FLUIDOSTATICA e FLUIDODINAMICA

La densità di massa

Più l’agitazione termica è elevata, più atomi e molecole tendono a distanziarsi tra loro e dunque ad avere una bassa densità

Più è forte la coesione, più atomi e molecole tendono ad avvicinarsi tra loro, favorendo quindi una maggiore densità.

E’ facile capire quindi che i tre stati della materia debbono avere densità diversa: la densità è massima per lo stato solido, e minima per lo stato aeriforme; in generale si ha (con qualche importante eccezione):

densità del solido > densità del liquido > densità del gas

V

MD

La densità di massa (o semplicemente densità) è il rapporto tra la massa di una sostanza (solida, liquida, o gassosa) ed il volume da essa occupato:

Nel Sistema Internazionale la densità si misura in Kg per m3

La densità è una grandezza fondamentale nel caratterizzare lo stato di una sostanza; infatti:

Densità nei corpi omogenei

1 m

20 cm

Esercizio: il cubo in figura di lato 1 m è pieno d’acqua1) Un litro, ovvero 1 dm3 di acqua, pesa 1 Kg2) Il volume totale è V = 1 m3 = 103 dm3 = 1000 L3) La massa d’acqua totale è di 1000 Kg.4) La densità nel cubo è D = M/V = 1000 Kg / m3

Consideriamo l’acqua contenuta nel volumetto rosso di lato 20 cm1) V=(20 cm)3 = (2 dm)3 = 8 L, dunque contiene M = 8 Kg d’acqua2) Esprimiamo il volumetto in metri: V = (0.2 m)3 =0.008 m3

3) La densità nel volumetto è: D = M/V = 8/0.008 (Kg/m3)= 1000 Kg/m3

Si dice omogeneo un corpo costituito dagli stessi atomi o dalle stesse molecole in ogni sua parte

In un corpo omogeneo la densità di massa è costante, ovvero uguale in ogni suo punto

Densità costante vuol dire che la densità su tutto il volume del parallelepipedo in figura è uguale a quella calcolata su un qualsiasi volumetto più piccolo. In altre parole, per un corpo omogeneo densità globale e densità locale in un qualsiasi punto sono le stesse

Densità: formule inverse

Dalla massa e dal volume ricaviamo la densità; si possono però utilizzare le formule inverse per ricavare una qualsiasi di queste grandezze se conosciamo le altre due:

1 m

Esercizio: nel recipiente cubico di lato lungo 1 m è contenuto un liquido di densità D = 3000 Kg/m3. Calcolare la massa totale del liquido nel cubo.

1) Il volume totale è V = 1 m3

2) La massa totale è M = VD= 3000 Kg

V

MD DVM

D

MV

Densità nei corpi disomogenei

Consideriamo un corpo disomogeneo, ovvero fatto di porzioni di diverso materiale. In questo caso la densità locale sarà diversa dalla densità globale.

Nell’esempio in figura abbiamo una sfera di plastica vuota al cui interno introduciamo delle biglie di ferro. Una volta richiusa, la sfera è composta da 3 distinti materiali: l’involucro di plastica, le biglie di ferro, e l’aria contenuta nella sfera. Le biglie sono di gran lunga il materiale più pesante ed anche con la maggiore densità. L’aria ha una densità molto bassa, la plastica una densità maggiore dell’aria ma minore del ferro

La densità globale D di un sistema disomogeneo è uguale al rapporto tra la massa totale M del sistema (ovvero la somma delle masse dei singoli componenti) ed il volume totale V (ovvero la somma dei volumi dei singoli componenti)

Densità nei corpi disomogeneiDiciamo MF la massa del ferro, MP la massa della plastica, MA la massa dell’aria; la densità è quindi:

F P AF P A

V V VD D D D

V V V

Se DF, DP, DA sono le densità delle tre sostanze, e VF, VP , VA i rispettivi volumi, dalla formula inversa ricaviamo:

Sostituiamo i valori delle masse nell’equazione precedente; la densità totale possiamo quindi riscriverla come:

Questo risultato si enuncia dicendo che la densità globale in un sistema disomogeneo è uguale alla media delle densità locali, pesata sui volumi relativi, ovvero i volumi delle singole componenti divisi per il volume totale.

F P A F P AM M M M M MMDV V V V V

F F F P P P A A AM D V M D V M D V

Densità nei corpi disomogeneiEsercizio: supponiamo che del volume totale della sfera con aria e biglie di ferro al suo interno, l’aria occupi il 70% del volume, la plastica il 10%, e le biglie il 20%;

le densità sono:

La densità dell’aria è totalmente trascurabile rispetto al ferro; quella della plastica non è trascurabile ma molto più bassa del ferro; calcoliamo la densità globale:

Nel caso in cui un materiale abbia densità molto maggiore degli altri, la densità globale sarà principalmente determinata dalla densità di questo materiale, moltiplicata per il suo volume relativo

3 3 38000 1000 1.2F P A

Kg Kg KgD D D

m m m

3 3 3 38000 0.2 1000 0.1 1.2 0.7 1700.84

Kg Kg Kg KgD

m m m m

Come si determina il volume di un corpo solido irregolare?

“ EUREKA, EUREKA !! ”Archimede è uno dei più grandi scienziati della Storia, i cui contributi spaziano dalla geometria all’idrostatica, dall’ottica alla meccanica. Calcolò per primo superficie e volume della sfera, capì il principio del galleggiamento dei corpi, scoprì e sfruttò i principi di funzionamento delle leve, e inventò numerose macchine e dispositivi, come la vite di Archimede. Sono ancora avvolti nel mistero gli specchi ustori che Archimede avrebbe inventato per bruciare le navi romane durante l’assedio di Siracusa nel 212 a.C., in cui Archimede stesso fu ucciso

Archimede diSiracusa 287 a.C. -

212 a.C.

Il “Bagno diArchimede”,

Stampa XVI sec.

Un mitico aneddoto è legato alla scoperta del Principio di Archimede: mentre faceva il bagno in una tinozza, egli intuì che il livello dell’acqua era salito di un volume uguale a quello della porzione del corpo immersa nel liquido. Follemente eccitato per questa scoperta, uscì dalla tinozza e iniziò a correre completamente nudo per le vie di Siracusa, urlando “EUREKA, EUREKA !!” dal greco εὕρηκα, che significa “ho trovato”

Il Principio di Archimede

Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta verticale dal basso verso l’alto pari al peso del liquido spostato dal corpo immerso nel liquido

Immaginiamo di ritagliare, dentro il liquido, un volume qualsiasi, ad esempio quello della sfera tratteggiata in figura

Se il liquido nel recipiente è in equilibrio significa che la forza peso della sfera, diretta verso il basso, è controbilanciato da un’altra forza uguale e di verso contrario, dunque diretta verso l’alto, detta forza di Archimede

La forza di Archimede FA in modulo è uguale alla forza peso FP del liquido interno al volume considerato; ML è la massa del liquido interno al volume della sfera

FP

FA

gMFF LPA

Il Principio di Archimede Immaginiamo di avere immersa nel liquido la sfera rossa in figura, di un materiale imprecisato; sia MS la massa della sfera e MLS la massa del liquido spostato dalla sfera (disegnato in blu), anche uguale alla massa del liquido contenuto nella sfera se la sfera fosse vuota. Le forze in gioco sono la forza peso FP rivolta verso il basso e la forza di Archimede FA rivolta verso l’alto

gMF LSA gMF sP

Se la sfera rimane ferma nel liquido, dunque in equilibrio, vuol dire che le due forze sono esattamente uguali, ovvero che la massa del liquido spostato è esattamente uguale alla massa della sfera.

