Kroz koliko dana će se ponovo sresti u luci?

NAPOMENA: Predlažemo da se ova nastavna jedinica izučava dva časa. Ovakva razrada je predviđena za jedan čas. Na drugom času treba provjeriti i utvrditi znanja usvojena na prethod-nom času, usvojiti traženje NZS prostih brojeva i NZS dva ili više brojeva kada je jedan od njih sadržalac ostalih. Važno je da učenici znaju i usmeno odrediti NZS nekih brojeva i da znaju stečena znanja primijeniti na zadatke iz prakse.


2. 3. RAZLOMCI

OSNOVNA SVOJSTVA RAZLOMAKA. SABIRANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA

Pojmovi koji se uvode su: • razlomak• imenilac razlomka• brojilac razlomka• razlomačka crta• proširivanje razlomaka • skraćivanje razlomaka• mješovit broj

Ova tema je svakako osnovna u VI razredu i zato je neophodno da se dobro usvoji. Metodici obrade razlomaka mora se pokloniti puna pažnja uz prilagođavanje uzrastu učenika. U VI razredu se obrađuju samo pozitivni razlomci, a u narednom razredu uečnici će raditi i negativne razlomke i tako zaokružiti gradivo o racionalnim brojevima. Pojam razlomka za učenike predstavlja najteži dio aritmetike, jer ga, s jedne strane, posmatraju kao broj, a sa druge strane, naročito kod obavljanja računskih operacija, kao spoj dva broja, imenioca i brojioca.

U nižim razredima osnovne škole učenici su naučili operaciju dijeljenja u skupu prirodnih bro-jeva. Zajedno sa dijeljenjem upoznali su i riječi: polovina, trećina, četvrtina..., desetina.... itd. Pojam razlomka, kao i svaki drugi pojam, treba postupno izgrađivati. Pri tome se treba služiti modelima iz svakodnevnog života, slikama, govornim i matematičkim znakovima. Na primjer, uzeti jabuku i po-dijeliti je na dva jednaka dijela. Svaki od dobijenih dijelova nazivamo polovina jabuke i označavamo sa 12

. Učenicima treba skrenuti pažnju da razlomak 12 ima tri dijela: imenilac (2), brojilac (1) i razlomačku

crtu. Treba skrenuti pažnju da se prvo piše razlomačka crta, jer se tako bolje određuje mjesto za imenilac i brojilac razlomka. Učenicima treba reći da brojeve 12, 23, 57 , .... nazivamo razlomcima, za razliku od brojeva 1, 2, 3, 4... koje nazivamo prirodnim brojevima.

Nastavnoj jednici “Razlomak kao dio cjeline” potrebno je posvetiti više vremena, jer za učenike toga uzrasta to nije jednostavno za usvajanje. Da bi se ovaj nastavni sadržaj što bolje obradio, potrebno je koristiti što više nastavnih sredstava i pomagala, grafičkih prikaza (krug, kvadrat, pravougaonik i druge razne geometrijske figure). Na prvim časovima obrade treba težiti da učenici što samostalnije urade veći broj jednostavnijih zadataka pomoću kojih će uvježbati da obojeni dio cijelog predstave u obliku razlomka i da datom razlomku pridruže odgovarajući grafički prikaz. U Udžbeniku i Zbirci je dat određeni broj zadataka koje preporučujemo da se urade. Bitno je da učenik shvati da jedno cijelo predstavlja dvije polovine, tri trećine, pet petina itd.

Takođe, važno je da učenici razumiju značenje imenioca i brojioca razlomka i da to ne usvajaju šablonski. U tom cilju, u Zbirci i Udžbeniku dat je određeni broj zadataka, koji su u korelaciji sa prethodnom temom i sa skupovima, koji su izučavani u prethodnom razredu. Namjera je bila da se, kada je to moguće, ispoštuju korelacije unutar predmeta i na taj način učenici podstaknu na logičko povezivanje i zaključivanje. Praksa je pokazala da učenici vrlo brzo usvajaju ovaj nastavni sadržaj. Naredna lekcija o izračunavanju ab od c, u slučaju kada je b djelilac broja c, može da posluži za utvrđivanje gore navedenog. Pri obradi množenja razlomka prirodnim brojevima učenici lako računaju pomenuti broj, ali ga ne razumiju. Zato je potrebno ovom nastavnom sadržaju posvetiti posebnu pažnju na početku, a kasnije mu se vratiti još jednom.

Nastavne sadržaje proširivanja, skraćivanja i jednakosti razlomaka treba postepeno obrađivati

i posmatrati kao jedinstvenu cjelinu. Kod obrade ovih nastavnih sadržaja pomoći će znanje koji


učenici imaju iz ranijih razreda o prirodnim brojevima i osobinama operacija u skupu N. Naravno, pravila koja se javljaju treba izvesti na osnovu prethodno urađenih primjera i po mogućnosti zahti-jevati da do njih učenici dođu samostalno. Bitno je učenike upozoriti da je proširivanje razlomaka uvijek moguće, ali da skraćivanje nije i objasniti o kojim slučajevima je riječ. Stalno treba potencirati invarijantnost vrijednosti razlomka pri proširivanju i skraćivanju.

Stepen usvojenosti pojma razlomka i njegovog grafičkog predstavljanja možemo provjeriti i proširiti u sklopu lekcije o vrstama razlomaka. I ovaj nastavni sadržaj je pogodan da se uspostavi unutrašnja korelacija i predstavlja osnovu za usvajanje sadržaja koji slijede: upoređivanje razlomaka, predstavljanje razlomaka na brojnoj pravoj, a kasnije i predstavljanje razlomaka u obliku mješovitog broja.

Ako su se dobro usvojili prethodni sadržaji o skraćivanju, proširivanju i jednakosti razlomaka, upoređivanje ne bi trebalo da predstavlja veći problem, pogotovo ako se uvodi postepeno: upoređivanje razlomaka istih imenilaca, upoređivanje razlomaka istih brojioca, upoređivanje razlomaka različitih imenilaca.

Učenici su u dosadašnjem toku školovanja imali priliku da upoznaju samo skupove N i N0, oper-acije u njima i svojstva operacije sabiranja. Ovo je izuzetno značajan trenutak u nastavi matematike. Postupak proširivanja poznatih skupova treba pažljivo objasniti. Učenici ovog uzrasta bi trebalo da lako rješavaju jednačine oblika a+x=b, a,bN, pri čemu je b a i jednačinu oblika a · x =b, kada je b sadržalac broja a. Jednačine oblika a+x=b, a,bN, i a · x =b, a,bN, nijesu uvijek rješive u skupu N, zbog čega je neophodno izvršiti proširenje skupa N sa skupom Z (naredne godine) i skupom Q (ove godine). Bilo bi iluzorno zahtijevati od učenika na ovom uzrastu da u potpunosti razumiju pomenuti postupak, ali je moguće navesti ih da osjete razloge proširenja skupa N i razumiju inkluziju NQ.

Sabiranje i oduzimanje razlomaka učenici trebaju da savladaju do automatizma, i da se svi slučajevi svode na sabiranje i oduzimanje razlomaka jednakih imenilaca. Zbog toga sabiranju i oduzimanju razlomaka jednakih imenilaca treba posvetiti punu pažnju. U dosadašnjoj praksi relativno brzo se prelazilo preko ovih nastavnih sadržaja. To ne bi trebala da bude praksa ubuduće. Neophodno je svaki zadatak, kada je to moguće, ilustrovati i grafičkim prikazom na brojnoj polupravoj. Kada učenici shvate postupak sabiranja i oduzimaja razlomaka jednakih imenilaca, od njih možemo zahtijevati da sami, induktivnim postupkom, dođu do pravila ac

bc =

a+b c . Kod oduzimanja treba postaviti i

dodatne uslove ac bc tj. a b, jer u VI razredu ra dimo samo sa nenegativnim razlomcima.

Prije nego se pređe na obradu sabiranja i oduzimanja razlomaka različitih imenilaca, neophodno je ponoviti proširivanje i skraćivanje razlomaka. Tu mogu pomoći kratki matematički diktati i kontrolne vježbe u sklopu uvodnog dijela časa ili kao poseban čas utvrđivanja. Kod jednostavnijih zadataka nije neophodno insistirati da se razlomci svode na najmanji zajednički sadržalac, jer u suštini to nije potrebno. Svrhu takvog postupka treba objasniti na složenijim primjerima. Na ovom uzrastu nije potrebno uvoditi simboliku ac

bd =adbc

cdda ne bi dolazilo do zabuna u slučajevima kada je

jedan od imenilaca sadržalac drugog. Na ovom stepenu usvajanja novog gradiva, koliko god se to činilo uspješnim, nije potrebno raditi složenije brojne izraze, jer je Udžbenikom za njih predviđeno posebno nastavno gradivo. Takođe ne treba insistirati na svojstvima operacije sabiranja, jer će ona biti kasnije obrađena kao cjelina sa zapisom razlomka u decimalnom obliku.

U Udžbeniku je nekoliko stranica posvećeno izučavanju mješovitog broja. Predstavljanje razlomka u obliku mješovitog broja za učenike ne bi trebalo da predstavlja veći problem. Potrebno je voditi računa da kod izučavanja ovog nastavnog sadržaja učenici ne steknu utisak da se radi o novim ra-zlomcima, već im treba uporno skretati pažnju da je u pitanju drugačiji zapis nepravog razlomka. Ovakav zapis nepravog razlomka pomaže da ocijenimo između koja dva prirodna broja se nalazi dati razlomak i radi lakšeg predstavljanja razlomka na brojnoj polupravoj.

Iz prakse je poznato da učenici sabiranje i oduzimanje mješovitih brojeva najčešće rješavaju pretvarajući ih u neprave razlomke. Treba im predočiti i drugačiji pristup rješavanju tih zadataka: sabiranje i oduzimanje cijelog dijela sa cijelim i razlomljenog dijela sa razlomljenim. Nije realno


očekivati da će svaki učenik shvatiti postupak, pogotovo kada se radi o zadacima oblika 9 12 _ 2 35 , pa slabijim učenicima treba dati mogućnost izbora. Zbog toga, u Zbirci zadataka u grupi A nema zadataka sa mješovitim brojevima.

DECIMALNI RAZLOMCI. DECIMALNI BROJEVI

Pojmovi koji se uvode su:• decimalan razlomak• decimalan broj• decimalna zapeta (tačka)• cijeli i decimalni dio decimalnog broja• cifra desetih, stotih, hiljaditih...• približna vrijednost sa nedostatkom• približna vrijednost sa viškom• brojni izraz• rješenje jednačine• rješenje nejednačine

Iz prakse je poznato da učenici izbjegavaju rad sa decimalnim oblikom razlomka, pa ovim nas-tavnim sadržajima treba posvetiti više vremena. To je potrebno i zbog toga što se decimalni oblik razlomka u praksi često koristi.

U Udžbeniku su lekcije koncipirane tako da se decimalni oblik razlomka prirodno nadovezuje na stečena znanja o razlomcima. Decimalni razlomak za učenike sada ne bi trebalo da predstavlja problem. Učenici treba da shvate da svakom razlomku odgovara decimalan zapis. Istina, neki od tih decimalnih brojeva će imati konačno mnogo decimala, a drugi beskonačno mnogo. U početku treba navoditi primjere razlomaka čiji će decimalni zapis imati konačno mnogo decimala. To su razlomci čiji je imenilac oblika 2m5n, gdje su m i n prirodni brojevi. Od učenika zahtijevati da deci-malne zapise razlomaka 3

5, 14

, 15

, 34

, 1 10k

usvoje do automatizma, jer će im to kasnije, kada se budu susreli sa brojnim izrazima, biti od velike koristi.

U prvim nastavnim sadržajima ove teme, u Udžbeniku, susrećemo se samo sa decimalnim razlomcima i njihovim (konačnim) decimalnim zapisima. Bitno je da učenici broj nula dekadne jedinice decimalnog razlomka povežu sa brojem decimalnih mjesta u decimalnom zapisu razlomka. Kasnije, kada se učenici upoznaju sa dijeljenjem razlomaka, svoja znanja će dopuniti i činjenicom da postoje razlomci koji se mogu predstaviti u obliku beskonačnog periodičnog decimalnog za-pisa. Tada je već moguće zaokružiti cjelinu i istaći da se svaki razlomak može predstaviti u vidu konačnog ili beskonačnog periodičnog decimalnog broja. Još jednom napominjemo: treba forsirati rad sa razlomcima kojima odgovara konačan decimalan zapis, ali to ne znači da se ne treba baviti i razlomcima sa beskonačnim periodičnim zapisom. Preporučujemo da takve zadatke rade učenici koji pokazuju veće interesovanje za matematiku, a samim tim moraju i uvježbati određivanje približne vrijednosti broja.

