Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Linearna algebra 1
Vjezbe 3
12.3.2012.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 1.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F . Izraz oblika
1a1 + 2a2 + . . .+ kak =k
i=1
iai
pri cemu je 1, . . . , k F , a1, . . . , ak V naziva se linearnakombinacija vektora a1, . . . , ak s koeficijentima 1, . . . , k .
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 2.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S = {a1, . . . , ak}konacan skup vektora iz V . Kazemo da je S linearnonezavisan ako vrijedi
1a1 + 2a2 + . . .+ kak = 0 1 = . . . = k = 0
U suprotnom kazemo da je S linearno zavisan.
Primjedba 1.
Skup S = {a1, . . . , ak} je linearno zavisan ako postoje1, . . . , k F takvi da je j 6= 0 bar za jedan
j {1, 2, . . . , k} ik
i=1
iai = 0.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Primjedba 2.
Svaki skup koji sadrzi nulvektor je zavisan.
Primjedba 3.
Svaki neprazan podskup nezavisnog skupa je nezavisan.Svaki nadskup zavisnog skupa je zavisan.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Propozicija 1.
Skup S = {a1, a2, . . . , ak} u vektorskom prostoru V je linearnozavisan ako i samo ako postoji j {1, 2, . . . , k} takav da je ajlinearna kombinacija preostalih elemenata skupa S .
Primjer 1.
Skup
{a1 = (1, 2, 1, 1), a2 = (1,2, 0,1), a3 = (1, 6, 2, 3)}
u prostoru R4 je linearno zavisan jer je a3 = 2a1 a2.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 3.
Neka je V vektorski prostor nad poljem F i S V , S 6= .Linearna ljuska skupa S oznacava se simbolom [S ] i definirakao
[S ] = {k
i=1
iai , i F , ai S}.
Primjer 2.
a1 = (1, 7, 0), a2 = (1, 2, 0) R3;
[{a1, a2}] = {(x , y , 0) : x , y R}
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 4.
Neka je V vektorski prostor i S V . Kaze se da je S sustavizvodnica (ili da S generira V ) ako vrijedi [S ] = V .
Primjer 3.
S =
{(
1 00 0
),
(0 10 0
),
(0 01 0
),
(1 21 0
),
(0 00 1
)}
S je sustav izvodnica za M22.
Ako izostavimo
(0 00 1
), S vise nije sustav izvodnica.
Medutim, S bez
(1 21 0
)je novi, manji sustav izvodnica.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Propozicija 2.
Neka je S sustav izvodnica za vektorski prostor V te neka u Spostoji x koji se moze prikazati kao linearna kombinacijaelemenata u S . Tada je i S \ x sustav izvodnica za V .
Definicija 5.
Konacan skup B = {b1, b2, . . . , bn} u vektorskom prostoru Vse naziva baza za V ako je B linearno nezavisan sustavizvodnica za V .
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Teorem 1.
Neka je V vektorski prostor te neka je B = {b1, b2, . . . , bn}baza za V . Tada za svaki v V postoje jedinstveni skalari1, . . . , n F takvi da je
v =n
i=1
ibi .
Primjedba 4.
Vektorski prostor moze imati mnogo razlicitih baza.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Primjer 4.
a) V = Rn;B = {e1 = (1, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), . . . , en =(0, 0, . . . , 0, 1)}
b) V =Mmn;B = {Eij : i {1, 2, . . . ,m}, j {1, 2, . . . , n}}, Eij = [ekl ]
ekl =
{1, k=i,l=j;0, inace.
c) V = Pn, skup svih polinoma stupnja manjeg ili jednakog n;B = {1, t, t2, . . . , tn}
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 6.
Kaze se da je vektorski prostor V konacnodimenzionalan ilikonacnogeneriran ako postoji neki konacan sustav izvodnica zaV .
Teorem 2.
Svaki konacnodimenzionalni vektorski prostor V 6= {0} imabazu.
Teorem 3.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor. Svebaze prostora V su jednakobrojne.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Definicija 7.
Neka je V 6= {0} konacnodimenzionalan vektorski prostor.Dimenzija prostora V definira se kao broj elemenata bilo kojenjegove baze.
Primjer 5.
a) dim{0} = 0b) dimRn =dimCn = nc) dimMmn = mnd) dimPn = n + 1
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Propozicija 3.
Neka je A = {a1, a2, . . . , ak} linearno nezavisan skup ukonacnodimenzionalnom prostoru V . Tada se A mozenadopuniti do baze.
Korolar 1.
Neka je V vektorski prostor te neka je dimV
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora Zadatak 1.
Je li skupS = {(1, i , 1 + i), (i , 0, i), (1, 1, 1)}
baza prostora C3?
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 2.
Dokazi da su skupovi simetricnih i antisimetricnih matrica izM22 vektorski potprostori od M22. Nadi im bazu i dimenziju.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 3.
Neka je
W = {(x1, x2, . . . , x10) R10 :10i=1
xi = 0}.
Dokazi da je W potprostor od R10, nadi mu bazu, dimenziju tenadi koordinate vektora (1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 5,5) u tojbazi.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Domaca zadaca
Zadatak 4.
Dokazi da je
W = {(x1, x2, x3, x4) R4 : 2x1 x2 + x3 x4 = 0}
potprostor od R4. Nadi mu bazu i dimenziju.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 5.
a) Dokazi da je skup svih polinoma P (uz standardneoperacije zbrajanja funkcija i mnozenja funkcija skalarom)vektorski prostor, a skup Pn svih polinoma stupnja manjegili jednakog n njegov vektorski potprostor, n N.
b) Za n = 3 dokazi da je skup
{t t2, t3, 1 + 5t + t3, (1 + t)3}
baza za P3 i rastavi polinom p(t) = t3 4t2 + 8t 3 utoj bazi.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 6.
a) Nadopunite skup A do baze prostora R4.
A = {(1, 2,1,2), (2, 3, 0,1)}
b) Nadopunite skup A do baze prostora M22.
A = {(
1 12 1
),
(1 12 2
)}
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Domaca zadaca
Zadatak 7.
Vektore x = (1, 0,1, 0) i y = (2, 0, 1, 1) nadopunite do baze uR4.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 8.
Neka su u vektorskom prostoru V dani konacni skupoviA = {a1, . . . , ar} i B = {b1, . . . , bs}. Dokazite da je [A] = [B]ako i samo ako vrijedi
ai [B],i {1, 2, . . . , r}
ibj [A], j {1, 2, . . . , s}.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 9.
U prostoru R3 dani su vektori
a1 = (1, 3, 1), a2 = (1, 2, 1),
b1 = (1, 0,1), b2 = (1,1,1).
Pokazite da vrijedi
[{a1, a2}] = [{b1, b2}].
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora Zadatak 10.
Pokazite da je skup
S = {(1, 1, 1), (2, 1, 3), (3, 1, 7), (6, 2, 13)}
sustav izvodnica za R3 pa ga reducirajte do baze prostora R3.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 11.
Dokazite da je svaki skup matrica koji sadrzi nul-matriculinearno zavisan.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Linearnaalgebra 1
Vjezbe 3
Baza idimenzijavektorskogprostora
Zadatak 12.
Neka je {a1, . . . , an} baza u vektorskom prostoru V i
b =n
i=1
biai neki vektor iz V . Dokazite da je
{a1, . . . , ai1, b, ai+1, . . . , an} baza u V ako i samo ako jebi 6= 0.
Vjezbe 3 Linearna algebra 1
Baza i dimenzija vektorskog prostora