Poiché il volume del liquido spostato è sempre uguale al volume del corpo interamente immerso nel liquido, si ha che se le masse sono uguali anche le densità della sfera e del liquido devono essere uguali; dunque in equilibrio:

LsLSsAP DDMMFF

FP

FA

Il Principio di Archimede

Supponiamo di immergere nel liquido una sfera di piombo. Ci accorgeremo che la che la sfera non resta in equilibrio, ma va a fondo

Se il volume della sfera non è cambiato, anche il volume spostato dal liquido è lo stesso, per cui la forza di Archimede non varia. Essendo aumentata la forza peso, deve essere:

Se la sfera affonda vuol dire che la forza peso è maggiore della forza di Archimede, ovvero che la massa della sfera è maggiore della massa del liquido spostato, ovvero che la densità del materiale di cui è fatta la sfera è maggiore della densità del liquido in cui è immersa

LsLSsAP DDMMFF

FP

FA

Il Principio di Archimede Supponiamo di utilizzare una sfera di uguale volume ma peso minore, ad esempio polistirolo Adesso la forza di Archimede è maggiore della forza di gravità che agisce sulla sfera. Dunque il corpo viene sollevato verso l’alto:

LsLSsAP DDMMFF

FP

FA

FP

FA

Man mano che il corpo emerge dalla superficie, il liquido spostato dal corpo si riduce alla sola parte della sfera ancora immersa nel liquido(si noti che la porzione di liquido in blu si è ridotta). Diminuendo il liquido spostato, anche la forza di Archimede diminuisce progressivamente, fino ad essere nuovamente uguale alla forza di gravità sulla sfera; a questo punto l’emersione si ferma, poiché si è quindi ristabilito un nuovo equilibrio tra forza di Archimede e forza peso

sfera in emersione

sfera in galleggiamentoLSsAP MMFF

FP

FA

FP

FAFP

FA

Il Principio di Archimede: riepilogo Un corpo immerso nel liquido riceve una spinta dal basso verso l’alto pari al peso del liquido spostato, detta forza di Archimede. Se questa spinta è inferiore alla forza peso il corpo affonda, se è maggiore della forza peso, il corpo affiora in superficie. La competizione tra forza di Archimede e forza di gravità è determinata dalle densità del corpo immerso e del liquido: se il corpo ha densità maggiore di quella del liquido (ad esempio una pallina di piombo in acqua) il corpo affonda; se il corpo ha densità minore (pallina di polistirolo in acqua) la pallina galleggia

sfera di piombo

sfera di polistirolo

Esercizio Consideriamo due cubi di uguale volume, di lato L=5 cm, uno di piombo di massa MPb=1 Kg, ed uno di plastica di massa MP=60 grammi; vengono entrambi immersi in un recipiente d’acqua (pura) Calcolare la forza peso e la forza di Archimede che agisce sui due cubi quando sono totalmente immersi in acqua

FP

FA

FP

FA

cubo di piombo cubo di plastica

Ns

mKgFP 8.98.91 2

Ns

mKgFP 6.08.906.0 2

La forza peso del cubo di piombo è:

La forza peso del cubo di plastica è:

EsercizioLa forza di Archimede è uguale al peso del liquido spostato; per calcolarla dobbiamo conoscere la massa d’acqua contenuta nel cubo

FP

FA FP

FA

3 3 3(5 ) (0.5 ) 0.125 0.125V cm dm dm l

Ns

mKgFA 2.18.9125.0 2

La forza di Archimede ovviamente è la stessa nei due casi, poiché il volume del liquido spostato dipende soltanto dal volume del cubo. Dunque FA è minore della forza peso del cubo di piombo, che quindi va a fondo, ma è maggiore di quella del cubo di plastica, che quindi va in superficie e galleggia.

Poiché un litro d’acqua pesa un Kg, il peso del cubetto pieno d’acqua è 0.125 Kg. La forza di Archimede è quindi:

Il volume del cubo è:

EsercizioConsideriamo il cubo di plastica in equilibrio, ovvero nella fase di galleggiamento. Determiniamo la linea di galleggiamento (linea tratteggiata orizzontale in figura), ovvero la porzione di cubo immerso nel liquido. All’equilibrio la massa del volumetto di plastica MP deve essere uguale alla massa del liquido spostato MLS:

Il rapporto tra volume immerso e volume totale dell’oggetto è uguale al rapporto tra densità dell’oggetto e densità del liquido

Scriviamo le masse come densità per volume:

FP

FA

Ovvero la densità della plastica DP moltiplicata per il volume V del cubetto deve essere uguale alla densità del liquido DL per il volume del liquido spostato VLS (ovvero il volume della sola parte immersa). Segue che:

LSP MM

P L LSD V D V

L

PLS

D

D

V

V

Esercizio

Calcoliamo la densità del cubetto di plastica

Dunque affinché si raggiunga l’equilibrio il volume immerso deve essere circa la metà del volume totale del cubetto; in questo modo la massa dell’acqua spostata sarà ridotta della metà e la forza di Archimede anch’essa ridotta della metà rispetto al valore relativo all’immersione completa. Vedremo quindi galleggiare il cubetto di plastica con metà del suo volume immerso in acqua.

FP

FA

La densità dell’acqua pura è 1000 Kg/m3, dunque il rapporto tra densità del cubetto di plastica e densità dell’acqua è circa 1/2:

3 6 3 3

0.06 0.06480

(5 ) 125 10P

Kg Kg KgD

cm m m

5.0L

PLS

D

D

V

V

L’uovo immerso in acqua Un uovo crudo in acqua affonda, ma se l’uovo è marcio va a galla

L’uovo crudo ha una densità media (tra tuorlo, albume e guscio) maggiore di quella dell’acqua, per cui affonda. Quando l’uovo marcisce si disidrata e si forma una bolla d’aria all’interno; poiché la densità dell’aria è trascurabile rispetto alle altre sostanze, la densità media dell’uovo marcio sarà diminuita e di poco inferiore a quella dell’acqua. Quando l’uovo è totalmente immerso la forza di Archimede nei due casi è la stessa poiché dipende soltanto dalla massa dell’acqua spostata dall’uovo, ma non dalla densità dell’uovo

Per aumentare la forza di Archimede possiamo aggiungere sale all’acqua: il sale farà aumentare la densità dell’acqua salata, e dunque la massa del liquido spostato; continuando ad aggiungere sale vedremo ad un certo punto l’uovo sano salire in superficie e galleggiare

L’uomo immerso in acqua L’acqua di mari ed oceani ha una concentrazione di sali disciolti di circa 35 grammi/litro; il valore esatto dipende del mare considerato; il sale disciolto in acqua è in gran parte cloruro di sodio o sale da cucina (NaCl)

A causa del sale disciolto l’acqua marina ha una densità di circa 1,025 Kg/litro = 1025 Kg/m3 , ovviamente maggiore rispetto al valore dell’acqua pura di 1 Kg/litro = 1000 Kg/m3

Il corpo umano è in gran parte (per il 70%) fatto di acqua; la sua densità media, 1070 Kg/m3 è di poco superiore a quella dell’acqua. Dunque il corpo umano in acqua affonda

Rimanere a galla in acqua di mare è più facile che in piscina: a causa della maggiore densità dell’acqua salata, la forza di Archimede esercitata sulla porzione di corpo immersa è maggiore in acqua di mare

Nel Mar Morto, tra Israele e Giordania, la salinità è enorme (300 grammi per litro) e la densità dell’acqua 1.24 Kg/litro, ovvero 1240 Kg/m3, dunque ben maggiore di quella del corpo umano !! Affondare è impossibile, come dimostrano le foto dei turisti a bagno: la forza di Archimede è troppo più grande della forza peso !!

