Conduccion bidimensional

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El mtodo grfico se basa en una serie de condicionamientos geomtricos de la frmula vectorial de la ley de Fourier, que especifica que las isotermas y las lneas de flujo trmico constante (fronteras adiabticas), son siempre perpendiculares en los puntos en que se cortan; las lneas de simetra son tambin fronteras adiabticas. Por lo tanto, se puede hacer un diagrama esquemtico de las isotermas y de las lneas equipotenciales del flujo trmico, y perfeccionar el sistema hasta conseguir se satisfaga la condicin de perpendicularidad entre ellas.

La exactitud de la distribucin de temperaturas va a depender del cuidado que se ponga en la construccin de las citadas lneas; en cada punto de interseccin, las tangentes a las lneas correspondientes han de ser perpendiculares; los cuadrilteros curvilneos hay que construirlos de forma que la suma de los dos lados opuestos sean iguales, Fig. I, es decir:

Si suponemos un cuadrado curvilneo tpico, por el que fluye una cierta cantidad de calor qi , aplicando la ley de Fourier (por unidad de profundidad) se obtiene:

Fig. I- Cuadrado curvilneo de isotermas y adiabticas, x=y

Y si se dibujan todos los cuadrados curvilneos de forma que se cumpla que x = y las subdivisiones de temperatura sern iguales. Entonces se puede expresar la diferencia de temperaturas entre dos isotermas adyacentes, en funcin de la diferencia de temperaturas total a travs de la superficie completa y del nmero de subdivisiones de temperaturas iguales M, por lo que:

con , x = y Siendo T1 y T2 las temperaturas extremas, T1 > T2. Sustituyendo en qi resulta:

Si el nmero de lneas de flujo trmico es N, la transferencia de calor a travs de cada canal entre dos lneas trmicas equipotenciales adyacentes, ser la misma para todas ellas, siendo el calor transferido total de la forma:

El factor F = N/M se denomina Factor de forma de la conduccin, y es la relacin entre el nmero de lneas de flujo y el nmero de lneas isotermas. Se conocen algunas expresiones que proporcionan una expresin matemtica del factor de forma F para diversas geometras sencillas. As, por ejemplo, para la conduccin en una pared plana:

siendo F = A/L el factor de forma para este caso de conduccin. Para un cilindro hueco de longitud L el factor de forma de la conduccin trmica es:

Los factores de forma se pueden obtener para una gran variedad de geometras, en los que:

Viniendo recogidos algunos resultados a continuacin.