Samo bolji učenici moraju znati zaokruživati decimalne brojeve (grupa C).Učenici treba da usvoje i obrnuti postupak: određivanje razlomka na osnovu datog decimalnog

zapisa, što ne bi trebalo da predstavlja veću teškoću ako se prethodni (direktni) postupak dobro usvojio. Na ovom uzrastu ne treba na osnovu datog beskonačnog periodičnog decimalnog broja tražiti razlomak koji mu odgovara. Smatramo da je to suviše teško za ovaj uzrast, a i bespotrebno, jer se izučava kasnije (u I razredu srednje škole).


Upoređivanje razlomaka u decimalnom obliku učenicima može biti jednostavnije nego sa razlomcima u obliku a

b. Potrebno ih je naučiti da upoređuju cifre na odgovarajućim mjestima u

decimalnim brojevima. Sabiranje i oduzimanje decimalnih brojeva uvodimo postepeno, uz pomoć sabiranja i oduzimanja decimalnih razlomaka. Posebnu pažnju bi trebalo obratiti na dekadne je-dinice istog reda, jer se u praksi pokazalo da učenici u tome najviše griješe. Uvježbavanje tehnike sabiranja i oduzimanja decimalnih brojeva i shvatanje same suštine najbolje se postiže rješavanjem većeg broja što raznovrsnijih zadataka. Kao i kod prirodnih brojeva, učenici na osnovu primjera i zadataka zaključuju da je sabiranje razlomaka komutativno i asocijativno. Zaključuju da je 0 neu-tralni elemenat za sabiranje u skupu Q0

+ . Veoma je važno da učenici ovladaju primjenom osobina komutacije i asocijacije operacije sabiranja pri konkretnom računanju (uspješniji učenici). U sklopu ovog sadržaja predlažemo da se uradi nekoliko primjera sa decimalnim brojevima kako bi učenici osjetili da razlomak oblika a

b i njegov decimalni zapis predstavljaju isti broj zapisan na dva različita

načina.Kada smo sigurni da su učenici usvojili operacije sabiranja i oduzimanja razlomaka u oba za-

pisa, do automatizma, i da su razumjeli svojstva operacije sabiranja, a oslanjajući se na predznanje iz ranijih razreda, možemo preći na rad sa brojnim izrazima. Brojne izraze smo uvodili osnovnim metodičkim principom, od lakših ka težim, povećavajući lagano stepen težine. Primjere u Udžbeniku smo birali tako da učenik shvati važnost zagrada, osobine operacije sabiranja i da kroz zadatke može zaokružiti dosadašnje znanje o razlomcima.

U Udžbeniku smo punu pažnju posvetili nastavnim sadržajima o jednačinama i nejednačinama u skupu Q0

+ , pokušavajući da za svaki oblik, bilo jednačine ili nejednačine, damo grafičku ilustrac-iju. Učenici posjeduju određena predznanja o rješavanju jednačina i nejednačina u skupu N. Kada su u pitanju jednačine, oni će lako (po analogiji) odrediti nepoznate komponente zbira ili razlike u skupu Q0

+ . To neće biti tako lako kada se određuje nepoznati umanjilac u nejednačinama oblika a−x<b, a−x>b. Posmatrajući grafičke prikaze (učenici uz pomoć nastavnika) mogu da shvate da se povećanjem umanjioca smanjuje razlika i obrnuto. Zbog toga dolazi do promjene smjera nejedna-kosti. Treba voditi računa da se ne izađe iz skupa Q0

+ . Rješavanjem nejednačine x _ 1

3 3

5, dobija se x 14

15. Međutim, za rješenje moramo uzeti

13

x 1415

, jer mora biti zadovoljen uslov x _ 13

0.

MNOŽENJE I DIJELJENJE RAZLOMAKA. MNOŽENJE I DIJELJENJE DECIMALNIH BROJEVA

Pojmovi koji se uvode su: • uzajamno recipročni razlomci• dvojni razlomak

Množenje i dijeljenje razlomaka se obrađuje nakon što se usvoje nastavni sadržaji o sabiranju ioduzimanju razlomaka. Uvažavajući princip potpunosti, prvo se obrađuje množenje razlomka prirodnim brojem, pri

čemu se koristi znanje koje učenici posjeduju o sabiranju razlomaka. Iz prakse znamo da učenici brzo usvajaju ovaj nastavni sadržaj. Učenicima treba prepustiti formulisanje pravila o množenju razlomka prirodnim brojem n kada shvate da taj proizvod predstavlja sumu n jednakih sabiraka datog razlomka. Ovo je pravi trenutak da se vratimo na izračunavanje a

b od c, ne ograničavajući se

na slučaj da li je b djelilac broja c i da objasnimo jednostavniji postupak. Veoma je važno da učenici shvate da a

b od c znači isto što i a

b . c.


Učenici ovog uzrasta spretno množe i dijele prirodne brojeve i znaju odrediti površinu pravou-gaonika na osnovu datih podataka, pa to može biti polazna osnova za izučavanje sadržaja množenja razlomka razlomkom. Primjer kojim nastavnik može započeti izučavanje ovog nastavnog sadržaja naveden je u Udžbeniku, a od učenika se, kao oblik njihove aktivnosti, može zahtijevati da urade slične primjere. Kod učenika treba insistirati da neposredno prije množenja razlomka razlomkom izvrše skraćivanje razlomaka, kada je to moguće. Objasniti učenicima da to nije neophodan korak, ali da time olakšavaju i skraćuju sam postupak.

Pri izučavanju površine kvadrata učenici znaju da a2 predstavlja proizvod dva ista činioca a, tako da im neće biti teško da usvoje, na primjer, da je ab

. ab

= (ab)2

= a2

b2, b 0

Potrebno je stalno insistirati na činjenicama a bc

a . bc

i a bc

.d ef

(a .d)becf

, c, f 0 i objasniti ih na konkretnim primjerima.

Postupak obrade nastavnih sadržaja množenja decimalnog broja prirodnim brojem i dekadnom jedinicom može se započeti analogno prethodnom. Bitno je da učenici sami uoče i formulišu pravila na osnovu nekoliko urađenih zadataka i usvoje da kod množenja decimalnog broja dekadnom jedini-com dolazi do pomjeranja decimalne zapeta udesno za onoliko mjesta koliko dekadna jedinica ima nula. Kod usvajanja ovih sadržaja moguća je unutrašnja korelacija pri pretvaranju mjernih jedinica iste vrste jedne u drugu (metra u decimetre, centimetre…; kilograma u dekagrame, grame…)

Množenje decimalnog broja decimalnim brojem učenici mogu samostalno uraditi koristeći znanja o pretvaranju decimalnog broja u decimalan razlomak, a zatim množiti dobijene razlomke. Kada dobijeni rezultat ponovo pretvore u decimalan broj, od njih možemo zahtijevati da pokušaju da uoče pravilo. Uopšte, učenike treba navoditi da sami formulišu pravila, a ne da ih “slijepo” po-navljaju pošto ih nastavnik izdiktira. Da bi došli do zaključka kako se množe decimalni brojevi, neophodno je uraditi nekoliko sličnih primjera pa tek onda zahtijevati da, uz pomoć nastavnika, formulišu pravilo množenja decimalnog broja decimalnim brojem. Posebnu pažnju posvetiti ovom nastavnom sadržaju, jer smatramo da ga učenici teško savladavaju.

Svojstva operacije množenja prirodnih brojeva učenicima su već poznata i potrebno ih je obnoviti. U tome mogu pomoći primjeri koji se nalaze na početku ovog nastavnog sadržaja u Udžbeniku. Do formulisanja svojstava operacije množenja u skupu Q0

+ učenici mogu doći induktivnim putem nakon urađenih nekoliko primjera. Kada uoče pravilo, od njih možemo zahtijevati da ga zapišu koristeći matematičke simbole. Realno je očekivati da to mogu uraditi samo bolji učenici. U realizaciji ovih sadržaja mogu pomoći grafički prikazi sa pravougaonikom. Nekoliko primjera je pokazano u Udžbeniku.

Potrebno je insistirati da se obrađeni sadržaji usvoje do automatizma kroz rješavanje većeg broja za-dataka, da kasnije, kod određivanja vrijednosti brojnih izaraza, ne bi dolazilo do većih problema.

Kada su učenici usvojili da je broj 1 neutralni element operacije množenja u skupu Q0+ , a imajući

u vidu da su utvrdili množenje razlomka razlomkom, možemo uvesti pojam uzajmno recipročnih razlomaka.

Do pravila za dijeljenje razlomka razlomkom obično se dolazi nakon uvođenja recipročnog broja. U Udžbeniku je ispoštovan princip postupnosti, jer se sadržaji usvajaju analogno množenju: dijeljenje razlomka prirodnim brojem, dijeljenje razlomka razlomkom, dijeljenje decimalnog broja prirodnim brojem, dijeljenje decimalnog broja dekadnom jedinicom i na kraju dijeljenje decimal-


nog broja decimalnim brojem. Do uopštenih pravila učenici će dolaziti induktivnim putem, pošto se uradi nekoliko konkretnih primjera. Uvodimo zapis nedecimalnog razlomka kao beskonačnog periodičnog decimalnog broja. Ovim je zaokružena cjelina da se svaki razlomak (racionalni broj) može zapisati u obliku decimalnog broja sa konačno mnogo decimala ili kao decimalni broj sa beskonačno mnogo decimala od kojih se jedna ili više njih periodično ponavlja.

Određivanje vrijednosti dvojnog razlomka treba zahtijevati od boljih učenika.

U operaciji dijeljenja razlomaka u decimalnom obliku učenici često griješe u određivanju položaja decimalne zapete, tj. ne umiju svesti dijeljenje decimalnih brojeva na dijeljenje prirodnih brojeva ili decimalnog broja prirodnim brojem. U početku bi bilo dobro uvesti procjenu rezultata, što omogućava tačno određivanje mjesta zapete i bez korišćena odgovarajućih pravila. Na primjer,

25,198:3,87 25:4 6. Znači zapeta dolazi iza prve cifre. Takođe je važno da učenici znaju ocijeniti cijeli dio rezultata dijeljenja i u kojim slučajevima je on jednak 0. Pri dijeljenju decimal-nih brojeva dekadnom jedinicom važno je da učenici usvoje da broj mjesta pomjeranja decimalne zapete zavisi od broja nula dekadne jedinice sa kojom dijelimo i da shvate zašto decimalnu zapetu pomjeramo ulijevo. Induktivnim putem, samostalno, formulišu pravilo. Sličan postupak možemo primijeniti kod dijeljenja decimalnog broja decimalnim brojem.

Kada su učenici usvojili računske operacije sa razlomcima i decimalnim brojevima do automa-tizma, prelazimo na izračunavanje brojnih izraza. Stalno moramo insistirati na prioritetu računskih operacija čiji stepen usvojenosti provjeravamo na raznovrsnim zadacima, kao i na razumijevanju uloge zagrada. Pogodno je koristiti prikaze pomoću drveta i raznih dijagrama. Predlažemo da početni zadaci sadrže samo razlomke ili samo decimalne brojeve i da budu jednostavniji, a kada nastavnik zaključi da su takvi zadaci utvrđeni, zadaje složenije brojne izraze (u kojima figuriše promjenljiva) i tekstualne zadatke.

Kao i kod jednačina i nejednačina sa sabiranjem i oduzimanjem i ovdje nastavnik može iskoris-titi predznanje koje učenici imaju iz prethodnih razreda. Trebalo bi da svi učenici nauče rješavanje prostije jednačine. Složenije zadatke predvidjeti za bolje učenike. U Zbirci zadataka smo dali pri-jedlog koje jednačine spadaju u određeni nivo. Rješavanje jednačine 0.x=b, bQ0

+ raditi samo sa uspješnijim učenicima. Potrebno je insistirati na upotrebi osobina operacija sabiranja i množenja, naročito zakona distributivnosti pri rješavanju jednačina oblika 1

2x + 2

3x + 5 = 9,2, kao i na prioritetu

operacija. Kada je to moguće, koristiti grafičke prikaze.