Densità delle sostanzeSostanza Densità (Kg/m3)

Platino 21500Oro 19300Mercurio 13590Piombo 11 300Argento 10500Rame 8960Ferro 7870Alluminio 2960Vetro 2400-2800Osso 1700-20000Glicerina 1280Il corpo umano 1070Acqua di mare (salinità 3.5%) 1025Acqua (a 4 °C) 1000Legno d'ebano 980Olio d’oliva 920Ghiaccio 917Legno di quercia 600-900Legno d'olmo 540-600Legno di pino bianco 350-500Legno di cedro 310-490Sughero 220-260Aria (liv. mare) 1,29Aria (20 km di altezza) 0,09

Galleggia

no in

acqua

Aff

ondano in a

cqua

L’anomalia dell’acqua Per la grande maggioranza delle sostanze, la fase solida è più densa e pesante della fase liquida, poiché nei liquidi la distanza interatomica o intermolecolare si espande, per cui la densità media si riduce. Ne consegue che ad esempio una biglia di ferro immersa nel ferro fuso affonda

L’acqua è una straordinaria eccezione: la fase solida (ghiaccio) è meno densa e più leggera della fase liquida. Si veda nel grafico il salto di densità presente a 0 °C al passaggio da ghiaccio ad acqua

Tra 0 °C a 4 °C la densità dell’acqua aumenta. Al di sopra dei 4 °C il comportamento ritorna regolare: la densità diminuisce con l’aumento della temperatura

L’acqua a 4 °C raggiunge la sua massima densità e il suo massimo peso

Al di sotto di 0 °C si ha la transizione di fase: l’acqua diventa ghiaccio; il ghiaccio è meno denso e più leggero dell’acqua ghiaccio acqua

densità dell’acqua in funzione della temperatura

Il lago ghiacciato Consideriamo un lago alpino o in un qualche paese del nord. Siamo in estate, la temperatura dell’acqua è abbastanza calda, intorno ai 15 °C

Arriva l’autunno: la temperatura dell’aria e degli strati superficiali dell’acqua inizia a diminuire. Al diminuire della temperatura l’acqua in superficie diventa più densa e pesante: per il principio di Archimede queste masse d’acqua raffreddata vanno a fondo, e sono sostituite da strati più caldi sottostanti che vanno in superficie. Si crea un moto convettivo che porta l’acqua fredda verso il basso e quella calda verso l’alto

Il ciclo continua fintanto che l’acqua non raggiunge i 4 °C corrispondenti al suo massimo peso. Al di sotto di questa temperatura il moto convettivo si ferma. L’acqua diventa più leggera e non affonda più, resta in superficie

Nel fondo del lago l’acqua non può scendere sotto i 4 °C

Il lago ghiacciato Arriva l’inverno, la temperatura scende al di sotto degli 0 °C. Gli strati superficiali iniziano a ghiacciare. Il ghiaccio galleggia, dunque resta in superficie.

La temperatura dell’aria esterna continua a scendere terribilmente: si raggiungono temperature di -30 °C, -40 °C: lo strato di ghiaccio aumenta progressivamente di spessore.

Fortunatamente il ghiaccio è un buon isolante termico (come sanno bene gli esquimesi che vivono negli igloo): raggiunto un certo spessore, il ghiaccio isola termicamente l’aria esterna freddissima dall’acqua sottostante, impedendo a tutta l’acqua di ghiacciare

I pesci e le piante che vivono nel lago restano al sicuro, al ‘calduccio’ dei loro 4 °C, anche se fuori siamo a 50 °C sotto zero !

Esercizio: l’iceberg

3

3

920 /0.89

1025 /

ghiaccioimmerso

Iceberg acqua

DV Kg m

V D Kg m

Il volume immerso dell’iceberg è uguale all’89% del volume totale, quello emerso soltanto l’11%: la parte affiorante dell’iceberg è circa la decima parte del volume totale !!

Conseguenza del fatto che il ghiaccio galleggia è la formazione degli iceberg, giganteschi blocchi di ghiaccio galleggianti che troviamo nei mari molto freddi. Calcoliamo le percentuali di volume immerso ed emerso dell’iceberg.Come abbiamo visto nel caso del cubetto di plastica, all’equilibrio di galleggiamento, il rapporto tra volume immerso (ovvero volume del liquido spostato) e volume del corpo è uguale al rapporto tra densità del corpo e densità del liquido; dunque:

QUIZ: galleggia di più un corpo grande o uno

piccolo ? un corpo pesante o uno leggero ?

La risposta esatta è: non si può dire a priori chi galleggia di più, poiché ciò che conta non è né la dimensione (grande o piccolo) né il peso (pesante o leggero), ma la densità del corpo (la densità globale in caso di un corpo disomogeneo) in rapporto alla densità del liquido

Esempio: una piccola pallina di piombo dal peso di 100 g affonda, mentre una nave da crociera dal peso di cento tonnellate galleggia !!

La NaveLa nave e la barca sono le applicazioni più celebri del principio di Archimede. Il segreto del galleggiamento delle navi è che lo scafo della nave è in gran parte pieno di sola aria: ciò produce un’enorme quantità di liquido spostato al costo di un peso d’aria praticamente nullo

La Harmony of the Seas è la nave da crociera più grande del mondo: è lunga 362 metri, larga 50, alta 22 m, e affonda per 9 metri sotto il livello dell’acqua. Come fa a galleggiare un tale colosso ?

Calcoliamo il volume della parte immersa della nave, ovvero del liquido spostato (per semplicità supponiamo che la parte immersa sia un parallelepipedo):

3360 50 9 162000LSV m m m m

3 6

3162000 1025 166 10 166000LS acqua

KgM V D m Kg ton

m

Moltiplichiamo questo volume per la densità dell’acqua di mare e calcoliamo la massa del liquido spostato:

Dunque la forza di Archimede che agisce sulla nave è in grado di sostenere un carico di 166 mila tonnellate !!

La mongolfieraIl principio di Archimede vale per tutti i fluidi, dunque non solo i liquidi ma anche i gas !! Un caso esemplare è la mongolfiera

Al di sopra del cesto vi è un potente lanciafiamme che scalda rapidamente l’aria interna al pallone; scaldandosi, l’aria interna si espande e riduce la propria densità rispetto all’aria esterna più fredda: la forza di Archimede sovrasta la forza peso, e la mongolfiera sale di quota

La temperatura a cui è scaldata l’aria interna è di circa 120 oC; si noti che è molto inferiore alla temperatura di fusione del nylon (220-230 oC) di cui è fatto il pallone. Per scendere basta aspettare che l’aria interna torni alla stessa temperatura di quella esterna: la forza peso dell’involucro e dell’abitacolo riporterà la mongolfiera a terra.

Il sommergibileI sommergibili in immersione, quando si muovono in orizzontale, hanno densità media uguale a quella dell’acqua che li circonda.

