Zbirka testova Za polaganje maturskog i stručnog ispita iZ ...iccg.co.me/1/images/dok/publikacije/ZBIRKE/Matematika.pdf · Zbirka testova Za polaganje maturskog i stručnog ispita

Zavod za udžbenike i nastavna sredstvaPODGORICA

Zbirka testova Za polaganje maturskog i stručnog ispita

iZ

MATEMATIKE


iZ

matematike

Zavod za udžbenike i nastavna sredstvaPODGORICA


iZ

matematike

Izdavač:

ISPITNI CENTAR – PODGORICAZAvOD ZA uDžbENIkE I NASTAvNA SREDSTvA – PODGORICA

Za izdavača:

DR žEljkO jAćImOvIćNEbOjšA DRAGOvIć

preDgovor

Pred vama je zbirka zadataka nastala objedinjavnjem testova koji su u Ispitnom centru pripremljeni za potrebe pilota maturskog i stručnog ispita, kao i testova koje su kandidati/kandidatkinje rješavali od juna 2011. do avgusta 2012. godine na eksternim maturskim i stručnim ispitima iz matematike.

Testovi su sastavljeni tako da je dio zadataka bio isti za kandidate iz gimnazije i za kandidate iz stručnih škola. „Zajednički“ zadaci su po pravilu oni manje zahtjevni u testu za maturski ispit. Razlog je manji fond časova matematike u stručnim školama. Razdvajanje u zbirci nije izvršeno. Može se uočiti da u malom broju slučajeva postoje dvije varijante skoro istog zadatka. Jednostavnija varijanta zadatka je bila na stručnom, a složenija na maturskom ispitu. Cilj je da svaka grupacija kandidata dobije za rješavanje zahtjeve odgovarajuće težine.

Zadaci u Zbirci su sadržajno podijeljeni po oblastima u skladu sa Ispitnim katalogom. Zadaci otvorenog tipa su dati sa detaljnim rješenjem i bodovanjem kojeg su se pridržavali i ocjenjivači u svom radu. Zadatke višestrukog izbora prati tačan odgovor, a gdje se smatralo da je potrebno, dato je uputstvo ili kompletno rješenje.

Zbog postupnosti i specifičnosti koje su pratile uvođenje eksternog ispita iz matematike u naš obrazovni sistem, djelovi ispitnog programa nijesu adekvatno zastupljeni. To će se nadoknaditi u rokovima koji slijede.

Zbirka je namijenjena svima koji polažu maturski ili stručni ispit iz matemati ke, a može koristiti i nastavnicima tokom redovne nastave ili tokom spremanja učenika/učenica za ispit. Stoga se nadamo se da će vam ovaj materijal uz preporučenu literaturu olakšati pripreme.

Tatjana Vujošević, savjetnik za matematiku

u Ispitnom centru

4

ZBIRKA ZADATAKA SA MATURSKIH I STRUČNIH ISPITA

pravila Za rjeŠavanje testa na maturskom i stručnom ispitu

– Vrijeme rješavanja testa na maturskom ispitu je 150 minuta.

– Vrijeme rješavanja testa na stručnom ispitu je 120 minuta.

– Na ispitu se rješava 20 zadataka.

– Spisak osnovnih formula je naveden u testu.

– pri ocjenjivanju zadatak se vrednuje sa 0 bodova ako je:

– netačan

– zaokruženo više ponuđenih odgovora

– nečitko i nejasno napisan

– rješenje napisano grafitnom olovkom

Grafici i geometrijske slike se mogu crtati grafitnom olovkom.

5

iz MATEMATiKE

brojevi; raCionalni algebarski iZraZi

1. Vrijednost izraza 1 2 3 12 2+ ⋅ + −( ) je:

A. 18 B. 20 C. 26 D. 36

2. Koji od datih brojeva je vrijednost izraza 2 0,5 50,01 100 10−⋅ ⋅ ?

A. 0 B. 1 C. 10 D. 100

3. Broj je djeljiv sa 12 ako je

A. zbir njegovih cifara djeljiv sa 12 B. proizvod njegovih cifara djeljiv sa 12

C. djeljiv sa 2 i sa 6 D. djeljiv sa 3 i sa 4

4. Zbir svaka tri uzastopna prirodna broja jeA. paran broj B. neparan broj C. broj djeljiv sa 3 D. broj djeljiv sa 4

5. Ako je zadnja cifra nekog prirodnog broja 0, onda je suma prirodnih brojeva sa kojima je taj broj sigurno djeljiv:

A. 7 B. 8 C. 17 D. 18

6. Neka su a i b realni brojevi. Od tvrđenja

I) ako je ba < i 0,ab ≠ tada je ba11

>

II) ako je ba < , tada je 22 ba <

III) ako je ba < , tada je baa +<2

IV) ako je ba < , tada je ba −>− tačna su

A. samo I i III B. samo III i Iv C. samo II, III i Iv D. sva četiri

7. Čemu je jednako 58−

?

A. 58 B. 581

C. 5)8(−

6


8. Vrijednost izraza 125

34

12

−

je:

A. B. C. D.

9. Koliko iznosi vrijednost izraza 3 37 3 2 81⋅ + ⋅ ?

A. B. C. D.

10. Na kojoj slici je predstavljen skup ( ] ( )∝+∪−∝− ,02, ?

A. B.

C. D.

11. Tri investitora su uložila novac u izgradnju tržnog centra. Prvi je uložio 51 , a

drugi ukupnog kapitala. Koliko je, u procentima, uložio treći investitor?

A. 20% B. 25% C. 45% D. 55%

12. Petru je ostalo 2772 € nakon što je dao 16% za porez. Koliko je Petar imao novca?

A. 3153 € B. 3300 € C. 3476 € D. 3500 €

13. U fabrici se testira 7% od ukupnog broja sijalica koje se proizvedu u toku dana. Ako je u srijedu testirano 238 sijalica, koliko ih je ukupno proizvedeno tog dana?

A. 340 B. 430 C. 3400 D. 4300

4 1251

3 1251 4 125 3 125

9 846⋅ 9 843⋅ 13 36⋅ 13 33⋅

41

7

iz MATEMATiKE

14. 40 g sira sadrži 180 kalorija. Miloš je pojeo 70 g. Koliko je bilo kalorija u pojedenom siru?

A. 260 B. 285 C. 315 D. 330

15. Markov otac je od Nikšića do Žabljaka vozio brzinom od , a od Žabljaka do Nikšića brzinom od . Prosječna brzina je:

A. B. C. D.

16. Čemu je jednak zbir brojeva 4 9− − i − + −6 25 izražen u najjednostavnijem

obliku a bi+ ?

A. B. C. D.

17. Koliko iznosi vrijednost izraza: )5(2 ii −⋅ ?

A. i+− 5 B. i+5 C. 15 −i D. 15 +− i

18. Im 5 42−

=

ii

A. − 52

B. –2 C. 2 D. 52

19. Za koju vrijednost realnog parametra p je kompleksan broj

)72()54( −++= pipz realan?

A. −113

B. − 45

C. 37

D. 72

40 kmh

60 kmh

46 kmh

48 kmh

50 kmh

52 kmh

− +2 34i − +2 2i − +2 16i − −2 2i

8


20. Ako je dat kompleksan broj z i= +5 tada je zi3

jednako:

A. 1 5+ i B. − +1 5i C. 1 5− i D. − −1 5i

21. Proizvod kompleksnog broja )4( i+ i njemu konjugovanog broja je:

A. 15 B. 17 C. 16 – i D. 17– 8i

22. Neka je W skup svih brojeva kz definisanih sa NNkiiz kkk ,, ∈+= − je skup

prirodnih brojeva, i je imaginarna jedinica. Koliko elemenata ima skup W?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

23. ( )( )x x+ − =2 3

A. x2 6− B. x x2 6+ − C. x x2 6− − D. x x2 5 6− −

24. ( ) ( )5 3 4 1x x− ⋅ + =

A. 20 7 32x x− − B. 20 7 32x x+ − C. 20 17 32x x+ + D. 20 12 32x x− −

25. Šta je tačno? 4 1 2− − =( )x

A. ( )( )4 1 4 1− − + −x x B. ( )( )2 1 2 1− − + −x x

C. ( )( )2 1 2 1− + + −x x D. ( )( )4 1 4 1− + + −x x

26. Koja od sljedećih jednakosti nije tačna?

A. − − = − −( )a b ab a b2 2 22 B. ( )− − = + +a b a ab b2 2 22

C. ( )a b a ab b− = − +2 2 22 D. ( )a b a b− = −2 2 2

9

iz MATEMATiKE

27. Koji od ponuđenih izraza nije jednak sa preostala tri?

A. x4 1− B. ( )( )x x x x− + + +1 13 2

C. ( )( )( )x x x− + +1 1 12 D. ( )( )( )x x x x− + − +1 1 2 12

28. Koji od ponuđenih polinoma se ne moŽe napisati u obliku kvadrata binoma?

A. x x2 1 2+ − B. x x2 0 25+ + ,

C. x x2 2 4+ + D. 4 2 0 252x x− + ,

29. Rastavljanjem polinoma xy xz yz z+ + + 2 na proste činioce dobija se:

A. ( )2x y z z+ + ⋅ B. x x y z z+ + + ⋅( )

C. ( )( )x z y z− − D. ( )( )x z y z+ +

30. Razlika a b2−

iznosi:

A. a b− B. a b−

2 C. a b− 2

2

31. Rezultat sabiranja 31

32

++

− xx je:

A. 3

2x B. 3

3 3( )( )x x− + C.

3 33 3x

x x+

− +( )( ) D. 36 92

xx x− +

32. Za koje sve vrijednosti razlomak xx

xx7

562

2

−+−

nije definisan?

A. 7 i 5 B. 7 i 0 C. 1 i 5 D. 1 i 7

33. Koji izraz se ne moŽe skratiti?

A. aa

2

B. aa

2 93−−

C. 16162a −

D. a a

a

2 10 255

− +−

10


34. Skraćivanjem razlomka 3

64

284

aaa − dobija se:

A. 2 1 2a a⋅ −( ) B. 2 1 4 2a a⋅ −( ) C. 2 1 2 2a a⋅ −( ) D. 4 13a a⋅ −( )

35. Ako je 9,9=a i 1,0=b tada je vrijednost izraza 2 2

2 22a b

a ab b−

+ + jednaka broju:

A. 0,98 B. 0,99 C. 9,80 D. 9,99

36. Vrijednost izraza 23

123

1+

+−

je:

A. 2 B. 3 C. 22 D. 32

37. Izračunati vrijednost izraza: 2 boda

2 7 3 4 5 6 2 11 1 2009− − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −( ( )) ( )

38. Izračunati vrijednost izraza. 3 boda

1 23 10 2 3 8 6 53 0, ( ) ( )⋅ − + ⋅ − + − .