Nastavna jedinica (3)SABIRANJE I ODUZIMANJE RAZLOMAKA RAZLIČITIH IMENILACA


Redni broj časa:Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: RazlomciNastavna jedinica: Sabiranje i oduzimanje razlomaka različitih imenilacaTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: naučiti sabiranje i oduzimanje razlomaka različitih imenilaca

Oblici rada: rad u parovima, individualni i frontalni Metode rada: učenje rješavanjem problema


Nastavna sredstva: grafo-folija, pribor, karton sa modelimaTok časa

Uvodni dio časa: Zadaci (za ponavljanje, Zbirka zadataka) – Prilog 1, ispisani su na grafo foliji. Učenici rade individualno i rješenja zapisuju u sveske. Po završetku, nastavnik, kroz razgovor sa učenicima, provjerava koliko su bili uspješni. Zadaci treba da budu kratki i lagani, jer je njihov cilj da se obnove sadržaji potrebni za novu nastavnu jedinicu, a da se pri tome ne utroši puno vremena. Učenicima koji nijesu ispravno riješili zadatke nastavnik treba da posveti punu pažnju.

Prilog 1

1. Bez izračunavanja odrediti: NZS (2, 3, 5) = _______ NZS (11, 33) = _______

2. Umjesto zvjezdice upiši odgovarajući broj: 4272

= 14

, 57

= 56

, 39

= 36

3. Zaokružiti tačno tvrđenje: a) 34

56

b) 34

56

c) 34

= 56

4. Popuni prazna mjesta:

a) 8

+ 38

= 58

b) 8 + 2 11

= 1011

c) 79

_ 9

= 59

d) 14

_ 5 14

= 3 14

e) 925

_ 5 = 4 25

Napomena: Obnoviti sa učenicima šta znači skratiti, a šta proširiti razlomak. Ponoviti kako se sabiraju (oduzimaju) razlomci jednakih imenilaca.

Glavni dio časa: Kada se sa učenicima obnovi pređeno gradivo, rješavati problemski zadatak.

Zadatak: U jednom paketu se nalazi 52

kg bombona, a u drugom 52

kg bombona. Koliko se kilo-grama bombona nalazi u oba paketa ?

Nastavnik pomaže učenicima da sami dođu do rješenja koje se kasnije demonstrira na tabli.

52

+ 75

= 2510

+ 1410

= 3910

= 3 9 10

Učenici u klupama sjede po dvoje (čine par), svakom paru treba podijeliti koverte sa dva zadatka koja će raditi samostalno (zadaci iz Udžbenika), a kada završe kontrolisaće jedan drugoga.

Prilog 2

1. Na slici su data tri jednaka pravougaonika koja su podijeljena na jednake dijelove. Osjenči 25

prvog pravougaonika i 13

drugog. Na trećem pravougaoniku osjenči oblast koja predstavlja zbir osjenčenih dijelova prva dva pravougaonika.

+ =

Pokušaj računski riješiti zadatak 25

+ 13

= .


Data su tri pravougaonika podijeljena na jednake dijelove. Osjenči 12

prvog i 25

drugog, a na trećem osjenči oblast koja predstavlja razliku datih razlomaka.

_ =

Zadatak riješi i računski. 12

_ 12

= .

Napomena: Svaki učenik radi individualno. Kada završi svoj zadatak, izvrši zamjenu sa drugom/aricom u paru, upoređujući tačnost. Kada većina učenika izvrši naznačenu radnju, jedan učenik/ca demonstrira na tabli na već pripremljenim pravougaonicima tačno rješenje. Nastavnik poziva učenike koji nijesu riješili zadatke da pažljivo prate izlaganje, a zatim jedan od njih ponovo demonstrira rješavanje zadataka, uz pomoć nastavnika.

Učenici sa nastavnikom izvode zaključak kako se sabiraju, a kako oduzimaju razlomci različitih imenilaca.

Da li su učenici shvatili postupak, nastavnik će provjeriti pomoću mini testa (Prilog 3), koji će postepeno otkrivati, a učenici rade individualno po principu „ko će prije”.

Prilog 3

1. Upiši razlomke koji nedostaju:

98

74

13

+ _

2. Šta je veće: zbir brojeva 27

i 14 ili razlika brojeva 9 28

i 3 14

?

Dodatni zadatak: Marko je popio 25

litra mlijeka, a Jelena 14

litra. Koliko je ostalo litara mlijeka u flaši od 1l?

Napomena: Učenici rade samostalno i javljaju se podizanjem ruke. Nastavnik to registruje i otkriva rezultate na osnovu kojih učenici samostalno provjeravaju svoj rad.

Završni dio časa: Provjera u parovima. Jedan član u paru postavlja pitanje, ili jednostavniji za-datak, drugom članu u paru, glasno. Odgovarajući, obnavljaju nastavni sadržaj obrađen na ovom času. Ako član para ne zna odgovor, može ga dati bilo koji učenik koji se javio.

Domaći zadatak: Zbirka zadataka (zadaci po nivoima).


Nastavna jedinica (4)JEDNAČINE SA SABIRANJEM I ODUZIMANJEM U SKUPU Q0

+ (uvježbavanje)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: RazlomciNastavna jedinica: Jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u skupu Q0

+ Tip časa: uvježbavanje (utvrđivanje) gradivaCilj nastavnog časa: naučiti rješavati jednačine sa sabiranjem i oduzimanjem u skupu Q0

+ Oblici rada: frontalni, rad u grupama, individualniMetode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: • nastavni listići (za rad po grupama i mini test)• tabele - za unošenje podataka za rad u grupama sa rješenjima zadataka• tabele - za unošenje podataka mini testa sa rješenjima zadataka

Tok časa

Uvodni dio časa: Zajednička analiza domaćeg zadatka. Učenici zajedno sa nastavnikom upoređuju rezultate. Za neurađene zadatake nastavnik daje uputstva za njihovu izradu. Kroz analizu domaćeg zadatka obnoviti rješavanje jednačina oblika

x+a=b, x= b−a; x−a = b, x= a+b; a−x =b, x=a−b, a, b∈N.

Glavni dio časa: Formirati šest grupa sa po pet učenika (ako u odjeljenju ima više od 30 učenika, onda će i neka grupa imati više od pet učenika). Srednje ocjene grupe bi trebalo da budu približno iste.

- Svaka grupa dobije koverat sa po pet listića na kojima se nalazi po jedan zadatak za svakog učenika (zadaci su različite težine) i učenici ih rade u sveskama (Prilog 1).

- Radi postizanja boljeg rezultata učenici se mogu dogovarati međusobno.- U koverti, koju su dobili na početku rada, nalazi se tabela (Prilog 2) u koju vođa grupe na-

kon 10 minuta rada unosi dobijene rezultate i predaje tabelu. Kada sve grupe predaju tabele, zajednički se vrši upoređivanje njihovih rezultata sa rezultatima koje nastavnik istakne na tabli.

- Za svaki tačno urađen zadatak dobija se po jedan bod.- Zadatke koje nije uradila nijedna grupa rade učenici na tabli uz pomoć nastavnika.

Prilog 1 Zadaci za rad u grupama1. (ZZ, zadatak 236 b), strana 33)

Riješi jednačinu: 113

+x=312

2. (ZZ, zadatak 237 d), strana 33) Riješi jednačinu: 3,5 _ x = 0,7

3. (ZZ, zadatak 236 c), strana 33) Riješi jednačinu: x+ 2,4 = 4


4. (ZZ, zadatak 243 e), strana 34) Riješi jednačinu: x _ (3,22 + 5,4) = 22

5

5. (ZZ, zadatak 251 d), strana 34) Riješi jednačinu: 12,6 _ (x _ 11

5)= 84

5

Prilog 2 Rad po grupama (ispisuje predstavnik grupe)

Zadatak Rješenje

1.2.

3.

4.

5.

Rezultati grupa

Grupa Zadatak Tačno (+), netačno (−) Bodova

I grupa

1.

2.

3.

4.

5.

. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .

VI grupa

1.

2.

3.

4.

5.

Završni dio časa.I dalje učenici ostaju u grupama i dobijaju zadatke (mini test) prema nivoima znanja:* učenici koji imaju ocjenu 1 i 2** učenici koji imaju ocjenu 3 i 4*** učenici koji imaju ocjenu 5

Učenici test rade individulano (10 minuta). Nastavnik prati njihov rad i po potrebi daje dodatna uputstva. Ako neko uradi test prije isteka vremena, dobija dodatni zadatak. Nakon 10 minuta rada


nastavnik poziva učenike (po nivoima) da saopšte rezultate, konstatuje da li je zadatak tačno urađen ili nije i podatke unosi u već pripremljenu tabelu.

Prilog 3 Zadaci za mini test.

a 1. (ZZ, zadatak 238 b), strana 33)

Riješi jednačinu: x _ 1,25 = 435

2. (ZZ, zadatak 239, strana 33)

Kojem broju treba dodati 614

da se dobije 20,5?

b. 1. (ZZ, zadatak 236 a), strana 33)

Riješi jednačinu: x + 2 15

= 2


Od kojeg broja treba oduzeti 4,4 da se dobije 738

?

a 1. (ZZ, zadatak 243 f), strana 34)

Riješi jednačinu: (318

+ 81112) _ z = 10,5


Koji broj treba dodati razlici brojeva 3,8 i 135

tako da zbir bude jednak 5,2?

b 1. (ZZ, zadatak 243 d), strana 34)

Riješi jednačinu: x + 612

= 1035

+ 2,45


Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 5 i 2,5 da se dobije 123

?

1. (ZZ, zadatak 251 b), strana 34)

Riješi jednačinu: (0,8 _ x) + 1320

= 56


Od kojeg broja treba oduzeti razliku brojeva 5,78 i 1,038 da bi se dobio broj za 25

veći od 1,21?

Dodatni zadatak: Visina kuće je 10 m, a topole 834

m. Koliko treba da naraste topola da bi bila veća od kuće?


Mini test – tabela

Rednibroj Učenik Nivo

ZadaciBodovi

1. 2. 3. dodatni

1.

2. :3.

: :

:

:

Napomena Ako se neka grupa (ili pojedinac), posebno istakla, tada stimulisati članove grupe (i pojednica)

većom ocjenom.

2.4. SKUPOVI TAČAKA

Pojmovi koji se uvode su:• skup• tačka • prava • ravan• duž• poluprava • poluravan • prostor • poluprostor • izlomljena linija• otvorena i zatvorena izlomljena linija• mnogougaona linija• mnogougao• konveksan skup tačaka• nekonveksan skup tačaka • kružna linija• krug• poluprečnik, prečnik, tetiva, sječica, kružni luk

Podsjećamo, pojam skupa se ne uvodi definicijom, nego se preko primjera objašnjava. Učenik se svakodnevno sreta sa primjerima skupova. On treba da shvati da su skupovi određene cjeline koje se sastoje od elemenata (članova). Učenici jednog razreda, stanovnici jednog grada, životinje u zoološkom vrtu, stado ovaca, krdo goveda, jato ptica su primjeri skupova. Od posebnog značaja su skupovi brojeva.


Učenik treba da zna znak za skup (slovo), znak za elemenat (slovo), oznaku za riječ skup (vitičaste zagrade), oznaku za je iz (∈), oznaku nije iz (∉), oznaku da je dio od (⊂), znak za prazan skup (), znak za uniju skupova (∪), znak za presjek skupova (∩) i znak za razliku skupova (\). Dalje, učenici treba da znaju da se skup može zadati na dva načina: navođenjem elemenata skupa ili opisivanjem svojstva elemenata skupa. Ovaj drugi način dopušta da se definišu skupovi koji imaju beskonačno mnogo elemenata.

Aksiomatsko izlaganje geometrije podrazumijeva visok stepen strogosti, što nije moguće uraditi u VI razredu osnovne škole. Pojam skupa u geometriji se prirodno nameće, jer u mnogim situacijama skupove određenih predmeta je podesno tretirati kao skupove tačaka. Kada nas ne interesuju fizičke i hemijske osobine predmeta, njihov oblik, veličina i uopšte kada nijesu bitne nikakve individualne osobine izuzev položaja, uređenosti, udaljenosti i kardinalnosti, onda ih zamišljamo kao tačke. Ako posebno izučavamo skupove tačaka koji se redom nazivaju prava, ravan i prostor i skupove tačaka koji su sadržani u njima, onda u prvom slučaju imamo geometriju prave, u drugom geometriju ravni (planimetrija), a u trećem geometriju prostora (stereometrija). U ovakvoj podjeli geometrije - prava, ravan i prostor redom su u ulozi univerzalnih skupova.