Per immergersi, il sommergibile imbarca acqua in appositi cassoni stagni. In questo modo la sua densità media aumenta. Per riemergere, nei cassoni viene pompata aria compressa che spinge fuori l’acqua. Così la densità media del sommergibile diminuisce

Origine fisica della forza di Archimede: la pressione

Significato fisico della pressione: se la superficie S è rigida, la forza applicata su di essa sarà ridistribuita su tutti i punti della superficie; dunque a parità di forza, più grande è la superficie, minore è l’effetto della forza su quella superficie. Un esempio tipico è quello delle pattine da neve; il caso opposto sono i tacchi a spillo

La pressione è una grandezza scalare definita come il rapporto tra il modulo della forza applicata perpendicolarmente ad una superficie e l’area di questa superficie:

S

FP F

S

Per una data superficie, se la forza aumenta la pressione aumenta Per una data forza, se la superficie aumenta la pressione diminuisce L’unità di misura della pressione è il Pascal (Pa); 1 Pa= 1 N/m2; un Pascalequivale alla pressione esercitata dalla forza di un Newton su una superficiedi 1 metro quadrato.

Forze perpendicolari e parallele sui liquidi

La componente perpendicolare comprime la superficie, ed esercita una pressione su di essa. I liquidi sono in grado di resistere a questa forza, poiché la pressione tende a schiacciare le molecole le une sulle altre, ma la repulsione elettrostatica impedisce che possano avvicinarsi oltre un certo limite.

I liquidi non sono invece in grado di opporre resistenza alle forze di taglio: queste tendono a far scorrere gli strati molecolari gli uni sugli altri, ed essendo le molecole debolmente legate, esse possono scorrere le une sulle altre quasi senza resistenza. Dunque queste forze in condizioni di equilibrio idrostatico non debbono esserci

Consideriamo il caso generale di una forza applicata in direzione qualsiasi rispetto alla superficie. Possiamo sempre scomporre questa forza in:✓ componente perpendicolare alla superficie, detta anche forza di

pressione✓ componente parallela alla superficie, detta anche forza di taglio

F

S||F

F

La pressione idrostatica Si dice pressione idrostatica la pressione del liquido in condizioni statiche Poiché i liquidi sono incapaci di resistere a forze parallele (di taglio), se all’interno di un liquido in equilibrio consideriamo una superficie qualsiasi la forza di pressione sulla superficie deve essere puramente perpendicolare alla superficie; se ci fosse una componente parallela, il liquido scorrerebbe e dunque non sarebbe idrostatica; verifichiamo il fatto che le forze siano puramente perpendicolari con alcuni semplici esperimenti:

✓ consideriamo un palloncino pieno d’acqua e buchiamolo in un punto: lo schizzo d’acqua che fuoriesce dal palloncino sarà perpendicolare alla superficie, in qualsiasi punto lo si buchi. Una volta fuoriuscita, l’acqua ricade verso il basso per forza di gravità

✓ Prendiamo un palloncino pieno d’aria e immergiamolo nell’acqua (legandolo al fondo in modo che non riemerga per la forza di Archimede)

l’acqua preme perpendicolarmente alla superficie del palloncino e lo schiaccia poiché la pressione esterna dell’acqua è maggiore di quella interna dell’aria; il volume si restringe fino a che queste due pressioni non si bilanciano, ma la forma del palloncino rimane circa sferica

La pressione Idrostatica: legge di Stevino

Calcoliamo la pressione idrostatica in un liquido nel caso di un semplice recipiente rettangolare. Consideriamo una superficie S all’interno del liquido, posta ad una profondità h. La pressione che agisce dall’alto su S è dovuta al peso della colonna di liquido di altezza h che sovrasta S, più la pressione atmosferica Patm dell’aria sopra la superficie del liquido; sia ML la massa di liquido interno alla colonna; il peso della colonna di liquido è:

Simon Stevin(Bruges 1548 -1620)

Ingegnere e fisico

p LF M g

L L LM D V D S h

La massa ML del liquido possiamo scriverla come densità DL del liquido per il volume V della colonna; V è uguale a superficie S per altezza h: V = S h

p L LF M g D S h g

La forza peso che agisce su ogni punto della superficie è quindi:

La pressione Idrostatica: legge di Stevino

Dunque la pressione idrostatica su una superficie S a profondità h non dipende dalla superficie, ma solo dalla quota di profondità h e dalla densità del liquido

ghDPP atm

La pressione idrostatica in un liquido è direttamente proporzionale alla profondità h e alla densità D del liquido. Se sopra il liquido agisce la pressione atmosferica, la pressione totale a profondità h è:

La pressione della colonna d’acqua sulla superficie S interna al liquido è uguale al peso della colonna diviso per l’area della superficie S:

p

L

FP D h g

S

Questa pressione che agisce dall’alto su S deve essere controbilanciata, in condizioni statiche, da una pressione uguale e contraria che agisce su S dal basso, dovuta alla rigidità del recipiente e al fatto che le molecole di liquido sottostanti non sono comprimibili

La pressione Idrostatica: legge di Stevino

ghDPP atm

Se ripetiamo il calcolo prendendo una superficie S maggiore o minore, anche larga quanto tutta la superficie del liquido, il risultato non cambia: la pressione ad una certa profondità h dovuta all’acqua sovrastante è sempre la stessa su tutti i punti della superficie:

ATTENZIONE: abbiamo dimostrato la legge di Stevinoper il caso di un recipiente di forma semplice; in realtà essa vale per un recipiente di forma qualsiasi. Nel recipiente sferico in figura, la pressione è la stessa su tutti i punti della superficie evidenziata in verde, poiché tutti i punti sono alla stessa profondità h

hNOTA: a causa dell’aria presente nel contenitore, dobbiamo considerare la pressione atmosferica anche se il recipiente è chiuso con un tappo. Infatti, prima di chiudere il tappo l’aria l’interna era in equilibrio con l’atmosfera, e dunque a pressione atmosferica. Per eliminare questa pressione dovremmo aspirare l’aria interna oppure riempire totalmente di liquido il contenitore in modo da eliminare le molecole d’aria all’interno

La pressione idrostatica La legge di Stevino vale per un liquido in equilibrio statico indipendentemente dalla forma del recipiente. Consideriamo le superfici S disegnate in rosso in figura: la pressione esercitata dall’alto su un punto A della superficie S è data dalla forza peso della colonna di liquido sovrastante (disegnata in blu scuro), più il peso dell’aria Questa pressione si trasmette uniformemente in direzione laterale, fino alla parete del recipiente, nei punti B e C; ma perché in B e C c’è la stessa pressione che in A ? non sembra che sopra B e C ci sia la stessa colonna d’acqua presente sopra il punto A …

La ragione è che le molecole compresse verticalmente, essendo incomprimibili ma debolmente legate, non restano impilate, ma scivolano le une sulle altre premendo contro le molecole contigue in tutte le direzioni. In questo modo la pressione si trasmette di molecola in molecola, ridistribuendosi in tutto il liquido, fino alla parete del recipiente Immaginiamo le molecole nel liquido come biglie in un cesto: se premiamo sulle biglie in un punto la pressione si distribuisce in tutte le direzioni, e qualche biglia può fuoriuscire dal cesto in un punto distante da dove premiamo

