CONDUCCIÓN BIDIMENSIONALDE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

Método numéricoSolanlly M.Polanco

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CONDUCCIÓN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

• En muchos problemas necesitamos considerar la transferencia de calor en dos dimensiones

• •La solución de este tipo de problemas requiere la solución de una ecuación diferencial parcial

• Esta ecuación se puede resolver analítica (solución exacta), gráfica o numéricamente (soluciones aproximadas)

• •Los métodos analíticos requieren series y funciones matemáticamente complicadas. –Solución exacta –Solamente pueden resolverse cierto tipo de problemas

• •Métodos numéricos proporcionan resultados aproximados en puntos discretos del volumen de control.

El Método de Diferencias Finitas

1.En esta sección se considera la formulación numérica y la solución de laconducción bidimensional de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares,mediante el método de diferencias finitas.

• Considere una región rectangular en la cual la conducción de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la región en una malla rectangular de puntos nodales con espacios x y y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura 5-23, y considere una profundidad unitaria de ∆z = 1 en la dirección z.

• El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posición por los números, en lugar de las coordenadas reales. Un esquema lógico de numeración para los problemas bidimensionales es la notación de subíndice doble (m, n), donde m = 0, 1, 2, . . . , M es el conteo de los nodos en la dirección x, y n = 0, 1, 2, . . . , N es el conteo de los mismos en la dirección y. Las coordenadas del nodo (m, n) son simplemente x = m∆x y y = n∆y, y la temperatura en el nodo (m, n) se denota por Tm, n.

Conduction de Calor Bidimensional

• Considere ahora un elemento de volumen de tamaño x y 1, con centroen un nodo interior general (m, n), en una región en la que el calor se generacon una razón de e· y la conductividad térmica k es constante, como semuestra en la figura 5-24. Una vez más, si se supone que la dirección de laconducción de calor es hacia el nodo que se está considerando, en todas lassuperficies, el balance de energía sobre el elemento de volumen se puede expresarcomo

Red Nodal

2. Procedimiento

• Para el caso estacionario. De nuevo, si se supone que las temperaturas entre los nodos adyacentes varían linealmente y se nota que el área de transferencia de calor es Ax = ∆y x1 = ∆y, en la dirección x, y Ay = ∆x x 1 = ∆x, en la dirección y, la relación de balance de energía antes dada queda

APROXIMACION POR DIFERENCIAS FINITAS

Nodos frontera

• El desarrollo de la formulación en diferencias finitas de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al principio. Una vez más, la región se divide entre los nodos mediante la formación de elementos de volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energía para cada nodo frontera. Como se discutió para una pared plana, se pueden manejar varias condiciones de frontera, excepto que los elementos de volumen en el caso bidimensional comprenden transferencia de calor en la dirección y así como en la dirección x.

• Las superficies aisladas todavía se conciben como “espejos” y se puede usar el concepto de imagen especular con el fin de tratar los nodos sobre fronteras aisladas como nodos interiores.

Ejemplo 5-3