Zasady zachowaniaZasady zachowania

•• Pęd i moment pędu Pęd i moment pędu•• Praca, moc, energia Praca, moc, energia•• Ruch pod działaniem sił Ruch pod działaniem sił

zachowawczychzachowawczych•• Pęd i energia przy Pęd i energia przy

prędkościach bliskichprędkościach bliskichprędkości światłaprędkości światła

Pęd i moment pęduPęd i moment pędu

dpp/dt = F F ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ pp = constconst, , gdy F F = 0 (całka pędu)

Jest to zasada zachowania pędu

Moment pędu cząstki Pwzględem O

LL = r r ×××××××× pp = mrr ×××× vv

L = mrv sinθ

z y x z y x

x y z

, , x y z yp - zp , zp - xp , xp - ypp p p

= = × = == = × = == = × = == = × = = x y z

x y z

i i iL L L L r p

Szczególny przypadek: ruch po okręgu

LLωω

vvrr

Pęd i moment pęduPęd i moment pędu

LL = mr2ωω = = IωωI = mr2 - moment bezwładności

L = mr × (vr + vθ) = mr × vθ

L = mr vθ = mr2(dθ/dt)

dL/dt = (dr/dt) × p + r × (dp/dt) = r × F = M

Moment siły Fwzględem punktu O

Pęd i moment pęduPęd i moment pędu

M = 0 ⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒ L = const Zachowanie momentu pędu

1. F = 0 (cząstka swobodna)

L = mvr sin θ = mvb = const

2. Siła F równoległa do r, czyli F = f(r) ir (siła centralna)

Przykłady: siła grawitacji f(r) = – Gm1m2/r2

siła kulombowska f(r) = Q1Q2/4πεor2

siła sprężysta f(r) = – kr

Ruch pod działaniem siły centralnej jest ruchem płaskim

Prędkość polowaPrędkość polowa

dS = (∆ OAB) = !r2dθ = !r ×××× dr

dS/dt = !r2(dθ/dt) = L/2m = const

Prędkość polowa w ruchu poddziałaniem siły centralnej jest stała

II PrawoII Prawo Keplera Keplera: W jednakowychodstępach czasu promień wodzącyplanety zakreśla jednakowe pola

∆S1 = ∆S2 dla ∆t1= ∆t2

Praca, moc, energiaPraca, moc, energia

rF

Ftθ

dr

O

Praca siły F przy przesunięciu drdW = F•dr = F cosθ ds = Ft ds

Siła normalna do przesunięciawykonuje pracę = 0

Przykłady: siła Lorentza, siła dośrodkowa

Praca na drodze między A i B

W = F1 •dr1 + F2 •dr2 +.....

W = ∫ F•drA

B

Ogólnie praca WAB zależy od drogi, poktórej odbywa się przesunięcie między A i B

Siłę F oraz drogę l możemyprzedstawić w funkcji

parametru, np. długości łuku sF = F (s), r = r (s)

Moc P = dW/dt = F(dr/dt) = F•v

Jednostka pracy: dżul (J) 1 J = 1 N • 1 m = 1 kg m2/s2

Jednostka mocy: wat (W) 1 W = 1 J/ 1 s = 1 kg m2/s3

Praca i energia kinetycznaPraca i energia kinetyczna

Fdr = Ftds = m(dv/dt)ds = m dv (ds/dt) = mv dv

2 21 12 2 , ,

B B

t B A k B k A kA A

W F ds mvdv mv mv E E E= = = − = − = ∆= = = − = − = ∆= = = − = − = ∆= = = − = − = ∆∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

A

B

Niezależnie od postaci siły F i drogi praca siły jest równa zmianie energiikinetycznej ciała w punktach końcowym B i początkowym A drogi

Przykład: ruch pod działaniem stałej siły F = const

(np. ruch w polu grawitacyjnymblisko powierzchni Ziemi)

B B

B AA A

W d d ( )F r F r F r r= = = −= = = −= = = −= = = −∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Jest to szczególny przykład sił zachowawczych (konserwatywnych)

