OSNOVI DIGITALNIH TELEKOMUNIKACIJA

Predava: Prof.dr Milica Pejanovi-Djurii

Saradnici: Doc.dr Enis Koan, Dipl.ing.Slavica Tomovi, mr Ugljea Uroevi

SADRAJ

Diskretizacija signala

po vremenu (odabiranje),

po trenutnim vrijednostima (kvantizacija).

Impulsne modulacije

Impulsna amplitudska modulacija

Impulsna modulacija po trajanju

Impulsna poloajna modulacija

Impulsna kodna modulacija

Delta modulacija

Adaptivna delta modulacija

Diferencijalna impulsno kodna modulacija

SADRAJ

Elektrino predstavljanje diskretnih poruka i oblici digitalnih signala.

Prenos digitalnih signala u osnovnom opsegu uestanosti. ISI Uslovi prenosa bez ISI Nyquistovi kriterijumi Uticaj sluajnog uma Optimizacija sistema za prenos

Prenos digitalnih signala modulisanim nosiocem. ASK FSK PSK (B-PSK, DPSK i QPSK) QAM

Uporeenje sistema za prenos digitalnih signala.

DISKRETIZACIJA KONTINUALNIH SIGNALA Poruke i signali u koje se one transformiu uslovno se dijele na dvije grupe:

kontinualne i

diskretne.

Shodno ovoj podjeli postoje i dvije vrste prenosa:

analogni i

digitalni prenos.

Harmonijskom analizom funkcija koje predstavljaju kontinualne signale moe se pokazati da ih je mogue diskretizovati, a da se pri tome ne promijene osobine koje imaju kao nosioci poruka. Drugim rijeima, to znai da postoji principijelna mogunost da se kontinualne poruke prenose u vidu diskretnih signala.

Sve realne kontinualne poruke predstavljaju sluajne procese. Takvi su i odgovarajui signali. Kada se sprovede statistika analiza ovakvih signala, dolazi se do zakljuka da je osnovni i glavni dio njihovog spektra koncentrisan u nekom konanom opsegu uestanosti. To praktino znai da iznad neke uestanosti fm, spektralna gustina amplituda ovakvih signala postaje toliko mala da moe da bude maskirana uvijek prisutnim bijelim Gausovom umom. Taj dio spektra nema smisla prenositi.

Nivo smetnji

fm

f0

Govor fm=3.4kHz

Video fm=5MHz

Muzika fm=15kHz

U sutini, spektar signala koji predstavljaju realne poruke ogranien je u realnim uslovima frekvencijskim karakteristikama para izvor-korisnik.

Ovakva konstatacija omoguava da sve kontinualne poruke predstavimo kontinualnim signalima, iji je spektar strogo ogranien nekom uestanou fm. Za ovakve signale, u matematici postoji teorema koja specificira uslove pri kojima je mogue svaki takav signal predstaviti njegovim vrijednostima uzetim u diskretnim trenucima vremena. To je Koteljnikova teorema ili teorema o odabiranju. Zahvaljujui ovoj teoremi moe da se napravi prvi korak u diskretizovanju kontinualne funkcije, a to je diskretizacija po vremenu.

Meutim, poruke se meusobno razlikuju, pa su razliiti i signali kojima se one prenose. Dakle, radi se o itavom skupu vremenskih funkcija koje se razlikuju po vrijednostima u odreenim trenucima vremena. Kad je rije o skupu, o neogranienom broju razliitih formi funkcija, sve odabrane vrijednosti gledane zajedno, kontinualno se mijenjaju u odreenim granicama. Zato je potrebno obaviti jo jednu diskretizaciju diskretizaciju po trenutnim vrijednostima vremenske funkcije. Ona se jo naziva i diskretizacijom po nivou ili kvantizacijom. Slino ovome, diskretizacija po vremenu se naziva i kvantizacijom po vremenu.

Znai, da bi se kontinualni signali diskretizovali, potrebno je obaviti diskretizaciju po vremenu i diskretizaciju po trenutnim vrijednostima signala.

DISKRETIZACIJA PO VREMENU

TEOREMA O ODABIRANJU

Ako kontinualni signal f (t ) ima spektar koji se nalazi u opsegu uestanosti od 0 do fm, onda je taj signal u potpunosti definisan svojim trenutnim vrijednostima, uzetim u ekvidistantnim takama medjusobnog rastojanja t = ti+1 ti = (1/2fm). Za proizvoljni signal f (t ), ovaj skup odabranih vrijednosti je ilustrovan na slici:

0 t tttt

t

ttt 2-2-3 -

f ( )

i i+1

Interval t se naziva period odabiranja. Vrijednosti ordinata u trenucima n t (n cio broj) se zovu odbircima signala f(t).

Dokaz teoreme:

Neka je f(t) kontinualna funkcija koja predstavlja kontinualni signal iji je spektar ogranien uestanou fm.

