Meccanica Dei Fluidi - Lezioni Di Fluidodinamica

Politecnico di Bari DIMeG

Lezioni del corso di Fluidodinamica

anno accademico 2001/2002

Prefazione Queste dispense rappresentano il primo tentativo di mettere su carta le lezioni del corso di Fluidodinamica per Ingegneria Meccanica tenute al Politecnico di Bari dallanno 1998/1999. Chiaramente sarebbe una forma di presunzione immaginare che alla prima stesura il testo abbia gi` una forma denitiva, per questo motivo ringrazio anticipatamente a tutti coloro che mi segnaleranno errori, o paragra poco chiari in modo da migliorare il testo successivamente. Per motivi di tempo non ho incluso nelle dispense esempi numerici ed esercizi che ritengo indispensabili sia per assimilare la teoria sia per acquisire un p` di sensibilit` o a uidodinamica. Questi argomenti verranno in ogni caso trattati a lezione e verranno inclusi al pi` presto nel presente materiale. u I miei ringraziamenti vanno prima di tutti allo studente Paolo Oresta che mi ha aiutato nella scrittura di parte del materiale e con il suo impegno mi ha permesso di portare a termine il lavoro per linizio di questo anno. Parimenti procui sono stati gli aiuti degli studenti Nicola Stramaglia, Francesco Zumpano e Nunzio Caccavo dei quali ho utilizzato trascrizioni dei loro appunti per ricostruire gli argomenti arontati a lezione. Un ringraziamento va anche ad Enrico Maggio che ha evidenziato i numerosi errori di battitura presenti nella prima stesura. Desidero ringraziare inne il Prof. Michele Napolitano per aver letto il materiale ed evidenziato alcune imprecisioni. Dedico queste dispense al mio Maestro il Prof. Paolo Orlandi che mi ha avvicinato alla uidodinamica e mi ha sempre permesso di svolgere liberamente la Ricerca assecondando le mie personali inclinazioni. Marzo 2001, R.V.

Nella seconda versione sono state corrette alcune imprecisioni ed innumerevoli errori di battitura segnalatimi dagli studenti del corso 2000/2001 (dei veri beta-users) che ringrazio sentitamente. Durante lesposizione della teoria sono stati inseriti degli esempi numerici per rendere pi` chiara lapplicazione dei concetti. u Ottobre 2001, R.V.

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Indice1 Generalit` sui uidi a 1.1 denizione di uido . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 concetto di continuo . . . . . . . . . . . . . . 1.3 densit` ed espansione termica . . . . . . . . . a 1.4 comprimibilit` di un uido . . . . . . . . . . . a 1.5 viscosit` e sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . a 1.6 tensione di vapore . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 tensione superciale . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.1 eetto della curvatura della supercie 1.7.2 capillarit` . . . . . . . . . . . . . . . . a 5 5 7 8 10 11 16 17 19 21 25 25 26 29 30 31 32 34 39 41 44 45 51 51 52 55 58 58 59 59 62

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2 Statica dei uidi 2.1 pressione in un uido . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 distribuzione di pressione in un uido . . . . . . 2.3 variazioni di pressione in un uido in quiete . . 2.4 atmosfera standard . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 forze di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5.1 pressione costante . . . . . . . . . . . . . 2.5.2 distribuzione lineare di pressione . . . . 2.5.3 forze di pressione su una supercie curva 2.6 spinta di Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 galleggiamento e stabilit` . . . . . . . . . . . . . a 2.8 misuratori di pressione . . . . . . . . . . . . . . 3 Cinematica dei uidi 3.1 descrizione lagrangiana ed euleriana . . . 3.2 traiettorie, linee di corrente e streaklines 3.3 derivata materiale . . . . . . . . . . . . . 3.4 accelerazione di Lagrange . . . . . . . . 3.5 funzione di corrente . . . . . . . . . . . 3.6 analisi del moto nellintorno di un punto 3.6.1 caso bidimensionale semplicato . 3.6.2 caso generale tridimensionale . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 4 Dinamica dei uidi 4.1 teorema del trasporto di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 equazione di conservazione della massa . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 forma dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 equazione di bilancio della quantit` di moto . . . . . . . . . . . . . a 4.3.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 forma dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 applicazione dellequazione di bilancio della quantit` di moto a 4.4 equazione di conservazione dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 forma dierenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3 applicazione dellequazione di conservazione dellenergia . . . forma dierenziale vs forma integrale . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 4.6 il tensore degli sforzi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 relazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8 equazioni di NavierStokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 varie forme dellequazione dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Equazione di Bernoulli 5.1 seconda legge della dinamica 5.2 equazione di Bernoulli . . 5.3 teorema di Crocco . . . . . 5.4 tubo di Pitot . . . . . . . . 5.5 tubo di Venturi . . . . . . . 6

INDICE 67 67 70 70 71 72 72 73 74 77 77 78 79 84 87 89 91 92 95 95 97 104 104 106

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per un . . . . . . . . . . . . . . . .

uido ideale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Dinamica della vorticit` a 6.1 equazione del trasporto della vorticit` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.2 teorema di Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 teoremi di Helmholtz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111 . 111 . 116 . 117 121 . 121 . 124 . 127 131 . 131 . 133 . 133 . 134 . 135 . 135 . 138

7 Soluzioni esatte delle equazioni di NavierStokes 7.1 usso tra lastre piane e parallele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 usso di Couette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 usso di HagenPoiseuille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Flussi potenziali 8.1 teoria del potenziale . . . . . . . . . . . . 8.2 soluzioni tridimensionali . . . . . . . . . . 8.2.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . 8.2.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . 8.3 sovrapposizione di soluzioni tridimensionali 8.3.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . 8.3.2 la sfera . . . . . . . . . . . . . . . .

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INDICE 8.4 soluzioni bidimensionali . . . . . . . . . . 8.4.1 sorgente e pozzo . . . . . . . . . . . 8.4.2 doppietta . . . . . . . . . . . . . . 8.4.3 vortice libero . . . . . . . . . . . . 8.5 sovrapposizione di soluzioni bidimensionali 8.5.1 il semicorpo . . . . . . . . . . . . . 8.5.2 il cilindro . . . . . . . . . . . . . . 8.5.3 il cilindro rotante . . . . . . . . . . 9 Strato Limite 9.1 equazioni di Prandtl . . . . . . . . . 9.2 separazione dello strato limite . . . . 9.3 soluzione simile . . . . . . . . . . . 9.4 equazione integrale dello strato limite 10

3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 141 142 143 145 145 145 148

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155 . 157 . 158 . 160 . 167 173 . 173 . 182 . 186 . 189 195 . 197 . 200 . 204 . 206 . 206 . 212 . 215 . 218 . 219 . 222 . 223 . 229

Turbolenza 10.1 fenomenologia della turbolenza . . . . . . . . . . 10.2 equazioni di Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 viscosit` turbolenta e lunghezza di mescolamento a 10.4 turbolenza omogenea ed isotropa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 Forze uidodinamiche e similitudini 11.1 teorema di Buckingham ed analisi dimensionale 11.2 similitudine dinamica . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 similitudine distorta . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Studio di ussi particolari . . . . . . . . . . . . 11.4.1 Flusso intorno a corpi immersi . . . . . . 11.4.2 Flussi con supercie libera . . . . . . . . 11.4.3 Flusso nelle macchine rotanti . . . . . . 11.5 Flusso in circuiti chiusi . . . . . . . . . . . . . 11.6 Legge di Darcy-Weisbach . . . . . . . . . . . . . 11.6.1 tubi a sezione non circolare . . . . . . . 11.6.2 perdite concentrate . . . . . . . . . . . . 11.7 forze aerodinamiche . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Cenni sui ussi comprimibili 247 12.1 propagazione di piccole perturbazioni e velocit` del suono . . . . . . . . . . 247 a 12.2 Flusso quasi unidimensionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 261 271

13 Alcuni personaggi storici della uidodinamica 14 Bibliograa e letture consigliate

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INDICE

Capitolo 1 Generalit` sui uidi a1.1 denizione di uido

La uidodinamica ` quella branca della meccanica del continuo che studia la dinamica e dei uidi. Sebbene a livello euristico ognuno di noi intuisce che acqua ed aria sono dei uidi, mentre un blocco di marmo o un cubo di acciaio non lo sono, la denizione di uido non ` un concetto ben denito in quanto si basa pi` sulla risposta del materiale e u alle sollecitazioni esterne piuttosto che sulla struttura della materia. Per vie molto generali si possono schematizzare i solidi come dei materiali in cui gli atomi o le molecole occupano delle posizioni ben denite (gura 1.1a) e vengono mantenuti in tali posizioni da forze che divengono fortemente repulsive appena la distanza tende a diminuire ed attrattive quando aumenta (gura 1.2). In tale situazione gli atomi vibrano con oscillazioni di piccola ampiezza senza tuttavia modicare la struttura del legame.

a)

b)

c)

Figura 1.1: Disegno schematico della struttura di solidi a), gas b), e liquidi c). Al contrario nei gas (gura 1.1b) gli atomi o molecole non hanno una posizione denita e si muovono di un moto casuale (agitazione termica) variando in continuazione direzione a causa degli urti tra le varie molecole. La distanza media percorsa tra un urto ed il successivo ` detta libero cammino medio () e nei gas questa distanza ` molto pi` grande e e u della distanza d di equilibrio tra forze attrattive e repulsive. Ci` giustica la grande facilit` o a che hanno i gas di cambiare volume quando viene variato lo spazio a loro disposizione. 5

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` CAPITOLO 1. GENERALITA SUI FLUIDI

forza

(repulsione) distanza d (attrazione)Figura 1.2: Diagramma indicativo delle forze tra molecole al variare della loro distanza. I liquidi hanno una struttura intermedia tra i solidi ed i gas in quanto sono formati da molecole la cui distanza reciproca ` mediamente dellordine di d ma non sono vincolate e a mantenere una posizione ssa (gura 1.1c). Da questa struttura ne consegue che un liquido varia la propria forma con estrema facilit` mentre per avere variazioni di volume a servono sollecitazioni esterne estremamente elevate. Per fare degli esempi tangibili, si pu` pensare ad una particella di un solido come a o delle sferette collegare tra loro tramite molle molto rigide; applicando delle forze esterne si possono far variare le distanze relative tra le sferette ma al cessare delle sollecitazioni la disposizione iniziale viene ristabilita. Un semplice modello di gas si potrebbe realizzare con una ventola che tiene in costante agitazione delle palline di polistirolo allinterno di un sacchetto di plastica. Se si varia il volume del sacchetto, le palline tendono comunque a vagare allinterno dellintero volume messo a disposizione mentre applicando delle forze esterne ` possibile variare tanto il volume quanto la forma dellinvolucro. Un liquido, e inne, si pu` pensare come ad un sacchetto di plastica pieno di biglie; applicando delle o sollecitazioni tangenziali si pu` deformare il sacchetto a piacimento, se invece si prova a o comprimere linvolucro si ottengono variazioni di volume praticamente nulle 1 . Finora abbiamo descritto alcune propriet` dei materiali guardando alla loro struttura a microscopica, cercando cio` di dedurre le loro propriet` in base alla disposizione dei loro e a atomi o molecole. Abbiamo cos` visto come gas e liquidi siano accomunati dalla caratteQuesta descrizione vuole avere uno scopo puramente introduttivo ed ` ben lungi dal dare una visione e completa della struttura della materia. Infatti, esistono sostanze dette solidi amor (come il vetro) che pur avendo una struttura simile ad un liquido hanno tutte le caratteristiche esterne dei solidi. Analogamente esistono delle sostanze che si comportano come dei solidi no ad un certo valore della sollecitazione esterna e come dei uidi per sollecitazioni oltre il valore di soglia (uidi di Bingham). Inne le caratteristiche di un materiale dipendono dalle condizioni esterne di pressione e temperatura e spesso in prossimit` delle a transizioni da un stato allaltro si hanno dei materiali ambigui con caratteristiche contemporanee di solidi e liquidi o liquidi e gas.1