Siły zachowawcze i energia potencjalnaSiły zachowawcze i energia potencjalna

B

p,Bp,AA

W d E EF r= = −= = −= = −= = −∫∫∫∫

Siły zachowawcze są takimi funkcjamiF(r) że pracę można wyrazić przez

różnicę wielkości Ep(r) na początku i nakońcu drogi

A

B Jeżeli droga jest zamknięta, to praca jest równa zeru

d 0F r ====∫∫∫∫!Cyrkulacja (krążenie)

wektora F

B B

pp,B p,Bp,A p,AA A

d E E (E E ) dEF r = − = − − = −= − = − − = −= − = − − = −= − = − − = −∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

zatem Fdr = – dEp

p p px y z

p p pp p

E E EF ;F ;F

x y zE E E

grad E Ex y z

x y z

x y z

x y z

F i i i

i i i

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂= − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = −

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ = − + + = − = −∇= − + + = − = −∇= − + + = − = −∇= − + + = − = −∇ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∇ = + +∇ = + +∇ = + +∇ = + +∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂

Energia potencjalnaEnergia potencjalna

operator różniczkowy „nabla”

θ in powierzchnie ekwipotencjalnes

centrum siły

gradient ma kierunek normalny dopowierzchni ekwipotencjalnej

p pp p

E Egrad E ; gradE cos

n sni∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

= = θ= = θ= = θ= = θ∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂

(pochodna kierunkowa)

Zasada zachowania energiiZasada zachowania energii

(((( )))) (((( ))))

B

k,B p,Bk,A p,AA

p pk kB A

W d E -E E -E

E +E E +E E const

F r= = == = == = == = =∫∫∫∫

= = == = == = == = =

energiacałkowita

p

212p

EF kr

rE krdr kr C

∂∂∂∂= − = −= − = −= − = −= − = −

∂∂∂∂= = += = += = += = +∫∫∫∫

Przykład 1: siła sprężysta

p2 2k kdr kF= ; E = +Cr r r

= −= −= −= −∫∫∫∫Przykład 2:

(((( ))))p 2GMm GMm GMm h GMm GMmE 1 hhR+h R R R RR(1+ )R

= − = − ≈ − − = − += − = − ≈ − − = − += − = − ≈ − − = − += − = − ≈ − − = − +

k = – GMm siła grawitacyjna

const mgh

Wykorzystanie zasady zachowania energiiWykorzystanie zasady zachowania energiido rozwiązywania zagadnień ruchudo rozwiązywania zagadnień ruchu

Przykład: Ruch prostoliniowy pod działaniem zachowawczej siły FMamy Ep = Ep(x)

(((( ))))(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

212 p

12

p

12

p

dxE m E (x) constansdt

dx 2 E E xdt m

dx2 E E xm

= + == + == + == + =

= −= −= −= −

−−−− ∫∫

x0

x

= dt = t

t

0

Jeżeli znamy Ep(x), to stąd znajdujemy związek między x i t

Przypadek F = constans; dEp = – Fdx ⇒ Ep = – Fx

(((( )))) 2

1 dx t2 E Fxm

2 2 2E Fx E tmF F

1 F 2Ex t t2 m m

====++++

+ − =+ − =+ − =+ − =

= += += += +

∫x

0

a v0

{E = mv2/2 + Fx; stąd E = mv02/2 jeśli x = 0 dla t = 0}

Ruch w polu zachowawczej siły centralnejRuch w polu zachowawczej siły centralnej

Zachowanie energii: E = mv2/2 + Ep(r) = constansZachowanie momentu pędu: L = mrvθ = constans

(((( )))) 22

p21 dr LE m E (r)2 dt 2mr

= + += + += + += + +

Ep,ef (r) efektywna energia potencjalna

„energiaodśrodkowa”

energia potencjalna pola siły centralnej

Nazwa „energia odśrodkowa” pochodzi stąd, że „siła” związana z tąenergią ma zwrot od centrum siły

22 2

o 2 3d L L dF mrdr 2mr mr dt

θθθθ = − = == − = == − = == − = =

(((( ))))(((( ))))p,ef

dr 2 E E rdt m

= −= −= −= −

Można rozwiązać osobno zagadnienie „części radialnej” ruchu

∫ ∫(((( ))))(((( ))))p,ef

dr dt = t2 E E rm

====−−−−r0

r

0

t

Ruch w polu zachowawczej siły centralnejRuch w polu zachowawczej siły centralnej

⇒ r(t)