ACB

AB C

Legge di Stevino: i vasi comunicanti Per quanto strana possa essere la forma del recipiente, la legge di Stevino continua a valere Consideriamo il recipiente in figura: la pressione del liquido nei punti P1, P2, P3, P4 posti alla stessa altezza è sempre uguale a Patm + Dhg Da questo risultato deriva il principio dei vasi comunicanti: in condizioni statiche il livello del liquido nei diversi vasi è sempre lo stesso; altrimenti, per la legge di Stevino, la pressione nei punti P1, P2, P3, P4 sarebbe diversa ma questo violerebbe l’ipotesi di staticità ed il liquido si trasferirebbe da un vaso all’altro per equilibrare orizzontalmente la pressione Il principio dei vasi comunicanti è di enorme utilità nell’erogazione e distribuzione dell’acqua: l’acqua viene spinta sulla torre da una pompa elettrica; sulla torre il livello idrostatico è tale per cui l’acqua può risalire attraverso le condutture su qualsiasi palazzo più basso della cima della torre. Su un concetto analogo funzionano le dighe

h

1P 2P 3P 4P

Esperimento di studenti sui vasi comunicanti: www.youtube.com/watch?v=T4eAEjLa4pw

I vasi comunicanti con 2 liquidi diversi

Consideriamo vasi comunicanti con 2 liquidi diversi NON MISCIBILI; chiamiamoli liquido 1 (azzurro) e liquido 2 (grigio). Applichiamo la legge di Stevino per calcolare, all’equilibrio, quale sia il livello dei due liquidi nei vasi. Affinché ci sia una condizione di equilibrio, la pressione lungo tutti i punti della superficie di separazione tra i liquidi (linea rossa tratteggiata) deve essere la stessa, altrimenti i due liquidi fluirebbero per equiparare le pressioni. Calcoliamo le pressioni nei punti P1 e P2:

1P 2P

ghDPP atm 111 ghDPP atm 222

1

2

2

12211

D

D

h

hhDhD Affinché le due pressioni siano uguali deve essere:

In condizioni di equilibrio le altezze dei liquidi rispetto al livello di separazione sono in rapporto inversamente proporzionale alle rispettive densità; se per esempio il liquido 2 è due volte più denso del liquido 1, quest’ultimo avrà un’altezza uguale al doppio del primo. Il significato fisico è che il liquido più denso spinge quello meno denso verso l’alto: più è grande la differenza di densità, maggiore sarà il livello a cui il liquido meno denso è sollevato

Esercizio: acqua e mercurio

Il mercurio è un liquido enormemente più denso dell’acqua:

6.13

2

2 OH

Hg

Hg

OH

D

D

h

h

Caso 1: consideriamo il recipiente inizialmente occupato solo da Hg; aggiungiamo una porzione d’acqua in uno dei vasi: il peso dell’acqua spinge in alto il mercurio nell’altro vaso di una piccola altezza hHg Caso 2: il recipiente è occupato prevalentemente da acqua: una piccola porzione di Hg, a causa del peso enorme del mercurio, spinge la colonna d’acqua molto in alto In entrambe i casi, all’equilibrio il livello dell’acqua dalla superficie di separazione dei liquidi deve essere 13.6 volte più alto di quello del mercurio

313590

m

KgDHg

OHh 2Hgh

OHh 2

Hgh

HgOH hh 6.132

Caso 1

Caso 2

Legge di Stevino e Principio di Archimede

le pressioni sulle superfici laterali P3 e P4 si sono uguali ed opposte in ogni punto della superficie, dovendo dipendere soltanto dalla quota:

1 1atm LP P D h g

Consideriamo il parallelepipedo giallo in figura, di sostanza imprecisata, immerso nel liquido, e calcoliamo la pressione esercitata dal liquido sulle superfici del volumetto. Per la legge di Stevino, le pressioni sulle superfici superiore P1 e inferiore P2 sono:

2 2atm LP P D h g

2 1 2 1LP P P D h h g

dunque, la risultante di tutte le forze applicate sul volumetto è verticale e ovviamente diretta verso l’alto, poiché la pressione sulla superficie più profonda è maggiore. Calcoliamo quindi la pressione verticale risultante, ovvero la differenza di pressione applicata sulle superfici 1 e 2:

43 PP

F3 F4FL

Legge di Stevino e principio di Archimede

Il prodotto LS è il volume V del parallelepipedo, per cui:

la differenza di profondità h2 – h1 è l’altezza del volumetto, che chiamiamo L; la pressione risultante sulle pareti del parallelepipedo è:

F3 F4FLDalla pressione calcoliamo l’intensità della forza risultante F moltiplicando per la superficie S del parallelepipedo:

LP D L g

LF P S D L S g

ll prodotto DLV è la massa del liquido spostato dall’oggetto, dunque la forza risultante non è altro che la forza di Archimede !! Applicando la legge di Stevino abbiamo dimostrato il Principio di Archimede. Notiamo che il materiale di cui è fatto l’oggetto è ininfluente nella dimostrazione.

Adesso capiamo cos’è davvero la forza di Archimede: è la risultante di tutte le forze di pressione del liquido che agiscono sul corpo immerso nel liquido; il corpo nel liquido in equilibrio è premuto in tutte le direzioni; poiché in basso è premuto più che in alto, esso riceve una forza risultante diretta verso l’alto, equivalente al peso del liquido spostato

L LS AF D V g M g F

Il principio di Pascal

ll principio di Pascal stabilisce che, quando avviene un aumento di pressione in un punto di un fluido confinato in un recipiente, esso viene trasmesso anche ad ogni altro punto del fluido con la stessa intensità La scoperta fu fatta nel famoso esperimento della botte: Pascal inserì un tubo verticale lungo 10 m in una botte piena d'acqua, ed iniziò a versare l'acqua nel tubo: la pressione nella botte aumentò fino al punto di rompere la botte La botte si ruppe simultaneamente in tutti i punti lungo il cerchio; ciò dimostrava che la pressione aggiuntiva dell’acqua del tubo si era propagata uniformemente nel liquido In realtà, il principio di Pascal non è un vero ‘principio’, ma una diretta conseguenza della legge di Stevino; l’esperimento della botte dimostrava che la legge di Stevino era corretta; vediamo perché.

BlaisePascal (Clermont-

Ferrand 1623 –Parigi 1662) fu

matematico, fisico, filosofo, teologo

Il principio di Pascal Prima dell’inserimento del tubo, in un punto del liquido a profondità h la pressione vale (supponiamo non ci sia aria nella botte, per cui la pressione atmosferica non agisce):

0 LP D h g

Inseriamo nella botte un lungo tubo verticale di altezza L, e riempiamolo di liquido. Dopo l’inserimento dell’acqua nel tubo, la pressione in ogni punto nella botte a profondità H diventa:

0( )L LP D h L g P D L g

Dunque, in qualsiasi punto interno alla botte la pressione è aumentata di una stessa quantità DLLg Notiamo che il tubo può anche essere estremamente fino e quindi contenere pochissimo liquido: per generare una forte pressione e far esplodere la botte ciò che conta è l’altezza L del tubo, non la quantità di liquido che vi si versa !!