Prava je geometrijski objekat dimenzije 1, ravan dimenzije 2, a prostor dimenzije 3. Kako je prava podskup ravni, to će sve figure sa prave biti i figure ravni. Kako je ravan podskup prostora, to će sve ravne figure biti podskupovi skupa tačaka prostora. Osim njih, dijelovi prostora biće razne prostorne linije, krivolinijske površi i tijela.

Posmatranje geometrijskih objekata kao skupova omugućava da pomoću skupovnih operacija dovodimo te objekte u međusobne veze i izražavamo jedne pomoću drugih. Na primjer, presjek dvije linije u ravni može da bude prazan skup, tačka – jednočlan skup, linija… Na primjer, presjek kružne linije k i prave p može biti prazan skup, tačka ili duž. Sve ovo možemo zapisati pomoću skupova i operacija između njih: k ∩ p = φ, k ∩ p = {A}, k ∩ p = AB. Slično, presjek dvije površi S1 i S2 može da bude prazan skup, tačka, više tačaka, linija i površi.

Primjenom skupovne operacije unija iz prostih figura mogu se dobiti složenije figure. Izlomljena linija je unija konačnog broja duži.

Za tačke koje leže na jednoj pravoj kažemo da su kolinearne. Za tačku B kažemo da je između tačaka A i C, oznaka A-B-C, ako se one nalaze na pravoj a kao što je to na sljedećoj slici.

A B C a

Za dvije duži kažemo da su podudarne ako imaju jednake dužine. Za dva ugla kažemo da su podudarna ako imaju jednake mjere (na primjer u stepenima). Za dva trougla kažemo da su podudarna ako imaju jednake odgovarajuće uglove i jednake odgovarajuće stranice. Znači, relacija podudarno je povezana sa mjerenjem duži i sa mjerenjem uglova. Ako se odustane od strogog ak-siomatskog pristupa izučavanju geometrije, tada se, na primjer, pojam podudarnih trouglova može definisati pomoću pojmova jednakih duži i jednakih uglova. Učenici mnogo lakše nauče i usvoje mjerenje duži i mjerenje uglova, nego što usvoje relacije podudarno.

Pojmovi koji se definišu na osnovu osnovnih pojmova i osnovnih relacija nazivaju se izvedeni pojmovi. Izvedeni pojmovi su, na primjer: duž, poluprava, poluravan, kružna linija, ugao, trougao… U definisanju ovih pojmova treba koristiti osnovne pojmove: tačka, prava, ravan i osnovne relacije: leži na, biti između i biti podudaran.


Učenicima su već poznati pojmovi poluprave, duži i izlomljene linije iz ranijih razreda. Sada njihova znanja treba dopuniti i zaokružiti. Zbog toga definisanje pojma linije nije tako jednostavno kao što bi se moglo učiniti na prvi pogled. Da bi se dao potpun odgovor na pitanje šta je linija, potrebno je znanje iz topologije tako da ćemo se zadržati na njenom intuitivnom shvatanju. Složenost pojma linije možemo naslutiti i preko raznovrsnih modela linija koje se prepoznaju u prirodi. Od svih linija, najjednostavnija je duž. Nadovezivanjem više duži mogu se dobiti tzv. izlomljene linije i mnogougaona linija kao njen specijalni podslučaj. U udžbenicima geometrije termin mnogougao upotrebljava se za označavanje dva različita pojma: mnogougla kao neke linije i mnogougla kao neke oblasti. Da bi uočili razliku između ta dva pojma, u Udžbeniku smo uveli nazive mnogouga-ona linija i mnogougao. Bitno je da učenici usvoje elemente mnogougla i klasifikaciju prema broju stranica (tjemena).

Prava, ravan, prostor, poluprava, poluravan, duž, kružna linija, krug... primjeri su konveksnih figura. Presjek konveksnih skupova tačaka je konveksan skup. Za tri nekolinearne tačke A, B, C u ravni će postojati beskonačno mnogo konveksnih skupova koji ih sadrže. Učenicima treba predočiti i slučaj da je jedan mnogougao konveksan, ako se sve njegove tačke nalaze u jednoj poluravni koju određuje prava koja sadrži bilo koju njegovu stranicu.

Sa pojmom kruga učenici su se sreli u ranijim razredima i evidentno je da termin krug koriste za

označavanje dva različita pojma: kružne linije (kružnice) - kao neke linije i kruga – kao neke oblasti. Uporno treba insistirati na razgraničenju ovih pojmova kao i na upotrebi pravilne matematičke simbolike za njihovo označavanje. Učenici su upoznali rastojanje između dvije tačke tako da razumi-jevanje definicije kružne linije i kruga ne bi trebalo da predstavlja veći problem. Stepen usvojenosti pojmova kružnog luka i tetive možemo provjeriti jednostavnijim zadacima. Insistirati na usvajanju činjenice da dvije različite tačke kružne linije određuju dva različita kružna luka, kao i na razlikovanju pojmova tetive i sječice.

Nastavna jedinica (5)KRUŽNA LINIJA (KRUŽNICA) I KRUG


Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Skupovi tačakaNastavna jedinica: Kružna linija (kružnica) i krugTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: usvojiti pojmove kružne linije i krugaOblici rada: individualni, rad u grupama, frontalniMetode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: nastavni listići, model valjka

Tok časa

Uvodni dio časa: Ponoviti ukratko koji sve predmeti imaju oblik kružne linije, a koji kruga.Glavni dio časa: Učenici dobijaju nastavni listić na kojem su nacrtani: lopta, elipsa (ne imenovati

elipsu), krug nacrtan šestarom i krug nacrtan slobodnom rukom.


Prvi nastavni listić

Učenici individualno treba da označe sliku na kojoj je prikazan krug i da ukažu na razliku između kruga i lopte, odnosno elipse. Nastavnik bilježi navedene odgovore učenika i saopštava da će ih provjeriti i komentarisati na kraju časa, kada budu naučili svojstva kružne linije i kruga.

Drugi nastavni listićIzmjeri, pa zapiši dužine datih duži na obje slike:

C B O A D E

C B

O A D E

|ОА|= |ОА|=|ОB|= |ОB|=|ОC|= |ОC|=|ОD|= |ОD|=|ОE|= |ОE|=

Razmjenom u paru učenici upoređuju svoja rješenje, razmjenjuju mišljenja i zaključke. Nakon toga, nekoliko učenika, koji su se sami javili ili ih je nastavnik odabrao, saopštavaju zaključke do kojih su došli. Ostali učenici prate, komentarišu i upoređuju ih sa svojim rezultatima. Važno je da se iskristališe zaključak da su sve tačke kružne linije jednako udaljene od tačke koja predstavlja njen centar i da se u tome razlikuje od ostalih zatvorenih linija. Duži OA, OB, OC, OD, OE su poluprečnici kružne linije.

Na modelu valjka nastavnik objasni učenicima razliku između kruga i kružne linije.

Nastavnik pomaže učenicima da dođu do precizne definicije kružne linije, kruga, oblasti kruga, poluprečnika. Nakon toga zahtijeva od učenika da sami nacrtaju krug poluprečnika 1,5cm, sa cen-trom u tački O, a zatim uvodi oznake K (O, 1,5 cm) za krug i k (O, 1,5 cm) za kružnu liniju.


Treći nastavni listić1) (Udžbenik, zadatak 1, strana 116) Nacrtaj k (S, 3cm).

2) (Udžbenik, zadatak 2, strana 117) Razvrstaj tačke u tri skupa.

Tačke čije je ras-tojanje od centra kružne linije jednako poluprečniku r

Tačke čije je ras-tojanje od centra kružne linije manje od poluprečnika r

Tačke čije je ras-tojanje od centra kružne linije veće od poluprečnika r

a) U kojoj koloni se nalaze tačke koje pripadaju kružnoj liniji k (S, r)?b) U kojim kolonoma se nalaze tačke koje pripadaju K (S, r)?c) Navedi tri tačke koje pripadaju krugu K (S, r), a ne pripadaju kružnoj liniji k (S, r)?d) U kojoj koloni se nalaze tačke koje ne pripadaju krugu K (S, r)?e) Izmjeri, pa zapiši dužine duži PN i EF. Šta primjećuješ?f) Koliko je puta duž PN veća od duži SN, a koliko puta duž EF od SE? 3) (Udžbenik, zadatak 3, strana 117) Sljedeće rečenice dopuni riječima koje nedostaju:a) k (A, 4 cm) je kružna linija sa …………… u tački A i …………….dužine 4 cm.b) K (B, 5 cm) je ………………. sa centrom u tački B i ………………… R =2r =…...

Kada završe sa radom u paru, učenici u manjim grupama provjeravaju i međusobno razmjenju-ju rješenja i zaključke. Nastavnik obilazi grupe, provjerava šta su uradili i prema potrebi pomaže, postavljajući im novo pitanje na osnovu kojeg učenici treba da zaključe da sve tačke koje pripadaju kružnoj liniji pripadaju i krug i da je kružna linija granica kruga. Takođe im pomaže da dođu do definicije prečnika kruga i navodi ih na zaključak da je prečnik dva puta duži od poluprečnika.

Završni dio časa: Nastavnik postavlja pitanja čitavom odjeljenju:(Udžbenik, strana 117) - Koju liniju nazivamo kružnom linijom? - Šta je krug? - Navedite razlike između kruga i kružne linije? - Šta je a) k (s, r)∩K (S, r), b) K (S, r) ∪ k (S,r), c) K (S, r)\k (S, r)?


2.5. UGLOVI I MJERENJE UGLOVA

Pojmovi koji se uvode su: • ugao• centralni ugao• konveksan ugao• nekonveksan ugao• oštar ugao • prav ugao• tup ugao• opružen ugao• pun ugao• komplementni uglovi• suplementni uglovi• susjedni uglovi• uporedni uglovi• unakrsni uglovi• uglovi sa paralelnim kracima• uglovi sa normalnim kracima

Termin ugao ne upotrebljava se u geometriji uvijek u istom smislu, već se koristi za označavanje različitih pojmova. Pojam ugla možemo definisati pomoću konveksnih skupova. „Neka su A, B, C tri nekolinearne tačke. Najmanji konveksni skup u ravni koji sadrži uniju polupravih AB i AC naziva se ugao”. Saglasno ovoj definiciji ugao ne može biti veći od 180°. Naravno, ovakvu definiciju ugla ne možemo predavati u osnovnoj školi. U Udžbeniku je data definicija ugla kao skupa tačaka ravni koje se nalaze sa iste strane ugaone linije zajedno sa tom ugaonom linijom. Insistirati da učenici razlikuju ugaonu liniju od ugla. Takođe, jako je bitno da učenici znaju označavati ugaone linije i uglove. Prezentirati im različite mogućnosti.

Kako je ugao definisan kao skup tačaka, to je korisno postaviti učenicima i pitanja: Šta može biti presjek (unija) dva ugla? Kada će presjek (unija) dva ugla biti ugao? Kakav je odnos ugaone linije i ugla koji ta ugaona linija određuje? Kada je presjek dva ugla konveksan skup?

Kada učenici usvoje raznovrsnost zapisivanja i obilježavanja uglova (što je bitno za dalji rad), treba da shvate pojam centralnog ugla i odnos tetiva i odgovarajućih lukova i centralnih uglova u istom krugu i podudarnim krugovima.

To će im biti potrebno kako bi shvatili konstrukcije podudarnih (jednakih) uglova i kako da upoređuju uglove. Bitno je da učenik usvoji da jednakim tetivama jednog kruga, ili podudarnih krugova, odgovaraju jednaki centralni uglovi. Koristeći ovo tvrđenje učenici će moći konstruktivno da sabiraju i oduzimaju uglove.