Fourierova transformacija ovog signala je:

Signal se moe odrediti kao inverzna Fourierova transformacija funkcije F(j):

dtetfjF tj )()(

dejFtf tj

2

1)(

Shodno uinjenoj pretpostavci, spektar ovog signala je

ogranien uestanou fm , tako da je:

F(j) = 0, za | |>2fm

j( )

0 2-2

F

f fmm

Spektralna gustina amlituda signala f (t ) iji je spektar ogranien

Izvrimo periodino produenje kompleksnog spektra F(j) sa periodom 4 fm.

Spektralna gustina amplituda ovako dobijene pomone funkcije je prikazana na slici:

j( )

0 2-2

F

f fmm

p

fm6fm-6

Spektralna gustina ampituda pomone funkcije |FP(j) |

Ovako dobijena, pomona, funkcija FP(j) je periodina, pa se moe razviti u Fourierov red:

mfjn

n

np eFjF2

1

U odnosu na uobiajeni izraz promjenljva t je zamijenjena sa promjenljivom , a

T

20 sa

mm ff 2

1

4

2

Saglasno definiciji kompleksni spektar Fn funkcije FP(j) e biti:

Fn=

1

4p fm

Fpjw( )

-2p fm

2p fm

e- jn

1

2 fm

w

dw...........(*)

Kako je po pretpostavci F(j) = 0 izvan intervala (-2fm , 2fm),

dok je F(j)= FP(j) u intervalu (-2fm , 2fm). To znai da izraz za signal ogranienog spektra f (t ) postaje :

f t( ) =1

2pFp jw( )

-2p fm

2p fm

e jwtdw

Ako sada pronaemo vrijednost ovog signala u trenucima , gdje je dobijamo

m

nf

ntt

2 ...,2,1,0 n

nmf

nj

f

f

p

m

FfdejFf

nf m

m

m

221

2

2

2

2

gdje je Fn prethodno odreeno relacijom (*).

Iz prethodne relacije moemo pronai Fourierove koeficijente Fn za bilo koje n, gdje je n =. . .-3, -2, -1, 0, 1, 2, . . ., pod uslovom da znamo vrijednosti signala f (t ) u odgovarajuim trenucima

Sada se izraz za funkciju Fp(j) moe napisati kao:

.2 m

nf

nt

mm fjn

mn m

fjn

n

np ef

nf

feFjF

2

1

2

1

22

1

Kad je poznato Fp(j), moe se odrediti i f (t ) :

def

nf

f

deef

nf

fdejFtf

m

m

m

m

m

m

m

m

f

ntjf

f n mm

tj

n

fjn

m

f

f m

tj

f

f

p

2

2

2

2

12

2

2

2

24

1

22

1

2

1

2

1

Izvoenjem ovog izraza dokazana je teorema o odabiranju. Pokazano je da je signal f (t ), iji je spektar ogranien, potpuno odreen prethodnim izrazom. U njemu je jedino potrebno poznavati vrijednosti signala f (t ) u trenucima , koji se nazivaju trenucima

odabiranja, pa da se naznaenim operacijama odredi f (t ) za bilo koje t.

Prethodni izraz moe da se napie i u jo jednom, pogodnijem obliku. Zamjenom redosljeda integracije i sumiranja u prethodnom izrazu:

m

nf

nt

2

def

nf

ftf

m

m

m

f

f

f

ntj

mn m

2

2

2

24

1

Izvri li se integracija, dobija se da je:

m

m

m

m

n m

f

ntf

f

ntf

f

nftf

22

22sin

2

m

m

m

m

n m

f

ntf

f

ntf

f

nftf

22

22sin

2

Poto se sumiranje vri za sve vrijednosti n od - do , to prethodni izraz moe da se napie u obliku:

Ovaj izraz omoguava novu interpretaciju teoreme o odabiranju: Signal

f (t) , iji je spektar ogranien uestanou fm , jednoznano je odreen beskonanom sumom lanova pri emu je svaki od njih obrazovan od proizvoda vrijednosti signala f (t) u taki odabiranja t = tn i teinske funkcije tipa centrirane u odgovarajuem trenutku odabiranja.

Funkcija ima osobinu da je njena vrijednost za x = 0 jednaka 1, a

za vrijednosti x = k, gdje je k ma koji cio broj izuzev nule, ta vrijednost je

jednaka nuli.

x

xsin

x

xsin

Teinska finkcija y=sinx/x

Teoremu o odabiranju je potrebno dokazati i u suprotnom smjeru: tj.

dokazati da se na osnovu poznatih odbiraka uvijek moe rekonstruisati

originalan signal f(t).