39. Izračunati

+⋅−−− 1

211

521:)15,0( 2 . 3 boda

40. Napisati broj 19035 kao proizvod dva trocifrena broja. 2 boda

41. Nađi bar jedan razlomak koji je veći od 72

i manji od 73

. 1 bod

42. Broj 173ab gdje su a i b dvije nepoznate cifre 5tocifrenog broja je djeljiv sa 3 i 5. Odrediti koje sve vrijednosti mogu imati cifre a i b. 3 boda

11

iz MATEMATiKE

43. Izračunati 201 )( −− + xx ako je 21

=x . 3 boda

44. Uprostiti izraz 5 5

83 6:b b a

a a

− ⋅

, a zatim izračunati njegovu vrijednost

za 12

a = i 12

b = − . 3 boda

45. Geografska karta Crne Gore je izrađena u razmjeri 1: 550000. Koliko je rastojanje vazdušnom linijom između Herceg Novog i Sutomora ako je na karti njihova udaljenost 10 cm? 2 boda

46. Odrediti Re 2 34−

ii

i Im 2 34−

ii

. 3 boda

47. Kompleksni broj 12011)1(2 −+⋅= iiz zapisati u obliku a bi a b R+ ∈, , . 3 boda

48. Naći broj a za koji je ( ) .1352 iiia +=−

+ 3 boda

49. Rastaviti na činioce polinom x xy x x y− + −3 2 62 2 . 3 boda

50. Rastaviti na proste činioce 88 235 +−− xxx . 3 boda

51. Rastaviti na činioce polinom 6 3 3 122 2 2xy x y a− − + . 3 boda

52. Izvršiti naznačene operacije sa razlomcima. 44

8 23

−−

⋅x

xxx

2 boda

53. Uprostiti izraz . 3 boda

54. Uprostiti izraz 2 1 1: 1x xx x

− + +

, 0x ≠ . 3 boda

12

11

11

2 −+

++

− aaa

12


55. Uprostiti izraz 3

2

23

2

233

331

331

yxy

xy

x

yx

yx

yx

+−+−

−+−. 3 boda

elementarne FunkCije; jeDnačine i nejeDnačine

56. Koliko prirodnih brojeva x je rješenje nejednačine 23

4≤

+x ?

A. 1 B. 2 C. 3

57. Koja od datih funkcija

A. 33)( +−= xxf B. 434)( −= xxf C. f x x( ) = −4 4

3 D. 33)( −= xxf

ima vrijednosti prikazane tabelom?

58. Koja od datih linearnih funkcija je predstavljena grafikom sa slike?

A. 22 += xy B. 2+−= xy

C. 22 −= xy D. 22 +−= xy

59. Koja je od datih funkcija opadajuća i ima grafik koji sadrži koordinantni početak?

A. 12)( += xxf B. 25)( −−= xxf C. xxf 3)( −= D. xxf 3)( =

x31

3

)(xf 2 – 6

x10

1

2

y

13

iz MATEMATiKE

60. Ako je funkcija f x ax b( ) = + opadajuća i njen grafik sadrži koordinantni početak tada je:

A. 00 <= bia B. 00 >= bia C. 00 =< bia D. 00 => bia

61. Ako je 3

1)(−

=x

xf tada je

34f jednako:

A. 35

− B. 53

− C. 53

D. 35

62. Koja od sljedećih funkcija ima inverznu funkciju na skupu R?

A. 121)( += xxf B. xxf sin)( = C. 13)( 2 ++= xxxf

63. Koja od datih jednačina nema rješenja u skupu realnih brojeva?

A. 042 =−x B. 042 =+x C. 042 =− xx D. 042 =+ xx

64. Koji od datih brojeva je diskriminanta jednačine x x2 12 32 0− + = ?

A. 4 B. 12 C. 16 D. 32

65. Koja jednačina ima rješenja 21 −=x i 32 =x ?

A. 062 =−− xx B. 062 =++ xx C. 062 =−+ xx D. 062 =+− xx

66. Jednačina 2 3 (2 4) 0x x m− − − = ima dvostruko rješenje ako je m jednako:

A. 78

B. 258

C. 92

D. 132

67. Skup

−

58,2 je rješenje nejednačine:

A. ( )( )x x− + <2 5 8 0 B. ( )( )x x+ − <2 5 8 0

C. ( )( )x x+ − >2 5 8 0 D. ( )( )x x− + >2 5 8 0

14


68. Koordinate presjeka funkcije f x x x( ) = − −2 2 24 sa x osom su:

A. (6,0) i (4, 0) B. (6,0) i (–4, 0) C. (–6,0) i (4, 0) D. (–6,0) i (–4, 0)

69. Na kojem od datih intervala funkcija y x x= + −1

1813

62 dostiže najmanju vrijednost:

A. [ )∝+− ,3 B. ( )∝+− ,3 C. ( ) ),3(3, ∝+−∪−∝− D. ( )3, −∝−

70. Za grafik funkcije f x ax bx c( ) = + +2 , prikazane na slici, važi:

A. a > 0, c > 0 i D > 0 B. a > 0, c = 0 i D = 0

C. a > 0, c > 0 i D = 0 D. a < 0, c < 0 i D > 0

71. Na kojoj slici je prikazan grafik funkcije xy )21(= ?

x0

y

A. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

B. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

C. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

D. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

15

iz MATEMATiKE

72. Na slici su dati grafici eksponencijalnih funkcija.

Kod koje funkcije osnova stepena ima najveću vrijednost?

A. xay 11 = B. xay 22 = C. xay 33 = D.

xay 44 =

73. Vrijednost izraza 102 310log je:

A. 3 B. 6 C. 9

74. Za koje vrijednosti x je definisan izraz )42(log5 +x ?

A. )2,( −∝− B. )2,( ∝− C. ),2( ∝+− D. ),2( ∝+

75. Koji od datih brojeva je pozitivan?

A. 59log

10 B. 4

2log3

C. 5log32 D. 4

5

5log7

76. Jednačina ( ) ( ) ( )1log2log25loglog2 +++=++ xxxx

A. ima dva rješenja istog znaka B. ima dva rješenja različitog znaka

C. ima jedno rješenje D. nema rješenja

y 4 = a

4x

y 1 =

a 1x

y 2 = a 2

x

y 3 = a

3xy

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

16


77. Za funkciju ( ) ( )bxxf a += log čiji je grafik prikazan na slici važi:

A. 01 >∧> ba B. 01 <∧> ba C. 010 >∧<< ba D. 010 <∧<< ba

78. Kojim kvadrantima može pripadati ugao α ako je tgα < 0 ?

A. i i ii B. ii i iii C. i i iii D. ii i iv

79. Vrijednost izraza sin( ) cossin cos( )

− ° °° − °

290 36090 160

je:

A. – 1 B. 1 C. −tg o20 D. tg o20

80. Na kojoj slici za odgovarajuće uglove α podebljanog luka važi 21sin >α ?

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

A.

x1—2

y B.

x-1—2

y

C.

x1—2

y D.

x-1—2

y

17

iz MATEMATiKE

81. Koji od sljedećih grafika odgovara funkciji xy cos= ?

A. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1 �- — 2 �- — 2 -� 3�- — 2

B. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1 �- — 2 �- — 2 -� 3�- — 2

C. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1 �- — 2 �- — 2 -� 3�- — 2

D. y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1 �- — 2 �- — 2 -� 3�- — 2

82. Koja od datih funkcija odgovara grafiku sa slike?

x

y

2�- — 34�—3

7�—35�—6

11�——6 �- — 6

�—30

A. cos3

y x π = −

B. sin3

y x π = +

C. sin3

y x π = −

D. cos3

y x π = +

18


83. Ako je tg( )απ

− =4

34

, onda je tgα jednako:

A. – 7 B. 17

− C. 71

D. 7

84. Koji broj treba dodati brojiocu i imeniocu razlomka 73 , da bi se dobio razlomak

jednak 32 ? 3 boda

85. Riješiti jednačinu 2 72 5

9 110

x x x−= +

−. 2 boda

86. Riješiti jednačinu 2 73

56 5

9 110

x x x x−−

− += −

+ . 2 boda

87. Riješiti nejednačinu 2 54

46

6 23

3 912

x x x x+−

−>

−+

+ . 2 boda

88. Odrediti najveći cijeli broj koji je rješenje nejednačine 4 1 15

52

x x x− ≤

−+

+ .

3 boda

89. Odrediti najveći cijeli broj koji je rješenje nejednačine

4 72

5 7 116

1 63

−+ <

++

−x x x x . 3 boda

90. Katarina je odlučila da počne sa vježbanjem u teretani. Učlanjenje košta 7 eura, a mjesečna članarina je 15 eura. Katarina ne želi da za 1 godinu potroši više od 100 eura na vježbanje.Koliko najviše mjeseci Katarina može da plaća članarinu? 3 boda

91. Riješiti sistem jednačina. 3 boda

4 2 2 2 2 5 63 4

( ) ( )x y x yx y

+ + = + ++ =

.

19

iz MATEMATiKE

92. Ulaznicu za muzej djeca plaćaju 3 eura, a odrasli 5 eura. Ukupno je prodato 800 ulaznica i primljeno 2960 eura. Koliko je među posjetiocima bilo djece? 3 boda

93. U prvom polugodištu je za kupovinu 4 košarkaške i 5 odbojkaških lopti iz školskog budžeta potrošeno 160 eura. U toku drugog polugodišta su po istim cijenama nabavljene 2 košarkaške i 4 odbojkaške lopte za 98 eura.Koliko košta jedna košarkaška i jedna odbojkaška lopta? 3 boda

94. U apoteci je 50l sirupa sipano u bočice od 14

l i 18

l . Ako je upotrijebljeno

ukupno 280 bočica, koliko je bilo bočica od 14

l , a koliko od 18

l ? 3 boda

95. Zbir (S) prvih n prirodnih brojeva računa se po formuli S n n=

+( )12

. Koliko

uzastopnih prirodnih brojeva treba sabrati, počev od broja 1, da bi se dobio

zbir 3081? (napomena: 15724649 = ) 3 boda

96. Za koje realne vrijednosti parametra k je trinom x k x k2 3− − +( ) pozitivan za

svako realno x? 5 bodova

97. Data je jednačina 2 ( 4) 3 2 0px p x q+ + + − = . Odrediti koeficjente p i q tako da 2x = i 2x = − budu rješenja date jednačine. 3 boda

98. Odrediti vrijednost parametra m u jednačini 03)1()2( 2 =−++−− mxmxm ako je poznato da je jedno rješenje 4, a zatim naći drugo rješenje jednačine.

4 boda

99. Sastaviti kvadratnu jednačinu čija su rješenja 771 +=x i 772 −=x . 3 boda

20


100. Ako su 1x i 2x rješenja jednačine x x2 10 9 0+ + = , pomoću Vietovih pravila

odrediti koliko je 21

11xx

+ . 3 boda

101. Neka su 1x i 2x rješenja jednačine x x2 3 10 0− − = . Formirati novu kvaratnu

jednačinu čija su rješenja 211 xz = i 2

22 xz = . 4 boda

102. Uvođenjem smjene riješiti jednačinu 055

452

2

=+−+

+−+

xxx

xxx .