To równanie określa granicezmienności r podczas ruchu

Dwie możliwości: r ≥ rmin ruch nieskończony rmax≥ r ≥ rmin tor w obszarze ograniczonym

Ruch w polu zachowawczej siły centralnejRuch w polu zachowawczej siły centralnej

(((( ))))

(((( ))))

2

p,ef

2

p,ef

dr dr dt 2 mrE Ed dt d m L

Lmr dr constans

2 E Em

θ θ

θ

= = −= = −= = −= = −

= += += += +−−−−∫∫∫∫ Równanie toru we

współrzędnychbiegunowych

0

20

0

Ld dtmr

tθ

θ

θ θ θ− = =− = =− = =− = =∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫„część kątowa” ruchuze związku L = mr2(dθ/dt)

Ruch w polu zachowawczej siły centralnejRuch w polu zachowawczej siły centralnej

(((( ))))

max

min

2

p,ef

drmr 2 E EL m

r

r

θ∆ =∆ =∆ =∆ =−−−−∫∫∫∫ zmiana kąta biegunowego

przy przejściu od rmax do rmini z powrotem

Tor będzie krzywą zamkniętą,jeżeli Δθ = 2π(m/n), gdziem, n są liczbami całkowitymi

Występuje to tylko dla dwóch pól

Ep(r) ∼ r–1

Ep(r) ∼ r2

rminrmax

Ruch w poluRuch w polu E Epp(r) = – kr(r) = – kr–1 –1 (k > 0, siła przyciągająca)(k > 0, siła przyciągająca)

Przy energii E1 ruchnieskończony pohiperboli, r > rA

Przy energii E2 ruchskończony po elipsiermax= rC ≥ r ≥ rB= rmin

Przy energii E3 ruchskończony po okręgu

r = r0 = rmax = rmin

Przykład: ruch planet,komet itd.

(((( ))))

(((( ))))(((( )))) (((( ))))

2 2

0 2

p,ef 2

2 22

2 2 2

2

L Lmr rdr= dr

2 k LE E 2m E + m r 2mr

1 11 dd r pr2mE 2mk 1 1 1 1L L r r p r p

Lpmk

θ θ

ε

− = =− = =− = =− = = −−−− −−−−

−−−− = − = −= − = −= − = −= − = − + −+ −+ −+ − − −− −− −− −

====

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫

Ruch w poluRuch w polu E Epp(r) = – kr(r) = – kr–1 –1 (k > 0, siła przyciągająca)(k > 0, siła przyciągająca)

2

22EL1mk

ε = += += += +

parametr orbity (krzywej stożkowej)

mimośród orbityE < 0, ε < 1 elipsaE = 0, ε = 1 parabolaE > 0, ε > 1 hiperbola

Ruch w polu ERuch w polu Epp(r) = – kr(r) = – kr–1 –1 (k > 0, siła przyciągająca)(k > 0, siła przyciągająca)

2

dx arccos x1 x

− =− =− =− =−−−−∫∫∫∫ (((( ))))01 cos

prε θ θ

====+ −+ −+ −+ −

równanie krzywej stożkowejwe współrzędnych biegunowych

ε = r/AB

2a = rmax + rmin = = 2p/(1 – ε2) = k/2|E|

2b = 2p(1– ε2)–! = L(2m|E|)–!

W ruchu po elipsie odległość odcentrum siły zmienia sięod rmin (w pericentrum)do rmax (w apocentrum).

Energia ruchu po elipsie zależywyłącznie od wielkiej półosi

elipsy, natomiast moment pędu -od małej półosi

W szczególnymprzypadku

rmin = rmax = rmamy ruch po okręgu

Innym szczególnymprzypadkiem elipsy

jest odcinek liniiprostej o długości 2a.

Wartość b = 0odpowiada zerowemu

momentowi pęduL = 0

Dla szczególnegoprzypadku E = 0 torem

ruchu ciała jest parabola.Ruch jest nieskończony,a ciało nie jest związane

przez centrum siły.