1.2. CONCETTO DI CONTINUO

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ristica di cambiare facilmente forma quando sono soggetti ad unazione esterna di taglio. In base a questa propriet` deniremo uido come un materiale in grado di deformarsi a indenitamente quando sottoposto ad una sollecitazione tangenziale esterna ed al cessare di tale azione non recupera la sua forma iniziale. In altre parole, in condizioni di quiete, un uido resiste solo agli sforzi normali. Bisogna notare come queste denizioni siano di tipo fenomenologico, in quanto prescindono dalla struttura intima del materiale ma considerano solo la sua risposta ad azioni esterne.

1.2

concetto di continuo

Come abbiamo visto in precedenza la denizione di uido implica la reazione macroscopica di un materiale a delle azioni esterne e richiede quindi la valutazione di quantit` su a scala estremamente pi` grande rispetto a quella molecolare; ci` conduce in modo naturale u o alla denizione del concetto di continuo. Si consideri una qualunque grandezza q (pressione, temperatura velocit`, energia, etc.) e si valuti la sua dipendenza dallestensione a del volume sul quale viene misurata. In generale si otterr` un andamento come quello in a gura 1.3 dove si possono osservare tre regioni distinte. Nella regione I si hanno variazioni discontinue della grandezza misurata dovute alla insucienza statistica dei campioni contenuti nel volume di misura; se infatti si misurasse la temperatura o la pressione in un volume di misura cos` piccolo da contenere 12, 57 o 200 molecole, la media di q risulte rebbe fortemente dipendente dal numero di campioni e quindi dallestensione del volume stesso. Nella regione II si ha invece un valore stabile di q in quanto il volume di misura contiene un numero elevato di atomi o molecole (> O(106 )) e quindi la media di q risulta indipendente dallestensione del volume stesso. Nellultima parte del graco, inne (regione III) si hanno nuovamente delle variazioni di q questa volta per` legate al fatto che o le quantit` sono delle funzioni dello spazio ed il loro valore varia quindi da punto a punto. a Abbiamo cos` stabilito che per poter parlare di continuo, bisogna avere allinterno del proprio volume di misura un numero sucientemente elevato di atomi o molecole in modo da avere delle medie indipendenti dal numero di elementi contenuti nel volume stesso. Rimane quindi da stabilire quanto piccolo si pu` assumere un elemento in modo da mano tenere valide le ipotesi di continuo per capire se i fenomeni che avvengono comunemente possono essere studiati utilizzando questa assunzione oppure se si deve considerare la dinamica delle singole molecole. Per fare una stima di massima, si pu` valutare il volume o occupato da una mole di gas in condizioni normali (temperatura T = 15o C e pressione p = 1atm) che ` di circa 22.4 litri; daltra parte una mole di gas contiene un numero di e molecole pari al numero di Avogadro n 6.02 1023 da cui si deduce facilmente che in un volume di un dm3 ci sono 2.5 1022 molecole, in un mm3 ce ne sono 2.5 1016 mentre in un m3 (ossia in un cubo di un millesimo di millimetro di lato) ce ne sono circa 2.5 107 . Questo semplice esempio numerico ci fa capire come nella pressoch totalit` dei ussi e a incontrati nella vita quotidiana, lipotesi di continuo sia ampiamente soddisfatta potendo cos` parlare di propriet` del uido senza considerare le caratteristiche delle singole mole a cole appartenenti alla particella uida. Lesempio precedente, tuttavia, ci fa anche capire

8


q I II III

volumeFigura 1.3: Variazione del valore misurato di una grandezza q in relazione alle dimensioni del volume di misura. come la validit` o meno dellipotesi di continuo dipenda fortemente dalle condizioni estera ne di pressione. Se per esempio ci si trovasse in un ambiente con una pressione di 105 atm alla temperatura di T = 0o C un volume di un mm3 conterrebbe solo 4.08 106 molecole ponendo in dubbio lipotesi di continuo per dimensioni pi` piccole. In tale situazione si u trova sicuramente la navetta spaziale space shuttle quando orbita alla quota di 100km intorno alla terra. Lindice di rarefazione di un gas viene misurato dal numero di Knudsen Kn denito come il rapporto tra il libero cammino medio delle molecole e la dimensione L delloggetto intorno a cui si considera il usso. Per poter utilizzare lipotesi di continuo deve risultare Kn 0 dovendo cio` risultare le dimensioni macroscopiche del usso e incomparabilmente pi` grandi della scala di lunghezza delle collisioni intermolecolari. Al u contrario per Kn 1 le due lunghezze sono comparabili ed in queste condizioni si parla di gas rarefatti per i quali bisogna ricorrere a schematizzazioni dierenti. Tralasciando tuttavia questi casi molto particolari possiamo aermare che la uidodinamica tratti essenzialmente dei modelli continui e nello specico noi ci limiteremo alla trattazione di questi ultimi.

1.3

densit` ed espansione termica a

La densit` di un uido misura la quantit` di massa contenuta nellunit` di volume e viene a a a generalmente indicata con il simbolo . La sua unit` di misura nel Sistema Internazionale a (SI) ` Kg/m3 ed il valore dipende sia dalle condizioni esterne di temperatura che da quelle e pressione. Mentre nei gas si possono ottenere variazioni considerevoli di densit` cambiando a pressione o temperatura, nei liquidi queste sono normalmente di entit` modesta anche se a in entrambi i casi i loro eetti sono di straordinaria importanza. Un uido riscaldato, infatti, si espande e diminuisce di densit`, se quindi il riscaldamento avviene su una a

` 1.3. DENSITA ED ESPANSIONE TERMICA

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porzione limitata di uido, questo avr` una densit` minore dellambiente circostante e a a tender` a salire. Questo fenomeno ` la causa dei moti atmosferici ed oceanici e viene a e utilizzato in innumerevoli applicazioni pratiche.1.3 3 1.21

(Kg/m )

aria

1.10.9995 0.999

H O .10-320 4 8 12

1 0.9 0 20 40

H O .10-32

T ( C)Figura 1.4: Variazione della densit` con la temperatura per aria ed acqua; nella gura a a sinistra ` riportato uno zoom dellanomalia di variazione per lacqua. e In gura 1.4 ` riportata la variazione di densit` per aria ed acqua, alla pressione di e a una atmosfera, in funzione della temperaura dove si nota che in entrambi i casi la densit` a diminuisce al crescere T . Appare chiaro che le variazioni sono di natura non lineare anche se, per piccole variazioni di temperatura si pu` approssimare la curva con una relazione o del tipo 0 = (T T0 ), oppure = T, (1.1) 0 0 in cui 0 ` il valore della densit` alla temperatura T0 e 0 ` la pendenza locale della e a e curva. ` generalmente negativo (densit` decrescente per temperatura crescente) ma di e a particolare rilevanza risulta lanomalia dellacqua che la porta ad avere la sua massima e densit` alla temperatura di T = 4o C. Questo comportamento ` infatti responsabile a della sopravvivenza delle forme di vita in acqua, in quanto non permette ad acqua di u temperatura inferiore a T = 4o C di occupare gli strati pi` profondi. Se supponessimo al contrario che lacqua si comportasse come laria (e come la pressoch totalit` dei uidi) e a allora la densit` diminuirebbe in modo monotono con la temperatura e lacqua pi` fredda a u si disporrebbe al di sotto di quella pi` calda. Al contrario sul fondo degli oceani e dei u laghi alpini lacqua si trova costantemente alla temperatura di T = 4o C ed in base al diagramma di gura 1.4 non c` modo per acqua pi` fredda di prendere il suo posto, e u garantendo cos` la sopravvivenza di ora e fauna.

o

60

80

100

10


1.4

comprimibilit` di un uido a

Unimportante propriet` di un uido ` la sua comprimibilit`, ossia quanto facilmente a e a varia percentualmente il proprio volume conseguentemente a variazioni di pressione. Supponendo di avere inizialmente un uido che occupa un volume V si avr` che dopo aver a applicato una dierenza di pressione dp il volume iniziale sar` variato di una quantit` dV a a da cui si pu` denire il modulo di comprimibilit` come o a E= dp , dV /V (1.2)

le cui unit` di misura sono le stesse della pressione (Pa) ed il segno negativo tiene in a conto il fatto che per variazioni di pressione positive si hanno diminuzioni di volume, ossia dV negativi. In alcuni casi viene usato linverso di E che ` chiamato coeciente di e comprimibilit` = 1/E. Ricordando che la massa m ` data dal prodotto di densit` per a e a volume e dierenziando logaritmicamente la relazione m = V si ottiene dV /V = d/ da cui di ottiene dp . (1.3) E= d/ Nel caso dei liquidi E assume dei valori estremamente elevati, (E = 2.15 109 Pa per lacqua, E = 2.85 1010 Pa per il mercurio, E = 1.3 109 Pa per la benzina) indicando che per variazioni di pressione limitate si hanno variazioni di volume praticamente trascurabili, da cui la considerazione dei liquidi come incomprimibili. Per quanto riguarda i gas, evidentemente il valore di E rimane indeterminato no a quando non si specica la natura della trasformazione che lega p a (o a V ). Se per esempio si considera la politropica p/k = const. si ha: k dp kp d = 0, k1 dp = kp, d/ da cui E = kp. (1.4)

Dalla relazione di sopra si vede che se per esempio la trasformazione ` isoterma p/ = e const. (k = 1) allora si avr` E = p mentre per una isentropica p/ = const. (k = = a Cp /Cv rapporto tra i calori specici a pressione e volume costante) risulta E = p 2 .Volendo mettere insieme i risultati di questa sezione e della precendente per le variazioni di densit` a si pu` scrivere o dT + dp = p dT + dp, (1.5) d = T p=const. p T =const. ET dove si ` indicato con p il coeciente di espansione termica a pressione costante e con ET il modulo di e comprimibilit` del uido a temperatura costante. Nel caso in cui il uido in esame sia un gas che rispetta a la legge di stato dei gas perfetti si avr`, p = 1/T ed ET = p da cui si ottiene a d dT dp = + , T p (1.6)2

come si sarebbe potuto ottenere direttamente per dierenziazione logaritmica della legge di stato dei gas perfetti.

