Zadaci Za Popravni

8/18/2019 Zadaci Za Popravni

1/32

ZADACI ZA IV RAZRED

Teorijska pitanja za usmeni

1. Brojni nizovi, monotonost i ograničenost nizova.

Pojam niza vezan je za pojam brojanja.Brojeći po redu: 1, 2, 3, 4,...dobijamo niz prirodnih brojeva.Slično možemo posmarai i nizove raznih predmea. !uće numerisane a"o da se zna "oja je prva, dru#a, reća,...čine

niz.$ani u sedmi%i čine niz: ponedjelja" je prvi, uora" dru#i id.Deini!ija "niza #rojeva$% &"o sva"om prirodnom broju n'1, 2, 3,... od#ovara po ne"om za"onu jedan realan broj an ada brojevi a1, a2, a3,...,an'(an)

čine niz brojeva.Brojevi a1, a2, a3,...su članovi niza, a brojevi 1, 2, 3, ... su inde"sičlanova niza.an je n*i član niza "oji se obično naziva opći član.

&rimjer 1.a) 1, 2, 3, 4, + je niz od pe članova b) 4, , 1-, ... ,1-- je niz od 33 člana %) 1, 3, +, , ... je bes"onačan niz d) 2, 2, 2, 2, ... je "onsanan niz, jer su svi članovi isi e) ... , *3, *2, *1, -, 1, 2, 3, ... nije niz jer ne znamo "oji je broj pridružen broju 1, j.

"oji je član prvi.

'izove mo(emo za)avati %#rojno, graički i ana*itički.&rimjer +. iz 1, 3, +, , ... je zadan brojno.&"o sva"om članu niza pridružimo ač"u na brojnoj pravoj dobićemo#ra/ič"i pri"az niza:

1 3 + 0 11 13 &naliič"i pri"az niza je pomoću /ormule za opći član:

an'2n*1(n'1 a1'1, n'2 a2'3...) iz je odreen a"o mu je pozna opći član.


2/32

+. Aritmetički niz, opi č*an i oso#ine aritmetičkog niza.

Deini!ija:&rimeič"i niz je niz brojeva (an)u "ome je razli"a sva"o# člana i člana ispred nje#a "onanna i jedna"a d j.: ,1 d aa nn =−+ za N n∈∀Broj d nazivamo razli"om ili di/eren%ijom niza.&rimjer 1. a) +, 0, 13, 1, . . . d'4 b) 2-, 14, , 2, *4, . . . d'* %) +, +, +, +, . . . d'-&"o je d- arimeič"i niz je rasući, a"o je d5- arimeič"i niz jeopadajući i a"o je d'- niz je "onsanan.

Sva"i član arimeič"o# niza (osim prvo# i zadnje#) je arimeič"asredina dva susjedna člana j. .

2

11 +− += nnaa

na

iz je po ome dobio ime.

6bir sva"a dva člana arimeič"o# niza "oji su podjedna"o udaljeni od"rajeva niza, jedna" je zbiru "rajnih članova niza j.

⋅⋅⋅=+=+=+ −− 23121 nnn aaaaaa

-pi č*an aritmetičkog niza

e"a je ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ − ,,,,,, 1321 nn aaaaa arimeič"i niz sa razli"om d. a osnovu de/ini%ije imamo da je:

d naa

d ad aad aa

d ad aad aa

d aad aa

n )1(

........................................................

3

2

1

13434

12323

1212

−+=

+=+=⇒=−

+=+=⇒=−

+=⇒=−

Posljednja /ormula predsavlja opći član arimeič"o# niza i pomoćunje možemo odredii bilo "oji član niza a"o znamo prvi i razli"u d.

. Deini!ija i oso#ine geometrijskog niza.

Deini!ija% 7eomerijs"i niz je niz brojeva (an), n8 u "ome je "olični" sva"o# člana i člana ispred nje#a "onsanan

i jedna" 9 j. q

n

n

a

a=+1 , za N n∈∀


3/32

Broj 9 nazivamo "olični"om #eomerijs"o# niza.&rimjer 1. a) 3, 0, 2, 1, ... 9' 3 b) *32, *1, *, *4, .... 21=q %) 1, , 2, ... 31=q d) *2, *, *1, ... 9'3 e) 3, 3, 3, 3, ... 9'1 /) 2, *4, , *1, ... 9'*2z navedenih primjera za"ljučujemo da #eomerijs"i niz

* monoono rase a"o je: a1- i 91 ili a15- i -5951* monoono opada a"o je: a15- i 91 ili a1 i -5951* je "onsanan a"o je 9'1* nije monoon a"o je 95-.

Sva"i član #eomerijs"o# niza (osim prvo# i zadnje#) je#eomerijs"a sredina susjednih članova j. 11 +− ⋅= nnn aaa

iz je po ome dobio ime.