Prije nego pređu na obradu nastavnog sadržaja mjerenja uglova, učenike treba podsjetiti kako su mjerili dužinu, masu, površinu i koje su jedinice za mjerenje svake od tih veličina. I za mjerenje ugla potrebna je odgovarajuća jedinica mjere. Kada se uvede pojam opruženog ugla, tada se uvodi i pojam ugla od 1° kao 180-og dijela opruženog ugla. Učenike treba upoznati sa instrumentom za mjerenje uglova koji nazivamo uglomjer. Neophodno je da nastavnik pokaže kako se uglomjer koristi, a posebnu pažnju treba posvetiti mjerenju i crtanju uglova većih od 180°. Uvođenju manjih mjernih jedinica (minut i sekund), njihovih oznaka i činjenice da je 1°=60’, 1’=60’’ treba posvetiti


više vremena, jer praksa pokazuje da većina učenika tu oblast teško shvata. Učenici se zatim up-oznaju sa vrstama uglova: oštar, tup, prav, pun ugao i usvajaju relaciju oštar - prav - tup - opružen - nekonveksan - pun ugao.

Kada nastavnik utvrdi da su učenici usvojili pojam ugla i mjerenje ugla, prelazi na grafičko sabi-

ranje i oduzimanja uglova, a nakon toga i na aritmetičko. Primjeri i zadaci u Udžbeniku su birani tako da učenicima budu predočene sve varijante, ali to ne znači da i svi učenici to treba da znaju (pogledati podjelu na nivoe u Zbirci).

Komplementni i suplementni uglovi su u tijesnoj vezi sa grafičkim i aritmetičkim sabiranjem uglova. Treba ih primjenjivati kod većeg broja zadataka, jer se tako postiže uvježbanost i prethodnih nastavnih sadržaja.

Pojmovi susjednog, uporednog i unakrsnog ugla uvode se postupno uz pomoć raznih nastavnih sredstava i pomagala (dijapozitiva, grafo-folija). Insistirati na tome da učenici shvate razliku između susjednih i uporednih uglova i da usvoje da je pojam uporednog ugla specijalan slučaj susjednih uglova. Pojmove uporednih i suplementnih uglova učenici često izjednačavaju pa otuda potreba da jasno usvoje da su uporedni uglovi uvijek suplementni, a suplementni nijesu uporedni (ako ne ispunjavaju uslov i da su susjedni). Naročito treba istaći činjenicu: ako su dva uporedna ugla jednaka, onda su oba prava, kao i to da kraci pravog ugla određuju normalne prave i zahtijevati od učenika da usvoje adekvatnu simboliku zapisivanja. Unakrsne uglove učenicima treba predočiti raznim primjerima i modelima iz svakodnevnog života i zahtijevati da prenošenjem, mjerenjem i sličnim postupcima samostalno dođu do zaključka o njihovoj jednakosti. Poslije zaključka da su unakrsni uglovi jednaki, učenicima treba postaviti pitanje: da li važi obrnuto tvrđenje, tj. da li su svaka dva jednaka ugla unakrsna? Na konkretnim primjerima pokazati da to tvrđenje, u opštem slučaju, ne važi.

Odnose uglova sa paralelnim kracima objasniti bez uvođenja pojma transverzale i naziva za pojedine uglove (naizmjenični, saglasni, suprotni). Tako raznovrsna klasifikacija uglova može kod učenika izazvati konfuziju. Osim toga, o tome učenici uče u I razredu srednje škole. Kod uglova sa paralelnim kracima dovoljno je da ih učenici znaju uočiti, prepoznati i razlikovati kada su podudarni, a kada suplementni. Isti zahtjev važi i za uglove sa normalnim kracima.

Nastavna jedinica (6)UGLOVI SA NORMALNIM KRACIMA


Redni broj časa:Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Uglovi i mjerenje uglovaNastavna jedinica: Uglovi sa normalnim kracimaTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: usvojiti pojam uglova sa normalnim kracima i veze između njihOblici rada: frontalni, grupniMetode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: nastavni listići (isti za svaku grupu)


Tok časa

Uvodni dio časa: Učenike podijeliti u grupe. Zatim izvlače kartončiće na kojima su nacrtane različite vrste uglova (oštar, prav, tup, opružen, konveksan, nekonveksan, pun). Na šest klupa nas-tavnik rasporedi nazive grupa i učenici na osnovu slike na svom kartončiću zauzimaju mjesto pored određenog natpisa. Jedan član grupe predstavlja grupu definicijom vrste ugla (predstavnik grupe će se mijenjati u toku časa kako bi nastavnik došao do saznanja o stepenu usvojenosti nastavnih sadržaja svakog učenika).

Glavni dio časa: Nakon predstavljanja grupa nastavnik dijeli nastavne listiće.Nastavni listić broj 1 (Udžbenik, primjer 1, strana 141)

q b sp m

n1

n

m1

rqa

p

OSα α α

β β

β

(1) (2) (3)

Pogledaj date slike. Koji od tri data para uglova ne predstavlja par uglova sa paralelnim kracima? Zašto? Šta možeš reći o kracima tih uglova?

Nakon završetka rada u svim grupama, nastavnik razgovara sa predstavnikom svake grupe (bira ga nastavnik). Predstavnik obrazlaže zaključke svoje grupe, a nastavnik komentariše. Ovdje je važno da nakon ovakvog razgovora, svim učenicima bude jasno da su na slici (1) predstavljeni uglovi sa normalnim kracima, jer je Oa⊥Sp i Ob⊥Sq.

Nastavni listić broj 2 1. zadatak (Udžbenik, dopuna primjera 2, strana 141)

y y y1 O1 y O1 β β y1 O1 β α x O x1 y1 O α x α O x (1) (2) x1 (3) x1

Da li parovi uglova predstavljeni na slikama 1, 2 i 3 predstavljaju parove uglova sa normalnim kracima? Zašto? Zapiši simbolima.

Uglomjerom izmjeri uglove α i β na slici (1). Uporedi ih. Da li isto važi i za uglove α i β na slikama 2 i 3?


2. zadatak (Udžbenik, primjer 3, strana 141)

O1 y β y1 α O x x1

Da li su uglovi α i β uglovi sa normalnim kracima? Objasni. Izmjeri uglove uglomjerom i nađi njihov zbir.

Kada se završi rad u grupama, ponavljamo postupak kao kod nastavnog listića broj 1. Bitno je da učenici usvoje da su dva ugla sa normalnim kracima podudarna (jednaka), ako su oba oštra, oba prava ili oba tupa, a da su dva ugla sa normalnim kracima suplementna, ako je jedan od njih oštar a drugi tup.

Nastavni listić broj 3

1. (Udžbenik, zeleni okvir, strana 142) Ako su α i β uglovi sa normalnim kracima, svakom kružiću pridruži jednu ili dvije odgovarajuće

zvjezdice iz druge kolone.

α i β - oštri uglovi O α i β - tupi uglovi Oα i β - pravi uglovi O * - jednakiα - oštar i β - tup ugao O * - suplementniα - tup i β - oštar ugao O

2. (Udžbenik, zadatak 5, strana 142) Zaokruži slovo ispred tačne rečenice1. Ako dva ugla sa normalnim kracima nijesu jednaka, tada su oni suplementni.2. Svaka dva jednaka ugla su uglovi sa normalnim kracima.3. Postoje uglovi sa normalnim kracima koji su jednaki.

3. (Udžbenik, primjer 4, 142) Uglovi α i β su uglovi sa normalnim kracima i mjera ugla β jednaka je petostrukoj mjeri ugla α.

Nađi mjere uglova α i β.

Nastavnik obilazeći grupe tokom rada pomaže u slučaju kada procijeni da je to potrebno. Nakon što učenici urade 3. zadatak ponavljamo postupak sa prethodnim listićima.

Završni dio časa: Zadati domaći zadatak (Zbirka zadataka – po nivoima)


Nastavna jedinica (7)SUSJEDNI, UPOREDNI I UNAKRSNI UGLOVI

(uvježbavanje)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Uglovi i mjerenje uglovaNastavna jedinica: Susjedni, uporedni i unakrsni ugloviTip časa: uvježbavanje (utvrđivanje) gradivaCilj nastavnog časa: utvrditi pojmove susjednih, uporednih i unakrsnih uglovaOblici rada: frontalni, individualniMetode rada: metoda razgovora (učenje putem rješavanja problema, kooperativno učenje - učenik

- nastavnik, učenik - učenikNastavna sredstva: - nastavni listići sa zadacima po nivoima - tabela za svakog učenika za unošenje rezultata - plakat - tabela za objedinjavanje rezultata

Tok časa

Uvodni dio časa: Zajednička analiza domaćeg zadatka, kroz koju učenici ponavljaju definicije susjednih, uporednih i unakrsnih uglova, i usvajaju razliku između uporednih i susjednih uglova.

Glavni dio časa: Nastavnik dijeli zadatake u tri grupe (A, B, C). Učenici se sami opredjeljuju za željenu grupu i zadatke rade samostalno.

Grupa A - zadaci I nivoa (najjednostavniji)Grupa B - zadaci II nivoa (srednje težine)Grupa C - zadaci III nivoa (složeniji zadaci)

Nakon rješavanja zadataka učenik unosi rezultate u tabelu koju je nastavnik ranije pripremio (poseban listić za svakog učenika).

Ime i prezime Grupa Rezultat 1. zadatka

Rezultat 2. zadatka

Rezultata 3. zadataka

Kada svaki učenik popuni svoju tabelu, formiraju se parovi unutar jedne grupe na osnovu obilježja na nastavnim listićima (po dva nastavna listića imaju isto obilježje). Članovi para razmijene listiće i upoređuju rezultate. Pronalaze eventualne greške, ispravljaju ih i utvrđuju jedno tačno rješenje za svaki zadatak na nivou grupe.


Zadaci po nivoima A

1. (ZZ, zadatak 89, strana 65) Da li su uglovi α i β susjedni?

α

β β α α β

(1) (2) (3)

2. (ZZ, zadatak 96, strana 66) Na osnovu slika odredi nepoznate uglove.

a) b)62°α

β γ120°α β

γ

B

1. (ZZ, zadatak 99, strana 66) Odgovori na sljedeća pitanja: - U čemu se razlikuju susjedni i uporedni uglovi? - Da li su svaka dva uporedna ugla suplementna? - Da li su svaka dva suplementna ugla uvijek uporedna? - Da li uporedni uglovi mogu biti: a) dva oštra b) dva tupa c) dva prava ugla d) jedan oštar a drugi tup ugao?

2. (ZZ, zadatak 102 a), strana 66) a) Jedan od uporednih uglova je devet puta veći od drugog ugla: Koliki su ti uglovi? b) Na osnovu slike odredi nepoznate uglove.

β α 32°

γ δ 105°

C

1. (ZZ, zadatak 105, strana 67) Jedan od uporednih uglova je petina drugog. Odredi te uglove.


2. (ZZ, zadatak 107 b), strana 67) Odredi nepoznate uglove.

α 35° β γ

δ ϕ

ε

Završni dio časa: Nastavnik integriše rad grupa. Na plakatu, predstavnici grupa zapisuju tačna rješenja svojih zadataka.

Plakat – tabela

Grupa A Grupa B Grupa C

Rješenje zadatka 1

Rješenje zadatka 2

Nastavnik, po svom izboru, bira učenike iz svake grupe i sa njima analizira urađene zadatke. Zadatke koji se ne mogu lako usmeno objasniti uraditi na tabli (radi odabrani član grupe). Grupa ili pojedinac iz grupe, koji se posebno istakao, treba biti nagrađen.

Napomena: Nastavnik može nakon što učenici završe sa izradom zadataka po nivoima, uzeti nastavne listiće sa urađenim zadacima i detaljno ih pregledati poslije časa. Analizu sa učenicima radi na način koji je objašnjen.

2.6. RAZMJERA I PROCENAT

Pojmovi koji se uvode su: • razmjera• proporcija• spoljašnji i unutrašnji član proporcije• procenat

Pravilno formiranje i razumijevanje pojmova razmjere, proporcije i procenta (upoređivanjem istoimenih veličina) i osposobljavanje za njihovo korišćenje u praksi je izuzetno bitno.

Sa razmjerom se susrećemo svakodnevno: pri crtanju i čitanju raznih planova, karti, grafikona, pri određivanju rastojanja, pri rješavanju problema proporcionalne podjele, pri povećanju i smanjenju slika. Usvajanje ovog pojma je u tijesnoj vezi sa poznatim sadržajima matematike i drugih oblasti (geografija, tehničko obrazovanje, likovna kultura…).