5 bodova

103. Riješiti sistem jednačina. 4 1 2 2 1 33 4

2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )x y x yx y

+ + + = + + ++ = −

3 boda

104. Jedan radnik završi posao 9 dana ranije nego drugi radnik, a oba radnika zajedno bi ga završila za 20 dana. Koliko dana treba svakom od radnika da sam završi posao?

5 bodova

105. Riješiti nejednačinu x x2 7 12 0− + > . 2 boda

106. Riješiti nejednačinu x xx

2 7 127

0− +−

≥ . 3 boda

107. Data je kvadratna funkcija 642)( 2 −+= xxxf . Odrediti koordinate tjemena parabole i presjek sa y – osom. 3 boda

108. Data je funkcije 5,262)( 2 +−= xxxf . Odrediti:

1. nule funkcije 2 boda2. tjeme funkcije. 2 boda3. U dati kooordinantni sistem nacrtati grafik date funkcije 2 boda

21

iz MATEMATiKE

109. Napisati kvadratnu funkciju čiji je grafik dat na slici. 4 boda

110. Na osnovu datih podataka sa slike odrediti kvadratnu funkciju. 4 boda

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

x0

3

1-1

y

0

1

-1

-2

-3

-4

2

3

4

5

6

-1

A(-1,0)

C(0,-3)

B(3,0)

1 2 3 4 5 6 x

y

-2-3-4-5-6

22


111. Odrediti koeficijent m kvadratne funkcije f x x x m( ) = − + +12

32 čiji je grafik prikazan na slici. 3 boda

112. Naći dva broja takva da je njihov zbir 10, a zbir njihovih kvadrata, najmanji. 3 boda

113. Data je funkcija 12)( 1 −= +xxf . 4 boda

Odrediti nulu funkcije.Odrediti presjek sa y – osom. U datom koordinantnom sistemu skicirati grafik date funkcije.

x0

12,5

y

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

23

iz MATEMATiKE

114. Na duži AB, |AB|=10, bira se tačka C i nad duži AC konstruiše se jednakostranični trougao, a nad duži CB kvadrat. Gdje treba odabrati tačku C tako da zbir površina trougla i kvadrata bude minimalan?

5 bodova

115. Riješiti eksponencijalnu jednačinu: 27 3 01− =+x 2 boda

116. Odrediti rješenje jednačine 9 27 13

x x⋅ = . 3 boda

117. Riješiti jednačinu 7 2 7 1051x x+ ⋅ =+ . 3 boda

118. Riješiti jednačinu 4 12 13 40x x− + = . 3 boda

119. Riješiti jednačinu 23

32

4 12 4 8

=

− −x x

. 3 boda

120. Riješiti jednačinu ( ) ( ) ( )23

23

32

3 95 1

7xx

= ⋅+

. 4 boda

121. Riješiti jednačinu 2 2 3 33 1x x x x+ ++ = + . 4 boda

122. Odrediti rješenja date jednačine 3 2 3 7 3 721 2x x x+ ⋅ − ⋅ =− − . 3 boda

123. Riješiti nejednačinu 212

33

x

≤ . 2 boda

124. Odrediti rješenja nejednačine 4 64 23 2 1x x+ +< ⋅ . 3 boda

125. Riješiti nejednačinu 2 2 3 31 3 2 3x x x x− − − −− > − . 4 boda

A C B

24


126. Riješiti nejednačinu 2 5 2 5 22 2 3 1 4x x x x x+ + + + ++ − > + . 4 boda

127. Riješiti nejednačinu 4 2 81x x> ++ . 4 boda

128. Izračunati: log log log6 6 69 8 2+ − 3 boda

129. Izračunati log log log log4 25 63 97 7+ + − . 3 boda

130. Da li su funkcije f x log x( ) = 5 5 i g x log x( ) = 55 jednake?Obrazložiti odgovor. 3 boda

131. a) U datom koordinantnom sistemu nacrtati grafik funkcije xy21log= .

b) U istom koordinantnom sistemu nacrtati grafik funkcije koji je

simetričan grafiku funkcije xy21log= u odnosu na y osu.

c) Zapisati u obliku )(xfy = funkciju koja je dobijena. 4 boday

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

25

iz MATEMATiKE

132. Riješiti jednačinu 2 12 4 5log ( )x− = . 3 boda

133. Riješiti jednačinu log x12

12

2( )− = . 3 boda

134. Riješiti jednačinu log log log ( )4 4 45 1 3+ +( ) = − +x x . 3 boda

135. Riješiti nejednačinu log x12

12

2( )− > . 4 boda

136. Izračunati vrijednost izraza cos cos sin sin sin813

513

813

513 2

π π π π π− + . 2 boda

137. Dokazati da važi jednakost: cos ( )( ) sin cos2 2 2 1 5 2α α α α α⋅ + + − =tg tg .3 boda

138. Riješiti jednačinu cos sin4 4 1x x− = . 3 boda

139. Riješiti jednačinu 1 22+ − =(sin cos ) sinx x x . 4 boda

140. Nacrtati grafik funkcije f x x( ) cos= − . 3 boda

141. Dokazati trigonometrijsku identičnost 11

11

2−

−+

=sin sin cosα α

αα

tg . 3 boda

142. Data je funkcija f x x x( ) cos cos= + +3 4 2 . Dokazati da je f x( ) ≥ 0 . 4 boda

143. Riješiti jednačinu 4 1 02sin x − = . 3 boda

26


geometrija

144. Koja od sledećih trojki brojeva predstavlja mjerne brojeve stranica trougla?

A. 1, 2, 3 B. 2, 5, 6 C. 3, 7, 11

145. Biciklista je vozio 6km sjeverno i nakon toga 8km zapadno. Za koliko kilometara bi put bio kraći da se bicilista kretao najkraćim rastojanjem od starta do krajnje tačke?

A. 4 B. 10 C. 14

146. Koji od sljedećih četvorouglova ima tačno jednu osu simetrije?

A. nejednakokraki trapez B. pravougaonik C. romb D. deltoid

147. Koja od sledećih mjera ugla α sa slike je tačna?

148. Dužina hipotenuze pravouglog trougla je 12 cm. Koliko centimetara je rastojanje između težišta i centra opisane kružne linije tog trougla?

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

8 km

start

6 km

A. 20ס

B. 30ס

C. 35ס

D. 45ס

70o

CB

0

α

A

27

iz MATEMATiKE

149. Kolika je dužina stranice x ?

A. 10 B. 10 2

C. 10 3 D. 10 33

150. Data je kocka ABCDEFGH i tačke M i N, koje se nalaze redom, na ivicama EF i EH, pri čemu se ne poklapaju sa tjemenima kocke. Ravan koja sadrži tačke M i N, a paralelna je ivici kocke AE dijeli kocku na dva dijela. Jedan od tih dijelova je prava trostrana prizma, a drugi je:

A. prava trostrana prizma

B. prava trostrana piramida

C. prava četvorostrana prizma

D. prava petostrana prizma

151. Dati su vektori a i b

kao na slici.

a b

Koji od ponuđenih vektora odgovara vektoru bax

2+= ?

A. B. C. D.

60o

x

20

A B

CD

E F

GH

28


152. Tačka D je središte duži AB trougla ABC. Kojem od navedenih vektora je jednak vektor AD + CD ?

A. BC B. AC C. CB D. CA

153. Stranice b i c trougla ABC zaklapaju oštar ugao α .

Koja od datih formula se koristi

za izračunavanje visine ch ?

A. h b sinc = ⋅ α B. hbsinc =

α C. αsbcohc =

154. Ako je u trouglu naspram stranice a ugao α i ako za stranice trougla važi jednakost a b bc c2 2 2= − + , koje mjere je ugao α ?

A. 30º B. 60º C. 120º D. 150º

155. Neka su a i b stranice trougla i α = 60º ugao naspram stranice a . Koje od datih vrijednosti za a i b ne mogu biti dužine stranica tog trougla?

A. 3=a i 3=b B. 3=a i 1=b

C. 1=a i 3=b D. 1=a i 1=b

156. Prava na slici ima jednačinu:

A. 084 =−− yx

B. 084 =+− yx

C. 084 =+− yx

D. 084 =−+ yx

A

C

D B

A

C

c

ab

B

x20

2

4

6

8

y

29

iz MATEMATiKE

157. Koeficjent pravca prave prikazane na slici je:

A. 23

−

B. 32

−

C. 32

D. 23

158. Kojoj pravoj sa slike, odgovara jednačina 132=−

yx ?

A. a

B. b

C. c

D. d

159. Jednačina kružne linije sa slike je:

A. 322 =+ yx

B. 922 =+ yx

C. 133

22

=+yx

D. 199

22

=−yx

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

x0

3

-3

2-2

yad c b

x0-3 3

3

-3

y

30


160. Na osnovu podataka sa skice odrediti dužinu duži AE. 3 boda

A2 cm2

cm

2 cm

2 cm

B

C

D E

161. Na osnovu podataka sa slike odrediti mjeru ugla δ . 3 boda

A

a a

B

C

130o

δ

162. Na slici je dat ugao ∠CAB=ε , gdje je tačka O centar kružne linije. 3 boda

AO

ε

C

B

D

Naći: a) ∠COB b) ∠CDB c) ∠DBC

31

iz MATEMATiKE

163. Date su duži OA OC= =1 , OB x= i BC || AD (kao na slici).

Naći duž OD . 3 boda

164. Ugao pri vrhu jednakokrakog trougla je 45o , a poluprečnik opisanog kruga je 5 cm . Izračunati dužinu osnovice tog trougla.

3 boda

165. Na najdužoj stranici AC trougla ABC date su tačke E i D takve da je ∠ = ∠ =BAD CBE o40 i ∠ = ∠ =ABD BCE o35 . Izračunati mjeru unutrašnjih uglova trougla BDE∆ . 3 boda

166. Izračunati unutrašnje uglove jednakokrakog trougla ako mu simetrala ugla na osnovici i visina konstruisana iz istog tjemena grade (zahvataju) ugao od 18º. 4 boda

167. U trouglu ABC ugao β je dva puta veći od ugla α . Dokazati da između stranica ovog trougla postoji relacija caab ⋅+= 22 . 7 bodova

168. U jednakokraki trougao osnovice 18 cm i kraka 27cm upisana je kružnica. Izračunati rastojanje dodirnih tačaka na kracima.

5 bodova

A B

C

E

D

40o

40o

35o

35o

O A B

C

D

32


169. Visina koja odgovara kraku jednakokrakog trpeza jednaka je polovini veće osnovice trapeza. Izračunati uglove trapeza.

3 boda

170. Date su tri metalne kocke ivica 3 dm, 4 dm i 5 dm. Ako ove kocke pretopimo i od dobijenog materijala napravimo jednu kocku, kolika će biti ivica jedne kocke?

3 boda

171. Površine strana kvadra su 6 122 2dm dm, i 18 2dm . Izračunati zapreminu kvadra.

3 boda

172. Pravougli trougao, čija je hipotenuza 10cm , a jedna kateta 6cm , rotira oko duže katete. Odrediti površinu nastalog tijela.

