Conducci³n bidimensional

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CONDUCCIN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

CONDUCCIN BIDIMENSIONALDE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIOMtodo numricoSolanlly M.Polanco100255155

CONDUCCIN BIDIMENSIONAL DE CALOR EN ESTADO ESTACIONARIO

En muchos problemas necesitamos considerar la transferencia de calor en dos dimensionesLa solucin de este tipo de problemas requiere la solucin de una ecuacin diferencial parcial

Esta ecuacin se puede resolver analtica (solucin exacta), grfica o numricamente (soluciones aproximadas)

Los mtodos analticos requieren series y funciones matemticamente complicadas. Solucin exacta Solamente pueden resolverse cierto tipo de problemasMtodos numricos proporcionan resultados aproximados en puntos discretos del volumen de control.

El Mtodo de Diferencias Finitas

1.En esta seccin se considera la formulacin numrica y la solucin de laconduccin bidimensional de calor en estado estacionario en coordenadas rectangulares,mediante el mtodo de diferencias finitas.Considere una regin rectangular en la cual la conduccin de calor es significativa en las direcciones x y y. Divida ahora el plano x-y de la regin en una malla rectangular de puntos nodales con espacios x y y en las direcciones x y y, respectivamente, como se muestra en la figura 5-23, y considere una profundidad unitaria de z = 1 en la direccin z. El objetivo es determinar las temperaturas en los nodos y resulta conveniente numerarlos y describir su posicin por los nmeros, en lugar de las coordenadas reales. Un esquema lgico de numeracin para los problemas bidimensionales es la notacin de subndice doble (m, n), donde m = 0, 1, 2, . . . , M es el conteo de los nodos en la direccin x, y n = 0, 1, 2, . . . , N es el conteo de los mismos en la direccin y. Las coordenadas del nodo (m, n) son simplemente x = mx y y = ny, y la temperatura en el nodo (m, n) se denota por Tm, n.

Conduction de Calor BidimensionalConsidere ahora un elemento de volumen de tamao x y 1, con centroen un nodo interior general (m, n), en una regin en la que el calor se generacon una razn de e y la conductividad trmica k es constante, como semuestra en la figura 5-24. Una vez ms, si se supone que la direccin de laconduccin de calor es hacia el nodo que se est considerando, en todas lassuperficies, el balance de energa sobre el elemento de volumen se puede expresarcomo

Red Nodal

2. Procedimiento

Para el caso estacionario. De nuevo, si se supone que las temperaturas entre los nodos adyacentes varan linealmente y se nota que el rea de transferencia de calor es Ax = y x1 = y, en la direccin x, y Ay = x x 1 = x, en la direccin y, la relacin de balance de energa antes dada queda

APROXIMACION POR DIFERENCIAS FINITAS

Nodos frontera

El desarrollo de la formulacin en diferencias finitas de los nodos frontera en los problemas bidimensionales (o tridimensionales) es semejante al realizado en el caso unidimensional descrito al principio. Una vez ms, la regin se divide entre los nodos mediante la formacin de elementos de volumen alrededor de ellos y se escribe un balance de energa para cada nodo frontera. Como se discuti para una pared plana, se pueden manejar varias condiciones de frontera, excepto que los elementos de volumen en el caso bidimensional comprenden transferencia de calor en la direccin y as como en la direccin x. Las superficies aisladas todava se conciben como espejos y se puede usar el concepto de imagen especular con el fin de tratar los nodos sobre fronteras aisladas como nodos interiores.

Ejemplo 5-3