Guardiamo l’esperimento della botte nel video: https://youtu.be/EJHrr21UvY8

h

h

L

Dimostrazione pratica del principio di Pascal

Consideriamo un palloncino pieno d’aria, legato sul fondo di un recipiente pieno d’acqua, in modo che la spinta di Archimede non lo porti a galla Chiudiamo il recipiente con un pistone a scorrimento, sul quale esercitiamo una pressione. Che succede? Se non ci fosse il palloncino non succederebbe nulla, poiché il liquido è incomprimibile. Il palloncino però è pieno d’aria e dunque parzialmente comprimibile: il volume dell’acqua resta lo stesso ma il pistone si sposta in basso, diminuendo il volume del palloncino Come conseguenza del principio di Pascal vedremo il palloncino ridursi di volume mantenendo una forma sferica, a dimostrazione che la pressione esercitata dal pistone si trasmette uniformemente in ogni punto del liquido

La pressa idraulica Dal principio di Pascal discende la PRESSA IDRAULICA (o torchio idraulico): consideriamo un liquido inizialmente in equilibrio all’interno di 2 vasi comunicanti A e B; premendo un pistone, applichiamo una forza FA su SA. Essendo i liquidi incomprimibili, la superficie SB si solleva in modo che il volume del liquido resti inalterato. Per il principio di Pascal, la pressione PAgenerata dal pistone deve trasmettersi inalterata in tutti i punti del liquido, fino alla superficie SB. Dal fatto che PA = PB segue che:

A

BAB

B

B

A

A

S

SFF

S

F

S

F

Dunque la forza FB trasmessa su SB è uguale a FA moltiplicata per il rapporto tra SB ed SA. Ad esempio, se SB è il doppio di SA la forza FB è il doppio di quella esercitata; se SB è 100 volte maggiore di SA, la forza trasmessa FB è 100 volte maggiore di quella FA esercitata dal pistone !! Il principio di funzionamento della pressa è che esercitando una piccola forza su una piccola superficie si genera una grande forza su una grande superficie: possiamo sollevare un’automobile utilizzando una forza molto minore

La pressa idraulica ATTENZIONE: la pressa idraulica moltiplica il valore della forza, ma l’energia deve conservarsi L’energia spesa, ovvero il lavoro LA compiuto per muovere la superficie SA è uguale al lavoro LBnecessario a muovere SB Siano hA e hB gli spostamenti delle superfici SA ed SB; il volume VA di liquido spostato dal pistone A deve essere lo stesso volume VB spostato dal pistone B, per cui:

Calcoliamo il lavoro compiuto dalle forze FA e FB per muovere i pistoni:

Essendo i volumi spostati in A e B uguali e per il principio di Pascal le pressioni uguali, anche il lavoro compiuto dai pistoni è lo stesso: LA = LB Il prezzo pagato per generare una forza FB molto maggiore di FA è che lo spostamento hA del liquido deve essere corrispondentemente molto maggiore di hB. Il lavoro in entrata e in uscita è lo stesso.

AAAAAAAA VPhSPhFL BBBBBBBB VPhSPhFL

BBBAAA hSVhSV

Il freno idraulico

Un’altra applicazione importantissima del principio di Pascal è il freno idraulico, o freno a disco Il freno idraulico utilizza un fluido tipicamente contenente glicole etilenico, che trasferisce la pressione da un'unità di controllo, che è azionata dal conduttore del veicolo ed è in genere un pedale, al meccanismo frenante. Il freno idraulico è stato sviluppato da Malcolm Lockheed nel 1918

Il peso dell’aria

Sulla nostra testa grava il peso di tutta la colonna d’aria presente sopra di noi, alta 150 Km !! A livello del mare la pressione esercitata dalla colonna d’aria si dice uguale ad una atmosfera; Patm = 1 atm = 1.01×10

5 Pa = 105 N/m2

Calcoliamo il peso dell’aria sopra la nostra testa e le nostre spalle, supponendo che la superficie di testa e spalle sia di circa 30 cm quadrati:

tonKg

s

m

N

g

FM 11000

8.9

10000

2

La massa d’aria corrispondente a questa forza èIl peso della colonna

d’aria che ciascuno di noi sopporta sulla testa è di circa una tonnellata !!

Km150

L’aria secca dell’atmosfera è una miscela di diversi gas: azoto (N2, 70%), ossigeno (O2, 20%), Argon (Ar, 1%), anidride carbonica (CO2, 0.03%), pulviscolo atmosferico vario. In essa può essere mescolato vapore acqueo (H2O) fino ad un massimo del 7% L’aria pesa ? certamente ! La densità dell’aria a livello del mare è D = 1.29 Kg/m3 , dunque un metro cubo d’aria pesa più di 1 Kg

5 2 5 4

21.01 10 (0.3 ) 1.01 10 0.09 10atm

NF P S m N N

m

Il peso dell’ariaPerché non restiamo schiacciati da questa enorme massa d’aria? Il corpo umano è un recipiente aperto, non un palloncino chiuso. L’aria interna al nostro corpo (nei polmoni, nella testa, nell’apparato respiratorio e digerente) è alla stessa pressione di quella esterna e le due pressioni si equilibrano Immaginiamo una lattina piena d’aria: se la immergiamo in acqua ermeticamente chiusa, oltre una certa profondità la pressione dell’acqua la schiaccerà, distruggendola. Se però la lattina è aperta, appena la immergiamo si riempie d’acqua, e portandola in profondità resterà intatta, poiché il liquido interno ed esterno è ad uguale pressione Come per i liquidi, in condizioni di equilibrio statico la pressione dell’aria su una qualsiasi superficie deve essere bilanciata da una stessa pressione diretta in verso opposto

atmP

atmP

atmP atmP

La Terra come recipiente pieno d’aria

Possiamo immaginare tutti i corpi sul suolo terrestre come oggetti immersi in un recipiente aperto, pieno d’aria; il suolo terrestre è il fondo del recipiente; essendo sferico, il recipiente non ha pareti laterali.

Come i liquidi, l’aria è trattenuta nel recipiente ‘Pianeta Terra’ dalla forza di gravità; ad esempio sulla Luna non c’è atmosfera poiché l’attrazione gravitazionale della Luna è troppo bassa

Km150

TERRA

ATMOSFERA

All’equilibrio fluidostatico valgono i concetti visti in precedenza per i corpi immersi nei liquidi; ad esempio il principio di Archimede vale anche per l’aria, come abbiamo visto nel caso della mongolfiera

Poiché però l’aria è un gas, dunque non incomprimibile come un liquido, la densità dell’aria non è uniforme: allontanandosi dal suolo essa diminuisce rapidamente (ad esempio sull’Everest si respira a fatica); ciò provoca alcune deviazioni dalle leggi valide per i liquidi in equilibrio

La ventosa

Calcoliamo la forza adesiva di una ventosa avente una superficie di (10 cm)2

Una ventosa di superficie 10 cm 10 cm perfettamente aderente sostiene una forza peso di 100 Kg Si consideri che un’adesione perfetta è molto difficile a causa della rugosità naturale di qualsiasi superficie. Una minima mancanza di aderenza è sufficiente a far penetrare l’aria all’interno ed equiparare le pressioni sotto e sopra la ventosa. A quel punto la ventosa si stacca dalla parete

Kg

s

m

N

g

FM 100

8.9

1000

2

Questa forza peso corrisponde ad una massa

5 2 5 3

21.01 10 (0.1 ) 1.01 10 0.01 10atm

NF P S m N N

m

Un’evidente manifestazione del peso dell’aria è la ventosa: facendo aderire perfettamente una ventosa ad una parete liscia potremmo appenderci ad essa: la ventosa sosterrebbe tranquillamente il nostro peso. La forza adesiva della ventosa è semplicemente la pressione atmosferica dovuta al peso dell’ariache premendo su di essa la tiene attaccata alla parete

Il bicchiere capovoltoPrendiamo un bicchiere che abbia un bordo liscio e un cartoncino resistente all’acqua. Si riempie il bicchiere d’acqua sino all’orlo, si fa aderire il cartoncino in modo che non ci sia aria e poi si gira: se il cartoncino aderisce non cade l’acqua, poiché la pressione atmosferica che agisce da sotto il cartoncino è molto più forte della pressione del liquido.