` 1.5. VISCOSITA E SFORZI ESEMPIO Sia dato un uido di volume iniziale V0 . Sapendo che dopo aver aumentato la sua pressione di p il suo volume diminuisce della percentuale %V calcolare il suo modulo di comprimibilit`. p = 8GPa, %V = 24.47. a Soluzione Dalla denizione di modulo di comprimibilit` a E= si ottiene per integrazione dV dp = V E = log p Vf = , V0 E dp , dV /V

11

essendo Vf il volume nale. Ma risulta Vf /V0 = 1 %V /100 e quindi E = e e 2.85 1010 Pa (il uido ` cio` mercurio).

1.5

viscosit` e sforzi a

Si consideri una particella uida inizialmente a forma di parallelepipedo e si applichi su una sua supercie S una forza F diretta come in gura 1.5a. La particella uida verr` quindi a sottoposta ad uno sforzo di taglio = F/S che la deformer` come mostrato in gura a 1.5b. Poich stiamo considerando un uido, questo si deformer` con continuit` sotto e a a lazione dello sforzo costante , quindi invece di determinare la deformazione dovremo determinare la velocit` di deformazione. Assumendo che la supercie superiore si muova a con una velocit` costante U , in un tempo t percorrer` una distanza U t producendo a a una deformazione angolare tg() = U t/b . Per la velocit` di deformazione a 3 angolare si pu` scrivere = limt0 /t = U/b = dU/dy . o Se eettuassimo un numero elevato di questi esperimenti con diversi valori di scopriremmo che la velocit` di deformazione angolare risulta sempre proporzionale allo sforzo a applicato attraveso una costante che dipende solamente dal tipo di uido considerato e dalla sua temperatura. Si potr` cos` scrivere = ossia a = dU , dy (1.7)

che permette di calcolare lo sforzo generato internamente ad un uido nota la sua velocit` a di deformazione. Le relazione che lega linearmente la velocit` di deformazione con gli sforzi a ` caratteristica di una classe di uidi detti uidi newtoniani. Sebbene la relazione (1.7) eCi` risulta vero solo se si suppone che una tale congurazione produca una distribuzione lineare di o spostamenti allinterno della particella uida. La fondatezza di tale assunzione e le ipotesi di validit` a verrano dimostrate rigorosamente in seguito.3

12S

` CAPITOLO 1. GENERALITA SUI FLUIDIUt y

F

b

a)

b) Figura 1.5: Schema delle deformazione di una particella uida.

sia la pi` semplice che si possa immaginare, tutti i uidi di uso pi` comune obbediscono u u abbastanza fedelmente alla relazione appena descritta. Acqua ed aria sono i uidi pi` u importanti ma anche i vari gas in condizioni non critiche, gli idrocarburi ed il mercurio obbediscono in modo altrettanto fedele alla relazione lineare di sopra.

oil (N/m2 )3

2

blood Bingham fluid water

1

0

0 100 200 300 4001 dU/dy (s )

Figura 1.6: Diagramma di sforzo vs shear per vari uidi newtoniani e non. Ci sono, tuttavia, diverse eccezioni al comportamento lineare che rivestono una notevole importanza nella vita quotidiana. Il sangue, ad esempio, reagisce con sforzi che aumentano meno che linearmente con (gura 1.6) permettendo cos` al cuore di pom pare, a parit` di portata con minore sforzo. Questi uidi appartengono alla categoria a shearthinning e sono caratterizzati da un comportamento pressoch newtoniano per e bassi valori della velocit` di deformazione (come il sangue che uisce nellaorta) mentre a negli altri casi (sangue nei capillari) hanno un comportamento non newtoniano. Una differente classe di uidi ` costituita da quelli che non danno luogo ad alcuna deformazione e per valori dello sforzo di taglio al di sotto di un certo valore limite (0 ) mentre presentano una relazione lineare del tipo 0 = per 0 . Questi uidi sono detti di Bingham (gura 1.6) e se si pensa alle dune di sabbia si ha una chiara dimostrazione di

` 1.5. VISCOSITA E SFORZI

13

questo fenomeno; sui lati della duna, infatti, agisce la componente tangenziale della forza di gravit` che tuttavia produce uno sforzo minore del 0 caratteristico di quella particolare a sabbia. Se per` cambia la pendenza (per esempio a causa del vento) allora gli strati di o sabbia cominciano a scivolare gli uni sugli altri no a ristabilire valori di al di sotto di quello di soglia. La trattazione dei diversi tipi di uido ` studiato dalla disciplina chiae mata reologia ed esula comunque dallo scopo delle presenti note che hanno un carattere prevalentemente introduttivo. Per comprendere in che modo la viscosit` agisce in un uido, riconsideriamo lesempio a di gura 1.5 in cui un elemento di uido inizialmente a forma di parallelepipedo viene deformato in seguito al moto traslatorio di una supercie superiore con velocit` U (gura a + 1.7). Immediatamente dopo linizio della traslazione (t = 0 ) solamente le molecole di uido a contatto con la supercie in moto verranno trascinate con essa mentre gli strati inferiori di uido permarranno nel loro stato di quiete. A causa del moto di agitazione termica, tuttavia, le molecole in moto trasferiranno parte della loro quantit` di moto a a quelle statisticamente ferme che a loro volta inizieranno a muoversi (gura 1.8a). Questo processo raggiunger` un equilibrio quando si bilancer` lazione degli strati superiori a a di uido che tenderanno a far muovere tutto lelementino con velocit` U e quelli della a supercie inferiore che tendono ad arrestare gli strati no ad una velocit` U = 0 (gura a 1.8b).

U

t0

t1

t2

t3

t4

Figura 1.7: Trasferimento di quantit` di moto ad istanti successivi tra strati di uido a inizialmente in quiete. Seguendo lesempio precedente appare evidente come il moto caotico delle molecole causi la diusione di quantit` di moto allinterno di un uido; questa attitudine alla a diusione viene misurata dalla viscosit` le cui dimensioni possono essere facilmente a ricavate dalla relazione (1.7) e sono N s/m2 4 . Il meccanismo microscopico che genera la viscosit` giustica anche il fatto che quea sta quantit` sia fortemente dipendente dalla temperatura; al crescere di questa infatti, a aumenta il moto caotico di agitazione delle molecole e quindi diventer` pi` eciente la a uE interessante notare come nel linguaggio quotidiano il concetto di viscosit` venga spesso confuso a con quello di densit`. Si sente infatti spesso dire un liquido molto denso per indicare una sostanza a viscosa. Tuttavia densit` e viscosit` non sono aatto legate visto che la prima indica la quantit` di a a a massa contenuta nellunit` di volume mentre la seconda indica la facilit` che ha un uido a diondere a a la quantit` di moto; per esempio lolio ` pi` viscoso dellacqua ma meno denso come possiamo osservare a e u dal galleggiamento di questultimo sullacqua.4`

14

` CAPITOLO 1. GENERALITA SUI FLUIDIy t0 t1 t2 t3 t4

U y

U

U

a)

b)

Figura 1.8: a) schema di diusione di quantit` di moto tra due strati di uido inizialmente a in moto (particelle nere) e fermo (particelle bianche). b) evoluzione temporale del prolo di velocit` nellesempio di gura 1.7. a

diusione secondo quanto precedentemente descritto. Ci` si osserva a livello macroscoo pico nei gas con una viscosit` che cresce con la temperatura. Nei liquidi questo eetto a deve competere con uno opposto, cio` lindebolirsi del legame che tiene le molecole vicine. e Allaumentare dela temperatura si verica cio` una maggiore mobilit` delle molecole che e a tende a far diminuire la viscosit`. Questultimo eetto prevale sul primo con la consea guenza che nei liquidi la viscosit` diminuisce con la temperatura. Un esempio quotidiano a di tale fenomeno si osserva quando in cucina si mette dellolio in una padella. Inizialmente lolio si muove con dicolt` aderendo al fondo della padella e uendo molto lentamena te nonostante si disponga la supercie verticalmente; non appena si accende la amma, al contrario, si osserva che lolio uisce con maggiore facitit` e, quando ` ben caldo, si a e comporta come se fosse acqua. Un graco della variazione di per aria ed acqua ` riportato in gura 1.9 dove si pu` e o notare il comportamento opposto al crescere della temperatura caratteristico per gas e liquidi. La pressione ha generalmente un eetto assai ridotto sulla viscosit` e viene di a solito trascurato. Si vedr` nel seguito che ricorrer` spesso la quantit` a a a = , (1.8)

a le cui dimensioni sono m2 /s, che prende il nome di viscosit` cinematica per distinguerla dalla viscosit` dinamica . Dallequazione (1.8) si pu` notare che comparendo la densit` a o a nella denizione di questultima ha una dipendenza dalla pressione. Infatti, se un uido viene compresso la sua densit` aumenter` e conseguentemente diminuir` la viscosit` a a a a cinematica. Questo eetto ` molto importante per i gas mentre si pu` generalmente e o trascurare nel caso dei liquidi.

` 1.5. VISCOSITA E SFORZI2.4 2

15

1.6 . s/m2 ) (N1.2 0.8 0.4 0 0 20 40

air .10

5

H O .10 32

60

80

T ( C)Figura 1.9: Variazione della viscosit` con la temperatura per aria ed acqua. a

o

100

ESEMPIO Sia dato il usso dacqua tra due laste piane e parallele come in gura in cui la parete superiore si muove con velocit` U . Sapendo che il prolo di velocit` tra le a a due lastre ` lineare e che la parete inferiore, vincolata ad una molla con costante e elastica K, viene spostata di una quantit` x, determinare il valore di U . al U h

k

h = 4 mm l=1m x = 0.25 cm K = 103 N/m b = 1.3 m b ` la dimensione nella direzione e ortogonale al foglio

Soluzione Dalle indicazioni del testo (si vedr` in seguito che questa ` una soluzione esatta a e delle equazioni del moto) si ha che il prolo di velocit` tra le due lastre ` dato a e da: u(y) = U y/h (se y ` la coordinata ortogonale alle due lastre con origine sulla e lastra ferma). La risultante delle forze viscose sulla parete inferiore si ottiene integrando lo sforzo di parete w = (u/y)y=0 = U/h sulla supercie della parete F = S w dS = U bl/h e questa forza deve eguagliare la reazione della molla F = kx. Da questa relazione si ricava il valore di U = kxh/(bl) = 6.86 m/s.