Pretpostavimo da imamo kontinualni signal f(t), ija je maksimalna uestanost u spektru fm. Uzmimo odbirke funkcije u trenucima

gdje je

Neka su odbirci predstavljeni vrlo uskim impulsima, trajanja

to je u skladu sa mogunou njihove raktine realizacije.

t

f(t)

01

1

2f

2f

m m

Ako je (trajanje odbirka) mnogo manje od (1/2fm), onda moemo pretpostaviti da se u tom kratkom intervalu vremena f(t) ne mijenja. Tada e Fourireova transformacija jednog ovakvog pojedinanog impulsa biti:

Fourireova transformacija delta impulsa je data sledeim izrazom:

Uporedivi ova dva izraza, vidimo da je F(n)(j) ustvari Fourireova

transformacija delta impulsa ija je povrina , , pri emu je taj

impuls centriran u trenutku

mm

m

f

nj

m

tj

f

n

f

n m

n ef

nfdte

f

nfjF

2

22

22

22

00tjtj edtettj

mf

nf

2

.2 m

nf

nt

Uzmimo sada jedan idealan filtar propusnik niskih uestanosti:

Pretpostavimo da se na ulaz ovakvog filtra dovede signal u vidu impulsa, ija je Fourierova transformacija F(n)(j). Tada e se za odziv na njegovom izlazu dobiti:

H(j )

0

c m 2 f m

cc

de

f

nfdejHjFtg

m

m

m

f

f

f

ntj

m

tj

nn

2

2

2

2

1

22

1

Kada se izvri integracija, dobija se:

Dobijeni odziv filtra na pobudu u vidu izabranog n-tog odbirka dat je na slici:

m

m

m

m

m

mn

f

ntf

f

ntf

f

nfftg

22

22sin

22

Maksimum ove funkcije nalazi se u trenutku , dok u svim ostalim

trenucima odabiranja funkcija ima svoje nule.

Ako se kroz ovaj filtar propusti drugi ovakav impuls koji je lociran u

trenutku , dobio bi se odziv , koji je prikazan na slici

isprekidanom linijom. Ovaj odziv ima maksimum u trenutku , a u

svim ostalim takama odabiranjaima vrijednost nula.

Ako se na ulaz ovog filtra dovede niz odbiraka, umjesto samo jednog

odbirka, onda se na osnovu teoreme o superpoziciji dobija odziv:

Na ovaj nain je pokazano da je signal f(t) u potpunosti definisan svojim odbircima. To znai da se signal moe predstaviti diskretnim skupom vrijednosti uzetih u raznim, ali tano definisanim, trenucima vremena.

m

nf

nt

2

tgn

m

nf

nt

2

11

tgn 1

m

nf

nt

2

11

tff

f

ntf

f

ntf

f

nfftgtg m

m

m

m

m

mn

m

n

n

2

22

22sin

22

Dakle, diskretizacija po vremenu nam omoguava da

kontinualnu funkciju prikaemo kao niz odbiraka. Na taj nain

se kontinualna poruka ekvivalentira diskretnim signalom.

Korisniku treba poruka u originalnom obliku, kakva je i

poslata. Da bi se to postiglo, treba propustiti diskretizovani

signal kroz filtar propusnik niskih uestanosti. U ovome i jeste

smisao dokaza teoreme u oba smjera: diskretizuje se signal, a

zatim se rekonstruie originalna poruka proputanjem kroz

niskopropusni filtar granine uestanosti fc=fm.

DISKRETIZACIJA PO TRENUTNIM VRIJEDNOSTIMA SIGNALA

Izvor kontinualnih poruka generie beskrajno mnogo razliitih formi signala f (t), od kojih svaki ponaosob predstavlja jednu konkretnu poruku. Neka je jedan od tih signala, recimo s(t) predstavljen slikom.

Kvantizacija signala u(t)

s

u(t)

u

u

uu

tt t t t t

max

min

0 n (n+1)

m

m

Signal u(t), koji predstavlja kontinualnu poruku, moe da ima bilo koju vijednost izmeu Umin i Umax i spektar mu se nalazi u intervalu uestanosti od 0 do fm. Sve realne poruke praktino zadovoljavaju ovaj uslov. Ako primijenimo teoremu o odabiranju, signal u(t) moemo predstaviti skupom diskretnih vrijednosti uzetih u trenucima odabiranja.

Za neku drugu poruku dobiemo na isti nain drugi skup diskretnih vrijednosti signala koji ga predstavlja, za treu dobili bi trei skup itd. Kako svaki odbirak moe imati bilo koju vrijednost izmeu Umin i Umax, to je jasno da bi za predstavljanje skupa poruka ovakvog izvora bio potreban alfabet koji bi imao beskonano mnogo simbola. Zato je neophodno obaviti diskretizaciju po trenutnoj vrijednosti signala.