Proizvod sva"a dva člana #eomerijs"o# niza "oji su podjedna"oudaljeni od "rajeva niza jedna" je proizvodu "rajnjih članova niza tj. ⋅⋅⋅=⋅=⋅=⋅ −− 23121 nnn aaaaaa

-pi č*an geometrijskog niza e"a je niz ,...,...,,, 321 naaaa #eomerijs"i niz. a osnovu de/ini%ije je

1

1

3

134

2

123

12

.

..................................................

..

.

3

4

2

3

1

2

1

13

4

2

3

1

2

−=

==⇒=

==⇒=

=⇒=

===⋅⋅⋅=== +−

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

a

qaa

qaqaaq

qaqaaq

qaaq

odnosno

qn

n

n

n

Posljednja /ormula predsavlja opći član #eomerijs"o# niza i pomoćunje možemo odredii bilo "oji član niza a"o znamo prvi i "olični" 9.


4/32

/. 0ranična vrije)nost niza, računanje sa graničnim

vrije)nostima.

$a bismo izračunavali #ranične vrijednosi nizova ubuduće ćemo"orisii nula nizove i eoremu "oja je do"azana na osnovu de/ini%ije#ranične vrijednosi.

Teorema% &"o su nizovi (an) i (bn) "onver#enni i a"o je lim ,lim n bbaa nnn == ∞→∞→ ada vrijedi:

( )

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) aaa

k k k

aaa

aaa

acacac

b

bababa

bababa

bababa

nn

nn

aa

a

n

k k

nn

k n

n

k k

nn

k

n

nn

nn

ba

b

a

b

a

n

nn

nn

nnn

nn

nn

nnn

nn

nn

nnn

nnn

nn

nn

n

n

lo#limlo#lo#lim

lim

limlim

limlim

%ons.% ,limlim

- ,lim

limlimlim

limlimlim

limlimlim

lim

n

lim

lim

==

==

==

==

=⋅=⋅=⋅

≠==

⋅=⋅=⋅

−=−=−

+=+=+

→∞→∞

→∞

→∞→∞

→∞→∞

→∞→∞

→∞

→∞→∞→∞

→∞→∞→∞

→∞→∞→∞

∞→

∞→

∞→

. &ojam re)a, #eskonačni )e!ima*ni #rojevi kao konvergentni

re)ovi.

Deini!ija% e"a je da bes"onačan niz brojeva a1, a2, a3, . . . ,an, . . .

&"o saberemo članove ovo# niza onda dobijamo bes"onačan red "oji pi;emo u obli"u .

1

321 ∑∞

=

=⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n

nn aaaaa Brojeve a1, a2, a3, . . . , an, . . . nazivamo članovima reda, an je općičlan, a n je inde"s člana.Posavlja se pianje, može li se a"vom redu pripisai ne"i broj "oji ćeoznačavai vrijednos


5/32

$jelimične (par%ijalne) sume reda su: S1'a1 S2'a1>a2 S3'a1>a2>a3 ........................ Sn'a1>a2>a3>. . .>an

S1, S2, S3, . . . ,Sn, . . . '(Sn) čini niz par%ijalnih (djelimičnih) suma.Pri promjeni n mijenja se i Sn.

&"o poražimo #raničnu vrijednos (limes) par%ijalnih suma j. nn S ∞→lim mo#uća su ri slučaja: 1. S aaaS nnn =+⋅⋅⋅+++= ∞→∞→ )a(limlim 321n , #dje je S "onačan i odreen broj, onda zadani red "onver#ira i suma mu je S.

2. ∞=∞→ nn S lim , zadani red diver#ira u užem smislu.

3. ?lanovi niza par%ijalnih suma os%iliraju izmeu dvije vrijednosi,

pa "ažemo da zadani red diver#ira u ;irem smislu.

&rimjer 1. aći sumu: ⋅⋅⋅+++++ 11141211

Par%ijalne sume dao# reda su:

( ) ( )

( )

21

212limlim

lim1limlim

1

......................................

211

11

11

1

11

1

41

21

2

11

1

11

2

11

41

21

2

11

41

21

1

41

21

4

43

41

21

3

21

21

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

=⋅⋅⋅+++++

=−==

==+⋅⋅⋅++++=

+⋅⋅⋅++++=


6/32

&rimjer +. aći #raničnu vrijednos par%ijalnih suma reda: 1>2>3>4> . . .

Sn'1>2>3>. . .>n(Sn )' 1, 3, , 1-, 1+, 21, . . .niz par%ijalnih suma je rasući niz

( ) ∞===+⋅⋅⋅+++= ∞+∞→∞→∞→ 221lim)321(limlim nn

nnn

nnS

$a"le, red diver#ira u užem smislu.