16


1.6

tensione di vapore

Se riconsideriamo per un istante la schematizzazione di liquido data in gura 1.1c possiamo osservare che le varie molecole pur nel loro moto caotico di agitazione termica sono tenute insieme da delle forze di coesione. A livello statistico, tuttavia, ci saranno delle molecole con energia cinetica maggiore che potranno quindi abbandonare la particella uida. Questo fenomeno si traduce nellosservazione comune che se un recipiente viene parzialmente riempito di liquido e nello spazio rimanente viene fatto il vuoto si osserva la progressiva formazione di vapore, ossia di molecole di liquido allo stato gassoso, no al raggiungimento di una condizione di equilibrio (gura 1.10). A livello microscopico, questo equilibrio esprime il bilanciamento statistico tra le molecole che lasciano la fase liquida per entrare in quella gassosa e quelle che seguono il percorso inverso. Il valore di equilibrio della pressione del vapore viene detto tensione di vapore ed il suo valore sar` a fortemente dipendente dalla temperatura. Come ci si aspetta, infatti, a temperature maggiori le molecole saranno animate da un moto di agitazione termica pi` intenso e quindi u un maggior numero avr` energia cinetica suciente a lasciare la fase liquida. La tensione a di vapore sar` quindi una funzione crescente della temperatura e quando questa pressione a uguaglia la pressione esterna si verica lebollizione del liquido 5 .

pv

pv T

tFigura 1.10: Schema di formazione della fase gassosa al di sopra di un liquido. Questo fenomeno trova un posto di particolare rilevanza nella tecnologia in quanto, come si vedr` in seguito, allinterno di un uido in moto si producono delle zone di bassa a pressione dove la velocit` ` elevata. Se localmente la pressione scende al di sotto della ae tensione di vapore, il liquido bolle formando delle sacche di gas che quando si richiudono implodono violentemente generando intenso rumore e causando ingenti danni alle strutture. Questo fenomeno ` noto come cavitazione ed ` particolarmente noto ai costruttori e e di turbine che sono costretti alla periodica sostituzione delle palette a causa della loro usura (vedi gure 1.11 e 1.12).Questo ` il motivo per cui in alta montagna non si riesce a cucinare la pasta al dente. Si verica e infatti che siccome la pressione ambiente diminuisce con la quota, la tensione di vapore dellacqua bilancia la pressione ambiente a temperature inferiori a T = 100o C (per esempio alla quota di 3000m lacqua bolle a 90o C) e la pasta cuocendo in acqua a temperatura bassa perde la sua consistenza.5

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE

17

Figura 1.11: Visualizzazione della formazione di zone di cavitazione nel usso intorno ad unelica per propulsione navale in acqua.

Figura 1.12: Usura della supercie di pala di unelica navale prodotta dal fenomeno della cavitazione.

1.7

tensione superciale

Nella sezione 1.1 abbiamo visto che nei liquidi ci sono delle forze coesive che tendono a mantenere le molecole a contatto tra loro; ci` implica che, al contrario dei gas che si o

18


espandono no ad occupare lintero volume messo a loro disposizione, i liquidi formano degli agglomerati compatti in modo da rendere minima la supercie esposta per un dato volume 6 . Questo fenomeno si osserva comunemente quando si formano delle goccie dacqua su una supercie grassa o sulla carta oleata, oppure quando si dispone del mercurio su un piano. In altre parole, in prossimit` di uninterfaccia tra un liquido ed un gas o a tra liquidi immiscibili, le forze intermolecolari non sono bilanciate in tutte le direzioni e generano un sistema di tensioni che ha lo stesso eetto di una pellicola superciale. La presenza di questa pellicola pu` essere evidenziata osservando alcuni insetti in grado di o camminare sulla supercie degli stagni come se si muovessero su una membrana elastica, cosa evidentemente impossibile in assenza delle tensioni di suercie. Le carateristiche di queste tensioni dipendono dalla natura dei due uidi a contatto e dalla temperatura (oltre che dal grado di purezza dei uidi) e possono essere sia di natura attrattiva che repulsiva. ` E bene osservare che le forze coesive tra molecole sono presenti in tutti i punti del uido, sia allinterno che allinterfaccia; nel primo caso, tuttavia queste avranno risultante nulla in quanto si bilanceranno tra loro (gura 1.13a). Nelle zone di interfaccia, al contrario, le molecole non sono circondate dallo stesso uido su ogni lato e la risultante delle forze di coesione ` diversa da zero (gura 1.13b). Ci` implica che le molecole allinterno del uido e o possono muoversi in qualunque direzione senza che le forze coesive oppongano alcuna resistenza. Viceversa se si prova a spostare una molecola allinterfaccia ulteriormente al di fuori della particella uida le forze coesive si opporrano generando una tensione allo stesso modo di una membrana elastica.

a)

b)

Figura 1.13: Forze di coesione agenti in un liquido su una molecola interna a) ed ` riportata la congurazione con linterfaccia e allinterfaccia b). Con la linea deformata.

In assenza di perturbazioni esterne questa supercie ` quella sferica. Nella realt`, tuttavia, il uido e a ` sottoposto anche allazione della gravit` che tende a deformare la supercie. Comunque per goccie e a particolarmente piccole, poich le forze di volume tendono a zero pi` rapidamente di quelle superciali, e u la forza peso si pu` trascurare e le superci sono eettivamente delle sfere. o

6


19

1.7.1

eetto della curvatura della supercie

Le azioni di tensione superciale allinterfaccia tra due uidi immiscibili genera delle forze tangenti alla supercie stessa che, nel caso di uninterfaccia non piana, induce anche una forza normale e quindi una dierenza di pressione tra i uidi. Per mettere in relazione questa dierenza di pressione con le caratteristiche geometriche della supercie, consideriamo lo schema in gura 1.14 in cui viene isolato un elemento di supercie con i lati dl1 e dl2 ortogonali e raggi di curvatura, rispettivamente, r1 ed r2 . Detta dl2 la forza ortogonale al lato dl2 si ha che la componente in direzione normale risulta dF2 = dl2 d = dl1 dl2 r1 (1.9)

con unespressione analoga per la forza ortogonale al lato dl1 ; dF1 = (dl1 dl2 )/r2 . Queste forze sono bilanciate dalla dierenza di pressione tra i uidi, ottenendo pdl1 dl2 = dl1 dl2 1 1 + r1 r2 = p = 1 1 + r1 r2 (1.10)

con la pressione maggiore dal lato convesso della supercie. ` e E utile osservare che la quantit` 1/r1 + 1/r2 , che ` il doppio del raggio di curvatura a medio della supercie, ` un invariante geometrico indipendente dal sistema di riferimento e scelto e ci` torna intuitivamente con il fatto che la dierenza di pressione che si genera alo linterfaccia tra i due uidi deve chiaramente essere indipendente dal sistema di riferimento che si sceglie per descrivere il fenomeno.

d r1 r2 dl2 d 2 dl2 dl1 dl 1 dl2

d

Figura 1.14: Sistema di forze generate dalla tensione superciale su una supercie curva.

20


La situazione appena illustrata si riferisce ad ununico uido circondato da un gas oppure da un uido circondato unicamente da un altro uido 7 . La congurazione diventa notevolmente pi` complesa nel caso in cui ci siano pi` uidi a contatto sia con un gas che u u con una supercie solida. Presa come esempio la situazione in gura 1.15 si ha chiaramente che deve risultare (1.11) 13 23 = 12 cos in cui langolo di contatto dipende dai valori delle tensioni superciali dei materiali a contatto. Quando risulta > /2 (ossia 23 > 13 ) si ha che il uido 2 non bagna il mezzo 3 (per esempio mercurio su vetro). Se invece | 13 23 |>| 12 | lequazione (1.11) non pu` evidentemente essere soddisfatta per alcun valore di implicando che non ` o e possibile raggiungere una congurazione di equilibrio come quella riportata in gura 1.15. Questa ` la situazione che tipicamente si verica quando sullinterfaccia ariaacqua si e deposita qualche goccia di olio che tende a spandersi uniformemente no a formare un sottile velo uniforme.

12 1 13 3Figura 1.15: Sistema di forze generate dalla tensione superciale nel punto di contatto tra tre mezzi diversi (di cui almeno uno sia un liquido). Una situazione comune in cui la tensione superciale ha un ruolo determinante ` e nellimpatto di un corpo con uninterfaccia tra uid immiscibili. In questo caso, infatti, limpatto produce una deformazione della supercie con linee a piccolo raggio di curvatura. In queste regioni la tensione superciale ha un eetto dominante sulle altre forze e tende a generare delle piccole goccie che minimizzano la supercie esposta rispetto al volume di uido contenuto (gura 1.16). Questo ` lo stesso motivo per cui quando si lascia scendere dal rubinetto un lino e dacqua questo prima o dopo si frantuma in piccole gocce. Le particelle uide, infatti, a causa della forza di gravit` tenderebbero ad aumentare indenitamente la loro velocit` e a a la vena uida, per conservare la portata, dovrebbe diventare innitamente sottile. Accade quindi che la distanza tra punti diametralmente opposti della supercie del getto diviene tanto piccole da permettere alla tensione superciale di diventare ecace e rompere la vena continua in molteplici gocce (gura 1.17).7

23 2

In questo caso la tensione superciale ` il valore di un uido rispetto allaltro. e


21

Figura 1.16: Deformazioni della supercie libera e frammentazione conseguente allimpatto di una goccia dacqua con uninterfaccia acqua/aria.

Figura 1.17: Rottura di un getto dacqua a sezione circdolare di diametro d = 4 mm indotta dalla tensione superciale.

1.7.2

capillarit` a

Consideriamo inne la combinazione di eetti di tensione superciale e forza di gravit` il a cui fenomeno pi` noto ` quello della capillarit`. In gura 1.18 sono riportati due esempi u e a di comportamento per le interfacce tra ariaacquavetro e ariamercuriovetro da cui si pu` vedere che non solo i fenomeni di tensione superciale dipendono dalla natura dei o due uidi ma anche dalle forze di adesione dei uidi con il solido. Nellesempio specico ` rappresentato un capillare (un tubicino di sezione O(1)mm) in vetro immerso in un e recipiente contenente del uido. A seconda dei casi, linterfaccia ariauido pu` salire o o scendere rispetto al livello esterno e per il calcolo dellaltezza h si procede semplicemente eettuando un bilancio di forze. Se esprime il valore della tensione superciale (in unit` a N/m) la forza totale esercitata dallinterfaccia sar` pari al perimetro della circonferenza a moltiplicata per il valore della tensione ossia 2R orientata come in gura 1.18c. Questa forza, proiettata nella direzione verticale dovr` bilanciare il peso della colonna di uido a sollevata (o abbassata); risulter` quindi: a 2R cos = ghR2 , h= 2 cos , gR (1.12)

dove si osservi che h ` la quota media dellinterfaccia. e

22


Il valore dellangolo ` determinato dal bilancio tra le forze di adesione tra il uido ed e il capillare e le forze di coesione allinterno delle molecole del uido. Se un uido tende a bagnare una supercie allora le forze di adesione superano quelle di coesione e langolo sar` minore di 90o . Sa al contrario il uido non aderisce al capillare allora saranno a le forze di coesione a prevalere su quelle di adesione e langolo risulter` maggiore di a o 90 . La determinazione di viene eettuata per via sperimentale ed acqua e mercurio sono due prototipi di uido per i comportamenti precedentemente descritti risultando, rispettivamente H2 O 0o e Hg 130o .