Dla E > 0 ruch jestnieskończony; ciałoosiąga największe

zbliżenie do centrumsiły w punkcie rA = rmin

Jest to stan niezwiązany.Przykład: orbity komet

nieperiodycznych

parabola E = 0

hiperbola E > 0

elipsa E < 0

okrąg E < 0

Orbity ciał o jednakowej masie m i jednakowej wartościmomentu pędu L, lecz o różnych wartościach energii E

względem centrum O siły przyciągającej

Ruch w poluRuch w polu E Epp(r) = kr(r) = kr–1 –1 (k > 0, siła odpychająca)(k > 0, siła odpychająca)

Przykład: rozpraszaniecząstek alfa na jądrach

atomowych

model potencjałuprzyciągającego

typu – kr–1

(k > 0)

model potencjałuodpychającego typu kr–1

(k > 0)

Przykład: ruch kulki w lejku o kącie rozwarcia α

Ep/V0 = – (r/r0)exp(–r/r0)

Ep/V0 = – exp(–r/r0)2

Ep/V0 = – exp(–r/r0)

–1 dla r/r0 < 1Ep/V0 =

0 dla r/r0 > 1różne typy

potencjałów przayciągających

Potencjał Lennarda-Jonesaoddziaływania między

cząsteczkami(sił Van der Waalsa)

Energia i pęd w teorii relatywistycznejEnergia i pęd w teorii relatywistycznej

02

2

md ddt dt v1 c

vpF = == == == = −−−−

Związek między pędem i siłą

(((( ))))

0 02 2

2 20 0 0

2 222 20 0 0

20 02 2 22 2 2

0

22 20

0 022

m v m vdE d d ddt v v1 1c c

m v m vdv m v vm c 1 m ccv v v1 1 1c c c

m cm c m m c

v1 c

v v v

k

v

F r r v = = = == = = == = = == = = = − −− −− −− −

= − = + − − == − = + − − == − = + − − == − = + − − =− − −− − −− − −− − −

= − = −= − = −= − = −= − = −−−−−

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫

E = m0c2 - energia spoczynkowa

E = mc2 - energia całkowita

(((( ))))2 412 2

2 2 40 0

42 2

20 0 0

2 4 2

3 20 0 0

1 v 3 vvm m 1 m 1 .....c 2 c 8 c1 3 v 1E m v m .... m v dla v << c2 8 c 2p 3 p pE .....

2m 8 m c 2m

−−−− = − = + + += − = + + += − = + + += − = + + +

= + + ≈= + + ≈= + + ≈= + + ≈

= + + ≈= + + ≈= + + ≈= + + ≈

k

k

22 2 2 21 1

1γ γ β γ

β= ⇒ − == ⇒ − == ⇒ − == ⇒ − =

−−−−

2 4 2 2 4 2 2 2 40 0 0m c m c m cγ β γ− =− =− =− =

EE22 - p - p22cc22 = m = m0022cc44

Transformacja energii i pęduTransformacja energii i pędu2

2 2 22 0

Ep m cc

− = −− = −− = −− = − niezmiennik

, , ,

2 '22 2 2 ,2 ,2 ,2x y z 2 2x y z

E Ep p p p p pc c

+ + − = + + −+ + − = + + −+ + − = + + −+ + − = + + −

Podobieństwo do transformacji Lorentza współrzędnych i czasupx→ x, py → y, pz → z, E/c → ct

(((( ))))

(((( ))))

,

,

,

, 2xx

,yy

,zz

'x

p p VE/c

p p

p p

E E Vp

γ

γ

= −= −= −= −

====

====

= −= −= −= −

Do tych wzorów można dojśćna podstawie transformacji

prędkości

E2 – p2c2 = m02c4Ze wzorów oraz p = γm0v można otrzymać

2 402

m cv c 1

E= −= −= −= −

2 4 2 40 0

2 2 4 20

m c m cdv dE dEv E m c E E E

= ≅= ≅= ≅= ≅−−−−

2 401

2 2

m clog v log c log 1

E

= + −= + −= + −= + −

Dla bardzo dużych energii E >> m0c2, zatem można nadawać ciałucoraz większą energię nie zwiększając praktycznie jego prędkości.

W podobny sposób można otrzymać2

2 2 20

dE p dpE m c + p p

====

i dla ultrawysokich energii dE/E ≅ dp/p

Dla cząstek o m0 = 0 (fotony) E = pc = hνczyli p = hν/c