Beskonačan geometrijski re)

Deini!ija% @edovi obli"a ∑

∞

=

−− =⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++++1

1

1

1

1

3

1

2

111

n

nnqaqaqaqaqaa

zovu se #eomerijs"i redovi, a1 j prvi član reda, 9 je"olični" reda.

Po;o sumu prvih n članova računamo po /ormuli ( ) 111q

qa

n

n

S −−= sumu

svih članova dobićemo a"o pusimo da nA j.( )

. q1

q1a

nlimnS

nlimS

n

1

−

−

∞→

=

∞→

=

!a"o za C9C51 9nA- dobijamo da je

( ) .q1a

q1q1a

nlimS 1

n

1

−=

−−

∞→=

$a"le za D9D51 bes"onačan #eomerijs"i red je "onver#enan i ima

"onačnu sumuq-1

a S 1= .

&rimjer 1. aći sumu reda: ⋅⋅⋅++++ 27 191311 @ed je #eomerijs"i sa "olični"om 131


7/32

&rimjena geometrijskog re)a na perio)ične )e!ima*ne #rojeve

&rimjer 1. api;i u obli"u razlom"a: -,++++++...

.

0+

1-01

1-+

1-11

11-+

11

1-+

1-+

1-1

1-1

1-11

1-+

1----+

1---+

1--+

1-+.-,+++++...

32

=⋅=−

⋅=−

⋅=

=⋅=⋅⋅⋅++++=

⋅⋅⋅++++=

q

a

S

&rimjer +. api;i u obli"u razlom"a: -.3+++...

.00--310

00--+003

00--+

1--3

1--001

1----+

1--3

1--11

11----+

1--3

11----+

1--3

1----+

1--3

1-1

1-11

1----+

1--3

1--------+

1------+

1----+

1--3....-,3+++

1

42

=+⋅=+=⋅+=

=−

⋅+=−

⋅+=

=⋅+=⋅⋅⋅++++=

⋅⋅⋅++++=

q

a

S


8/32


9/32

'u*e unk!ije

Sva"i realan broj G- za "oji je vrijednos /un"%ije jedna"a nuli j.H'/(G-)'-, zove se nula /un"%ije.K #eomerijs"om smislu nula /un"%ije je ač"a na osi G u "ojoj #ra/i"/un"%ije siječe osu G. ule /un"%ije izračunavamo iz uslova H'-.

-graničenost unk!ija

Jun"%ija H'/(G) je o#raničena u svom području de/inisanosi a"o posoje dva realna broja a i b a"o da je

( ) pod.de/.G za ∈∀≤≤ b # & a

&"o brojevi a i b ne posoje za /un"%iju "ažemo da je neo#raničena.

&arnost "neparnost$ unk!ija

Jun"%ija H'/(G) je parna a"o vrijedi:( ) ( ) pod. de/.G za ∈∀=− # & # & ,

a neparna a"o je:( ) ( ) pod.de/.G za ∈∀−=− # & # &

7ra/i" parne /un"%ije je simeričan u odnosu na osu H, a #ra/i"neparne /un"%ije simeričan je u odnosu na "oordinani počea".

8onotonost unk!ije "tok unk!ije$

Jun"%ija H'/(G) je monoono rasuća na inervalu (a,b) a"o za sva"oG15G2 iz o# inervala vrijedi /(G1)5/(G2), a monoono opadajuća a"o zaG15G2 vrijedi /(G1)/(G2).

&erio)ičnost unk!ija

Jun"%ija H'/(G) je periodična a"o posoji poziivan broj p a"av da je

"9:p$;"9$, za sva"o G iz de/ini%iono# područja.Broj p zove se period /un"%ije. ajmanji broj p je osnovni period.7ra/i" periodičnih /un"%ija se ponavlja poslije sva"o# inervaladužine p. Iri#onomerijs"e /un"%ije su periodične.


10/32

n "osa asimpoa /un"%ije H'/(G).

$a bismo na;li asimpoe /un"%ije H'/(G) moramo ispiai /un"%iju na"rajevima inervala njeno# de/ini%iono# područja.


11/32

=. &rira>taj unk!ije, sre)nji uspon i izvo) unk!ije u tački.