3 boda

173. Pravougaonik stranica a cm= 8 i b cm= 6 rotira oko manje stranice. Koliko iznosi površina nastalog tijela?

3 boda

174. Romb čije su dijagonale 8 cm i 6 cm rotira oko veće dijagonale. Izračunati površinu dobijenog obrtnog tijela.

4 boda

175. Pravougaonik predstavlja omotač valjka. Dijagonala pravougaonika je dužine d cm= 5 , a stranica pravougaonika koja je jednaka obimu osnove valjka je 4 cm . Izračunati zapreminu valjka.

3 boda

176. Pravougaonik predstavlja omotač valjka. Dijagonala pravougaonika, dužine d cm= 4 , sa stranicom pravougaonika, koja je jednaka obimu osnove valjka, obrazuje ugao od 30o . Izračunati zapreminu valjka.

3 boda

177. Jednakokraki trapez visine h = 3 cm i dijagonale d = 5 cm je osnova prave prizme. Ako je visina prizme H = 7 cm odrediti njenu zapreminu.

4 boda

33

iz MATEMATiKE

178. Na kocki ABCDEFGH zadate su tačke M, K i L koje pripadaju, redom,

ivicama EA, EF i EH, tako da je EM cm=1 , EK cm= 2 i EL cm= 3 . Odrediti zapreminu piramide koju od date kocke odsijeca ravan određena tačkama M, K i L. 3 boda

179. Pravougli trapez, čiji je duži krak jednak kraćoj dijagonali, visine h cm= 4 i veće osnovice a cm= 6 , rotira oko kraćeg kraka. Koliko cm2 iznosi površina nastalog tijela.

4 boda

180. Izračunati površinu paralelograma konstruisanog na vektorima i

zadatih kao kia

+= i kjib

43 −+−= . 2 boda

181. Naći visinu trougla hc , ako je stranica b = 2 i α = 30o. 2 boda

182. Padobranac je na visini od 2000 m iskočio iz aviona i spušta se na teren pod stalnim uglom spuštanja od 30o u odnosu na horizont. Koliki je put prešao padobranac od kada je iskočio iz aviona do mjesta na koje se spustio?

3 boda

183. Dužine stranica trougla su 3=a , 5=b i 7=c . Koliko iznosi najveći ugao tog trougla? 4 boda

184. Ako su a i b stranice, a 1d i 2d dijagonale paralelograma, dokazati

da važi )(2 2222

21 badd +⋅=+ . 3 boda

185. Dat je jednakostranični trougao ABC čije su stranice dužine a cm=15 .

Ako se tačka D nalazi na stranici BC tako da je BD = a3

i tačka E na stranici

AB tako da je AE = DE, izračunati koliko iznosi dužina duži CE. 4 boda

a

b

A B

CD

E F

GH

34


186. Dva broda su isplovila iz luke pod uglom od 60o kao na slici. Koliko milja su brodovi udaljeni jedan od drugog ako je jedan brod plovio 8, a drugi 5 milja? 3 boda

187. U koordinantnom sistemu su date tačke A i B. Odrediti rastojanje između njih.3 boda

188. U datom koordinatnom sistemu označiti tačke )1,1( −−M i )2,3(N ,a zatim izračunati koordinate tačke S koja je podjednako udaljena od tačaka M i N . 3 boda

60o

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-5

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

A

B

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

35

iz MATEMATiKE

189. Tačke presjeka prave, čija je jednačina 2 3 12 0x y+ − = , sa koordinantnim

osama i tačka ( )1,1C su tjemena trougla. Odrediti površinu tog trougla. 3 boda

190. Odrediti jednačinu prave koja prolazi kroz tačku )6,3( , a na koordinatnim osama odsijeca duži jednakih dužina.

3 boda

191. Odrediti vrijednost parametra p tako da su prave ( )p x py p− − + − =6 2 3 0 i 32 += xy paralelne.

3 boda

192. Sastaviti jednačinu prave koja prolazi kroz presjek pravih x y+ =2 10 i8=+ yx , a normalna je na pravoj 01=++− yx .

3 boda

193. Za koju vrijednost parametra λ je rastojanje tačke )6,2(P od prave

043 =+− yx λλ jednako 10 ? 3 boda

194. Za koju vrijednost parametra λ je rastojanje tačke )3,2( −P od prave

( ) ( )2 1 2 4 3 0x yλ λ λ+ + − + − = jednako 10 . 4 boda

195. Odrediti jednačinu kružne linije koja dodiruje y – osu, sadrži tačku )2,2(M , a centar joj leži na x – osi.

3 boda

36


196. Na slici je data elipsa i prava 012 =++ yx koja je siječe. Odrediti jednačine tangenti elipse koje su paralelne datoj pravoj. 4 boda

197. Poluose hiperbole su 4=a i 3=b . 3 bodaa) Napisati njenu jednačinub) U dati koordinatni sistem skicirati dobijenu hiperbolu i njene asimptote.

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

37

iz MATEMATiKE

elementi matematičke analiZe

198. Treći član geometrijskog niza čiji je količnik 3 iznosi 18. Kako glasi šesti član niza?

A. 27 B. 486 C. 729 D. 2187

199. Granična vrijednost niza čiji je opšti član 2

2

3236nnn

+− je:

A. 3− B. 1− C. 1 D. 3

200. Izvod funkcije xxxf arccosarcsin)( += u proizvoljnoj tački x je:

A. – 2 B. 0 C. 2

201. Koja od navedenih funkcija je inverzna funkciji ( ) 2 2f x x= − + ?

A. 121)( −−= xxf B. 1

21)( += xxf

C. 121)( −= xxf D. 1

21)( +−= xxf

202. Izračunati peti član geometrijskog niza kod koga je 2=q i 17858 =S . 3 boda

203. U geometrijskom nizu je a a a a Sn1 3 2 415 30 35− = ∧ − = ∧ = − . Odrediti .n4 boda

204. Suma prvih 8 članova aritmetičkog niza je 72, a razlika je 2. Kako glasi peti član tog niza?

3 boda

205. Izračunati 1a i d kod aritmetičkog niza ako je poznato da je razlika devetog i sedmog člana tog niza 4, a zbir četvrtog i osmog člana 28.

3 boda

38


206. Izračunati limn

n nn→∝

−+5

7

2

2 . 2 boda

207. Izračunati limn

n nn n→∝

− ++ −

3 8 45 6 9

2

2 . 2 boda

208. Izračunati limn n2

2n

→

∞

n2 − 3n 3 boda

209. Odrediti graničnu vrijednost funkcije limx

xx x→ −

−−

3 2

29

13

. 3 boda

210. Odrediti oblast definisanosti funkcije yx x

= −− − +

94 122

. 3 boda

211. Odrediti domen funkcije 7

xyx

=−

. 3 boda

212. Odrediti domen funkcije 52

5log)( 3 +−

=xxxf . 3 boda

213. Data je funkcija x

xy 2−= . Odrediti domen, nule funkcije i izračunati )4(f .

3 boda

214. Naći funkciju koja je inverzna funkciji )52ln(2)( +−= xxf . 3 boda

215. Pokazati da funkcija y xe x= − zadovoljava jednačinu xy x y′ = −( )1 . 2 boda

216. Data je funkcija y ctg x= ln2

. Dokazati da je ′ = −yx

1sin

. 3 boda

217. Odrediti interval monotonosti funkcije ( )2 1 xy x e= + . 3 boda

218. Odrediti ekstremne vrijednosti funkcije xxxf 3)( 3 −= . 3 boda

219. Ispitati konveksnost, odnosno konkavnost funkcije 1xy e x= − . 4 boda

39

iz MATEMATiKE

220. Na slici je prikazan grafik funkcije

xxxf −= 3)( .Za koje vrijednosti x data funkcija ima pozitivan znak? Navesti nule date funkcije.

Odrediti

23f .

3 boda

kombinatorika i vjerovatnoĆa

221. Koliko se prirodnih brojeva većih od 50000 može napisati pomoću cifara 1, 2, 3, 5 i 7 bez njihovog ponavljanja?

A. 28 B. 38 C. 48 D. 58

222. Stranice pravougaonika podijeljene su sa 7 odnosno sa 3 tačke, tako da je pravougaonik podijeljen na 32 kvadrata (vidi sliku). Koliko se pravougaonika može obrazovati od ovih kvadrata? (i kvadrat smatramo pravougaonikom)

A. 180 B. 360 C. 720 D. 1440

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

40


223. Koliko ima petocifrenih brojeva koji se završavaju sa dvije jedinice?

A. 720 B. 729 C. 900 D. 1000

224. Na 6 jednakih kartica napisana su slova A, C, E, N, R i T. Na slučajan način karte su poređane jedna pored druge. Vjerovatnoća da se dobije riječ CENTAR je:

A. manja od 0,2% B. veća od 0,2% C. tačno 0,2%

225. U ravni je dato 5 tačaka obilježenih sa A, 5 obilježenih sa B, a četiri tačke su obilježene sa C. Pri tome ne postoje tri tačke koje leže na istoj pravoj. Koliko ima trouglova čija su tjemena označene tačke, ako sva tjemena moraju biti označena različitim slovima?

A. 14 B. 24 C. 100 D. 364

rjeŠenja

brojevi; raCionalni algebarski iZraZi

1. Tačan odgovor: B

2. Tačan odgovor: B ( ) ( ) ,10 10 10 10 12 2 2 0 5 5 0− − −⋅ ⋅ = =3. Tačan odgovor: D

4. Tačan odgovor: C n n n n+ + + + = +( ) ( ) ( )1 2 3 15. Tačan odgovor: D Broj je sigurno djeljiv sa 1, 2, 5 i 10, tj. suma je 18.6. Tačan odgovor: B7. Tačan odgovor: B8. Tačan odgovor: C9. Tačan odgovor: D10. Tačan odgovor: B11. Tačan odgovor: D

12. Tačan odgovor: B Uputstvo: 84

1002772⋅ =x

41

iz MATEMATiKE

13. Tačan odgovor: C14. Tačan odgovor: C Uputstvo: npr. 40 70 180: := x

15. Tačan odgovor: B Označimo sa s rastojanje od Nikšića do Žabljaka, sa v prosječnu brzinu, a sa t vrijeme za koje se prevali ukupan put. Imamo

16. Tačan odgovor: B17. Tačan odgovor: A18. Tačan odgovor: A

19. Tačan odgovor: D Uputstvo: 072 =−p

20. Tačan odgovor: B iii

ii

iz 5153 +−=⋅

−+

=

21. Tačan odgovor: B Uputstvo: ( )( )4 4 42 2+ − = −i i i22. Tačan odgovor: C

.21,01,21,014

443

332

221 =+==+=−=+==−=+=

iiz

iiz

iizii

iiz

23. Tačan odgovor: C24. Tačan odgovor: A25. Tačan odgovor: C26. Tačan odgovor: D27. Tačan odgovor: D28. Tačan odgovor: C29. Tačan odgovor: D xy xz yz z x y z z y z x z y z+ + + = + + + = + +2 ( ) ( ) ( )( )30. Tačan odgovor: C31. Tačan odgovor: C