Un bicchiere contiene circa 20 cl d’acqua, corrispondenti al peso di 200 grammi, ovvero ad una forza peso di:

3

3 2 2 2

20.5 10 500

4 10

F N N N

S m m m

Ns

mKgF 28.92.0

2

La superficie del bicchiere è circa di 40 cm2= 4×10-3 m2, per cui la pressione esercitata dall’acqua è:

La pressione atmosferica Patm = 1.01x105 Pa = 105 N/m2 è quindi 200 volte

maggiore della pressione dell’acqua sopra il bicchiere !

Bere con la cannuccia Grazie alla pressione atmosferica possiamo bere con la cannuccia ! Prima di aspirare il livello del liquido nel bicchiere e nella cannuccia è lo stesso: la pressione atmosferica agisce ugualmente sulla superficie del liquido nel bicchiere e dentro la cannuccia Quando aspiriamo creiamo il vuoto nella bocca, cosicché l’aria nella cannuccia viene aspirata. Durante l’aspirazione la pressione atmosferica agisce quindi soltanto sulla superficie del bicchiere: è grazie a questa spinta che il liquido risale lungo la cannuccia ed arriva alla bocca Ad esempio gli astronauti nello spazio non possono contare sulla spinta della pressione atmosferica; per bere devono schiacciare manualmente il recipiente (ovviamente chiuso) che contiene il liquido.

Misura della pressione atmosferica La prima misura del peso dell’aria fu realizzata da Evangelista Torricelli (1608-1647) nel 1643. Egli riempì di mercurio una lunga provetta di vetro fino all’orlo, tappando l’estremità aperta, capovolgendo la provetta, e immergendola in una bacinella piena di mercurio, in modo che nello spazio in alto ci fosse il vuoto Una volta rimosso il tappo, osservò che la provetta non si svuotava completamente: rimaneva sollevata di ben 76 cm sopra la superficie della bacinella !! Colonnina e bacinella sono come vasi comunicanti con due sostanze diverse: il mercurio nella colonnina, e la colonna d’aria sopra la bacinella. All’equilibrio, il peso dell’aria tiene sollevato il mercurio di 76 cm (a livello del mare)

2

5

231001.18.97613600

m

N

s

mcm

m

KgghDP Hgatm

Dunque la pressione atmosferica a livello del mare è uguale alla pressione di una colonnina di 760 mm di mercurio. Calcoliamo questa pressione applicando la legge di Stevino:

Variazione della pressione con la quota Come per un liquido, la pressione atmosferica diminuisce con l’aumentare dell’altitudine, perché diminuisce il peso della colonna d’aria sovrastante La legge di Stevino non è applicabile all’atmosfera, poiché l’aria è comprimibile, per cui la sua densità si riduce con la quota, non è costante come nel liquido. La pressione dell’aria varia con una legge complicata che dipende dall’altitudine; vediamo nella tabella che Patmdiminuisce rapidamente con l’altitudine Inoltre, ad una data altitudine, Patm non è sempre la stessa, poiché condizioni atmosferiche e latitudine influenzano il suo valore

Altitudinein metri

Patmpercentuale

di 1 atm

1 000 88,6

2 000 78,5

4 000 60,8

6 000 46,5

8 000 35,0

10 000 26,0

15 000 11,5

20 000 6,9

30 000 1,2

48 500 0,1

69 400 0,01

Gli strumenti che misurano la pressione atmosferica si chiamano barometri; ve ne sono due tipi: i barometri a mercurio sono uguali a quello di Torricelli, misurano la pressione dell’aria dall’altezza della colonna di mercurio. I barometri metallici sfruttano le deformazioni che la pressione atmosferica provoca in una scatola metallica al cui interno è stato fatto il vuoto Un altimetro è un barometro metallico con una scala tarata in metri di altitudine: dalla formula che lega Patmall’altitudine, misurando Patm possiamo ricavare l’altitudine

Mappe meteorologiche

Nella realtà l’atmosfera terrestre è tutt’altro che un sistema all’equilibrio; se lo fosse l’aria sarebbe ferma e non vi sarebbero venti e fenomeni atmosferici: la variazione della pressione atmosferica è causa di tutti i fenomeni metereologici in natura. I valori di Patm sono riportati nelle mappe meteorologiche. Le linee nere disegnate sulla carta si chiamano isobare. Esse congiungono i punti che hanno la stessa pressione. I numeri a fianco delle isobare sono i corrispondenti valori di Patm(uguali in ogni punto della linea) misurati nell’unita usata dai meteorologi: l’ettopascal (hPa)

L’alta pressione favorisce la stabilità del fluido; zone di pressione superiore a quella standard di 1010 hPa si dicono di zone di alta pressione, e sono tipicamente associate a tempo stabile e assenza di precipitazioni. La bassa pressione è invece tipica di condizioni climatiche critiche e temporalesche

1 hPa = 100 Pa; 1 atm = 1010 hPa

Gas in un volume chiuso: equazione dei gas perfetti

Consideriamo un gas in un recipiente chiuso; se il recipiente non è enorme possiamo considerare pressione e densità del gas uniformi in ogni punto del recipiente Supponiamo inoltre che la temperatura del gas sia più elevata di quella di condensazione, altrimenti il gas passa in fase liquida e si addensa sul fondo Supponiamo infine di trascurare le dimensioni delle molecole e l’effetto degli urti tra le molecole

PV N kT

Dunque a temperatura fissata, il prodotto della pressione per il volume è costante: se riduciamo il volume la pressione interna aumenta; se aumentiamo il volume, la pressione cala k è una costante universale, detta costante di Boltzmann Il prodotto kT misura l’energia cinetica media di una particella di gas, dunque kTN equivale all’energia cinetica totale del gas, detta anche energia interna; l’equazione dei gas perfetti ci dice quindi che il prodotto PV è uguale all’energia interna del gas

Se queste condizioni sono verificate, il gas è detto gas ideale, o gas perfetto; per essi vale la seguente legge: il prodotto della pressione interna del gas P per il volume V è proporzionale al numero di particelle del gas N (atomi o molecole) e alla temperatura T

Esercizio: palloncino d’aria immerso in acquaCalcoliamo la riduzione di volume di un palloncino che, gonfiato a pressione atmosferica, viene portato in acqua a profondità h = 40 m; trascuriamo la differenza di temperatura tra aria esterna ed acqua; all’equilibrio, pressione esterna ed interna del palloncino devono sempre essere equivalenti

Calcoliamo la pressione in acqua a 40 m di profondità applicando la legge di Stevino, ricordando che Patm = 1 atm = 1.01×10

5 Pa

3 21025 40 9.8 400000 4 5atm atm atm atm atm

Kg mP P m P Pa P P P

m s

La pressione dell’acqua marina a 40 m di profondità vale 5 atm; inoltre l’equazione dei gas perfetti dice che il prodotto PV nel palloncino deve rimanere costante; sia V0 il volume del palloncino prima dell’immersione e Vil volume a 40 m di profondità, si ha:

5

15

0

0 V

VVPVP atmatm

Ovvero a 40 m di profondità il volume del palloncino deve ridursi ad un quinto del volume iniziale; se viceversa gonfiassimo il palloncino dentro l’acqua a 5 atm e poi lo portassimo in superficie, per essere in equilibrio con l’atmosfera dovrebbe espandere di 5 volte il volume.

h

5 atmP P

atmP P

Sub in immersione La pressione dell’acqua marina aumenta di

circa 1 atm ogni 10 m di profondità; come il palloncino pieno d’aria, un sub immerso a 40 m subisce una pressione di 5 atm.