1?. &ravi*a )ieren!iranja.

zračunavanje izvoda /un"%ije zovemo di/eren%iranje ili deriviranje.Iraženje izvoda /un"%ije po de/ini%iji je česo du# i složen posao.6ao su na emelju raženja izvoda po de/ini%iji izvedena pravila pomoću "ojih se izvod la";e odreuje:

redni broj /un"%ija izvod /un"%ije

1. H'%L/(G), %'%ons HM'%L/M(G)2. H'/(G)>#(G) HM'/M(G)>#M(G), izvod zbira

3. H'/(G)*#(G) HM'/M(G)*#M(G), izvod razli"e

4. H'/(G)L#(G) HM' /M(G)L #(G)> /(G)>L#M(G),

izvod proizvoda

+. !"#$ ' $ #" ! $ #" & ( ≠= $ #" ! $ #)" ! $ #" & $ #" ! $ #)" & ) ( 2 ⋅−⋅=

izvod "olični"a


12/32

11. Izvo)i osnovni3 e*ementarni3 unk!ija.

a osnovu de/ini%ije odreeni su izvodi elemenarnih /un"%ija i osu ablični izvodi:

redni broj /un"%ija prvi izvod /un"%ije

1. H'%, %'%ons HM'-

2. H'G HM'1

3. H'"G>n HM'"

4. H'Gn HM'nGn*1, (n8@)

+. H' # $"# #21) ( >=

. H'sinG HM'%osG

. H'%osG HM'*sinG

. H'#G #cos

1) (2

=

0. H'%#G # sin

1) (2

−=

1-. H'ar% sinG $1 #" ' #1

1) (2

<−

=

11. H'ar% %osG $1 #" ' #1

1) (2

<−

−=

12. H'ar% #G2 #1

1) (+

=

13. H'ar% %#G2 #1

1) (+

−=

14. H'aG HM' aG lna

1+. H'eG HM' eG

1. H'lo#aG #

elo! ) ( a=

1. H'lnG #1) ( =


13/32

1+. Ispitivanje toka unk!ija "monotonost unk!ije$.

&"o /un"%ija opada na inervalu Na,bO, u#ao je upi pa je #5-,

odnosno HQ5- za sva"o G8Na,bO.

$a"le da bismo odredili o" /un"%ije (inervale monoonosi) moramo

prvo odredii de/ini%iono područje /un"%ije, zaim prvi izvod /un"%ijei ač"e u "ojima je prvi izvod jedna" nuli.

Tačke u kojima je prvi izvod jednak nuli dijele

defniciono područje na intervale pa treba odrediti znak

prvog izvoda u svakom od tih intervala. U onim

intervalima u kojima je y'>0 unkcija raste! a tamo gdje

je y'"0 unkcija opada.

1. 2ta!ionarne tačke unk!ije.

Iač"e u "ojima je prvi izvod /un"%ije H'/(G) jedna" nuli zovemosa%ionarne ač"e /un"%ije.z uslova HM'- slijedi da je # '-, odnosno '-. Io znači da usa%ionarnim ač"ama #ra/i" /un"%ije ima an#enu paralelnu osi G.Posoje ri vrse sa%ionarnih ača"a. Io su:

* ma"simum* minimum i


14/32

* prevojna ač"a.Ra"simum i minimum zovemo e"sremne vrijednosi , zao ;o serazli"uju od osalih vrijednosi /un"%ije na posmaranom inervalu.

Prirodu sa%ionarne ač"e možemo odredii na osnovu zna"a prvo#izvoda HM, j. o"a /un"%ije u u o"olini ač"e, a a"oe i na osnovuvrijednosi dru#o# izvoda HMM u oj ač"i, ;o po"azuje abela:

G G-* G- G->

HM > - * HMM( G-)5- H( G-)'HmaG

HM * - > HMM( G-)- H( G-)'Hmin

HM > - > HMM( G-)'- /*ja u ač"i G- ima prevoj

HM * - * HMM( G-)'- /*ja u ač"i G- ima prevoj

&rimjer 1. Tdredi sa%ionarne ač"e i inervale monoonosi /un"%ijeH'G3*3G2>+.

Rje>enje% Ponovo ćemo ražii de/ini%iono područje, prvi izvod i nule prvo# izvoda, a zaim na osnovu zna"a prvo# izvoda

abelarno rije;ii zadaa".de/. pod ( )+∞∞−∈ , #


15/32

HM'3G2*GHM'-3G2*G'-

3G(G*2)'-G1'-,G2'2

G * - 2

3G * - > >

G*2 * * - >HM' 3G(G*2) > - * - >

H rase maG opada min rase


16/32

1/. Crtanje graika unk!ija.

$a bi na%rali #ra/i" /un"%ije prvo ispiamo njena svojsva (osobine). Posupa" ispiivanja /un"%ije:

1. Deini!iono po)ručje (domen,oblas de/inisanosi).K ovoj /aziispiivanja moramo vodii računa o ome da u maemai%i ( u s"upu @ )nije de/inisano dijeljenje nulom, da parni "orijen ne#aivno# broja nijerealan broj i da lo#ariam nule i ne#aivno# broja ne posoji.

2. 'u*e i znak unk!ije "ao i presje" #ra/i"a sa osom H.ule /un"%ije suač"e u "ojima #ra/i" /un"%ije siječe osu G, a /un"%ija mijenja zna".

