Omjeri i razmjeri (proporcije)Omjerom nazivamo međusobni odnos veličina dvaju elemenata jedan prema drugome. Jedan lik je dvostruko veći od drugog; jedan je tri puta manji od drugog; jedan je jednak drugome ali je četiri puta veći od trećeg, i sl. Omjer tijela prema glavi na "Kopljonoši" jest 1 : 7. Postavimo u odnose više elemenata: mali čekić i dvostruko veći; glazbene tonove c1 i c2 (razmak oktave), dijete visoko 90cm i odraslog čovjeka visokog 180cm te brojeve 13 i 26. Tematski, između njih nećemo naći ništa zajedničko, ali već na drugi pogled uočavamo kako su svi parovi postavljeni u odnose 1:2, tj. u omjer dvostruke vrijednosti jednog elementa prema drugom. Pronašavši na taj način zajednički nazivnik naizgled nespojivim pojavama počinjemo govoriti o razmjeru (proporciji): postavili smo u odnos više omjera i više veličina. Kod razmjera je omjer uvijek sačuvan; razmjer je izjednačavanje omjera. Razmjeri su:a : b = c : da : b = b : c (tzv. neprekinuta proporcija)a : b = b : (a + b) tzv. "zlatni rez"Primjerice:omjer: 4 : 2 (= 2)razmjerno: 8 : 4 (=2), 32 : 16 (=2), 100 : 50 (=2), itd.Ujedno uočavamo kako za elemente u omjeru koristimo znak ":" koji matematički zovemo dijeljenje, pa je tako omjer elemenata uvijek izračunljiv, izmjerljiv i postavljiv u daljnje odnose, tj. razmjere.Iz ovog pravila proizlaze progresivni nizovi brojeva, u kojima se bilo koja dva susjedna broja međusobno jednako odnose kao bilo koja druga dva susjedna broja. Najpoznatiji proporcionirani nizovi su:Aritmetički niz: uvijek isti broj zbraja se sa svakim slijedećim članom niza, što čini sve veličine između dva člana uvijek jednake, npr:1, 2, 3, 4, 5... (svaki broj zbraja se sa 1), ili: 1, 4, 7, 10... (zbroj s 3), itd.Geometrijski niz: uvijek isti broj množi se sa svakim slijedećim članom niza, što čini da se veličine između dva člana velikom brzinom povećavaju, npr:1, 2, 4, 8, 16, 32... (množenje s 2), ili: 1, 3, 9, 27, 81... (množenje s 3); itd.Harmonijski niz: počinje od cijelog broja (1), koji se dijeli na polovinu, trećinu, četvrtinu, petinu, šestinu i tako u beskraj. Dakle: 1, 1/2, 1/3 (ili 2/3), 1/4 (ili 3/4), 1/5 (ili 4/5), 1/6 (ili 5/6) itd. Pošto je harmonijski niz zapravo aritmetički niz pod razlomkom (1, 2, 3, 4... - 1, 1/2, 1/3, 1/4...) o njemu se govori i kao o obrnutoj proporciji. U njemu će mnogi prepoznati tajnu percipiranja svijeta: Pitagora uspostavlja glavne konsonante: 1/2=oktava, 2/3=kvinta, 3/4=kvarta; a Leonardo će zapisati kako ono što je u prirodi u aritmetičkom nizu (drvored) vidimo kao harmonijski niz (geometrijska perspektiva). Zbog ovog niza grčki filozof Zenon pobija mogućnost kretanja: ako ispustim kamen iz ruke, prije negoli padne na zemlju mora prvo doći do polovine puta; a prije toga do prve trećine; a prije do četvrtine, a prije do petine... Zapravo, kaže Zenon, ne može uopće ni krenuti! Fibonaccijev niz: dva člana niza zbrojena međusobno daju slijedećeg člana niza: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Omjeri u ovom nizu su u "zlatnom rezu": 1, 618... Ovu činjenicu još odavno koriste umjetnici tražeći u proporcijama (omjerima i razmjerima) odraz načela stvaranja u prirodi, neki "zajednički nazivnik" koji bi bio dokaz "traga ruke" zajedničkog Stvaraoca. Najpoznatiji rezultat tog istraživanja poznajemo pod imenom "Zlatni rez", razmjer veličina u kojem se manji dio odnosi prema većem kao taj veći prema cjelini (ukupnom zbroju manjeg i većeg). Formulom:a : b = b : (a + b)ili: minor : Major = Major : cjelinaViše o Zlatnom rezu u prirodi i Zlatnom rezu u umjetnosti. Recimo samo da se otkriće Zlatnog reza pripisuje starim Grcima, zbog njihovih zabilješki i instrumenata koje su koristili, ali proporcije Zlatnog reza nalazimo već na Egipatskim građevinama, što je rezultat njihovih astronomskih i drugih mjerenja prirode kojoj je Zlatni rez jedno od osnovnih oblikovnih načela. Razmjer Zlatnog reza izražen je u Fibonaccijevom nizu: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55... Svaki slijedeći broj jednak je zbroju prethodna dva broja.Traganje za savršenim proporcijama dovelo je umjetnike stare Grčke do uspostavljanja kanona odnosno modula, osnovnih mjera, proporcionalnih pravila za prikaz idealnih mjera ljudskog tijela. Najčešće se koristio odnos veličine glave prema ostatku tijela, što je kod kipara Polikleta iznosilo 1:6, a kod kipara Praksitela 1:7; veličina glave išla je 6 ili 7 puta u veličinu tijela. Prema povjesničaru umjetnosti Winkelmannu Grci su svoju djecu vježbali u crtanju ljudskih tijela kako bi se naučila gledati i vidjeti proporcionalne odnose, i tako stekli smisao za lijepo. Modulima se bavio i Vitruvije u antici, Leonardo da Vinci i Albrecht Durer u 15.st., te Le Corbussier u 20. st. Ta ista znanja o pravilnim odnosima veličina koristi se i za namjerno kršenje pravila, posebno u karikaturi (ističu se smiješni ili karakteristični elementi neke osobe) i u tzv. naivnom slikarstvu. Disproporcionalnost je posebno