Polazeći od konkretnih zadataka, možemo objasniti pojam proporcije i neka njena svojstva, povezivati je sa znanjima iz oblasti koja obrađuje razlomke. Nepoznati član proporcije računamo kao nepoznatu komponentu u operacijama množenja i dijeljenja.

Procenat ima široku primjenu u svakodnevnom životu i učenici se sa njim stalno susreću. Procenat je u tijesnoj vezi sa izučavanjem razlomaka pa ga treba predavati nadovezujući se na tu temu. Ovaj nastavni sadržaj može se oplemeniti određenim istorijskim činjenicama. Znak % se najprije pojavio u XV vijeku u Italiji, o čemu svjedoče pronađeni rukopisi. Kada učenici usvoje račun sa procentima do automatizma, predlažemo da se uradi što više tekstualnih zadataka iz svakodnevnog života. U Udžbeniku se na ovome posebno insistira, ali se izbjegavalo korišćenje poznate proporcije G : P = 100 : p. Izučavanje procenta na navedeni način kod učenika ne razvija logičko mišljenje već ih usmjerava na korišćenje formula. Predlažemo da se problemi rješavaju postavljanjem i rješavanjem jednačina u kojima treba izračunati nepoznatu komponentu.

Ovi nastavni sadržaji se izučavaju na relativno malom broju časova u odnosu na ostale teme, te su zbog toga i pogodni za matematičke diktate i kratke kontrolne vježbe.

Nastavna jedinica (8)RAZMJERA I PROCENTI

(sistematizacija gradiva)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Razmjera i procentiNastavna jedinica: Razmjera i procentiTip časa: sistematizacija gradivaCilj nastavnog časa: koristiti u praktičnim zadacima pojmove razmjere i procenta Oblici rada: individualni, grupni i frontalniMetode rada: metoda razgovora (učenje putem rješavanja problema) Nastavna sredstva: nastavni listići sa zadacima, nastavni listići sa tabelama za svaku grupu, plakat (tabla za objedinjavanje rezultata)

Tok časa

Uvodni dio časa: Poslije analize domaćeg zadatka učenici se izdijele na grupe. Učenici se sami opredjeljuju za grupe zadataka (A, B, C) koje se nalaze u kovertama. Koverat dobija svaki učenik, sa napomenom da kada završe rad u jednoj grupi mogu raditi zadatke u drugim grupama.

grupa A - zadaci prvog nivoa (najjednostavniji)grupa B - zadaci drugog nivoa (srednje težine)grupa C - zadaci trećeg nivoa (najsloženiji zadaci)

Nastavnik kroz priču uvodi učenikee u rad. Pita ih gdje su sve čuli riječ „procenat” i kako se on označava. Treba ih podsjetiti na natpise na radnjama: „SNIŽENJE 50%,” natpise na mlijeku: „3,2 % mliječne masti“ i slično.


Glavni dio časa: Rad na zadacima.Nakon podjele koverti, nastavnik daje potrebna uputstva za rad. Rad je individualan i svi članovi

jedne grupe rješavaju iste zadatke. Na ovaj način će nastavnik dobiti informaciju o rezultatima rada svakog pojedinca.

Grupa A

1. (ZZ, zadatak 3, strana 45) U razredu ima 36 učenika. Od njih je 15 dječaka, a ostalo su djevojčice. Koji dio razreda čine dječaci, a koji djevojčice? Čemu je jednaka razmjera broja dječaka i broja djevojčica i što ona pokazuje?

2. (ZZ, zadatak 17, strana 45) Oboj: a) 20% b) 60% c) 80% d) 100% figure sastavljene od pet jednakih pravougaonika.

3. (ZZ, zadatak 18, strana 45) Obojeni dio figure izrazi procentom.

4. (ZZ, zadatak 26, strana 46) Popuni prazna mjesta: a) 20 je 20 % broja ...................... b) 200 je 1% broja ....................... c) 1000 m je 10% od ................... d) 25 kg je 5 % od .......................

5. Zaokruži tačno tvrđenje: a) Procenat je deseti dio cijelog. b) Cijena je snižena za pola svog iznosa, tj. za 50%. c) Ako se cijena poveća za 5%, a zatim još za 5%, ona se povećala za 10%. d) Od 20 filmova koji su prikazani u zimskoj sezoni, njih 5 su bile komedije, što iznosi

25%. e) Ako je 5% nekog broja 8, onda je 15% tog broja 16. f) 5% od 200 m je 10 m.(Napomena: Zadaci a, b, c i d su iz testa na kraju ZZ, zadatak e je iz ZZ, zadatak 28, strana 46).

Grupa B

1. (ZZ, zadatak 34, strana 46) Površina pravougaonika je 20,48 dm2. Dužina pravougaonika je 6,4 dm. Nađi razmjeru dužine i širine pravougaonika. Što pokazuje ta razmjera?

2. (ZZ, zadatak 39, strana 47) Oboj ukazanim procentom dio figure:

20% 80%

50%



4. Izračunaj pa popuni prazna mjesta:

a) 20% od …………. . je 300 m. b) ………….% od 200 € je 80 €. c) 3

2 % od 2 t je ………….g.

5. (ZZ, zadaci 47, 49 i 51, strana 47) a) Maratonac je pretrčao 36 km, što čini 90% puta. Kolika je dužina čitavog puta? b) Džemper se nakon pranja smanjio po širini za 4%. Kolika je širina džempera ako je prije

pranja bila 60 cm? c) Cijena patika je povećana sa 65 € za 12%. Kolika je nova cijena patika?

Grupa C

1. (ZZ, zadatak 58, strana 48) Rastojanje vazdušnom linijom između dva grada je 450 km. Na geografskoj karti tačke ko-

jima su ovi gradovi označeni nalaze se na rastojanju od 45 cm. U kojoj razmjeri je urađena karta?


3. Razlomcima pridruži odgovarajući procenat.

A B C D

1 1320

1 20 100%

99 100

234

2430 50% 78%

3 75%1320 4%

2665

4 99% 1 80% 40%


4. (ZZ, zadatak 70, strana 48) Pravougaonik je dužine 10 cm i širine 8 cm. Ako se dužina pravougaonika smanji 10%, a

širina poveća 20%, za koliko će se promijeniti površina pravougaonika? Rješenje izrazi u procentima.

5. (ZZ, zadatak 73 strana 48 i zadatak 77 strana 49) a) Poslastičar Janko proda svake srijede 300 kolača, a svakog četvrtka 240. Za koliko pro-

cenata se smanji broj prodatih kolača u četvrtak u odnosu na srijedu? b) Neki broj je uvećan dva puta. Za koliko je to procenata?

Kada učenik završi zadatke, unosi rezultate u tabelu koju je nastavnik pripremio na posebnom listiću (svakom učeniku pojedinačno). Kada svi učenici u grupi riješe zadatke i upišu svoja rješenja u tabelu, formiraju se ponovo grupe prema oznakama na nastavnim listićima (unutar jedne grupe). Parovi razmijene svoje listiće i upoređuju rezultate. Pronalaze eventualne greške i ispravljaju ih. Utvrđuju tačno rješenje za svaki zadatak na nivou grupe.

Završni dio časa: Objedinjavanje rezultata. Nastavnik integriše rad grupe. Na plakatu, predstavnici grupa zapisuju rješenja svojih zadataka. Zadatke kod kojih dobijena rješenja nijesu ista kod svih članova grupe treba uraditi na tabli.

Tabela za bilježenje rezultata

Grupa A

Ime i prezima Prvi zadatak Drugi zadatak Treći zadatak Četvrti zadatak Peti zadatak

Isto i za grupe B i C.

Tabela za objedinjavanje rezultata

Grupa 1. zadatak 2. zadatak 3. zadatak 4. zadatak 5. zadatak

A

B

C


2.7. OSNA I CENTRALNA SIMETRIJA

Pojmovi koji se uvode su: • osna simetrija• osnosimetrične figure• centralna simetrija• centralnosimetrične figure• simetrala duži• simetrala ugla• tangenta kružne linije

U geometriji se najčešće proučavaju preslikavanja kod kojih su elementi domena i kodomena tačke. Preslikavanja ove vrste zauzimaju posebno mjesto i nazivaju se geometrijskim transformaci-jama. Geometrijska transformacija je svako preslikavanje skupa tačaka na skup tačaka. Skupovi tačaka (figure) koji učestvuju u transformaciji mogu da budu sa prave, iz ravni i iz prostora. Zbog toga govorimo o preslikavanju prave a na pravu a, ravni π na ravan π i prostora E na prostor E.

Od geometrijskih transformacija koje se izučavaju u osnovnoj i srednjoj školi pomenimo: izometriju, homotetiju i sličnost. Prva čuva rastojanja između tačaka, druga uglove, a treća razm-jeru između odgovarajućih duži. Nas će interesovati samo neke izometrijske transformacije: osna simetrija i centralna simetrija. Druge izometrijske transformacije, rotaciju i translaciju, učenici će upoznati u starijim razredima.

Simetričnost je vrlo rasprosrtanjena u prirodi. Primjeri simetričnih likova su razni listovi biljaka, razni ornamenti, itd. Početne predstave o osnoj simetriji učenicima se mogu dočarati na sljedeći način. List hartije na kome je nacrtana prava p presavije se po toj pravoj. Na tako presavijenom papiru nacrta se neka figura, na primjer trougao. Po nacrtanoj konturi probuše se iglom oba sloja papira. Otvaranjem lista dobija se figura na kojoj su jasno istaknuti parovi simetričnih tačaka. Svaki učenik uradi analogan postupak za neku drugu figuru, a nastavnik zahtijeva da prokomentarišu šta uočavaju i šta mogu zaključiti o rastojanju simetričnih tačaka od ivice presavijanja. Nakon toga nastavnik na tabli ponavlja postupak koristeći samo pravu p i tačku A ∉p i uvodi definiciju osne simetrije ističući njeno osnovno svojstvo da čuva rastojanje između tačaka. Potrebno je insistirati na simboličkom zapisivanju sp(A)=A', sp : π→π i naglasiti da je tačka A' uvijek jedinstvena, te da je prava određena tačkama A i A’ normalna na osu (provjeru vrše pravim uglom). Treba naglasiti da se tačke sa prave p preslikavaju u sebe same (tj. one su nepokretne). Kada učenici usvoje kako se tačka preslikava osnom simetrijom u odnosu na datu pravu p, tada možemo preći da radimo sa dužima i figurama u raznim položajima u odnosu na datu pravu.

U Udžbeniku su date skice kako se vrši konstrukcija osnosimetričnih tačaka i učenici taj postupak treba da usvoje do automatizma. Kasnije, uspješniji učenici traže osu simetrije ako su date original i slika. U ovom trenutku je moguće uvesti pojam orijentacije koji u Udžbeniku nije obrađen, jer nije predviđen obrazovnim programom. Autori smatraju da nastavnik to može pomenuti u sklopu ovog nastavnog sadržaja. Na primjer, ΔABC i njemu osno simetričan ΔA’B’C’ su suprotno orijentisani, jer krećući se po kružnoj liniji opisanoj oko ΔABC od tačke A ka tački C preko B, imamo pozitivan smjer (suprotno kretanju kazaljke na satu), a krećući se po kružnoj liniji opisanoj oko ΔA’B’C’ od A’ ka C’ preko B’ imamo negativan smjer (u smjeru kretanja kazaljke na satu). Dakle, osnom simetrijom čuvamo rastojanje između tačaka, ali ne i orijentaciju figura.


Ako su pravilno usvojili osnu simetriju i njene osobine, učenici će lako prepoznavati osnosimetrične figure i njihove ose simetrije. Primjeri u Udžbeniku su birani tako da budu zastupljene figure koje imaju različiti broj osa simetrije: jednakokraki trougao - jednu, pravougaonik - dvije, jednakostranični trougao - tri, kvadrat - četiri, krug - beskonačno. Napomenuti da je ravan osnosimetrična figura u odnosu na bilo koju pravu u njoj, tj. ravan ima beskonačno mnogo osa simetrije. Od učenika treba zahtijevati da u svom okruženju prepoznaju i daju primjere osnosimetričnih figura i da navode njihove ose simetrije.