R

h

2R

a)

b)

g R hFigura 1.18: Esempi di tensione superciale allinterfaccia tra ariaacquavetro a), aria mercuriovetro b). Bilancio tra forza peso e tensione superciale c).

2

c)

1.7. TENSIONE SUPERFICIALE ESEMPIO Assumendo che la linfa salga dalle radici alle foglie di un albero per capillarit` a calcolare il raggio dei vasi linfatici (supposti circolari) per un albero di altezza h = 15 m. Soluzione Come ` stato detto, i fenomeni di tensione superciale dipendono sia dal uido e e dal suo grado di purezza sia dal materiale con il quale viene a contatto. Tuttavia, volendo attenere una stima di larga massima, si possono assimilare le propriet` a della linfa a quelle dellacqua ed i vasi linfatici ad un capillare in vetro. In tal caso, ricorrendo alla formula (1.12) avendo posto 0 e = 7.34 102 N/m si ottiene 2 cos R= = 9.97 107 m. gh Il presente valore ( 1m) risulta estremamente piccolo ed ` poco probabile che e allinterno do un tronco si possa realizzare un condotto, privo di imperfezioni del raggio di 1m per tutta la sua lunghezza. Nella realt` il meccanismo che porta la linfa alle foglie ` losmosi, in quanto a e evaporando lacqua attraverso le foglie si creano concentrazioni maggiori di sali in alto che attirano lacqua dalle radici.

23

24


Capitolo 2 Statica dei uidiUna categoria importante di problemi della uidodinamica ` costituita da quei fenomeni e in cui il uido si trova in quiete oppure si muove senza generare degli sforzi di taglio; sebbene questa condizione possa sembrare estremamente restrittiva, ci si render` conto a che riguarda una vasta gamma di problemi pratici. Il dimensionamento di una diga, la sollecitazione generata in un serbatoio in pressione, la forma della supercie libera di un liquido in rapida rotazione o il sollevamento in volo di una mongolera sono solo alcuni esempi tra molti che incontriamo nella realt` quotidiana. In tutti questi casi le uniche forze a presenti sono forze di pressione e forze di volume, la determinazione della cui risultante ` e lo scopo di questa parte della uidodinamica.

2.1

pressione in un uido

Volendo determinare la risultante delle forze di pressione su una supercie immersa in un uido, ci si deve porre immediatamente la domanda di come la pressione dipenda dallorientamento dellelemento di supercie su cui agisce. Consideriamo a tale scopo un uido in quiete dal quale si tolga un elemento a forma di prisma e si consideri il diagramma di corpo libero per tale elemento (gura 2.1).

p dyds z y x dz pydzdx ds dx gdxdydz 2 dy

Figura 2.1: Diagramma di corpo libero per un elemento di uido in quiete. 25

26

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI

Essendo lelemento di uido in quiete, la risultante delle forze applicate dovr` essere a nulla; considerando quindi lequilibrio nella direzione verticale z e nella x si ottiene pz dxdy pdyds cos = gdxdydz, px dydz = pdyds sin , (2.1)

da cui osservando che ds sin = dz e ds cos = dx, si ha: pz p = gdz/2 e p = px . Daltra parte, essendo interessati alla pressione in un punto, possiamo far tendere a zero le dimensioni del prisma mantenendone invariata la forma da cui risulta per dx, dy, dz 0 pz = p, px = p, (2.2)

ossia la pressione in un punto ha lo stesso valore indipendente dal valore dellangolo . Se ora ricordiamo che tanto il valore di quanto lorientamento del prisma sono stati scelti in modo del tutto arbitrario arriviamo alla conclusione di validit` generale che il valore della a pressione in un punto ` indipendente dalla direzione in cui agisce, questa aermazione ` e e nota come Legge di Pascal. Questo esempio ci d` anche lo spunto per riettere su unaltra questione molto impora tante in uidodinamica. Indicando con dl lordine di grandezza dei lati del prisma si ha e che le forze di pressione sono proporzionali a dl2 mentre la forza peso ` proporzionale a 3 e o dl . Questa stima ` generale e si pu` applicare a tutte le forze di supercie e di volume. Ci` implica che al diminuire delle dimensioni di un corpo, le forze di volume e di supercie o non diminuiscono nello stesso modo ma le prime perdono sempre pi` importanza mentre u le seconde diventano preponderanti. Questo eetto si chiama eetto scala ed ` il motivo e per cui quando si costruisce un aeromodello non basta ridurre in scala tutte le dimensioni ma bisogna anche cambiare la curvatura dei proli alari per avere un giusto bilanciamento tra il peso dellaeromodello e la forza di sostentamento (portanza) 1 .

2.2

distribuzione di pressione in un uido

Dopo aver stabilito che la pressione in un punto agisce in ugual modo in tutte le direzioni bisogna ora capire in che modo la pressione varia allinterno di un uido in quiete o in moto ma sempre sotto la condizione che non siano presenti degli sforzi tangenziali interni al uido. In modo simile allesempio precedente, si consideri un elemento di uido a forma di parallelepipedo (gura 2.2) e si applichi la seconda legge della dinamica F = ma. Indicando con p il valore della pressione al centro dellelemento ed utilizzando lo sviluppo in serie di Taylor si avr` per le pressioni sulle facce perpendicolari allasse y a pp/y(dy/2) e p+p/y(dy/2) da cui, detta la densit` del uido ed ay la componente a dellaccelerazione lungo la direzione y si pu` scrivere lequilibrio dellelemento: o p1

p dy p dy dxdz p + dxdz = dxdydzay , y 2 y 2

p = ay . y

(2.3)

Un altro esempio si ha negli impatti dei corpi; se cade a terra un cucciolo di elefante o un elefante adulto leetto sulla struttura ossea certamente non sar` lo stesso anche se i due animali possono a certamente essere considerati in scala.

2.2. DISTRIBUZIONE DI PRESSIONE IN UN FLUIDO

27

dz p - p dy dxdz y 2 z p y x dx dy gdxdydz p + p dy dxdz y 2

Figura 2.2: Equilibrio delle pressioni per un elemento di uido.

Lequilibrio si scriver` in modo del tutto analogo nella direzione x mentre per la a direzione verticale z bisogner` includere tra le forze il peso: a

p

p dz p dz dxdy p + dxdy dxdydzg = dxdydzaz , z 2 z 2

(2.4)

ossia p g = ay . z

Se ora osserviamo che il gradiente della pressione (in un sistema di coordinate cartesiane) fornisce lespressione p = p p p x+ y + z, x y z (2.5)

dove x, y e z sono i versori degli assi, ed indicando con f il vettore contente tutte le densit` a di forze di volume (nellesempio in questione f = g), lequilibrio dellelemento di uido z si scrive p + f = a (2.6)

che ha validit` generale qualunque siano f ed a. Lunica restrizione allapplicazione di a questa relazione resta quindi lassenza di sforzi viscosi allinterno del uido.

28

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Un camion trasporta del liquido che riempie per 2/3 il cassone a forma di parallelepipedo, aperto in supercie e con le sponde laterali di altezza H. Se percorre una curva circolare di raggio R alla velocit` costante U , calcolare la massima a velocit` con cui pu` percorrere la curva prima che fuoriesca il liquido. a o U

H h l Rl = 2.5 m R = 200 m H=2m (h = 2H/3)

Soluzione In un sistema di riferimento solidale con il camion, sul uido agiranno la forza peso e quella centrifuga per cui, preso un sistema dassi come in gura, le equazioni per la statica del uido saranno: p g = 0, z p U2 + = 0, r Rz

rispettivamente per le componenti verticale e radiale. Daltra parte per il dierenziale della pressione si pu` scrivere o dp = p U2 p dz + dr = gdz + dr. z r Rg

. Essendo la supercie libera una supercie iso- h pressione risulta per` dp = 0 da cui si ricava per o la supercie libera U2 U 2r dz = , = z(r) = + C. dr Rg Rg La costante C si determina in base al volume iniziale di uido. La condizione critica si ha quando z(r = l) = H e per conservare la massa deve risultare h1 = 2h H che risulter` anche il valore di C = z(r = 0). Da a ci` si ricava H = U 2 l/(Rg) + 2h H ossia o U = 2Rg(H h)/l = 32.34 m/s.

H h1 r O

2.3. VARIAZIONI DI PRESSIONE IN UN FLUIDO IN QUIETE

29

2.3

variazioni di pressione in un uido in quiete

La relazione (2.6) permette, come caso particolare, di determinare la variazione di pressione con la quota per un uido soggetto solamente al peso proprio. In questo caso risulter` a a = 0 ed orientando lasse z nella stessa direzione ma verso opposto rispetto alla gravit` a f = g si ottiene dalla (2.6) z dp = g. (2.7) dz Evidentemente lintegrazione di questa relazione fornisce risultati dierenti a seconda che la densit` si possa considerare indipendente o meno dalla coordinata z. Nel caso dei liquidi a abbiamo visto che il modulo di comprimibilit` ha valori estremamente elevati (O[GPa]) a e la variazione di densit` pu` essere sicuramente trascurata ottenendo cos` a o p(z) = p(0) gz, (2.8)

in cui p(0) ` il valore della pressione alla quota z = 0 scelta come riferimento. Nel caso e a dellacqua ( = 1000Kg/m3 ) la relazione (2.8) ci dice che ogni 10 metri di profondit` (z = 10m) si ha una variazione di pressione p = 98000Pa ossia circa unatmosfera. Questo fatto dovrebbe essere ben noto a tutti quelli che fanno immersioni in quanto il continuo aumento di pressione con la profondit` costringe a frequenti compensazioni tra a la pressione interna dellorecchio e quella esterna che agisce sul timpano durante la fase di immersione. Se invece dei liquidi consideriamo i gas, le variazioni di densit` con la quota non saa ranno pi` trascurabili e lintegrazione dellequazione (2.7) deve tenere conto della forma u specica di (z). Un caso semplice ` costituito da uno strato di gas che obbedisca ale lequazione di stato dei gas perfetti e che sia isotermo risultando cos` = p/(RT ) con il fattore 1/(RT ) costante in z e dipendente solo dalla temperatura e dal gas specico considerato. Questa relazione, sostituita nella (2.7) fornisce gp dp = , dz RT da cui si ottiene per integrazione log g p(z) = z, p(0) RT p(z) = p(0)e RT z ,g

dp g = dz, p RT

(2.9)

(2.10)

da cui si vede che la diminuzione di pressione con la quota ` un esponenziale decrescente. e Ci` implica che pur salendo in quota, prendendo dei z costanti si ottengono dei decreo menti di pressione sempre pi` piccoli; questo eetto si pu` comprendere intuitivamente u o osservando che gli strati inferiori dellatmosfera sono compressi dal peso degli strati superiori e questo peso diminuisce con z per due fattori ) lo spessore di uido ` minore ) il e uido ha una densit` sempre minore perch meno compresso. a e ` E comunque importante notare che dato il basso valore di densit` dei gas, le variazioni a di pressione dovute al peso proprio diventano importanti solo per variazioni di quota

30


dellordine delle centinaia o migliaia di metri. Per provare questa asserzione si pu`, per o esempio applicare la relazione (2.10) allaria a temperatura ambiente osservando che per una variazione di quota di z = 50m si ha una variazione relativa di pressione di solo lo 0.59%.