32. Tačan odgovor: B Uputstvo: x x( )− ≠7 033. Tačan odgovor: C34. Tačan odgovor: C

35. Tačan odgovor: A

a ba ab b

a ba b

2 2

2 229 810

0 98−+ +

=−+

= =, ,

v st

ss s

kmh

= =+

=+

=2 2

40 60

2140

160

48

42


36. Tačan odgovor: D Uputstvo: 13 2

13 2

3 2 3 2

3 22 2−

++

=+ + −

−

37. Ukupno 2 boda Izračunata vrijednost izraza u zagradi – 29 ............. 1 bod Izračunata vrijednost cijelog izraza 13 ..................... 1 bod

38. Ukupno 3 boda 1 23 10 12303, ⋅ = ........................................................... 1 bod

( )− =5 10 ....................................................................... 1 bod 1211 ............................................................................... 1 bod

39. Ukupno 3 boda ( , ) ,0 5 1 0 252− = ili ( , )0 5 1 14

2− = ............................ 1 bod

− − ⋅ +

= −1 2

511

21 2 ................................................... 1 bod

125,0− ili 81

− ..............................................................1 bod

40. Ukupno 2 boda Pravilno rastavljanje na proizvod prostih činilaca 19035 3 5 474= ⋅ ⋅ ...........................................................1 bod

19035 141 135= ⋅ ............................................................1 bod

41. Ukupno 1 bod 27

414

= , 37

614

= i može se izabrati 514

...................... 1 bod

42. Ukupno 3 boda 0=b ili 5=b ............................................................... 1 bod

Ako je 0=b tada je 7,4,1=a .................................. 1 bod

Ako je 5=b tada je 8,5,2=a ................................1 bod

Dakle rješenja su parovi ( )ab, iz skupa {(0,1),(0,4),(0,7), (5,2), (5,5), (5,8)}.

Ako skupu rješenja nedostaju najviše dva uređena para, dodjeljuju se 2 boda.

Ako su navedena 2 ili 3 rješenja, dodjeljuje se 1 bod.

43. Uklupno 3 boda 10 =x ..............................................................................1 bod

Primjena pravila nn

xx 1

=− ...........................................1 bod

Konačan rezultat 91 ......................................................1 bod

43

iz MATEMATiKE

44. Ukupno 3 boda za izračunato b−10 ........................................................ 1 bod za izračunato ......................................................... 1 bod

12

.................................................................................... 1 bod

45. Ukupno 2 boda 1 550000 10: := cm x ili x cm= ⋅550000 10 ................ 1 bod x cm= 5500000 ili x m= 55000 ili x km= 55 ......... 1 bod

46. Ukupno 3 boda 2 34

44

−⋅

ii

ii

...................................................................... 1 bod

43)

432Re( −=

−i

i ............................................................1 bod

21)

432Im( −=

−i

i ...........................................................1 bod

47. Ukupno 3 boda ii −=2011 ........................................................................1 bod

ii

iiz

++

⋅−

=11

12 .................................................................1 bod

1 .z i= − + ........................................................................1 bod

48. Ukupno 3 boda

prvi način: 3 65

25

1a i ai i+ − + = + ...................................................1 bod

1

523 =+a ili 1

56

=− a ................................................1 bod

51

=a ...............................................................................1 bod

Drugi način: ii

iiia

++

⋅−+

=+33

31

52 .....................................................1 bod

a i i

+ =+2

52 4

10 ...............................................................1 bod

a =

15

..............................................................................1 bod

a11

44


49. Ukupno 3 boda x y x xy( )1 3 2 6− + − ......................................................1 bod

x y x y( ( ))1 3 2 1 3− + − ....................................................1 bod

x y x( )( )1 3 1 2− + ............................................................1 bod

50. Ukupno 3 boda x x x3 2 21 8 1( ) ( )− − − ili x x x2 3 38 8( ) ( )− − − ...............1 bod

( )( )( )x x x x2 21 2 2 4− − + + ili ( )( )( )x x x3 8 1 1− − + ..1 bod

( )( )( )( )x x x x x− + − + +1 1 2 2 42 ..................................1 bod

51. Ukupno 3 boda 3 2 42 2 2( )xy x y a− − + ..................................................1 bod

3 2 2 2(( ) )a x y− −( ) .......................................................1 bod

3 2 2a x y a x y− +( ) + −( ) ...........................................1 bod

52. Ukupno 2 boda

8 14 1

2

xx x

x⋅

−−

( )( )

...................................................................1 bod

2x ...................................................................................1 bod

53. Ukupno 3 boda NZS a a a a( , , )− + − = −1 1 1 12 2 ....................................1 bod

a aa a+ + − +

− +1 1 2

1 1( )( ) ...............................................................1 bod

21a −

................................................................................1 bod

54. Ukupno 3 boda

xx

x xx

3 21 1− + +: ...........................................................1 bod

( )( ) :x x xx

x xx

− + + + +1 1 12 2

........................................1 bod

x −1 ................................................................................ 1 bod

55. Ukupno 3 boda

xy

−

13

ili xyy−

13

...................................................1 bod

yx

−

1 3

ili yxx−

1 3

...................................................1 bod

xy

3

ili xy

3

3 ili x y3 3− .....................................................1 bod

45

iz MATEMATiKE

elementarne FunkCije; jeDnačine i nejeDnačine

56. Tačan odgovor: B Uputstvo: Rješenja koja pripadaju skupu N su 1 i 2.57. Tačan odgovor: A

58. Tačan odgovor: D Tačke ( , )1 0 i ( , )0 1 su nule funkcije y x= − +2 2 59. Tačan odgovor: C60. Tačan odgovor: C61. Tačan odgovor: B62. Tačan odgovor: A63. Tačan odgovor: B Uputstvo: x i x i1 22 2= − =,64. Tačan odgovor: C65. Tačan odgovor: A

66. Tačan odgovor: A D m m= ⇒ − − ⋅ ⋅ − − = ⇒ =0 3 4 1 2 4 0 78

2( ) ( ( ))67. Tačan odgovor: B68. Tačan odgovor: B69. Tačan odgovor: A α = − = − ∈ − + ∝[ )b

a23 3,

70. Tačan odgovor: C Data funkcija dostiže minimum (a > 0), siječe y – osu na pozitivnom dijelu (c > 0) i dodiruje x – osu (D = 0).

71. Tačan odgovor: C72. Tačan odgovor: D73. Tačan odgovor: C74. Tačan odgovor: C75. Tačan odgovor: D Funkcija y = log4

5

57 je jedina od datih koja na intervalu

0 1,( ) ima pozitivan znak.

76. Tačan odgovor: D log logx x x x2 25 2 1+( ) = +( ) +( )

x x x x x x x3 2 3 2 25 4 4 4 4+ = + + + + +

− =8 4x

x = −12

D = +∞( )0,

Dakle, −12

nije rješenje jednačine.

46


77. Tačan odgovor: A78. Tačan odgovor: D79. Tačan odgovor: A80. Tačan odgovor: A81. Tačan odgovor: D82. Tačan odgovor: C83. Tačan odgovor: D Uputstvo: Primjena adicione formule

.

84. Ukupno 3 boda

37

23

++

=xx

...................................................................... 1 bod

3 3 2 7+( ) = +( )x x .......................................................1 bod

x = 5 ................................................................................1 bod

85. Ukupno 2 boda 5 2 7 2 9 1( )x x x− = + − ................................................. 1 bod

x = −34 ......................................................................... 1 bod86. Ukupno 2 boda 20 70 5 25 6 27 3x x x x− + − = − − .............................. 1 bod

x = 2 .............................................................................. 1 bod

87. Ukupno 2 boda 3 2 5 2 4 4 6 2 3 9( ) ( ) ( )x x x x+ − − > − + + ................... 1 bod

x > 2 ili x ∈ + ∞( , )2 .................................................... 1 bod

88. Ukupno 3 boda 40 10 2 1 5 5x x x− ≤ − + +( ) ( ) ....................................... 1 bod

1≤x ............................................................................... 1 bod Traženi broj 1 ................................................................ 1 bod

89. Ukupno 3 boda 3 4 7 30 7 11 2 1 6( ) ( )− + < + + −x x x x .......................... 1 bod

x < 1

14 ............................................................................ 1 bod

Traženi broj je 0 ............................................................ 1 bod

90. Ukupno 3 boda Tačno postavljena nejednačina 7 15 100+ ≤x ...........1 bod

2,6≤x ............................................................................1 bod Odgovor: 6 mjeseci ........................................................1 bod

tg tg tgtg tg

( )α βα β

α β− =

−+ ⋅1

47

iz MATEMATiKE

91. Ukupno 3 boda

=+=−43

224yx

yx ................................................................. 1 bod

1=x ...............................................................................1 bod

1=y ................................................................................1 bod

92. Ukupno 3 boda x – broj djece, y – broj odraslih

800296053

=+=+

yxyx

............................................................1 bod

Tačan postupak rješavanja ............................................1 bod

520=x ...........................................................................1 bod

93. Ukupno 3 boda x – cijena košarkaške lopte, y – cijena odbojkaške lopte

4 5 160x y+ = ∧ 2 4 98x y+ = ............................1 bod

x = 25 .............................................................................1 bod

y =12 ..............................................................................1 bod

94. Ukupno 3 boda x broj bočica od l41 , y broj bočica od l

81

x y x y+ = ∧ + =280 1

418

50 ..................................1 bod

x =120 ......................................................................... 1 bod

y =160 ...........................................................................1 bod

95. Ukupno 3 boda n n2 6162 0+ − = ...........................................................1 bod

n

a1 21 1 4 6162

2, =− ± + ⋅ ............................................... 1 bod

Izdvojeno tačno rješenje n1 78= ............................... 1 bod

96. Ukupno 5 bodova 1 0a = > 0<∧ D .....................................................1 bod

( )[ ] kkD ⋅⋅−−−= 143 2 ................................................1 bod

D k k= − +2 10 9 ............................................................1 bod

48


9,1 21 == kk ............................................................... 1 bod

91 << k ......................................................................... 1 bod

97. Ukupno 3 boda 2 4 2 8 3 2 0

2 4 2 8 3 2 0x p p qx p p q= ⇒ + + + − == − ⇒ − − + − =

............................ 1 bod

ili

423

04

−=−

=+

−

pq

pp

................................................................... 1 bod

4−=p ............................................................................ 1 bod

6=q .............................................................................. 1 bod

98. Ukupno 4 boda ( ) ( )m m m− ⋅ − + ⋅ + − =2 16 1 4 3 0 ............................. 1 bod

m = 3 .............................................................................. 1 bod

x x2 4 0− = .................................................................... 1 bod

x2 0= ............................................................................ 1 bod

99. Ukupno 3 boda x x1 2 14+ = .................................................................... 1 bod

x x1 2 42⋅ = ..................................................................... 1 bod