3. &arnost "neparnost$ i perio)ičnost su a"oe svojsva ne"ih

/un"%ija.7ra/i%i parnih /un"%ija su simerični u odnosu na osu H , a#ra/i%i neparnih /un"%ija su simerični u odnosu na "oordinani počea".

4. Tok unk!ije i sta!ionarne tačke odreuju se na osnovu prvo#izvoda. &"o je za G∈ (a,b) HQ- /un"%ija na om inervalu rase,/un"%ijaopada na inervalima na "ojima je HQ5-, a amo #dje je HQ'- /un"%ijaima sa%ionarnu ač"u (ma"simum,minimum ili prevojnu ač"u) .

+. Asimptote unk!ije su prave "ojima se #ra/i" /un"%ije približava u bes"onačnosi, a odreujemo ih ispiujući pona;anje /un"%ije na"rajevima inervala njeno# de/ini%iono# područja (amo #dje ona nijede/inisana).

&"o je b # & #

=±∞→

)(lim ada je H'b horizonalna asimpoa /un"%ije.

&"o je ±∞=→ )(lim # & a # ada je G'a veri"alna asimpoa /un"%ije. $a bi prava H'"G>n bila "osa asimpoa /un"%ije moraju posojairealni brojevi " i n a"vi da je: #

# &

#k )(lim

±∞→= i ))((lim k# # & n

#−=

±∞→ .

. 6onveksnost i konkavnost /un"%ije odreujemo na osnovu dru#o#izvoda.&"o je HQQ- za G∈ (a,b) onda je /un"%ija "on"avna u om inervalu,a"o je HQQ5- onda je /un"%ija "onve"sna.Iač"e u "ojima /un"%ijamijenja "onve"snos zovu se prevojne ač"e i u njima je HQQ'-.

. 0raik unk!ije %ramo na osnovu navedenih osobina.Sa #ra/i"a se najbolje vidi "a"o se mijenja /un"%ija u zavisnosi odar#umena (do" G uzima po veličini sve vrijednosi iz de/ini%iono# područja).


17/32

Za)a!i za pismeni

1. Izračunati sumu prvi3 1+ č*anova niza%

a$ /, 7, 1?, 1, . . . #$ );/, a1;=.

Rje>enje% Sumu prvih n članova arimeič"o# niza računamo

po /ormuli( )2

d 1na2nnS ili 2

aannS

1n1−+

=+

=

( )[ ] ( ) 24* 41* 338* 2

3112421212S $a =⋅=+=

−+⋅=

( )[ ] ( ) 372*2* 4418* 2

4112921212S $b =⋅=+=

−+⋅=

+. 6ako g*asi aritmetički niz ko) koga je% a:aenje% !a"o su uslovi dvije jednačine sa čeiri nepoznae "orisićemo opći član arimeič"o# niza an'a1>(n*1)d, da

dobijemo sisem od dvije jednačine sa dvije nepoznae.

...2-,23,14,1,11,,+,2,:#lasiniz 3112

2a 3102

42a

2*312a 3+

31302a 312

3d 3

2d 31

1

11

1

111

111

3

=+

==+=−−−−−−−−−−−−−

==+++

=⋅+=+++−−−−−−−

==+==+

d a

d a

d ad a

d ad a

aa

aa


18/32

. 6o*iko č*anova niza 1?, 1, +?, +, ...tre#a sa#rati )a #i se )o#io

z#ir +/7@

Rje>enje% !a"o je niz zadan brojno vidimo da je prvi član 1- i da jerazli"a "onsanna i jedna"a + ;o znači da se radi oarimeič"om nizu "od "o#a je suma prvih n članova

jedna"a( )

2

d 1na2nnS

1−+

= .

Kslov iz "o#a reba odredii nepoznau n je Sn'24+, odnosno( )[ ]

( )

( )

247+. s,madobije seda 239*93n

nizalanoa3 sab/ati0/eba 239*93n

99n3n

3n +: 49+n1+n+

N 33n 49+1+n+n

2*33n 2247++-+n2n

2 247+2

+1n12n

2 '1

2 '1

2

2

2

1

1'2

±−=

+±−=

=−+

==−+

∉−==+

±−=⋅=+

⋅=⋅−+⋅

/. 6o*iko č*anova niza +, +enje% Tpe se radi o arimeič"om nizu "od "o#a je prvi član 32,a razli"a d'*4. Kslov je Sn'-

( ) ( )[ ]

( )

( ) n4*8n

44n-*4n

2 2

41n322n

=−

=+

⋅=−−+⋅

Proizvod će bii jedna" nuli "ad je jedan od /a"ora nula. Prvo rje;enje n'- N ∉ , a dru#o dobijamo iz jednačine

*4n'- ⇒ n'1. $a"le suma prvih 1 članova dao# niza jedna"a je nuli.