2.4

atmosfera standard

Tra i problemi di determinazione di variazioni di pressione con la quota, quello dellatmosfera riveste una particolare rilevanza pratica a causa di tutte le applicazioni di trasporto aereo, meteorologia e geosica. Purtroppo le cause che determinano le variazioni di preso sione nellatmosfera sono molteplici e complesse 2 e ci` ha reso necessaria la denizione di valori standard applicabili ovunque ed in qualunque momento dellanno in modo da avere dei valori di riferimento.

z (Km) 100 80 60 40

ionosfera

mesopausa mesosfera stratopausa

stratosfera

20tropopausa troposfera

0

158

208

278 T (K)

Figura 2.3: Distribuzione della temperatura con la quota nellatmosfera. Queste condizioni di riferimento sono state ssate mediando i valori in un anno di tutto il globo alla latitudine 40o nord il che fornisce una temperatura al suolo di T (0) = 288.15K (15o C) ed una pressione di p(0) = 101330Pa. Per le variazioni di temperatura con la quota ` stato provato che nella zona compresa tra 0 ed 11000m (troposfera) si ha una diminuzione e lineare di temperatura con gradiente costante pari a = 0.0065K/m (ossia 6.5 gradi ogni Km di quota) da cui si ottiene T (z) = T (0) z. (2.11) Applicando lequazione di stato dei gas perfetti si possono quindi mettere in relazione p e con la quotaSe ci limitiamo solamente a considerare la pressione al suolo, possiamo gi` notare che questa varia a con la latitudine e con le condizioni meteorologiche di alta o bassa pressione risultando cos` funzione del tempo oltre che dello spazio.2

2.5. FORZE DI PRESSIONE p = RT, p = R(T (0) z), p , R(T (0) z)g R

31

=

(2.12)

che sostituita nella (2.7) diventa pg dp = , dz R(T (0) z) dp g dz = , p R T (0) z p(z) = p(0) T (0) z T (0) . (2.13)

Inne, dalle funzioni T (z) e p(z) si ricava facilmente dallequazione di stato la funzione per (z). Al di sopra della troposfera c` uno strato dello spessore di circa 2Km caratterizzato e da un gradiente termico di circa 0.002K/m che ` detto tropopausa. Per quote ancora e superiori e no a circa 50Km c` invece la stratosfera caratterizzata da temperatura che e inizialmente ` pressoch costante (no a circa 20Km) mentre successivamente aumenta e e dapprima lievemente e poi in modo pi` marcato. A quote ancora superiori si entra nella u mesosfera dove si osserva una nuova diminuzione di temperatura no alla quota di 80Km. Al di sopra dei 90Km si ha inne la ionosfera con una temperatura crescente; in questa regione, tuttavia, il valore estremamente basso di densit` e la ionizzazione dei gas presenti a (a causa della radiazione solare) non permette pi` di utilizzare lipotesi di continuo e non u verr` quindi descritta in questa sede. a

2.5

forze di pressione

Possiamo a questo punto calcolare il sistema delle forze di pressione che un uido in quiete esercita su una supercie di forma qualunque il che generalmente richiede il calcolo dellla sua risultante F e della coppia M. Si consideri allo scopo una supercie S (gura 2.4) e, isolato lelemento darea dS, si calcoli la forza elementare agente su tale supercie dF = pndS dove n ` la nore male orientata dal lato in cui il uido bagna la supercie. Per la forza totale si avr` a semplicemente: (2.14) F = pndS.S

Preso invece un polo O e detto x il vettore che unisce il polo con la forza innitesima dF si ha M = px ndS. (2.15)S

Bisogna notare che sebbene dal punto di vista teorico la soluzione di questo problema sia elementare e si risolva utilizzando elementi classici della teoria dei vettori, la possibilit` pratica di calcolare eettivamente gli integrali (2.14 e 2.15) ` alquanto limitata e, nel a e caso generale, quasi mai possibile per via analitica. Le dicolt` possono derivare sia dalla a complessit` della supercie e dallorientazione della sua normale ma anche dalla distria buzione della pressione che in linea di principio potrebbe essere una funzione complicata dello spazio; in questi casi si procede ad una soluzione del problema per via numerica in

32


dF=-pn dS dS z x O y n

x

Figura 2.4: Forza di pressione agente su una supercie. cui la supercie viene discretizzata in tanti elementi sui quali la pressione si possa ritenere costante e gli integrali divengono delle sommatorie discrete. Ci sono tuttavia numerose applicazioni pratiche in cui la pressione ` costante o varia e linearmente con la quota (rispettivamente, nei gas per variazioni di quota limitate o nei liquidi) e le superci in esame sono piane o si possono decomporre in un numero limitato di superci piane, in tal caso ` possibile risolvere gli integrali trovati per via analitica e e trovare delle formule risolutive di grande utilit` per le applicazioni pratiche. a

2.5.1

pressione costante

Iniziamo con il considerare il caso in cui la supercie sia piana e la pressione risulti costante come negli esempi ragurati nelle gure 2.5 e 2.6. Analizziamo in dettaglio lesempio di gura 2.5; riprendendo lespressione (2.14) si ha che la normale ` orientata sempre nello e stesso modo su tutta la supercie e la pressione non varia ottenendo cos` F = pSn 3 . La pressione sul fondo del contenitore sar` data dalla somma della pressione atmosferica a u p0 pi` la componente idrostatica risultando p = p0 + gh. Per il calcolo della retta dapplicazione consideriamo la direzione x e notiamo che nellespressione (2.15) la normale ` costantemente ortogonale al braccio x mentre la risultante eE utile evidenziare che, come ` noto dalla meccanica razionale, essendo questo un sistema di vettori e paralleli, ` possibile ricondurre le forze di pressione ad un unico vettore risultante senza la necessit` di e a calcolarne il momento. In particolare il trinomio invariante T = M F ` identicamente nullo, in quanto e M ed F sono ortogonali, e ci` implica che per caratterizzare il sistema di forze ` suciente calcolarne la o e risultante F ed un appropriato punto dapplicazione tale da bilanciare il momento delle forze dato dalla (2.15).3`

2.5. FORZE DI PRESSIONE

33

z

p0 h dF F p x y rx

y

x

Figura 2.5: Forza di pressione generata da un liquido agente su una supercie orizzontale.

p

0

pI > p0

S F =( pI - p0)SFigura 2.6: Forza di pressione generata da una gas agente su una supercie piana. F dovr` essere normale al braccio rx . Esplicitando quindi lintegrale in (2.15) si ha a pS

xdS =| F | rx , = p

S

xdS = pSrx , = rx =

S

xdS . S

(2.16)

Lo stesso ragionamento pu` essere eettuato in modo del tutto analogo per determinare il o punto di applicazione della risultante nella direzione y ottenendo lespressione ry S ydS/S per cui in forma vettoriale xdS , (2.17) r= S S da cui si vede che in tali circostanze la retta dapplicazione viene determinata esclusivamente dalle caratteristiche geometriche della supercie. Lintegrale in (2.17) ` un integrale e noto nella geometria ed r corrisponde esattamente alla denizione di centroide di una gura. In conclusione si pu` quindi aermare che nel caso in cui la supercie sia piana o e la pressione abbia un valore costante su tale supercie, il sistema di forze di pressione ` equivalente ad ununica forza il cui modulo ` dato dal prodotto della pressione per la e e supercie mentre il punto dapplicazione si trova nel centroide della supercie stessa 4 .4

Nellesempio di gura 2.5 ` stata calcolata la forza di pressione come F = pSn dove essendo e

34


2.5.2

distribuzione lineare di pressione

Come ` stato mostrato nella sezione 2.3 il caso di una pressione linearmente crescente e o decrescente con la quota, concerne tutti quei problemi in cui ` presente un uido la e cui densit` possa essere considerata costante (generalmente tutti i liquidi). Cerchiamo a ora di determinare la risultante delle forze di pressione su una supercie piana immersa in tale uido e comunque orientata. A tale scopo consideriamo la gura 2.7 e notiamo a u che la pressione alla generica quota z sar` la somma di quella atmosferica p0 pi` il a contributo gz essendo la densit` del uido in esame. La forza dovuta alla pressione atmosferica (che ` costante su tutta la supercie S) si determina come mostrato nella e sezione precedente e non verr` considerata ulteriormente nel presente esempio. a Utilizzando la (2.14) la componente di pressione linearmente crescente con la quota, dar` luogo ad una forza pari a a F = gnS

z dS = gn cos

S

zdS = g cos zC Sn = gzC Sn,

(2.18)

dove con zC si ` indicata la coordinata del centroide di S e con zC la coordinata corrie spondente sullasse z . Per la retta dapplicazione, si possono invece uguagliare i momenti rispetto allasse x delle forze di pressione e della risultante; per le prime, seguendo la (2.15), si scrive M=S

z dF =

S

pz ndS = g n z

S

z zdS =

(2.19)

gn z

S

z zdS = g(cos )1 x

S

z 2 dS = g(cos )1 xIx ,

essendo Ix il momento dinerzia 5 di S rispetto allasse x e z e x, rispettivamente i versori degli assi z ed x. Per il momento della risultante si avr` invece a M = zR F = gzC (cos )1 SzR z n = g(cos )1 zC SzR x, (2.20)

p = p0 +gh si ` considerato anche il contributo della pressione atmosferica. Non bisogna per` dimenticare e o che c` unulteriore forza che ` quella prodotta dalla pressione atmosferica che agisce sulla stessa supercie e e esternamente al sebatoio. Seguendo un ragionamento identico ai precedenti si avr` una nuova forza a a F0 = p0 Sn avente esattamente lo stesso punto di applicazione di F ma verso opposto. Ne conseguir` che la forza totale applicata ad S sar` Ftot = ghS z . a 5 La quantit` Ix ` indicata con il nome di momento dinerzia e ci` pu` trarre in inganno un quanto a e o o c` unaltra grandezza denita come IV = V r2 dV (con V volume, densit` ed r distanza del volume e a elementare dV rispetto ad un generico punto O) che viene pure chiamata momento dinerzia. Tuttavia lanalisi delle dimensioni delle due quantit` permette di fare un minimo di chiarezza in quanto la prima a e e (Ix ) dimensionalmente ` una lunghezza alla quarta potenza mentre la seconda ` una massa per una e a lunghezza al quadrato. In altre parole Ix ` una quantit` puramente geometrica e consistentemente entra in gioco quando si fanno considerazioni di statica. Al contrario IV (contenendo la massa) ` una e quantit` dipendente dallinerzia delloggetto sotto esame e deve essere considerato nellanalisi di quantit` a a dinamiche. In alcuni testi la quantit` Ix viene chiamata momento di gura per evitare la confusione con a IV .