Na osnovu Vietovih pravila tražena jednačina je

x x x x x x21 2 1 2 0− + + =( ) , tj. x x2 14 42 0− + = ......... 1 bod

100. Ukupno 3 boda x x1 2 10+ = − ................................................................. 1 bod

x x1 2 9⋅ = ....................................................................... 1 bod

x xx x1 2

1 2

109

+⋅

= − ............................................................... 1 bod

101. Ukupno 4 boda x1 2= − i x2 5= ............................................................ 1 bod

z z b

a1 2 29+ = − = ......................................................... 1 bod

49

iz MATEMATiKE

z z c

a1 2 100⋅ = = ............................................................ 1 bod

z z2 29 100 0− + = ......................................................... 1 bod

102. Ukupno 5 bodova 05452

=++⇒−+

=t

txxxt .................................... 1 bod

0452 =++ tt ................................................................ 1 bod

41 −=t , 12 −=t ............................................................. 1 bod

0552 =−+ xx , 2

5352,1

±−=x ............................... 1 bod

0522 =−+ xx , 612,1 ±−=x ................................... 1 bod

103. Ukupno 3 boda

−=+=−

43224

yxyx

................................................................ 1 bod

53

−=x ........................................................................... 1 bod

y = −

115

......................................................................... 1 bod

104. Ukupno 5 bodova x – broj dana bržeg radnika, y – broj dana sporijeg radnika

Jednačina 1 1 120x y

+ = ............................................. 1 bod

Jednačina 9=− xy ..................................................... 1 bod

Tačan postupak rješavanja sistema, npr. 20 9 20 9( ) ( )x x x x+ + = + ................................... 1 bod

x = 36 .............................................................................1 bod

y = 45 .............................................................................1 bod

105. Ukupno 2 boda 4,3 21 == xx ..............................................................1 bod

x ∈ −∞ + ∞( , ) ( , )3 4 ....................................................1 bod

50


106. Ukupno 3 boda

i način

( )( )x xx

− −−

≥3 4

70 .......................................................... 1 bod

.....1 bod

x ∈[ ] + ∞3 4 7, ( , ) ..................................................... 1 bod

ii način

( ) ( )x x x x x x2 27 12 0 7 0 7 12 0 7 0− + ≥ ∧ − > ∨ − + ≤ ∧ − < ....... 1 bod

........................... 1 bod

[ ] ),7(4,3 ∞+∈ x ..................................................... 1 bod

107. Ukupno 3 boda 1−=α ............................................................................ 1 bod

8−=β ........................................................................... 1 bod

(0,–6) .............................................................................. 1 bod

– ∞ 3 4 7 +∞

x −3 – + + +

x − 4 – – + +

x − 7 – – – +

( )( )x xx

− −−

3 47

– + – +

y

x0 1

1

2

3

-1

2 3 4-1 5 6 7 8

51

iz MATEMATiKE

108. 1. Ukupno 2 boda ,05,262 2 =+− xx

x1 26 36 20

4, =± − ....................................................... 1 bod

21

1 =x , 25

2 =x ...............................................................1 bod

2. Ukupno 2 boda 46

2=−=

abα ............................................................... 1 bod

β =

−= −

44

22ac b

a ........................................................ 1 bod

3. Ukupno 2 boda Tačno nacrtan grafik ................................................. 2 boda

y

x0

2

4

-2

2 4-2

Nepotpuna slika (nedostaju koordinantne ose, nije označeno tjeme…) ali je nacrtan grafik kvadratne funkcije koja ima dvije nule i minimum ....................1 bod

109. Ukupno 4 boda 3=c ...............................................................................1 bod

Na osnovu 12

=−

=abα i 11 −=x formiran sistem ab 2−= 03 =+−∧ ba

Ili

Na osnovu 3,1 21 =−= xx formiran sistem 033903 =++∧=+− baba Ili

Na osnovu 3,1 21 =−= xx uočeno acxx =⋅ 21 ,

abxx −=+ 21 .................. 1 bod

1−=a ili 2=b .............................................................1 bod

32)( 2 ++−= xxxf ......................................................1 bod

52


110. Ukupno 4 boda 3−=c .............................................................................1 bod

0390 =++∧=+− cbacba .............................. 1 bod

1=a ili 2−=b ...............................................................1 bod

322 −−= xxy .............................................................. 1 bod

111. Ukupno 3 boda

β =−4

4

2ac ba

.................................................................1 bod

.................................................. 1 bod

m = 8 .............................................................................. 1 bod

112. Ukupno 3 boda Neka su brojevi x i 10− x Ako sa S(x) označimo zbir kvadrata, imaćemo

S x x x x x x R( ) ( ) , .= + − = − + ∈2 2 210 2 20 100 ..........1 bod

Funkcija f x ax bx c( ) = + +2 , a > 0 minimum dostiže za x ba

= −2

................1 bod

x = =

204

5. .....................................................................1 bod

113. Ukupno 4 boda Nula funkcije −( )1 0, ....................................................1 bod

Presjek sa y osom 0 1,( ) .............................................1 bod Nacrtan grafik funkcije ............................................. 2 boda

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

12 54 1

29

4 12

, =−

−

−

m

53

iz MATEMATiKE

114. Ukupno 5 bodova Neka je AC x= , tada je CB x= −10 ......................1 bod

Zbir površina je P x x x x( ) ( ) ,= + − ≤ ≤2

234

10 0 10 ...1 bod

P x x x x( ) ,= +

− + ≤ ≤1 3

420 100 0 102 ................1 bod

Ova funkcija minimum dostiže za x ba

= −2

.............1 bod

Tačan krajnji rezultat: x =+40

4 3 ...............................1 bod

115. Ukupno 2 boda Svođenje na istu osnovu 13 33 += x ..............................1 bod

2=x .............................................................................. 1 bod

116. Ukupno 3 boda 132 333 −=⋅ xx ................................................................. 1 bod

15 33 −=x ..........................................................................1 bod

51

−=x ...........................................................................1 bod

117. Ukupno 3 boda 7 1 2 7 105x ( )+ ⋅ = .......................................................... 1 bod

7 15 15 7x ⋅ = ⋅ ..................................................................1 bod 1=x ................................................................................1 bod

118. Ukupno 3 boda 4 42 13 40 0x x− + = ili x x2 13 40 0− + = ..............................1 bod

x1 2

213 13 4 1 402 1,

( )=

± − − ⋅ ⋅⋅

.......................................1 bod

x x1 25 8= =, ...............................................................1 bod

119. Ukupno 3 boda

23

23

4 12 4 8

=

− − −x x( )

.................................................... 1 bod

4 12 4 8x x− = − + ......................................................... 1 bod

x = −2 ............................................................................ 1 bod

54


120. Ukupno 4 bodaJedan bod za oslobađanje korijena i jedan bod za svođenje na istu osnovu.

7

1592

3

)32()

32()

32(

+−

⋅=xx

............................................... 2 boda

7159

23 +

−=xx ............................................................. 1 bod

21 126 10 2x x= − − 4=x .............................................................................. 1 bod

121. Ukupno 4 boda xxxx 333222 3 +⋅=+⋅ .............................................. 1 bod

)13(3)18(2 +=+ xx ili )13(3)12(2 3 +=+ xx ......... 1 bod

2)

32()

32( =x ili 22 32 −− = xx ........................................ 1 bod

2=x .............................................................................. 1 bod

122. Ukupno 3 boda

3 1 23

79

72x ( )+ − = ..........................................................1 bod

98

983 ⋅=⋅x .................................................................... 1 bod

4=x .............................................................................. 1 bod

123. Ukupno 2 boda 31

3 22−

≤x

......................................................................... 1 bod

1−≤x ............................................................................ 1 bod

124. Ukupno 3 boda 16)23(2 222 ++ ⋅< xx .......................................................... 1 bod

16)23(2 ++<+ xx ..................................................... 1 bod

53

<x .............................................................................. 1 bod

125. Ukupno 4 boda )31

31(3)

21

21(2 323 −>− xx ............................................ 1 bod

2 3

83 2

27x x⋅ > ⋅ .............................................................. 1 bod

23

1681

>

x

ili 23

23

4

>

x

ili 32

8116

<

x

ili 32

32

4

<

x

..................... 1 bod

4<x .............................................................................. 1 bod

55

iz MATEMATiKE

126. Ukupno 4 boda 4 2 25 5 8 2 5 5 16 2⋅ + ⋅ − ⋅ > ⋅ + ⋅x x x x x ........................... 1 bod

xx 52 < ili xx 25 > ........................................................ 1 bod

1

52

<

x

ili 125

>

x

.................................................. 1 bod

0>x .............................................................................. 1 bod

127. Ukupno 4 boda tx =2 , 0822 >−⋅− tt ............................................... 1 bod

4,2 21 =−= tt ............................................................. 1 bod

),4()2,( ∝+∪−∝−∈t ...............................................1 bod

),2( ∝+∈x ....................................................................1 bod

128. Ukupno 3 boda 2log89log 66 −⋅ ...........................................................1 bod

289log6⋅ ........................................................................ 1 bod

26log 26 = .....................................................................1 bod

129. Ukupno 3 boda log log log4 25 100+ = .................................................1 bod

log log log7 7 763 9 7− = ................................................1 bod

Konačan rezultat 3 .........................................................1 bod

130. Ukupno 3 boda Tačan odgovor bez obrazloženja ..................................1 bod Tačan odgovor i tačno obrazloženje: ne, jer je funkcija f definisana za 0>x , a funkcija g za svako Rx∈ .... 2 boda

131. Ukupno 4 boda

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

56


Nacrtan grafik funkcije xy21log= .......................... 2 boda

(1 bod za obilježenu nulu funkcije i 1 bod za pravilno nacrtano granično ponašanje funkcije kad 0→x ) .

Nacrtan grafik funkcije ( )xy −=21log .......................1 bod

Napisana tražena funkcija, ( )xy −=21log .................1 bod

132. Ukupno 3 boda 4

5,054 >>− xx .......................................................1 bod

154 =−x ........................................................................1 bod

23

=x ...............................................................................1 bod

133. Ukupno 3 boda

021>−x tj.

21

>x ....................................................... 1 bod

2

21

21

=−x ..................................................................1 bod

43

=x ..............................................................................1 bod

134. Ukupno 3 boda Domen: )3,1(−∈x .....................................................1 bod

3)1(5 +−=+ xx ............................................................1 bod

31

−=x ...........................................................................1 bod

135. Ukupno 4 boda

021>−x tj.