vidljiva u dječjem crtežu, gdje se semantičkom (ikonološkom) perspektivom naglašavaju važnije stvari u prikazu; mnogi umjetnici su stoga uzore tražili upravo u dječjem likovnom izrazu.Nadalje, proporcionalnost je važna i u arhitekturi. Još od stare Grčke poznajemo geslo "čovjek kao mjerilo stvari", što treba prihvatiti na dvije razine: prvo, arhitektura uvijek ima utilitarno svojstvo, njena funkcija određuje njen oblik i mjere. To znači da vrata, primjerice, moraju odgovarati svojom visinom prosječnoj visini osoba koja će ta vrata koristiti odnosno prolaziti kroz njih. Žlijebovi na stupovima grčkih hramova (kanelire) imaju širinu ljudskih leđa, kako bi se osobe koje se okupljaju ispred hrama mogu nasloniti u njih i odmoriti. Drugo, u projektiranju zgrada koriste se omjeri i razmjeri ljudskih proporcija, čime se stvara osjećaj sklada i prihvaćanja od strane gledatelja koji na nesvjesnoj razini u odnosima arhitektonskih elemenata prepoznaje odnose vlastitog tijela. Stup se, primjerice, omjerom kapitela i stupa odnosi kao ljudska glava prema tijelu; a razmak među stupovima razmjeran je rasponu koraka čovjeka.Posebno je važno i ovo:hrvatska riječ "razmjer" na latinskom se zvala "proporcija", a na grčkom"analogija". Pitagora je, prema pričanju, prolazeći pored kovačnice čuo cvukove udaranja čekića o nakovanj u oktavama. Ušavši, vidio je kako su čekići načinjeni u omjeru 1 : 2, tj. jedan je dvostruko veći od drugog. Time se stvorio analogan, tj. proporcionalan odnos: manji čekić prema većemu je kao nota c prema noti c1.Ta spoznaja omogućila mu je istraživanje sakrivenih odnosa među stvarima koje je počeo svugdje pronalaziti; stoga je za Univerzum skovao naziv Kozmos, Uređeni, suprotan od Kaosa. Iz ovih razmišljanja pojavljuju se riječi struktura (nadređeni red) i korelacija - sukladnost po istim načelima (dakle, ne po temi, već po sadržaju). Na ovim principima treba održavati nastavu u školama, to je ono što pojam korelacije doista znači! Otkrivanjem sakrivenih relacija učenik ne usvaja samo znanje, već i oduševljenje u promatranju i istraživanju.Napokon, proporcionalnost je od izuzetne važnosti pri konstruiranju kompozicija u slikarstvu. To znači da se već sam format platna ili papira pažljivo određuje odnosom visine prema širini; najpoznatiji je tzv. auron, "zlatni pravokutnik", kojemu su stranice u odnosu Zlatnog reza, ali format može biti i dvostruki kvadrat, ili u nekom drugom odnosu.Zatim, svaki format ima u sebi raspoređene nevidljive povlaštene točke koje utjeću na silnice koje se aktiviraju smještajem likova na ta mjesta. Najvažniji je svakako centar (polovica formata, vertikalna i horizontalna) prema kojemu likovi "padaju", "lebde", "stabilni" su ili "nestabilni". Tu su zatim trećine, zlatni rezovi i dijagonale, a zatim cijeli mikrosvijet koji nastaje kombinacijama ovih pravila. Mjesto na kojem se sjeku dva zlatna reza - vertikalni i horizontalni - nazivamo "optičko središte (ne brkati sa "očištem" u geometrijskoj perspektivi). Veoma važan dio likovnog izražaja čini odabir mesta unutar formata na koja autor smješta pojedine elemente svoje kompozicije. Pogledajmo (samo slikovni) primjer:

Pietro Vannuci zvan "Perugino": "Predaja ključeva"

Dorifor (Kopljonoša): grčki kanon mjera.Razmjer je u odnosima: a:b=b:c=c:d=d:e=e:f

Kanoni proporcija egipatskih likova

:Leonardo da Vinci i Le Corbusier:proporcijske studije u 15. i 20. Stoljeću

Partenon: odnosi po mjeri čovjeka i prirode

Povlaštena mjesta u formatu

Zlatni rez: geometrija umjetnosti ili umjetnička geometrija

 U prošlom tekstu opisali smo konstrukcije zlatnog reza i njegovo pojavljivanje u Pitagorinom trokutu, pentagramu i vrtložnoj spirali. Nazreli smo princip konstrukcije u prašnicima suncokreta i tratinčica, sjemenki u jabukama, rastu nekih cvjetova i listova begonije, šarama paunovog repa, dimenzijama riba i insekata; nazreli smo da toga ima još mnogo u organskoj prirodi. Dakako da se zlatni razmjeri pojavljuju i u strukturi ljudskog tijela, i da je čovjek to odavno primijetio, ili barem osjetio, i ugradio prirodnu metriku u svoja umjetnička djela.

Najpoznatije proporcionirano obilježavanje čovjeka izvedeno je na crtežu Leonarda da Vincija, na slici 1. Crtež nam kaže: ljudsko tijelo je moguće ucrtati u kružnicu i kvadrat (kvadrat je pravokutnik sa jednakim stranicama 1x1=1na kvadrat - dakle kvadrat je dimenzija jedan na kvadrat). Visina čovjeka (1) jednaka je širini rastvorenih mu ruku (1). Postavljanjem ruku i nogu u dijagonalu čovjek postaje središte kružnice. Napokon, potezi ispod koljena označavaju zlatni rez, kao i na ramenima: od vrha prstiju do ramena : rame do prstiju druge ruke. Tako je i sa glava+tijelo+natkoljenica : potkoljenica. Ipak, Leonardo to nije sam izmislio. Crtež je zapravo interpretacija Vitruvijevih studija o proporcijama, koje su objedinjenje dotadašnjih antičkih spoznaja.