Neka je u ravni π data tačka O. Svakoj tački X pridružimo tačku X’, takvu da je O sredina duži XX’. Ovako uvedena transformacija naziva se simetrija u odnosu na tačku O ili centralna simetrija, u oznaci So(X)=X', So: π→π. Jedina nepokretna tačka je centar simetrije O, tj. So(O)=O. Za razliku od osne simetrije centralna simetrija ne mijenja orijentaciju figura. Na primjer, pozitivno orijentisani trougao se centralnom simetrijom preslikava u njemu podudaran i pozitivno orijentisan trougao. Kao i kod osnosimetričnih figura, učenici u svom okruženju pronalaze centralnosimetrične figure, nabrajaju i imenuju njihove centre (središta) simetrije. Preko primjera učenicima pokazati da konačna figura u ravni (tj. figura koja se može smjestiti u krug određenog poluprečnika) može imati najviše jedan centar simetrije (na primjer: duž, kvadrat, krug…). Zatim navesti slučajeve prave i ravni koje nijesu konačne figure i koje imaju beskonačno mnogo centara simetrije. Zapravo, svaka tačka na pravoj je centar simetrije te prave. Analogno, svaka tačka u ravni je centar simetrije te ravni. Grafički prikaz postupka konstruisanja centralnosimetrične tačke u odnosu na centar simetrije je prikazan u Udžbeniku. Od učenika treba tražiti da riješe i obratni zadatak: odrediti centar simetrije O ako se zna da su tačke A i A′ simetrične (u odnosu na tačku O). Smatramo da je ova nastavna jednica teža od nastavne jedinice koja obrađuje osnu simetriju, pa smo o tome vodili računa kod izbora zadataka za svaki nivo u Zbirci.

Kao uvodni dio časa za usvajanje simetrale duži može poslužiti kvadratna mreža na kojoj su date pogodno odabrane tačke. Od učenika zahtijevamo da nacrtaju pravu u odnosu na koju su date tačke simetrične. Bolji učenici su tu pravu ranije i konstruisali. Uočavaju i usvajaju, uz pomoć nastavnika, činjenicu da je svaka tačka sa simetrale duži jednako udaljena od njenih krajeva i da je normalna na datu duž. Posljednja tvrdnja će biti od koristi kod konstrukcije normale na datu pravu iz date tačke i određivanja rastojanja tačke od date prave. Rastojanje od tačke do date prave ilustrovati primjerima iz svakodnevice.

Poslije simetrale duži treba uvesti pojam simetrale ugla. Ovdje treba biti krajnje oprezan. Postoje različite definicije ovog pojma. Jedna od njih bi bila: Simetrala ugla pOq je poluprava Or koja pripada oblasti ugla pOq i dijeli ga na dva jednaka ugla. U Udžbeniku je na drugačiji način uveden ovaj pojam. Nakon usvajanja pojma simetrale ugla i osobine da je svaka njena tačka jednako udaljena od njegovih krakova (ili produžetka krakova), učenici do automatizma treba da usvoje njenu konstrukciju, kao što je trebalo da usvoje i konstrukciju simetrale duži, a zatim i konstrukciju uglova od 600, 300, 450, 900, 750, 150, 1200…. Od boljih učenika zahtijevati da konstruišu ugao od, na primjer, 7030'.

Kada su u pitanju konstruktivni zadaci insistirati da se pod pojmom konstruisati podrazumijeva korišćenje samo dva instrumenta: lenjira i šestara. Lenjirom, kao instrumentom za crtanje, može se konstruisati proizvoljna prava koja sadrži datu tačku i prava koja sadrži dvije (različite) tačke. Ni-kakve druge konstrukcije lenjirom nijesu dopuštene. Na primjer, nije dozvoljeno prenošenje jednakih duži. Šestarom, kao instrumentom za crtanje, može se nacrtati kružna linija kojoj je poznat centar i poluprečnik. Specijalno, šestarom se mogu prenositi jednake duži. Učenicima naglasiti da postoje konstruktivni zadaci koji se ne mogu uraditi samo lenjirom i šestarom. Takvi zadaci su bili poznati još u antičkoj matematici. Na primjer: trisekcija ugla (konstruktivno podijeliti ugao na tri jednaka ugla), kvadratura kruga (konstruisati kvadrat čija je površina jednaka površini datog kruga).


U Udžbeniku se koristi i termin nacrtati. On pretpostavlja korišćenje, osim lenjira i šestara, i drugih instrumenata, na primjer uglomjera, trougaonika, krivuljara…

Sa pojmom kružne linije, kruga i njegovih elemenata učenici su se upoznali u sklopu teme “Sku-povi tačaka”. Sada se susreću i sa pojmom tangente. Usvajaju da tangenta i kružna linija imaju samo jednu zajedničku tačku. Učenicima naglasiti da su poluprečnik i tangenta u tački dodira uzajamno normalni (provjeravaju pravouglim trouglom ili uglomjerom).

Nastavna jedinica (9)OSNOSIMETRIČNE FIGURE

(Obrada novog gradiva)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Osna i centralna simetrijaNastavna jedinica: Osnosimetrične figureTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: usvojiti pojam osnosimetrične figure Oblici rada: rad u paru, frontalni Metode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: grafo-folije, nastavni listići, plakat

Tok časa

Uvodni dio časa: Na grafo-foliji nacrtati slike:

Nastavnik ponavlja s učenicima preslikavanje tačke, duži, figure u odnosu na osu. Potrebno je ponavljati dok učenici u potpunosti ne usvoje postupak.

Popunjavaju prazna mjesta u sljedećem zadataku koji je zadat na grafo-foliji

Pri osnoj simetriji čuva se rastojanje ________________(između tačaka).Pri osnoj simetriji slika duži je njoj _________________(podudarna duž).Pri osnoj simetriji tačka sa ose se preslikava u __________(samu sebe).Pri osnoj simetriji slika proizvoljne figure je njoj ____________(podudarna figura).

Glavni dio časa: Nastavnik razgovara s učenicima o figurama koje poznaju. Saopštava da se neke figure osnom simetrijom mogu preslikati u sebe same, dok kod drugih to nije moguće. Nas-tavnik navodi primjere raznih figura (među njima su kvadrat, pravougaonik, krug, jednakokraki i jednakostranični trougao) i daje im zadatak da utvrde da li se figura koju su dobili može osnom


simetrijom preslikati u sebe samu (učenici rade u paru). Kada završe, lijepe na lijevoj strani plakata figure koje su osnosimetrične, a na desnoj strani one koje nemaju to svojstvo.

Plakat

Može Ne može

Zatim nastavnik razgovara sa učenicima kako su donijeli odluku gdje da zalijepe figure, čime su se rukovodili, ima li određena figura jednu ili više osa simetrije, gdje bi je povukli i sl.

Nakon sistematizacije, nastavnik saopštava da za figuru kažemo da je osnosimetrična ako postoji barem jedna prava u ravni takva da se u odnosu na nju figura preslikava u sebe samu. Potom nas-tavnik svakom paru podijeli definiciju osnosimetrične figure, tražeći od njih da podvuku ključnu riječ u definiciji.

Nastavnik polazi od onoga što su učenici podvukli, usmjerava ih i pita da li ostali misle tako i slično.

„Figura je osnosimetrična ako postoji bar jedna prava u ravni u odnosu na koju se ta figura preslikava u sebe samu.”

Diskusija: Što smo još zaključili? Koliko kvadrat, a koliko pravougaonik imaju osa simetrije? Koliko osa

simetrije imaju krug, jednakokraki i jednakostranični trougao, a koliko duž? Koliko osa simetrije ima prava, odnosno ravan?

Nakon toga parovi rade dva zadatka sa nastavnih listića. Pokazaćemo kako može izgledati jedan takav listić.

Ostali listići su istog tipa sa malim razlikama.

Nastavni listić

1. Da li je slovo M osnosimetrična figura? Ako jeste, nacrtaj njegovu osu simetrije.

2. (Udžbenik, zadatak 3, strana 146) Dopuni do osnosimetrične figure datu figuru, ako je osa simetrije prava p.

p

Nakon provjeravanja urađenog nastavnik može provjeriti stepen usvojenosti nastavnog sadržaja posmatrajući figure u okruženju. To se može odraditi u korelaciji sa nastavnikom/com likovne kulture ili biologije. Od davnina se smatra da ono što je simetrično jeste i lijepo, pa se o tome vodi računa i u arhitekturi. Simetrija je jedna od najvažnijih karakteristika živog svijeta. Ako se fotografija čovjeka “podijeli” uzdužno jednom linijom, primijetićemo simetriju.

Završni dio časa: Matematika je precizna nauka koja teži da stvari koje nas okružuju objasni svojim jezikom. Domaći zadatak: Zbirka zadataka (po nivoima)


Nastavna jedinica (10)KONSTRUKCIJA NORMALE NA PRAVU. RASTOJANJE TAČKE OD PRAVE.

(Obrada novog gradiva)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Osna i centralna simetrijaNastavna jedinica: Konstrukcija normale na pravu. Rastojanje tačke od praveTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: konstruisati normalu na pravu Oblici rada: frontalni, individualni, rad u paru Metode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: udžbenik, grafo-folija, grafoskop

Tok časa

Uvodni dio časa: Učenici rade prva dva zadatka iz Udžbenika (prije primjera 1) individualno. Nakon 5 minuta nastavnik provjerava što su učenici uradili, tražeći objašnjenja. Komentarišući

zadatke nastavnik ponavlja pojam simetrale duži, njene konstrukcije i osobine tačaka sa simetrale duži.

Glavni dio časa: Čitajući primjer 1 i primjer 2 iz Udžbenika crtaju u svojim sveskama, pažljivo prateći uputstva. Rade u paru. U slučaju da nešto ne razumiju pitaju nastavnika za savjet. Nastavnik nadgleda rad i pomaže onim parovima učenika koji zaostaju u radu. Kada učenici završe sa prim-jerima, rade 1. zadatak, koji će kasnije uraditi i na tabli.

Završetkom ovih aktivnosti nastavnik postavlja sljedeće pitanje: Što je rastojanje od tačke M do prave p (M∉p)? Na grafoskopu učenicima prezentira sliku:

M P P N Q

Nastavnik navodi učenike da zaključe koja duž predstavlja rastojanje od tačke M do prave p. Iznoseći svoja mišljenja, obrazlažu kako su došli do tog zaključka. Nastavnik koriguje netačne od-govore i potvrđuje tačne. Nakon toga učenici treba da pročitaju u Udžbeniku kako se konstruktivno određuje rastojanje od tačke do prave, nakon čega rade u paru zadatak 3, a ko stigne i zadatak 4 iz Udžbenika. Nastavnik kontroliše, pomaže učenicima i naravno, nagrađuje par koji se posebno is-takao. Rješenja zadatka 3 i eventualno zadatka 4 treba dati na grafo-foliji nakon što učenici obrazlože njihova rješenja.

Završni dio časa: Napraviti mali rezime gradiva koje se obrađivalo na času, upitati učenike na šta treba obratiti posebnu pažnju, a zatim dati domaći zadatak iz Zbirke zadataka (po nivoima). Nastavnik kroz razgovor primjenjuje stečena znanja na životnim primjerima (kolika je udaljenost nekog učenika od zida, škole od puta i slično). Zadaje domaći zadatak iz ZZ (po nivoima).


2.8. ZAPREMINA TIJELA

Pojmovi koji se uvode su: • zapremina tijela• jedinice za mjerenje zapremine• zapremina kocke• zapremina kvadra

Na različitim predmetima iz neposredne okoline uočiti njihove oblike i uputiti učenike na potrebu za izračunavanjem. Učenici treba da uoče odnose oblika i zapremina kod čvrstih tijela, tečnosti i gasova. Stalni oblik i zapreminu imaju svi drveni, metalni, stakleni i drugi čvrsti predmeti. Jednu istu posudu možemo napuniti ili mlijekom ili vodom ili medom. Masa svake od tečnosti će biti različita, a zapremina tečnosti ista. Veličina posude pokazuje njenu zapreminu, pa za dvije posude kažemo da imaju jednake zapremine ako ih puni ista količina tečnosti.

Ako posudu, na primjer napunimo pijeskom, pa je zatim ispraznimo, dobijamo masu koja ima istu zapreminu kao i posuda, ali drugačiji oblik. Tečnosti i rastresiti materijali (pijesak, žitarice, brašno) imaju stalnu zapreminu, ali nemaju stalni oblik. Gasovi nemaju ni stalni oblik ni stalnu zapreminu, jer se mogu širiti i sabijati (automobilska guma).