Se le bombole contenessero aria a pressione atmosferica, i polmoni non riuscirebbero ad estendersi, data l’enorme pressione dell’acqua; per consentire la respirazione, l’aria nelle bombole esce compressa, cosicché l’aria nei polmoni sia alla stessa pressione dell’acqua

Cosa succede se il sub, in preda ad un attacco di panico, trattiene il respiro e va rapidamente in superficie ? Un palloncino elastico, andando in superficie, aumenta progressivamente di volume, in modo da ridurre corrispondentemente la pressione interna A differenza del palloncino, il tessuto polmonare non è per nulla elastico: riempito di aria a pressione di 5 atm, risalendo verso pressioni esterne minori, esso andrebbe in frantumi, subendo una sovradistensionepolmonare o embolia gassosa arteriosa. Una delle regole fondamentali del sub è: mai trattenere il respiro; in caso di risalita d’emergenza si deve stare molto attenti a fare fuoriuscire l’aria che si espande nei polmoni

Alcuni video su esperimenti di pressione

Palloncino in apnea: https://www.youtube.com/watch?v=3_WM6NxifrQ

Campana da vuoto:https://www.youtube.com/watch?v=NEBQmkTle4E

La corrente nei fluidi Finora abbiamo studiato l’idrostatica (o fluidostatica), ovvero il comportamento dei fluidi in equilibrio statico, fermi rispetto al sistema di riferimento prescelto L’idrodinamica (o fluidodinamica) studia invece il comportamento dei fluidi in movimento. Un fluido è in moto quando al suo interno si genera una corrente; si dice corrente un movimento ordinato e continuo delle particelle di un liquido o di un gas. Il moto è ordinato quando tutte le particelle del fluido scorrono ordinatamente nella stessa direzione. Ad esempio:

La portata delle corrente Definiamo conduttura un canale in cui scorre un fluido; in pratica può essere un tubo in cui scorre un gas o un liquido, oppure il letto di un fiume. La caratteristica fondamentale di una conduttura è la sua portata q; la portata è il rapporto tra il volume ΔV di fluido che nel tempo Δtattraversa una sezione trasversale della conduttura e l’intervallo Δt Sia S la sezione di una conduttura; dopo un tempo Δt la superficie del fluido si sarà spostata da A a B, ed il liquido avrà riempito il volume disegnato in giallo ΔV; il rapporto tra ΔV e Δt ci dà la portata

Vq

t

A B

v

l

SΔV=S Δl per cui:

lq S

t

Dunque, la portata è anche uguale al prodotto dell’area della sezione della conduttura S per la velocità del fluido v

q si misura in m3/s

Δl/Δt è il rapporto tra spazio percorso dal fluido e tempo impiegato, ovvero la velocità del fluido:

q S v

La portata delle corrente✓ La portata di gas richiesta dalla caldaia quando lavora al massimo

della sua potenza è di circa q=1.6 m3/h =0.44 litri/s; nel normale funzionamento degli apparecchi, sia la caldaia che il piano cottura lavorano a potenze più basse e richiedono portate inferiori alla massima.

✓ Il Gasdotto Trans-Adriatico (Trans-Adriatic Pipeline, TAP) in costruzione tra Grecia e Albania, che permetterà l’afflusso di gas naturale dal Mar Caspio (Azerbaigian) all’Italia (provincia di Lecce) avrà portata fino ad un massimo di 20 miliardi di metri cubi l’anno, corrispondenti a 600 m3/s

✓ Ovviamente i fiumi hanno portata maggiore di qualsiasi conduttura; ad esempio il Po ha una portata di 1540 m3/s d’acqua; il Rio delle Amazzoni di circa 100 000 m3/s

Esercizio

Supponiamo che il getto d’acqua che fuoriesce dal rubinetto impieghi 10 minuti per riempire la vasca da bagno con 120 litri d’acqua. Qual è la portata del tubo?

3 33150 0.25 0.25 10

600

dm l mq

s s s

Corrente stazionaria

Una corrente si dice stazionaria quando la sua portata q = vS attraverso una sezione della conduttura, è costante nel tempo

Consideriamo specificamente i liquidi: sappiamo che i liquidi sono sostanzialmente incomprimibili; dunque, il volume da essi occupato non può cambiare nel corso del moto: se un certo volume di liquido fluisce in una conduttura, esso deve spingere via un volume uguale. Ne segue che se la corrente è stazionaria (dunque q costante nel tempo) la portata non può variare in nessun punto della conduttura

Ad esempio, aprendo un rubinetto aumentiamo progressivamente l’area della conduttura, per cui S sta variando nel tempo; una volta aperto, S rimane fissata, per cui se la velocità del liquido non varia nel tempo, la corrente si stabilizza e diviene stazionaria

In condizioni stazionarie, la portata di un liquido è costante nel tempo e uniforme in tutti i punti della conduttura

Equazione di continuità per i liquidiIn figura vediamo la sezione di un tubo più stretta nel punto A e più larga in B; siano SA ed SB le aree delle rispettive sezioni, vA e vB le velocità del fluido nei punti A e B; affinché la portata sia uguale in A e in B deve valere la seguente equazione di continuità:

BBAA SvSvq

L’equazione di continuità impone che le sezioni della conduttura e le velocità del liquido siano inversamente proporzionali: se una si dimezza l’altra deve raddoppiare, se una si riduce ad un decimo l’altra deve essere 10 volte maggiore; possiamo esprimere lo stesso concetto dicendo che il rapporto tra le velocità del liquido in 2 punti distinti della conduttura è inversamente proporzionale al rapporto tra le rispettive sezioni.

A

B

B

A

S

S

v

v

L’equazione di continuità spiega perché quando si annaffia possiamo aumentare la velocità del getto in uscita chiudendo parzialmente l’imboccatura

Velocità del sangue L’equazione di continuità è utilizzata anche in diagnostica medica per riconoscere i restringimenti (detti «stenosi») dei vasi sanguigni. Con una tecnica chiamata flussimetria Doppler, si misura la velocità del sangue in diverse zone di un vaso sanguigno. Per i vasi sanguigni deve valere l’equazione di continuità, per cui se si riscontra un aumento della velocità del sangue in un punto, vuol dire che in quella zona c’è una diminuzione del diametro del vaso. In una persona in normali condizioni di salute la valvola aortica ha una sezione di circa 2.5 cm2 e la velocità del sangue in essa è 30 cm/s. Calcoliamo la portata dell’aorta in millilitri (ml):

Le prime conseguenze di una stenosi si manifestano quando si ha una riduzione di 1/4 della sezione della valvola rispetto la norma; per l’equazione di continuità a questa riduzione corrisponderà ad un incremento di 1/3 della velocità; il culmine di gravità si ha quando la sezione aortica si riduce a 0.75 cm2 o meno.

322.5 30 75 75

cm cm mlq S v cm

s s s