Na kosturu vidimo kako se zlatni odnosi počinju granati; unutar gornjeg dijela tijela na odnos glave i vrata (A) naprama trupu (B); tako se dalje odnose i dijelovi ruku i dijelovi nogu (slika 2).

 

Nadalje, uočimo odnose veličina na ljudskoj šaci - kako se članci prstiju odnose u progresiji veličine, i svi se mogu upisati u kružnice sa ishodištem u zapešću; poput lica, dijelovi tijela su mikrokozmos koji zrcali makrokozmos tijela (slika 3).

 

U umjetnosti, povijest zlatnog reza započinje u starom Egiptu, i tu odmah nailazimo na problem: Egipćani su upotrebljavali zlatni presjek a da nisu ni znali zanj! Ili barem mi tako smatramo, jer se nigdje ne spominje nešto što bi odgovaralo njegovom opisu. Polazište o njihovom znanju su nam šest matematičkih papirusa, koji čak još nisu svi točno dešifrirani. Rindov papirus počinje ovako: "Točno zbrajanje. Vrata ka znanju svih stvari i mračnih misterija." Stoljećima i tisućljećima Egipćani su gradili po kanonima koji se nisu mijenjali, i koji su osiguravali uklapanje dijelova u cjelinu premda bili napravljeni i na mjestima, i u različito vrijeme. Postupak rada nam je poznat: umjetnik je najprija sastavio kvadratnu mrežu podijeljenu na polja i u nju unosio obrise. Matematički odnosi su se postavljali na osnovu izračunavanja bitnih prirodnih pojava - podizanju i opadanju voda Nila zbog hrane, i astronomskom mjerenju kretanja zvijezda, posebno Orionovog pojasa zbog rasporeda i orjentacije hramova, svetišta i piramida (kompleks sa Keopsovom (i još dvije) piramidom u Gizi je u odnosu na Nil vjerna rekonstrukcija srednje tri Orionove zvijezde prema Mliječnoj stazi, npr.) Tako ispada da je samo matematičkim tumačenjem prirode Egipćaninu u proračun ušao i zlatni rez; većina konstrukcija uključuje korijen iz 5 i pravokutne trokute 3-4-5. Na slici 4 je konstrukcija Keopsove piramide, zatim prikaz da je dužina stranice u zlatnom omjeru sa polovicom baze.

 

U Grčkoj, od 580-497 g. p.n.e. živio je Pitagora, čovjek koji je tražeći sustave kojima će objasniti harmonično djelovanje svijeta oko sebe postavio brojeve - ne kao jedinice kvantitete, već kao principe u kojima se ogleda kozmički red. Tako pitagorejski sustav ima monadu, jedinicu, počelo svega; dijadu i trijadu - ženski (djeljiv) i muški (nedjeljiv) broj; četiri-potpuna ženskost, dvostruka djeljivost, broj pet kao potpunost, zbroj muškog i ženskog načela; i deset kao apsolutni, sveti broj, zbroj 1+2+3+4, tetrakis kojem su se pisale i izgovarale molitve. Pitagora je putovao u Egipat i tamo doznao mnoge "mračne misterije i znanje svih stvari" uobličene u brojeve. Nakon Pitagore, Platon će 387. g. p.n.e. napisati na glavna vrata svoje Akademije: "Neka nitko ovdje ne ulazi ako ne zna geometriju"; sjeme metričke nužnosti za shvaćanje svemira već je niknulo bogatim plodom. Ubrzo, oko 300. g. p.n.e.