21

>x ........................................................1 bod

log x1

212

212

12

( ) log− >

...............................................1 bod

41

21<−x ........................................................................1 bod

43

21

<< x .......................................................................1 bod

57

iz MATEMATiKE

136. Ukupno 2 boda

cos 813

513

π π+

ili πcos ..............................................1 bod

Konačan rezultat − + =1 1 0 ........................................1 bod

137. Ukupno 3 boda

cos ( sincos

)( sincos

) sin cos2 2 2 1 5ααα

αα

α α+ + − = ..... 1 bod

=−+++= αααααααα cossin5cos2cossincossin4sin2 22 ....1 bod

212)cossin(2 22 =⋅=+= αα ...................................1 bod

138. Ukupno 3 boda 1sincos 22 =− xx ......................................................... 1 bod

0sin2 =x ili 1cos2 =x ili 12cos =x ......................... 1 bod

x kπ= , Zk ∈ ................................................................1 bod

139. Ukupno 4 boda xxxxx 2sincoscossin2sin1 22 =+−+ ....................1 bod

xxx 2sincossin22 =− ..............................................1 bod 12sin =x ........................................................................1 bod

Zkkx ∈+= ,

4ππ ......................................................1 bod

140. Ukupno 3 boda Tačno određene nule funkcije xy cos= , npr. 2

3,2

ππ 1 bod

Pravilno nacrtan grafik funkcije xy cos= na osnovnom periodu .........1 bodPravilno nacrtan grafik funkcije xy cos−= na osnovnom periodu ......1 bod

y

x0 1

1

2

3

4

-4

-3

-2

-1

2 3 4-4 -3 -2 -1

58


141. Ukupno 3 boda

21 1

2sin( sin )( sin ) cos

αα α

αα− +

=tg ...................................... 1 bod

2 22

sincos cos

αα

αα

=tg ............................................................ 1 bod

2 2cos

sincos cosα

αα

αα

⋅ =tg ....................................................1 bod

142. Ukupno 4 boda

y x x x x x xx x

= + + − = + + − + =

= + +

3 4 3 4 12 4

2 2 2 2

2

cos cos sin cos cos coscos cos 22 2 2 1 2 1 02 2= + + = + >(cos cos ) (cos )x x x

Primjena formule za dvostruki ugao xxx 22 sincos2cos −= ...................1 bod

Primjena osnovnog identiteta xx 22 cos1sin −= .........................................1 bod

2cos4cos2 2 ++ xx ....................................................1 bod

Zaključak 0)1(cos 2 >+x ...........................................1 bod

143. Ukupno 3 boda

prvi način

21sin

21sin −=∨= xx ..........................................................................1 bod

21sin =x

⇔ Zkkx ∈+= ,2

6ππ ∨ Zkkx ∈+= ,2

65 ππ .................1 bod

21sin −=x

⇔ Zkkx ∈+−= ,2

6ππ ∨ Zkkx ∈+= ,2

67 ππ ...........1 bod

Drugi način

21sin

21sin −=∨= xx ..........................................................................1 bod

Zkkx ∈+±= ,6

ππ ................................................................................. 2 boda

59

iz MATEMATiKE

geometrija

144. Tačan odgovor: B Uputstvo: Dužina bilo koje stranice trougla manja je od zbira, a veća od razlike dužina ostale dvije stranice.

145. Tačan odgovor: A146. Tačan odgovor: D147. Tačan odgovor: C148. Tačan odgovor: A Kako je centar O opisane kružnice kod pravouglog

trougla na sredini hipotenuze to je težišna duž OC koja odgovara hipotenuzi takođe jednaka poluprečniku pa je dugačka 6 cm. Pošto težište dijeli težišnu duž u odnosu 2:1 od T do O je 2 cm.

149. Tačan odgovor: A150. Tačan odgovor: D151. Tačan odgovor: B152. Tačan odgovor: C153. Tačan odgovor: A154. Tačan odgovor: B Uputstvo: Primjena kosinusne teoreme.155. Tačan odgovor: C

Na osnovu sinusne teoreme a

bba2

3sinsinsin

=⇒= ββα

Uvrštavanjem ponuđenih vrijednosti za a i b dobijamo da je 1sin ≤β ,

sem u slučaju C gdje dobijamo 23sin =β što je nemoguće.

156. Tačan odgovor: D157. Tačan odgovor: B158. Tačan odgovor: B159. Tačan odgovor: B

160. Ukupno 3 boda AC cm cm cm= + =( ) ( )2 2 82 2 ..............................1 bod

AD cm= 12 ................................................................ 1 bod

AE cm= 4 ......................................................................1 bod

60


161. Ukupno 3 boda ∠ =ABC o50 ..................................................................1 bod

∠ =BAC o50 ..................................................................1 bod

δ = 50o ............................................................................1 bod

162. Ukupno 3 boda ∠COB=2ε ....................................................................1 bod

∠CDB = ε ...................................................................1 bod

∠DBC = 900 .................................................................1 bod

163. Ukupno 3 boda Pozivanje na Talesovu teoremu ili uočavanje sličnosti trouglova OAD i OBC ..................................1 bod

Na osnovu toga napisana proporcija OB OA OC OD: := .......................................................1 bod

Tačno izračunato ODx

=1 ......................................... 1 bod

164. Ukupno 3 boda

C

B

O

A

∠ = ⇒ ∠ =ACB AOBo o45 90 ..................................... 1 bod

AOB∆ pravougli i jednakokraki: OA OB cm= = 5 1 bod

AB = =50 5 2 ........................................................ 1 bod

165. Ukupno 3 boda

∠ = ∠ =ADB BEC 1050 ............................................... 1 bod

∠ = ∠ =BDE BED 750 ................................................. 1 bod

∠ =DBE 300 ................................................................. 1 bod

61

iz MATEMATiKE

166. Ukupno 4 boda

α ugao na osnovici

i način

1MAA∆ : MAA o1 18= , AAM o

1 90= slijedi AMA o1 72= ..............................1 bod

ΔMAB: α α+ + =

272 180o o ..........................................1 bod

α = 72o .......................................................................... 1 bod

β = 36o .......................................................................... 1 bod ii način

A AB o1 2

18= −α ............................................................. 1 bod

ΔA1AB: αα

218 90− + =o o .......................................... 1 bod

α = 72o ...........................................................................1 bod

β = 36o .......................................................................... 1 bod

167. Ukupno 7 bodova

А E

b ba

c aα β

α

α

B

C

Produžetak stranice AB preko tjemena B za dužinu BC ..............................1 bod Zaključak da je trougao BEC jednakokraki ....................................................1 bod Uočavanje da je β spoljašnji ugao trougla BEC koji je jednak zbiru dva nesusjedna unutrašnja ugla i zaključak da su uglovi trougla BEC na osnovici jednaki α ...................................................................................... 1 bod

18o

A B

C

A1

M

62


CE AC b= = ..................................................................1 bod Trouglovi AEC i ECB su slični ....................................1 bod Na osnovu sličnosti postavljena proporcija AE EC EC BE: := .......................................................1 bod

Izvedena relacija ( ) : :a c b b a b a ac+ = ⇒ = +2 2 ....1 bod

168. Ukupno 5 bodova Na osnovu jednakosti tangentnih duži CE CD= ... 1 bod

ECD∆ je sličan ABC∆ .............................................. 1 bod

Zaključak da je F sredina osnovice tj. AF = 9 ..... 1 bod Iz uslova AF AE= izračuna se stranica CE = − =27 9 18. .......................................................... 1 bod Iz pomenute sličnosti:

AB ED AC CE ED ED: : : : .= ⇒ = ⇒ =18 27 18 12 ......................................................................................... 1 bod169. Ukupno 3 boda

Skica: E je podnožje normale iz tjemena B na krak AD i AB BE= 2 .

ABE∆ : sin ∠ = = ⇒ ∠ =EAB BEAB

EAB12

300 .......... 1 bod

∠ =ABC 300 ................................................................ 1 bod

∠ = ∠ =BCD ADC 1500. ..............................................1 bod

170. Ukupno 3 boda V dm= 216 3 ...................................................................1 bod

a3 216= ........................................................................ 1 bod

a dm= 6 ......................................................................... 1 bod 171. Ukupno 3 boda

Formiran sistem npr. ab dm bc dm ac dm= ∧ = ∧ =6 12 182 2 2 ...1 bod

( )abc dm dm dm2 2 2 26 12 18= ⋅ ⋅ .................................... 1 bod

V dm= 36 3 ..................................................................... 1 bod

172. Ukupno 3 boda H cm= 8 ........................................................................1 bod

r cm l cm= =6 10, ........................................................ 1 bod

P r r l cm= + = + =π π π( ) ( )6 6 10 96 2 ........................ 1 bod

A F B

D

C

E

A B

CD

E

63

iz MATEMATiKE

173. Ukupno 3 boda a cm r b cm H= = = =8 6, ........................................ 1 bod

P = ⋅ +2 8 8 6π ( ) .............................................................1 bod

P cm= 224 2π ................................................................1 bod

174. Ukupno 4 boda P Mkupe= 2 ..................................................................... 1 bod

H cm r cm= =4 3, .......................................................1 bod

l cm= 5 .......................................................................... 1 bod

P cm= 30 2π ................................................................. 1 bod

175. Ukupno 3 boda H cm= 3 ...................................................................... 1 bod

r cm=

2π

........................................................................1 bod

V =

12π

cm 3 ................................................................. 1 bod

176. Ukupno 3 boda

H d cm= =2

2 ili sin 30 2o Hd

H cm= ⇒ = ...............1 bod

r cm=3

π ......................................................................1 bod

V =

6π

cm 3 ...................................................................1 bod

177. Ukupno 4 boda AF d h2 2 2 16= − = , AF = 4 .................................... 1 bod

a b AF EB+ = + = 8 ili AF a b=

+2

......................1 bod

B cm=12 2 ..................................................................... 1 bod

V cm= 84 3

................................................................... 1 bod178. Ukupno 3 boda Uočeno da je baza piramide jedan od tri pravougla

trougla, npr. EML∆ .................................................... 1 bod

H EK cm= = 2 ............................................................ 1 bod

V B H cm=

⋅=

⋅⋅

=3

1 32

2

31 3 ...........................................1 bod

30o

A

D C

B

Hd

2r�

A

D C

BE F

d

a

b

hh

A B

CD

E

M

L

KF

GH

64


179. Ukupno 4 boda

A

D C

BE

d

a

b

h

b cm= 3 ......................................................................... 1 bod

AD cm= 5 ...................................................................1 bod

Nastalo tijelo je zarubljena kupa kod koje je

r cm r cm1 26 3= =, , izvodnica l cm= 5 ....................1 bod

P r 1

2= + + +( ) ⋅( ) = + + ⋅( ) =π π πr r r l22

1 2 36 9 9 5 90 ............... 1 bod

180. Ukupno 2 boda

a b i j k× = − + +3 3 3 ....................................................1 bod

� �axb = − + + =( )3 3 3 3 32 2 2 .............................. 1 bod

181. Ukupno 2 boda

sinα =

hbc ili h bc = ⋅sinα ..........................................1 bod

hc =1 ...............................................................................1 bod

182. Ukupno 3 boda Skicirana slika ......................................................... 1 bod

2000 mx

30o

cos 60o 2000

=x

............................................................. 1 bod

x m= 4000 .................................................................... 1 bod

α

BA

C

hc

b a

c

A

D C

BE

d

a

b

h

65

iz MATEMATiKE

183. Ukupno 4 bodaprvi način Nedvosmisleno označen ugao naspram stranice c kao nepoznata u zadatku ............................................. 1 bod

49 = 9 + 25 30 cosγ .................................................. 1 bod

cosγ = 12

................................................................... 1 bod

γ =1200 ........................................................................ 1 bod