U realnim uslovima u svim komunikacionim sistemima postoje smetnje koje mogu da maskiraju signale. Korisnik poruke, sa svoje strane, raspolae nekom konanom osjetljivou prijema, odnosno konanom moi rezolucije. Zbog ovoga, signali koji se vrlo malo razlikuju meu sobom, interpretiraju se gotovo identino. Kao posljedica ovih injenica, prirodno se javlja ideja da je mogue prenos obaviti sasvim korektno i uz izvjesne greke.

Ako na osnovu svega ovoga moguu dozvoljenu greku u reprodukciji trenutne vrijednosti signala oznaimo sa m, onda je jasno da e prenos biti vjeran, ako se trenutna vrijednost signala poruke u(t), odbirak, reprodukuje bilo kojom njenom vrijednou u(t) koja se nalazi u intervalu:

u (t)-em ue (t) u (t)+em

Drugim rijeima, sve vrijednosti u(t) koje se nalaze u ovom intervalu

obrazuju jednu klasu. Njena je osobina da se bilo koja trenutna vrijednost

iz te klase, na prijemu reprodukuje na isti nain. Ovo nam prua

mogunost da zahvaljujui kriterijumu o vjernosti reprodukcije poruke, cio

raspoloivi dijapazon trenutnih vrijednosti kvantiziramo korakom

Na taj nain se obavlja diskretizacija po trenutnoj vrijednosti, ili kako se

jo naziva, po amplitudi, odnosno nivou ili po odbirku. Tada e biti

dovoljno, umjesto svih moguih vrijednosti amplituda s(t) koje se nalaze u

prethodno definisanom intervalu, prenositi samo jednu vrijednost,

predstavnika te klase. Sa slike se vidi da je broj kvantizacionih nivoa:

Du = 2em

q =umax + umin

2em

Kako je za mnoge realne poruke Umax = |Umin|, to e biti:

Iz ovog izraza se vidi da e za date vrijednosti Umin i Umax, veliina q biti konana. Pri prenosu skupa poruka bie potrebno prenijeti sve mogue kvantizirane vrijednosti odbiraka. Kako njih ima q, to je jasno da i alfabet koji e sluiti za prenos ovih poruka mora imati q razliitih simbola. Ukoliko je dozvoljena greka m manja, bie potrebno da alfabet sadri vie razliitih simbola.

q =Umax

em

Originalan signal u(t) koji se prenosi; uq(t) predstavlja primljeni signal na bazi kvantiziranih odbiraka signala u(t); uN(t) predstavlja greku

kvantizacije

Neka je u(t) signal poruke maksimalne uestanosti u spektru fm. Umjesto da prenosimo ovaj signal, moemo da prenosimo njegove odbirke koji predstavljaju vrijednosti signala u(t) u trenucima odabiranja t=nT=n/2fm, gdje je n = 0, 1, 2. . . Izvrimo kvantizaciju odbiraka signala u(t) prije nego to ih prenesemo.

Neka je signal u(t) takav da se sve njegove pozitivne i negativne

vrijednosti nalaze u intervalu [-U/2, U/2]. Neka se "zaokruivanje

vrijednosti amplituda odbiraka vri tako da dozvoljena greka ne bude

vea od . To znai da emo interval U podijeliti na q podintervala,

tako da je:

Veliina naziva se korak kvantizacije. Mogue vrijednosti amplituda odbiraka su:

u2

1

uqU

u

,2

1,...

2

5,

2

3,

2

1u

quuu

Drugim rijeima, ako se amplituda nekog odbirka signala u(t), nae izmeu dvije puno izvuene horizontalne linije, uzee se umjesto njene stvarne vrijednosti koju definie crticama izvuena horizontalna linija koja prolazi sredinom tog intervala. Na taj nain je izvrena kvantizacija odbiraka signala u(t) .

U principu, mogli bi se prenositi ovako dobijen kvantizirani odbirci. Na prijemu, njihovi proputanjem kroz filtar propusnik niskih uestanosti, dobio bi se neki signal uq(t). On je na prethodnoj slici predstavljen isprekidanom linijom. Ovaj signal se razlikuje od signala u(t). Ta razlika e biti manja ukoliko je korak kvantizacije manji. Ova razlika:

se naziva grekom kvantizacije ili izoblienjem kvantizacije i takoe je prikazana na prethodnoj slici. Ukoliko je ovo izoblienje malo, ovakav prenos moe da se prihvati.

Na sledeoj slici ponovo su nacrtani kvantizirani odbirci u vidu uskih impulsa:

u

tututu qN

Kvantizirani odbirci signala u(t)

Sa slike se uoava da amplituda svakog od odbiraka ima jednu

odreenu vrijednost iz skupa moguih vrijednosti. Poto je taj skup

konaan, znai da se mogu numerisati te mogue vrijednosti. U

prethodnom primjeru ih ima 8, pa emo poetnu vrijednost

obiljeiti sa 0, drugu sa 1, i tako redom do 7.