35

p0 dF = -pndS S dS z z x

Figura 2.7: Forza di pressione generata da un liquido agente su una supercie generica. per cui uguagliando gli ultimi membri di (2.19) e (2.20) si ottiene zR = Ix zC S (2.21)

che ci fornisce la coordinata z in cui ` applicata la risultante delle forze di pressione. e Il momento dinerzia Ix sar` chiaramente dierente a seconda dellasse x rispetto a al quale si valuta ed in linea di principio andrebbe calcolato caso per caso. Tuttavia, utilizzando un noto teorema della meccanica razionale ` possibile, una volta noto Ix per e un generico asse x calcolare Ix rispetto a qualunque asse x . Detto allora Ixc il momento dinerzia di S rispetto ad un asse parallelo ad x ma passante per il centroide di S si pu` o scrivere 2 (2.22) Ix = Ixc + zC S per cui dalla (2.21) zR = zC + Ixc . zC S (2.23)

a La quantit` Ixc ha il vantaggio di essere gi` calcolata per la maggior parte delle gure a geometriche regolari per cui in base alla (2.23) risulta banale il calcolo del punto di applicazione della risultante delle pressioni. In gura 2.8 vengono riportati i valori di Ixc per alcune gure geometriche regolari. Osservando inoltre lespressione (2.23) si nota che il secondo termine a secondo membro ` certamente denito positivo per cui deve risultare zR > zC , ossia il punto di applicazione e ` della risultante delle forze ` pi` in basso rispetto al centroide. E altrettanto interessante e u osservare che la dierenza tra zR e zC non ` costante ma dipende dalla quota di immersione e e attraverso zC stesso (che ` determinato rispetto ad un asse la cui origine coincide con la

36


Figura 2.8: Caratteristiche geometriche di alcune gure regolari. supercie libera del uido). In particolare, allaumentare della profondit` a cui ` immersa a e S, zC aumenter` mentre sia S che Ixc rimarranno costanti da cui ne consegue che zR zC a (gura 2.9). Il motivo sico di ci` ` che se zC la variazione della pressione sulla oe supercie diventer` sempre pi` piccola rispetto alla pressione media e la risultante tender` a u a a comportarsi come se la pressione fosse costante (e quindi applicata nel centroide). Per quanto riguarda il punto di applicazione della risultante nella direzione x si pu` o notare che, suddividendo S in tante striscie parallele allasse x su ognuna delle striscie la pressione risulta costante e quindi la forza di pressione deve essere applicata nel centroide dalla striscia; integrando quindi su tutte le striscie elementari si ottiene che la risultante delle forze di pressione ` applicata nella x del centroide. e Riassumendo possiamo concludere aermando che: presa una supercie piana immersa in un uido la cui pressione vari linearmente con la quota e preso un sistema dassi x z con lorigine su pelo libero del uido ed orientato come in gura 2.9 si ha che la risultante


37

p min zc zr p max p min zc zr p max z p= gz

Figura 2.9: Variazione del punto di applicazione della risultante delle forze di pressione con la quota di immersione z.

delle forze di pressione sar` pari al prodotto della supercie S per la pressione valutata a alla quota del centroide zC ed orientata come n. Tale risultante sar` applicata in un a punto di coordinate (xC , zR ) in cui xC ` la coordinata x del centroide e zR ` un punto pi` e e u in basso del centroide denito in (2.23).

38

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Una paratia come in gura si trova sotto il livello dellacqua ed ` incernierata in e C. Determinare il minimo valore di P per impedire la fuoriuscita di liquido. (Si trascuri il peso proprio della paratia e lattrito della cerniera. La dimensione b ` e ortogonale al foglio.)h1 C

h2 P l1

h1 = 7.m l1 = 3 m

h2 = 5 m b=6m

Soluzione

h1Dallequilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = P h2 con, F1 = g(h1 + h2 /2)bh2 = 2795850 N, F2 = g(h1 + h2 )l1 b = 2118960 N, b1 = yR h1 = h2 /2 + bh3 /(12bh2 [(h1 + 2 h2 /2)] = 2.719 m e b2 = l1 /2. Dallequilibrio dei momenti si ricava, quindi: P = 2156071 N.

C b1

h2

F1 b2 F2 l1 P

2.5. FORZE DI PRESSIONE ESEMPIO Data la congurazione nellillustrazione calcolare lintensit` della forza F per a evitare lapertura dello sportello incernierato in C.l C l1

39

l = 1.2 m l1 = 1.4 m b = 1.5 m l2 = 2 m = 45o uido:acqua l2 b ` la dimensione dello sportello e F nella direzione ortogonale al foglio.

Soluzione Sul tratto inclinato dello sportello agir` a una forza F1 = gh1c A1 = 27677 N, essendo h1c = (l + l1 /2) sin = 1.3435 m. Questa forza ` applicata nel punto y1R = e 1.986 m misurato sullasse y con origine in O . Nello stesso modo, sul tratto verticale agir` una forza F2 = gh2c A2 = a 83536.4 N con h2c = (l + l1 ) sin + l2 /2 = 2.838 m applicata nel punto y2R = 2.955 m misurato sullasse y con origine in O. Dallequilibrio dei momenti intorno alla cerniera C si ha: F1 b1 + F2 b2 = F bF con b1 = yR1 l = 0.786 m, b2 = y2R l sin = 2.1064 m e bF = l1 sin + l2 = 2.99 m da cui si ricava F = 66126 N.

O C b2 b1

l

O l1

F 1 F2

l2 F

bF

y y

2.5.3

forze di pressione su una supercie curva

Nelle due sezioni precedenti abbiamo considerato problemi in cui la supercie in esame poteva essere interamente contenuta in un piano e questo ha permesso di ottenere delle formule generali per il calcolo della risultante delle forze di pressione. Ci sono tuttavia delle applicazioni in cui questa ipotesi non pu` essere applicata e ci` nonostante ` possio o e bile calcolare la risultante delle forze di pressione senza ricorrere al calcolo esplicito degli integrali (2.14) e (2.15). Si consideri allo scopo la gura 2.10 in cui si voglia calcolare la

40


forza risultante sulla supercie esterna che delimita la regione di uido pi` scura 6 . Se u si isola il volume di uido delimitato da tale supercie e dalle superci piane orizzontali e verticali interne al uido si pu` tracciare il diagramma di corpo libero per tale volume o e determinare le reazioni che la supercie esterna esercita sul uido. Utilizzando le formule ricavate precedentemente si ricavano facilmente Fy ed Fx da cui dallequilibrio alla traslazione in x ed y si ha Frx = Fx , Fry = Fy + W, (2.24)

essendo W il peso del volume di uido racchiuso nella zona evidenziata in gura 2.10. Il vettore della forza risultante avr` quindi modulo Fr e former` con lasse x un angolo a a cos` determinati: Fry 2 2 = tan1 . (2.25) Fr = Frx + Fry , Frx

Fy

Fx y

rG

Frx

x

W F ry

Fr

Figura 2.10: Forze di pressione su una supercie curva. Per determinare la retta di applicazione di Fr basta inne equilibrare i momenti delle forze rispetto ad un punto. Se, per esempio si sceglie il baricentro, detti r, rx ed ry , rispettivamente, i bracci di Fr , Frx ed Fry rispetto a G si ricava dallequilibrio alla rotazione Fr r + Frx rx Fry ry = 0,6

(2.26)

Si noti che anche in questo caso il sistema di forze ` equivalente solo ad una risultante applicata in un e punto opportuno in quanto, in ogni sezione, tutte le forze sono contenute in un piano (quello del foglio). Nel caso pi` generale la riduzione del sistema di forze richiederebbe il calcolo di una risultante e di un u momento rispetto ad un polo.

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE da cui si ricava r. ESEMPIO Determinare F in modo che lo sportello non si apra sotto la spinta dellacqua.O h/2 F l h h/2 G l/5Supporre il baricentro nella posizione indicata (sportello incernierato in O) Suggerimento:

41

4l/5

h=3m b=2m

Soluzione Sul sistema agiranno le 4 forze disegnate in gura e determinate secondo le seguenti formule: F1 g3h/4 bh/2 = 66217.5 N, F2 gh/4 bh/2 = 22072.5 N, F3 = gh/2 bh/2 = 44145 N, F4 = b(h2 /4 h2 /16)g = 94736 N, aventi braccio rispetto ad O r1 = 3h/4+h/36 = 2.333 m, r2 = h/3 = 1 m, r3 = h/4 = 0.75 m, r4 = h/10 = 0.3 m. Dallequilibrio dei momenti intorno ad = 0, F h/2 = F1 r1 + F2 r2 + F3 r3 F4 r4 si ricava F = 137897.8 N.

O F h/2 F 3 F1 F4 F2 h

2.6

spinta di Archimede

Vogliamo ora calcolare la forza esercitata da un uido che circonda un corpo a causa della variazione di pressione. Riferendoci alla gura 2.11 consideriamo un corpo di forma generica immerso in un uido e consideriamo il perimetro massimo che circoscrive il corpo in un piano orizzontale 7 indicando con S la supercie delimitata. Se per ogni elemento dS costruiamo un cilindro elementare contenuto nel solido, possiamo calcolare la risultante delle forze di pressione esercitate su tale cilindro che saranno dF = (pl pu )dS z , (2.27)

che per integrazione su tutta la supercie S ci fornisce la risultante. Essendo la pressione costante su piani orizzontali possiamo utilizzare la relazione (2.7) per calcolare la dierenzaIn realt` esistono forme solide per le quali non si pu` determinare tale perimetro; ` per` possibile a o e o decomporre tali forme in un numero nito di corpi per i quali loperazione descritta ` denita quindi la e procedura ha validit` generale. a7

42 (pl pu ); risulta infatti dp = gdz e quindi (pl pu ) = che sostituita in (2.27) diventa F=S zu zl


zu

dp =

zl

gdz,

(2.28)

(pl pu )dS z =

zu S zl

gdzdS z =

V

gdV z ,

(2.29)

da cui, essendo la densit` del uido, ne consegue che la forza esercitata dal uido sul a corpo ` una spinta verso lalto pari al peso del volume di uido spostato dal corpo 8 . e

zu h(x,y) z zl x

-p u dS n dS S

y -p ln dS

Figura 2.11: Forze di pressione su corpo immerso in un uido. Gli stessi ragionamenti fatti per un corpo immerso in un solo uido, possono essere ripetuti per un corpo immerso parzialmente in un uido e parzialmente in un altro uido a densit` dierente (gura 2.12). Se la congurazione risulta stabile, ossia se 1 2 a allora il corpo si disporr` in una posizione intermedia allinterfaccia tra i due uidi in modo a che la spinta di Archimede bilanci il suo peso. Naturalmente ogni uido contribuisce alla spinta per la porzione di uido spostato per cui detti rispettivamente V1 e V2 le frazioni di volume del corpo immerse nei uidi a densit` 1 e 2 e V il volume totale del corpo a a (con V = V1 + V2 ) dovr` risultareV18

1 gdV +

V2

2 gdV = gV,

(2.31)

Lespressione (2.27) assume una forma particolarmente semplice se la pressione ha una variazione lineare con la quota in quanto risulta pl = pu g(zl zu ) = pu + gh e la (2.27) diventa dF = ghdS z , essendo V il volume del solido in esame. da cui F = ghS

hdS z = gV z ,

(2.30)

2.6. SPINTA DI ARCHIMEDE oppure nel caso di uidi incomprimibili

43

1 V1 g + 2 V2 g = gV.

(2.32)

A rigore questo ragionamento andrebbe applicato anche quando i due uidi sono acqua ed aria come per esempio nel caso di una nave; tuttavia avendo laria una densit` di 600800 a volte minore di quella dellacqua si capisce immediatamente che il contributo alla spinta dellaria risulta trascurabile rispetto a quello dellacqua e di solito non si considera 9 .