Drugi način Nedvosmisleno označen ugao naspram stranice c kao nepoznata u zadatku .............................................1 bod

152

152

3 152

5 152

7 3 52

( )( )( ) sin− − − =

⋅ ⋅ γ ................. 1 bod

32

= sin γ ..................................................................... 1 bod

γ =120o ..........................................................................1 bod

184. Ukupno 3 boda d a b ab12 2 2 2= + − cos β .............................................. 1 bod

d a b ab22 2 2 2= + − cosα ...............................................1 bod

α β α β= − ⇒ = −180o cos cos ................................ 1 bod

d d a b ab12

22 2 22 2+ = + − +( ) (cos cos )α β tj.

d d a b12

22 2 22+ = ⋅ +( ) ....................................................1 bod

185. Ukupno 4 boda

Iz trougla ΔEBD: x x x o2 2 25 15 2 5 15 60= + − − ⋅ ⋅ − ⋅( ) ( ) cos ................. 1 bod

x cm= 7 ........................................................................ 1 bod Primjena kosinusne teoreme na trougao AEC

CE AC AE AC AE o2 2 2 2 60= + − ⋅ ⋅cos .............. 1 bod

CE cm=13 .................................................................. 1 bod BA E

C

Ba — = 53

15-xx

66


186. Ukupno 3 boda d a b ab o2 2 2 2 60= + − cos ...........................................1 bod

2158258 222 ⋅⋅⋅−+=d .............................................. 1 bod

7=d .............................................................................. 1 bod

187. Ukupno 3 boda )3,2(−A i )5,4( −B ..................................................... 1 bod

22 )35())2(4(),( −−+−−=BAd ............................ 1 bod

d A B( , ) =10 ..................................................................1 bod

188. Ukupno 3 boda Tačno unijete obje tačke ..............................................1 bod

2222 )2()3()1()1( −+−=+++ yxyx ............... 1 bod

S x x x R, ,11 8

6−

∈ .................................................... 1 bod

189. Ukupno 3 boda Presjeci sa koordinantnim osama: A(0,4) i B(6,0) .. 1 bod

( ) ( ) ( )041416100

21

−⋅+−⋅+−⋅=∆ABCP ................ 1 bod

7=∆ABCP ........................................................................ 1 bod

190. Ukupno 3 boda

1=+ay

ax ili 1=−

ay

ax .................................................1 bod

163

=+aa

ili 163=−

aa .................................................1 bod

09 =−+ yx ili 03 =+− yx ...................................... 1 bod

191. Ukupno 3 boda

326−+

−= px

ppy ili

ppk 6−

= ............................. 1 bod

26

=−p

p .......................................................................1 bod

6−=p ...........................................................................1 bod

67

iz MATEMATiKE

192. Ukupno 3 boda Presječna tačka ( )2,6 ................................................. 1 bod Koeficjent pravca tražene prave 1−=k ................... 1 bod

8+−= xy ili 08 =−+ yx ......................................... 1 bod

193. Ukupno 3 boda

10 6 6 49 2 2

=− +

+

λ λ

λ λ ...................................................... 1 bod

4 10λ

= ...........................................................................1 bod

52,

52

21 =−= λλ ......................................................... 1 bod

194. Ukupno 4 boda ( ) ( )

( ) ( )2 2

2 2 3 1 2 4 310

2 1 2

λ λ λ

λ λ

+ − − + −=

+ + − ....................... 1 bod

2

5 510

5 5

λ

λ

+=

+ ............................................................1 bod

( ) ( )2 21 2 1λ λ+ = + .......................................................1 bod

1=λ ............................................................................... 1 bod

195. Ukupno 3 boda )0,(),( Rba = ili ( )2 2 2 x R y R− + = ........................1 bod

( )2 2 22 2 R R− + = ........................................................1 bod

( )2 22 4 x y− + = ........................................................ 1 bod

196. Ukupno 4 boda

194

22

=+yx ili a=2 i b=3 .............................................1 bod

2−=k ............................................................................ 1 bod

2222 3)2(2 n=+−⋅ ....................................................... 1 bod

5252

−−=+−=

xyxy

................................................................... 1 bod

68


197. Ukupno 3 boda a)

2 2

116 9x y

− = ...............................................................1 bod

b)

y

x0 2

2

4

6

8

-8

-6

-4

-2

4 4 8-8 -6 -4 -2

...... 2 boda

Skicirana hiperbola bez asimptota (grane su simetrične i

tjemena su u tačkama ( ) ( )0,4,0,4− ...................... 1 bod

elementi matematičke analiZe

198. Tačan odgovor: B a q aa

12

1

65

18 2

2 3 486

⋅ = ⇒ =

= ⋅ =

199. Tačan odgovor: B200. Tačan odgovor: B201. Tačan odgovor: D

202. Ukupno 3 boda ( ) 178512

1281 =

−−b ........................................................... 1 bod

71 =b .............................................................................. 1 bod

1125 =b ........................................................................ 1 bod

69

iz MATEMATiKE

203. Ukupno 4 boda

21 1

31 1

15

30

a a qa q a q− =

− = ...............................................................1 bod

2=q ...............................................................................1 bod

51 −=a ............................................................................1 bod

3=n ................................................................................1 bod

204. Ukupno 3 boda

72 82

2 7 21= + ⋅( )a .........................................................1 bod

a1 2= ..............................................................................1 bod

a5 10= ............................................................................1 bod

205. Ukupno 3 boda a d a d a d a d1 1 1 18 6 4 3 7 28+ − + = ∧ + + + =( ) ........ 1 bod

2=d .............................................................................. 1 bod

41 =a ............................................................................. 1 bod

206. Ukupno 2 boda

limn

n

n→∝

−

+

1 5

1 72

................................................................... 1 bod

5 .....................................................................................1 bod

207. Ukupno 2 boda

limn

n n

n n→∝

− +

+ −

3 8 4

5 6 9

2

2

................................................................1 bod

31

− ................................................................................ 1 bod

208. Ukupno 3 boda

limn

n

n→∝−

1 3 2

ili limn

n

n→∝+

−

1 13

3

2

......................... 1 bod

tn

=−3

3 ......................................................................... 1 bod

6

61 −eilie

.................................................................. 1 bod

70


209. Ukupno 3 boda

limx

xx→

−−3 2

39

................................................................... 1 bod

limx x→ +3

13

..................................................................... 1 bod

61 .....................................................................................1 bod

210. Ukupno 3 boda − − + >x x2 4 12 0 .......................................................... 1 bod

x1 2= i x2 6= − ............................................................1 bod

x ∈ −( , )6 2 ...................................................................... 1 bod

211. Ukupno 3 boda

xx

x7

0 7 0−

≥ ∧ − ≠ ..............................................1 bod

)070()070( <−∧≤∨>−∧≥ xxxx ................... 1 bod

[ )0,7x∈ ........................................................................ 1 bod

212. Ukupno 3 boda

052

5>

+−

xx ..................................................................... 1 bod

∨>+∧>− )05205( xx )05205( <+∧<− xx ........................ 1 bod

( )∝+∪

−∝− ,5

25, .................................................. 1 bod

213. Ukupno 3 boda Domen: x ∈ (0, + ∞) ................................................... 1 bod Nula funkcije: x = 2 ...................................................... 1 bod

1)4( =f ........................................................................ 1 bod

214. Ukupno 3 boda f f x x− =1( ( )) tj. f x x− − + =1 2 2 5( ln( )) ................. 1 bod

25)52ln(2

2 −=⇒=+−

+−textx ............................. 1 bod

25)(

21 −

=+−

−tetf tj.

25)(

21 −

=+−

−xexf ....................1 bod

71

iz MATEMATiKE

215. Ukupno 2 boda ′ = −− −y e xex x ............................................................... 1 bod

xy xe x y xx′ = − = −− ( ) ( )1 1 ...........................................1 bod

216. Ukupno 3 boda

21

2sin

1

2

12

, ⋅−

⋅= xxctgy ...................................................1 bod

2cos

2sin2

121

2sin

1

2cos

2sin

2

,xxxx

x

y −=⋅

−⋅= ....................... 1 bod

xy

sin1, −= .................................................................. 1 bod

217. Ukupno 3 boda xx exexy )1(2' 2 ++⋅= ................................................. 1 bod

0)1(' 2 ≥+= xey x ........................................................ 1 bod

↑∈∀ yRx )( ................................................................. 1 bod

218. Ukupno 3 boda 33 2, −= xy ....................................................................1 bod

y za x ili x, = = − =0 1 1 ...................................1 bod

y za xmax = = −2 1 ......................................................1 bod

y za xmin = − =2 1 ........................................................1 bod

219. Ukupno 4 boda

y ex

x´= −

−

1

2

1 1 ..........................................................1 bod

y e x

xx´́ =

+1

4

1 2 .................................................................1 bod

y za x´́ > + >0 1 2 0 , y za x´́ < + <0 1 2 0 .....1 bod

x ∈ − + ∞

12

, funkcija je konveksna,

x ∈ −∞ −

, 1

2 funkcija je konkavna ...........................1 bod

72


220. Ukupno 3 boda

),1()0,1( ∞+−∈ x .................................................... 1 bod

0)( =xf za 10,1 ==−= xixx ............................... 1 bod

f 3

2158

= .................................................................. 1 bod

kombinatorika i vjerovatnoĆa

221. Tačan odgovor: CNa osnovu pravila množenja dobijamo da je traženi odgovor 2 4 3 2 1 48⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = , jer se cifra desetica hiljada može birati samo između 5 i 7, kako je jedna cifra iskorištena skup za biranje cifre hiljada je smanjen na 4, cifre stotina na 3, analogno se cifra desetica može izabrati na dva načina i cifra jedinica na jedan.

222. Tačan odgovor: BDvije horizontale i dvije vertikale definišu pravougaonik. Vertikale biramo

na 9 82

36⋅= načina, a dvije horizontale na 5 4

210⋅

= načina. Ukupan broj

pravougaonika jednak je 36 10 360⋅ = .

223. Tačan odgovor: C

224. Tačan odgovor: APosmatraju se permutacije skupa slova A, C, E, N, R i T. Ukupno ih je 720!6 = . Povoljna je samo jedna mogućnost. Dakle, tražene vjerovatnoća je

%2,07201

< .

225. Tačan odgovor: C

73

iz MATEMATiKE

saDrŽaj

Predgovor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Pravila za rješavanje testa na maturskom i stručnom ispitu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Brojevi; Racionalni algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Elementarne funkcije; Jednačine i nejednačine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Elementi matematičke analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Kombinatorika i vjerovatnoća . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Rješenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Brojevi; Racionalni algebarski izrazi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Elementarne funkcije; Jednačine i nejednačine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Geometrija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Elementi matematičke analize . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Kombinatorika i vjerovatnoća . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

Documents

Zbirka testova Za polaganje maturskog i stručnog ispita iZ ...iccg.co.me/1/images/dok/publikacije/ZBIRKE/Matematika.pdf · Zbirka testova Za polaganje maturskog i stručnog ispita