Pojam zapremine uvodimo upoređivanjem dva geometrijska tijela kao i upoređivanjem zaprem-ine jednog tijela s drugim tijelom za koje se zna oblik i veličina. Tako je na primjer fiskulturna sala veća od učionice, učionica od ostave itd. Navedenim upoređivanjem određujemo koje tijelo ima veću, a koje manju zapreminu, ali ne možemo utvrditi koliko je puta zapremina jednog tijela veća od zapremine drugog. To utvrđujemo mjerenjem zapremine tijela.

Pri izučavanju jedinica za mjerenje zapremine tijela treba uporedo prikazivati metarske (kubne metre) i litarske mjere i objasniti praktičnost litarskih mjera. Uvodimo 1m3 kao osnovnu jedinicu za mjerenje zapremine, ali da bismo mjerili različite zapremine u praktičnom životu potrebne su nam manje jedinice za mjerenje zapremine (1mm3, 1cm3, 1dm3). Neophodno je insistirati na vezi između zapremine tečnosti 1l i 1dm3. Pretvaranje jedinica za mjerenje zapremine u manje i veće jedinice treba pokazati i uvježbavati na primjerima, ali u zadacima ne treba pretjerivati sa velikim brojevima i velikim brojem različitih jedinica. Ovaj nastavni sadržaj može poslužiti za utvrđivanje decimalnih brojeva i dobar je pokazatelj unutrašnje korelacije.

Pri uvođenju pojma zapremine kocke i kvadra učenicima treba pokazati isti primjer kao kod uvođenja površine kvadrata i pravougaonika. O veličini zapremine kvadra učenici sude po broju kockica (jedinica mjere) iz kojih je sastavljen. Ukoliko posjedujemo didaktički materijal, preporučljivo je da svaki učenik napravi neko tijelo i brojanjem po slojevima određuje mu zapreminu. Tako, na primjer, ako rade sa 12 podudarnih kocaka, onda od njih mogu sastaviti kvadre različite po obliku, a iste po zapremini. Podatke mogu unositi u tablicu.

a (dužina) b (širina) c (visina) a⋅b⋅c (zapremina)1 12 1 1 122 6 2 1 123 3 4 1 124 6 1 2 125 3 2 2 12

Pomoću ovakvih tablica uočava se funkcionalna zavisnost između dužine, širine i visine kvadra.


Nastavna jedinica (11)ZAPREMINA KVADRA (Obrada novog gradiva)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Zapremina tijelaNastavna jedinica: Zapremina kvadraTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: računati zapreminu kvadra Oblici rada: frontalni, individualni, rad u paru Metode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: nastavni listići, Udžbenik, model kocke

Tok časa

Uvodni dio časa: Nastavnik analizira domaći zadatak, zatim učenicima dijeli nastavne listiće sa sljedećim zadacima:

1. Iz sljedećeg niza izdvoj jednake dužine: 2m 7cm, 270 cm, 2 m 27 cm, 207 cm; 227 cm. 2. Svakom broju sa lijeve strane pridruži jedan ili dva broja sa desne strane 2 dm 5 cm 0,4 m 40 cm 250 mm 1

4m 25 cm

3. Prisjeti se: KVADAR

a b

c

P = 2⋅a⋅b+2⋅b⋅c+2⋅a⋅c

Pa zapiši

ef

g P =…………………….

Kada učenici završe rad, nastavnik pokupi urađene zadatke sa potpisima učenika i riješi zadatke na tabli uz obrazloženja (može se koristiti i grafo-folija).

Glavni dio časa: Učenicima je prethodnog časa predočeno da naprave modele tri kocke stranice dužine 1dm. Učenici u prvom redu treba da ih oboje žutom, u drugom redu crvenom i trećem redu zelenom bojom. Sada nastavnik formira grupe (tri grupe, jedan red - jedna grupa), a svaka grupa će imati zadatak da od napravljenih kocki sastavi kvadar dužine 5 dm, širine 3 dm i visine 2 dm.

U ovom trenutku nastavnik na tabli ističe naslov nastavnog sadržaja (Zapremina kvadra), kontroliše rad grupa i postepeno navodi učenike da sami zaključe kako se izračunava zapremina kvadra čija je dužina a, širina b i visina c (Udžbenik - primjer 1). Učenicima treba pojasniti da će istu zapreminu imati i kvadar sastavljen od istog broja kocki na različite načine.

Kada nastavnik i učenici zajedno dođu do zaključka da se zapremina kvadra računa po formuli V=a⋅b⋅c, nastavnik formulu zapiše i na tabli.


Nakon toga učenici samostalno čitaju primjer 2, iz Udžbenika, a potom rješavaju zadatke 1 i 2 (takođe iz Udžbenika). Zadatke mogu raditi i u paru. Nastavnik kontroliše rad parova i pomaže onim učenicima kojima teško ide izrada zadataka. Na kraju, zadatke 1 i 2 treba uraditi i na tabli, a nastavnik za taj posao bira učenike.

Završni dio časa: Nastavnik obnavlja sa učenicima zapreminu kvadra i navodi učenike na zaključak da postoji još jedan način za njeno izračunavanje i zapisuje V=P⋅c, gdje je P površina osnove kvadra, a c njegova visina. Potrebno je ponovo naglasiti da prilikom izračunavanja zapremine kocke i kvadra učenici moraju računati sa istim mjernim jedinicama. Nastavnik zadaje domaći zadatak iz ZZ (po nivoima).

2.9. OBRADA I PRIKAZIVANJE PODATAKA

Svakodnevno se srećemo sa raznim informacijama. One mogu biti prikazane u različitim formama. Tabele su jedan od najčešćih i najpogodnijih načina prikazivanja informacija. Na primjer, raspored časova u školi, tablica množenja, stranica školskog dnevnika, red vožnje autobusa, vozova i aviona, tabele fudbalskog prvenstva, radio ili televizijski programi itd. Otuda i potreba da učenici nauče pisati tabele i čitati podatke iz njih.

Treba početi sa prostim primjerima, kao što je: Napišite u obliku tabele broj odličnih, vrlodobrih, dobrih, dovoljnih i nedovoljnih ocjena iz matematike u vašem razredu.

Odličnih Vrlodobrih Dobrih Dovoljnih Nedovoljnih

11 8 6 4 1

Insistirati da učenici razna mjerenja zapisuju u obliku tabela, da znaju uređivati podatke u tabe-lama po određenom kriterijumu, da znaju čitati podatke iz tabela.

Osim tabelama, podaci se mogu prikazivati i dijagramima sa stupcima i kružnim dijagramima. Dijagrame sa stupcima je poželjno koristiti kada treba uporediti dobijene podatke (na primjer

rast proizvodnje po mjesecima) i pokazati kako se mijenja podatak koji nas interesuje.

Kružne dijagrame je poželjno koristiti kada je potrebno prikazati odnose među dijelovima jedne cjeline. Smatramo da su ovi zadaci prilično teški za ovaj uzrast učenika, tako da su u ZZ uglavnom namijenjeni boljim učenicima.

I ovdje treba početi sa prostim primjerima.

Primjer 1 Učenici VI razreda su bilježili kakvo je vrijeme bilo u prve dvije nedjelje septembra. Koristili su sljedeće oznake:


oblačno sunčano

kišovito

Evo šta su zapisali. 1. dan 2. dan 3. dan 4. dan 5. dan 6. dan 7. dan

8. dan 9. dan 10. dan 11. dan 12. dan 13. dan 14. dan

Prikažimo gornje podatke dijagramom sa stupcima.

0

1

2

3

4

5

6

kišovito oblačno sunčano

Učenicima objasniti da se širina stubaca i rastojanje između njih može birati proizvoljno. Ali, na dijagramu svi stupci moraju biti iste širine i rastojanje između njih jednako. Stupci mogu biti nacrtani i horizontalno.

Primjer 2 Voda zauzima 7 10

cjelokupne površine Zemlje. Nacrtati kružni dijagram koji pokazuje

raspored kopna i vode na Zemlji. Ako Zemlju predstavimo krugom, tada njegovih 7

10 odgovara vodi, a preostale 3

10kopnu.

Kako je 7 10

od punog ugla 252°, to će vodi odgovarati centralni ugao od 252° u krugu. Kopnu će

odgovarati centralni ugao od 108°. Izraženo u procentima, voda zauzima 70%, a kopno 30% od cjelokupne Zemljine površine.


Zemlja

Kopno

Voda

Nastavna jedinica (12)

DIJAGRAMI SA STUPCIMA(Obrada novog gradiva)

Redni broj časa: Nastavni predmet: Matematika, VI razred Nastavnik: Nastavna tema: Obrada i prikazivanje podatakaNastavna jedinica: Dijagrami sa stupcimaTip časa: obrada novog gradivaCilj nastavnog časa: koristiti dijagrame sa stupcima Oblici rada: frontalni, individualni Metode rada: učenje putem rješavanja problemaNastavna sredstva: Udžbenik

Tok časa

Uvodni dio časa: Poslije analize domaćeg zadatka pohvaliti učenike koji su uspješno riješili za-datke. Nastavnik traži da učenici navode razne podatke iz svog okruženja i da ih zapisuju u obliku tabela. Zatim nagovještava da se podaci, osim pomoću tabela, mogu prikazivati i na druge načine (grafički).

Glavni dio časa: Koristeći primjer 1 iz Udžbenika (strana 171) nastavnik crta na tabli dijagram sa stupcima koji odgovara podacima u navedenoj tabeli. Zatim pokazuje da se stupci mogu nacrtati i horizontalno. Nastavnik naglašava da se na dijagramu može vidjeti uzajamni odnos između poje-dinih podataka. Dobijeni dijagram učenici i nastavnik zajednički komentarišu.

Učenici, uz pomoć nastavnika, rješavaju primjere 2 i 3 (Udžbenik, strana 171). Nastavnik traži od učenika da sa dobijenih dijagrama uoče odnose između pojedinih podataka, tačnije, uči ih da čitaju dijagrame. Navodi učenike da sami navedu primjer podataka, iz svoga okruženja, koje će zapisati tabelom i predstaviti dijagramom sa stupcima.

Zadatak 2 (Udžbenik, strana 172) učenici rješavaju samostalno. Nastavnik provjerava njihov rad i izvodi učenika koji je pravilno riješio zadatak da zadatak riješi na tabli.

Završni dio časa: Nastavnik treba da podstakne učenike da zaključe da se dijagrami sa stupcima koriste kada je potrebno prikazati odnose između pojedinih podataka. Zadaje domaći zadatak iz ZZ (po nivoima).


Literatura

1. Zamureva S. V., Zamureva, S. N., Uroki matematiki 5 klas, Feniks, Rostov na Donu, 2003.2. Marijanović, M., Metodika matematike I i II dio,Učiteljskifakultet,Beograd, 1996. 3. Petrović, G., Logika, Školska knjiga, Zagreb, 1970.4. Ćurić, F., Matematika 5. Metodički priručnik za učitelje za 5. razred osnovne škole, Školska

knjiga, Zagreb, 2003.5. Jagodić, B., Sapara, N., Barnabi, S., Matematika 6. Metodički priručnik za učitelje za 6. razred

osnovne škole, Školska knjiga, Zagreb, 2003.6. Šćepanović, R.,Anđić, M., Zbirka zadataka za takmičenja iz matematike za učenike srednjih

škola,Laboratorijazamatematikuiračunarstvo, Podgorica, 2004.

CIP - Каталогизација у публикацијиЦентрална народна библиотека Црне Горе, Цетиње

371.3 : 51 (035)

ШЋЕПАНОВИЋ, Радоје Metodički priručnik iz matematike : (za VIrazred devetogodišnje osnovne škole) / RadojeŠćepanović, Ivona Adžić, Vanja Đurđić-Kuzmanović,- 2. izd. - Podgorica : Zavod za udžbenike inastavna sredstva, 2006 (Podgorica : GrafoZeta). - 60 str. : ilustr. ; 30 cm

Tiraž 1000. - Bibliografija. str. 59.

ISBN 86-303-0937-71. Aџић, Ивона 2. Ђурђић-Кузмановић, Вањаа) Математика - Настава - Методика - Приручници

COBISS.CG-ID 10008848

Documents

METODIČKI PRIRUČNIK - zuns.me 6 - prirucnik unutra.pdf · METODIČKI PRIRUČNIK IZ MATEMATIKE (ZA VI RAZRED DEVETOGODIŠNJE OSNOVNE ŠKOLE) Autori Izdavač Glavna i odgovorna urednica