Euklid iz Aleksandrije će pisati svoje knjige "Elemenata", u kojima, kao učenik Platonove škole govori o pitanjima geometrije i proporcija i precizno govori o podjeli date dužine tako da se manji dio (minor) odnosi prema većem (major) kao ovaj prema zbroju manjeg i većeg (tj. cjelini). Poliklet u svojim skulpturama, Fidija, Iktin i Kalikrat na Partenonu i mnogi drugi svjesno su baratali matematičkim formulama koje su određivale lijepe proporcije; tako govorimo o Grcima kao o pronalazačima zlatnog reza. Sva znanja starih Grka objedinio je rimski arhitekt Markus Vitruvius Polio iz 1. st. p.n.e. u svom kapitalnom djelu "De architectura libri decem" ili "Deset knjiga o arhitekturi", posvećenom imperaroru Augustu. Vitruvije, govoreći o simetriji hramova njihove proporcije uspoređuje sa razmjerima čovječjeg tijela. I upravo Vitruvije će ucrtati ljudsko tijelo u kružnicu što će mnogo kasnije, u 15. st., ponovno interpretirati Leonardo da Vinci. Grci uspostavljaju kanon lijepih proporcija, koje možemo pratiti na Polokletovom Doriforosu (slika 6). Partenon je simbol univerzalnosti savršenih proporcija, sa mnoštvom razlaganja u zlatnim presjecima po svim osima; čak i grčke vaze su konstruirane po dinamičnim spiralama.

Na temelju matematičke razrađenosti Grka i Rimljana, proporcijama - a posebno zlatnim rezom kao njihovim ključnim čimbenikom - su se nadalje kroz povijest bavili mnogi umjetnici svesno, a drugi su ih manje svjesno ugrađivali u svoja djela.

1202., razdoblje gotike, Leonardo iz Pise zvan Filius Bonaccio (sin Bonaccijev, mi skraćeno izgovaramo Fibonaccio), proučavao je razmnažanje zečeva. Počev od prva dva zeca, broj novih zečeva je rastao slijedećom progresijom:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89... Svaki slijedeći broj jednak je zbroju prethodna dva. Omjer svih susjednih članova je jednak: 1,618... to je točno omjer zlatnog reza. Taj niz zovemo Fibonacciov niz.

U razdoblju renesanse,1509., fra Luka Pacioli piše knjigu “Divina proportione” (Božanski razmjer), u kojoj za taj razmjer veže božanske osobine (primjerice, on je iracionalan i neizračunljiv do kraja, a vezan je uz prirodne pojave).

U renesansi je, uz spomenutog Leonarda, proporcijske sisteme razrađivao Albrecht Dürer, a u 20. st. francuski arhitekt Le Corbusier postavlja svoj "Modulor", ponovno se prisjećajući starih mudrosti i odnosu prirode.

Na kraju, zanimljivo je dotaći se i narodne umjetnosti. Ako prolazi teorija da čovjek prepoznaje zlatni rez kao građu prirode i sebe sama, tada bi se pogotovo rez morao pojaviti i u tradicionalnim narodnim rukotvorinama. Zaista, pogledajmo primjere Meksičkih ornamenata, vaze sjevernoameričkih Pueblo Indijanaca, Tibetanski Buda i japanska pagoda (slika 8).

 

Da zaključimo. Veoma privlači ideja da se kroz razmjere zlatnog reza možda mogu matematički otključati i pomalo otškrinuti mistična vrata iza kojih iskri rajska svjetlost Božje konstrukcije Univerzuma. Možda je tako, ili se možda samo zavaravamo da su te razine spoznaje dostupne našoj vrsti. Ipak, čovjek svim svojim bićem teži spoznaji Apsoluta i Istine, i od prvih iskri svog razuma, od zore čovječanstva, magijom i religijom pokušava transcendirati materiju oko sebe u neku višu sferu, gdje sve ima smisla i sve se uklapa. Metafizička matematika je izmjerila svoju okolicu i brojeve međusobno usaglasila. Matematičari-filozofi nisu zadovoljni mišljenjem da je umjetnost i ljepota samo intuicija; traži se ono što nije slučajno. Pitagorejske molitve tetrakisu nisu upućene broju kakav mi danas poznajemo; to je mistični princip harmonije i ljubavi, načelo stvaranja. Broj je apsolut je Bog. Odnedavno, teleskopi su snimili rotaciju galaksija u svemiru; one se okreću u obliku dinamične spirale.

slika 5: proporcije piramide

slika 8: grčka vaza, omjeri

slika 9: A. Durer, proporcije čovjeka

slika 11: Japanska pagoda