. Izračunati sumu prvi3 1? č*anova niza , 5, 1+, +/, ... .

Rje>enje% Prvi član niza je 3, a "a"o je "olični" "onsanan i jedna" 2, radi se o #eomerijs"om nizu, čiju sumu prvih n članova

računamo po /ormuli( )

1q

1qaS

n

1

n −

−= , pa je


19/32

( )

( ) ( ) 3*912331124312312

123S

1

1

1 =⋅=−=−=

−

−=

5. 'ai sumu prvi3 1+ č*anova niza% ,.....11,

1,

41,

21

Rje>enje% Tpe imamo #eomerijs"i niz "od "o#a je prvi član 21 i"olični" a"oe 21 , pa sumu računamo po /ormuli

( ) .q1

q1aS

n

1

n −

−=

( )49*

49+

49*

149*

2

11

211

2

11

2

1S

12

12

12 =−=−=

−

−⋅=

7. 6ako g*asi geometrijski niz ko) koga je% a:a/;1< i a:a5;15+?@

Rje>enje% !a"o su uslovi dvije jednačine sa čeiri nepoznae "orisićemo opći član #eomerijs"o# niza an'a1L9n*1, da

dobijemo sisem od dvije jednačine sa dvije nepoznae. a3>a4'1-a+>a'12-a192>a193'1-

a194>a19+'12-a192(1>9)'1- ( ) smjenaq1q

18a 21 +

=⇒

a194(1>9)'12-

Kvr;avanjem smjene u dru#u jednačinu, dobijamo jednačinu sa jednom nepoznaom 9

( )

( ) 1*2

q1q

q1q182

4

=+

+

1-92'12- ⇒ 92'0 ⇒91'*3, 92'3

a) 9'*3 ⇒ a1'*1- pa niz #lasi: *1-, 3-, *0-, 2-, . . .

b) 9'3 ⇒ a1'+ pa dobijamo niz: +, 1+, 4+, 13+, . . .


20/32

enje% $ai de%imalni broj možemo napisai "ao zbir razloma"a

9921+2

99739921

9973

121

1991

173

121

111

1173

121

q11a

173

121

S 173

121

411

2111

173

121

173

173

173

=+⋅=+=⋅+=

=−

⋅+=−

⋅+=

=⋅+=

⋅⋅⋅++++=

⋅⋅⋅++++=1--21....-,21333


21/32

=. -)re)i )eini!iono po)ručje unk!ije% .2 #32#2-3# (

2 −+=

Rje>enje% !a"o u maemai%i nije de/inisano dijeljenje nulom

nazivni" ra%ionalne /un"%ije mora bii različi od nule.

( )

+∞∪−∪−∞−∈

=−=

±−=±−=

⋅+±−=

=−+

≠−+−+

−=

,21

21,22, ..

21 G,2

4

+3

4

2+3

22103

-232

-232 .. ,232

23

21

2,1

2,1

2

22

# %d

#

#

#

# #

# # %d # #

# (

1?. 'ai je)načine asimptota unk!ije%4 #* # # (

2

2

−

−−=

Rje>enje% sim%tote &,nkcije t/a3imo na k/ajeima inte/ala de&. %od.

4

2 #

* #2

# (−

−−= ' d.%. #2-4' #52' ( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−∈ '22 '22 ' #

( ) 6.. 1 ( 1 #41

#*

#11

#

lim

4 #

* # #

#

lim

2

2

2

=⇒=

−

−−

±∞→

=

∞

∞=

−

−−

±∞→

date &-je

( ) ( )( )( ) ( ) 4

+4+

2 #3 #

2 #lim

2 #2 #

2 #3 #

2 #lim

4 #* # #

2 #lim

2

2

=−−=

−−

−→=

+−

+−

−→==

−−−

−→ −−−

7to znai da #8-2 nije 9.. date &,nkcije

∞=−−=

−−−=

−−

→=

−−−

→ −−

12232

2 #3 #

2 #lim

4 #* # #

2 #lim

2

2


22/32

−∞=+

−=

−+

−=

−

−

→

=−

−−

→ ++

122

322 #3 #

2 #lim

4 #* # #

2 #lim

2

2

7to znai da je #82 9.. date &,nkcije

( ) 1

#

41

#

*

#1 #1

#

lim #4 #

* # #

#

limk

2

32

3

2

⇒==

−

−−

±∞→

=∞

∞=

−

−−

±∞→

= nema :..