2

V2 V1 1

Figura 2.12: Galleggiamento per un corpo in equilibrio tra due uidi a dierente densit`. a

Uno dei primi esperimenti di cui si abbia traccia scritta sul galleggiamento di un corpo tra due uidi a dierente densit` ` descritto da Galileo Galilei nel 1630 che riporta:...Nel fondo di un recipiente ho ae messo dellacqua salata e sopra di essa uno strato di acqua pura; ho quindi mostrato che la palla (di cera) rimaneva in equilibrio allinterfaccia tra i due uidi e quando veniva spinta verso il fondo o sollevata verso laltro non rimaneva in nessuna delle due posizioni ma ritornava nella posizione iniziale.

9

44

CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Dato il cono a base circolare in gura, determinare laltezza della porzione di solido immerso nel uido a densit` 0 . a 1 h0 h 0

= 1.15 Kg/dm3 1 = 0.98 Kg/dm3

0 = 1.2 Kg/dm3 h = 0.4 m

Soluzione Dal principio di Archimede si ha 0 gV0 + 1 gV1 = gV (essendo, rispettivamente V0 e V1 le frazioni di volume del corpo immerse nei uidi a densit` 0 e 1 , e V a il volume totale del corpo). Risultando V1 = V V0 lequilibrio al galleggiamento si pu` scrivere come V0 (0 1 ) = o V ( 1 ). Daltra parte i volumi sono dati da V = d2 h/12 e V0 = d2 h0 /12 0 mentre dalla similitudine tra i triangoli si pu` scrivere d/h = d0 /h0 per cui la o precedente relazione diventa: d2 h0 d2 h 0 (0 1 ) = (1 ), 12 12 da cui si ricava h0 = 0.367 m. =

d d0 h0 h

1 0

h3 = 0

1 3 h, 0 1

2.7

galleggiamento e stabilit` a

Nella sezione precedente abbiamo visto come calcolare la risultante delle pressioni esercitate da un uido in cui ` immerso un corpo. Tale risultante prende il nome di spinta di e Archimede e si calcola in modo identico anche nel caso in cui il corpo sia solo parzialmente immerso nel uido. In questultimo caso, nascono questioni di stabilit` visto che il pea so del corpo ` applicato nel suo baricentro (ed ` quindi indipendente dallimmersione del e e corpo) mentre la spinta di galleggiamento ` applicata nel baricentro della regione di uido e spostata (detto centro di spinta) ed ` quindi funzione della posizione del corpo rispetto e alla supercie libera del uido. Nel caso di gura 2.13 si pu` vedere che per unoscilo lazione contenuta del corpo, il punto di applicazione della spinta si sposta in modo tale

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE

45

da formare con il peso una coppia stabilizzante che tende cio` a riportare il corpo nella e posizione iniziale.

S

G

S

M G

Figura 2.13: Schema di stabilit` alla rotazione. a Nel caso di corpi simmetrici, il punto di intersezione tra la retta contenente la spinta e lasse di simmetria del corpo ` detto metacentro e si pu` immaginare che il corpo e o oscilli intorno ad un asse ortogonale al piano del foglio e passante per il metacentro 10 ; si pu` vedere che la congurazione sar` stabile no a quando il baricentro si trova al o a ` di sotto del metacentro mentre nel caso opposto si ha una congurazione instabile. E utile osservare che mentre la spinta ed il suo punto di applicazione dipendono unicamente dallimmersione del corpo, la posizione del baricentro dipende dalla dislocazione delle masse con la conseguenza che la stabilit` pu` eseere aumentata o diminuita spostando dei a o pesi allinterno del corpo. Come esempio si consideri un piccolo natante con sei persone a bordo; se tutte le persone si alzano in piedi, si avr` un innalzamento del baricentro a che, avvicinandosi al metacentro, diminuir` la stabilit` del natante. Se inne come caso a a estremo si immagina che tutte le persone, salendo su una scala, si portino ad unaltezza di 2 3 metri si pu` avere facilmente il ribaltamento della barca. o

2.8

misuratori di pressione

In questo paragrafo verranno illustrati alcuni dispositivi di misura della pressione soermandosi in particolare sul loro principio di funzionamento. Iniziamo con il considerare il dispositivo di gura 2.14a che, per il suo impiego nella misurazione della pressione atmosferica, ` anche detto barometro. Preso un tubo chiuso ad un estremo e riempito di uido, e si pone il lato aperto in un recipiente contenente lo stesso uido; si osserva allora che la colonna di uido nel tubo scende no ad unaltezza h dalla cui misura si pu` risalire al o valore di pressione che insiste sulla supercie libera del uido nel recipiente. In particolare se questa pressione ` quella atmosferica ed il uido manometrico ` mercurio, in base alla e e (2.8) si ottiene: patm = Hg gh + pHg ,10

(2.33)

Questo in realt` ` vero solo nel caso in cui siano assenti movimenti di beccheggio, per un corpo a e simmetrico rispetto al piano del foglio e per piccoli valori dellangolo di rollio.

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e in cui pHg ` la tensione di vapore del mercurio alla temperatura di esercizio. Data la bassa volatilit` del mercurio si pu` porre pHg 0 da cui ne consegue il valore ben noto a o 11 h = 759mm .

pHg h patm m Hg a) pa

p

b

p 1 pa h2 h1

b

h

2

b)

c)

Figura 2.14: Schema di funzionamento di dispositivi per la misurazione della pressione: a) barometro, b) manometro, c) manometro ad U. Il dispositivo in gura 2.14b ` simile al precedente ma ha lestremit` del tubo aperto; e a a a dette quindi pa e pb le pressioni alle due estremit` del tubo risulter` pa = m gh + pb , (2.34)

per cui si pu` misurare il valore della pressione pb noti pa ed h oppure la dierenza di o pressione pa pb conoscendo solamente h. Questo strumento pur essendo molto semplice ha notevoli limitazioni che ne rendono luso abbastanza limitato. Innanzi tutto il uido manometrico ed il uido di cui bisogna misurare la pressione devono essere immiscibili, il o uido nel tubo deve essere un liquido e la pressione pb non pu` scendere al di sotto di un valore limite se si vuole evitare la fuoriuscita del uido manometrico dal tubo. Lo strumento riportato in gura 2.14c risolve alcuni dei problemi appena citati. Se infatti il tubo ha la forma di U e tra il uido a densit` 1 e quello ambiente viene inserito a e u un terzo uido a densit` 2 non ` pi` necessario che i primi due uidi siano immiscibili. a Inoltre dallequilibrio delle pressioni si ha: pa + 1 gh1 = 2 gh2 + pb , (2.35)

da cui si vede che la massima dierenza di pressione pa pb non dipende pi` ora solamente u o dalla lunghezza del tubo ma anche dal valore di 2 che pu` essere quindi variato per aumentare la sensibilit` o la portata dello strumento. aQuesta esperienza fu eettuata per la prima volta da Evangelista Torricelli (16081647) che fu allievo di Galileo Galilei. La descrizione del dispositivo e dellesperimento sono contenute in Lezioni Accademiche in cui sono riportate una serie di conferenze tenute da Torricelli allAccademia della Crusca.11

2.8. MISURATORI DI PRESSIONE

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p 1 pa h2 l h1 2 2

b

c)Figura 2.15: Schema di funzionamento del manometro inclinato.

Dagli esempi precedenti ` evidente che il principio di funzionamento di tutti i manoe metri discussi si riduce alla conversione di una lunghezza h in un valore di pressione una volta nota la densit` del uido manometrico m . Dalla relazione p = m gh si vede quina di che per aumentare la sensibilit` del manometro bisogna rendere massima h a parit` a a e di p. A prima vista sembrerebbe che si possa agire solo su m , cercando cio` dei uidi manometrici con bassa densit` (alcool, benzina); ad un esame pi` attento, tuttavia si nota a u che h ` la lunghezza della colonna di uido nella direzione di g e se quindi si inclina il tubo e si ottengono valori assoluti di lunghezza l che possono crescere a piacimento diminuendo linclinazione del tubo. In gura 2.15 ` ragurato uno di tali dispositivi dal cui equilibrio e delle pressioni si ha: pa + 1 gh1 = 2 gl2 sin + pb . (2.36)

I misuratori descritti in questa sezione hanno il vantaggio di essere estremamente semplici ed economici ma non permettono la lettura di valori precisi, non consentono di misurare pressioni elevate e, a causa dellinerzia della colonna di uido, non sono adatti a misure di pressioni rapidamente variabili nel tempo. Per questo motivo nelle applicazioni pratiche vengono usati dei manometri il cui principio di funzionamento ` la deformazione e di una supercie a causa delle forze di pressione comunicate dal uido. Nel caso dei manometri meccanici questa supercie ` generalmente una membrana che costituisce la e parete di una camera stagna allinterno della quale ce una pressione nota. Nel caso dei trasduttori elettronici, si sfrutta invece leetto piezoelettrico, la propriet` cio` che hanno a e alcuni cristalli (per esempio il quarzo) di generare una dierenza di potenziale quando sottoposti a compressione in alcune particolari direzioni. Dalla lettura di questa dierenza di potenziale si risale quindi alla pressione per mezzo di unoperazione di taratura dello strumento con delle pressioni note.

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CAPITOLO 2. STATICA DEI FLUIDI ESEMPIO Dato il dispositivo in gura, calcolare la densit` del uido in

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Meccanica Dei Fluidi - Lezioni Di Fluidodinamica