11.-)re)i interva*e monotonosti unk!ije% .2 #

# (2

−

=

Rje>enje% K onim inervalima u "ojima je HQ- /un"%ija rase, a amo#dje je HQ5- /un"%ija opada.

de/. pod G*2U-, ( ) ( )+∞∪∞−∈ ,22, #


23/32

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( )

( )

) (

4 # ' # 2 # #4 #) (

4- # # 2 # # #4 #2

) (

4#- # 2 #

1 #2 # #2) (

2- # 2 # #4 #

2 #

) 2 # #2 #) #) (

21

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

22

=

==−−=

=−−−

=

=−

⋅−−=

≠⋅=−−

−−⋅−−⋅=


24/32

Jun"%ija rase za( ) ( )+∞∪∞−∈ '4 ' # , a opada za

( ) ( ).4 '22 ' # ∪∈

1+. -)re)i ekstremne vrije)nosti unk!ije: 2 #2 #2+ (

+−=

Rje>enje% V"sremne vrijednosi /un"%ije su ma"simum i minimum.

Tdreujemo ih iz uslova HM'-, na osnovu pona;anja /un"%ije,a možemo ih odredii i na osnovu zna"a dru#o# izvoda *HW usa%ionarnim ač"ama.

d. p. ( )+∞∞−∈ , #

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

) (

233+ # '

233-+ #

#24 #1 #2) (

2 #+ # #2 #4 #1 #24) (

#221

#24 #12#

#2

#2 #2+ #22) (

2122

2

2

22

22

22

22

2

22

2

=

+==+

−−=

=−−+

+−−−=

+⋅=+

−−

+

−−+−=

# -; 2 4

;

#2-4# < - - <

"#-2$2 < < < <

( )22

2

4M−−=

#

# # ( < - N

D

- <

( /aste o%ad

a

o%ad

a

/ast

e


25/32

+33

2233+ & min (

+332

233+ & ma# (

+−=

+=

−=

−=

#

-;

233+− 2

33++

>

2#2-1#-4 < - <

"2


26/32

Ispitivanje toka i crtanje grafika funkcija

Za)atak 1. spiaj o" i na%raj #ra/i" /un"%ije4 # # #3 (

2

−−= .

a$ De. po).

G*4U-, GU4,( ) ( )+∞∪∞−∈ '44 ' #

#$ 'u*e i znak unk!ije

4 # # #3 (

2

−−= , H'- za G1'- i G2'3:

(-,-), (3,-) ač"e u "ojima #ra/i" siječe osu G i osu H

H- za ( ) ( )4 '3 ' # ∪∞−∈ H5- za ( ) ( )+∞∪∈ '43 ' #!$&arnost

Jun"%ija nije ni parna ni neparna)$Asimptote unk!ije ražimo na "rajevima inervala de/. pod.

∞=−−=

−

−=

−−

−∞→−∞→ 1

#4

#1

1 #3

lim4 # # #3lim

2

#

2

#

−∞=+−=

−

−

=−−

+∞→+∞→ 1

#4

#1

1

#

3

lim4 # # #3lim2

#

2

#, nema horizonalne asimpoe

+∞=−−=

−−−⋅=

−−

−→ 4

441* 43

4 # # #3lim

2

4 #

−∞=+−=

−+−⋅=

−−

+→ 4

441* 43

4 # # #3lim

2

4 #, G'4 je veri"alna asimpoa

G * - 3 4 >

2G 3G*G2 * - > - * * *

G*4 * * * - >

4 # # #3 (

2

−−=

> - * - > $ *


27/32

1

1

1

#41

1 #3

lim

#4 #

# #3limk #

2

2

#−=−=

−

−=

−

−=−∞→±∞→

, "'*1

14 # #lim

4 # #4 # # #3lim #

4 # # #3limn

#

22

#

2

#−=

−−=

−−+−=+

−−=

±∞→±∞→±∞→

H'*G*1 je "osa asimpoa /un"%ijee$ Tok unk!ije i sta!ionarne tačke

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( ) * # '2 # '2 #* #

12 #8 #

1 12 #8 #

4 # 4 #

12 #8 #) (

4 #12 #8 #

4 # # #3 #8 #212 #3

4 #

# #34 # #23) (

21

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

===−−=+−

−=−+−

−⋅=−

−+−=

−−+−=

−+−+−−=

−−−−−=

G * 2 4 >

2G *G2

>G*12 * - > > - * ( G*4)2 > > - > >

( ) 22

4 #12 #8 #) (

−−+−= * - > $ > - *

H opada min rase $ rase maG opada

Hmin'/(2)'*1, (2,*1) HmaG'/()'*0, (.*0)$ 0raik unk!ije

4 # # #3 (

2

−−=


28/32

Za)atak +. Ispitaj tok i na!rtaj graik unk!ije 2

+2

−+−= # # # ( .

a$ De. po). G*2U-, GU2 ( ) ( )+∞∪∞−∈ '22 ' #

#$ 'u*e i znak unk!ije

G2*+G>- za sva"o G8d.p., /un"%ija nema nula, #ra/i" ne siječe osu G

H5- za( )2 ' # ∞−∈ H- za ( )+∞∈ '2 #

!$ &arnost

Jun"%ija nije ni parna ni neparna

)$Asimptote unk!ije ražimo na "rajevima inervala de/. pod.

G * 2 >G2*+G> > >

G*2 * - >

2+

2

−+−= # # # (

* $ >


29/32

−∞=

−

=

−

+−=

−

+−

−∞→−∞→

1

#2

#1

#

7

#

+1

lim

2 #

7 #+ #lim

2

2

#

2

#

∞==−

+−=

−+−

+∞→+∞→

1

#

2

#

1

#

7

#

+1

lim2 #

7 #+ #lim

2

2

#

2

#

, nema horizonalne asimpoe

−∞=−

=−−+−=

−+−

−→ 1227 14

2 #7 #+ #lim

2

2 #

'1227 14

2 #7 #+ #lim

2

2 #∞==

−++−=

−+−

+→ G'2 je veri"alna asimpoa

'1 #2 #7 #+ #limk 2

2

#=

−+−=

±∞→

32 #7 #3lim

2 # #2 #7 #+ #lim #

2 #7 #+ #limn

#

22

# #

2

−=−+−=

−+−+−=−

−+−=

±∞→±∞→±∞→

H'G*3 je "osa asimpoa /un"%ijee$ Tok unk!ije i sta!ionarne tačke

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 3 # '1 # '1 #3 #3 #4 #

2 # 2 #

3 #4 #

) (

2 #

3 #4 #

2 #

7 #+ #1 #+ #4 #2

2 #

7 #+ #2 #+ #2) (

21

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

===−−=+−

−⋅=−

+−

=−

+−=−

−+−+−−=−

+−−−−=

G * 1 2 3 >

2G G2*4G>3 > - * * - >

( G*2)2 > > - > >


30/32

( ) 22

2 #3 #4 #) (

−+−= > - * $ * - >

H rase maG opada $ opada min rase

Hmin'/(3)'1, (3,1) HmaG'/(1)'*3, (1,*3)

$ 0raik unk!ije2

+2

−+−= # # # (

Za)atak . Ispitaj tok i na!rtaj graik unk!ije .1 # # (2

3

−=

a$ De. po). G2*1U-, GUX1 ( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞−∈ '11 '11 ' ##$ 'u*e i znak unk!ije

H'- za G'- (-,-) presje" sa osama

H5- za ( ) ( )1 '1 ' # ∪−∞−∈ H- za ( ) ( )+∞∪−∈ '1 '1 #

!$ &arnost

G * *1 - 1 >

2G G3 * * - > >

G2*1 > - * * - >

.1 # # (2

3

−=

* $ > - * $ >


31/32

/(*G)'*/(G) /un"%ija je neparna)$Asimptote unk!ije ražimo na "rajevima inervala de/. pod.

−∞=

−

=

−

=

− −∞→−∞→

1

#1

#1

1lim

1 #

#lim

3

#

3

#

2

∞==

−

=− +∞→+∞→

1

#

1

#

1

1lim

1 #

#lim

3

#2

3

# , nema horizonalne asimpoe

−∞=+−=

−−−→ 1

1 # #lim2

3

1 #

∞=−−=−+−→ 1

1 # #lim 2

3

1 #, G'*1 je veri"alna asimpoa

−∞=−=−−→ 1

1 # #lim2

3

1 #

∞=+

=−+→

11 #

#lim 23

1 #, G'1 je veri"alna asimpoa

1

#11

1lim

# #

#limk

2

#3

3

#

=

−

=−

=±∞→±∞→

1 # #lim

1 # # # #lim #

1 # #limn

222 #

33

#

3

#=

−=

−+−=−

−=

±∞→±∞→±∞→

H'G je "osa asimpoa /un"%ijee$ Tok unk!ije i sta!ionarne tačke

( )( ) ( ) ( )

( )( )

22

22

22

24

22

424

22

322

1 #

3 # #

1 # #3 #1 # #2 #3 #31 #

#2 #1 # #3) ( −

−=−−=− −−=−

⋅−−=

HM'- za G1'- 3 # '3 # 32 =−= G 3 *1 - 1 3 :

G2 : : > - > : :

G2*3 > - - :

(G2*1)2 : : - : : - : :


32/32

( )( )

22

22

1 #

3 # #) (

−−=

: - * - - :

H maG $ P.I. $ min

HmaG'/(* 3 )' 233− ,

−−

233 '3 Hmin'/( 3 )' 233 ,

233 '3

$ 0raik unk!ije .1 # # (2

3

−=

Documents

Zadaci Za Popravni