Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych

dla studentów Biologii A i B

dr hab. Paweł Koreckie-mail: pawel.korecki@uj.edu.pl

http://www.if.uj.edu.pl/pl/edukacja/pracownia_I/

Po co jest Pracownia Fizyczna?

1. Obserwacja zjawisk i efektów fizycznych. Samodzielne wykonywanie doświadczeo.

F6

C1O2 C4

E3/E11

F6

Po co jest Pracownia Fizyczna?

2. Nauka obsługi prostych i trochę bardziej skomplikowanych urządzeo pomiarowych

Po co jest Pracownia Fizyczna?

3. Nauka podstaw opracowania wyników pomiarów

a) Nauka poprawnego wyznaczania wielkości fizycznych

b) Nauka pomiaru zależności fizycznych i ich opisuc) Nauka poprawnej prezentacji wyników

Niniejszy wykład stanowi wstęp do tego punktu

Pomiar bezpośredni

Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką

Pomiar bezpośredni

Przykład: pomiar długości przedmiotu linijką

doświadczenie, w którym przy pomocy odpowiednich przyrządów mierzymy (tj. porównujemy ze wzorcem) interesującą nas wielkośd fizyczną:

Pomiar pośredni

doświadczenie, w którym wyznaczamy wartośd interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar innej wielkości fizycznej związanej z dana wielkością znanym związkiem funkcyjnym

Przykład 1: Pomiar pola powierzchni Przyklad 2: Pomiar czestotliwosci kołowej

Pomiar wielkości złożonej

doświadczenie, w którym wyznaczamy wartośd interesującej nas wielkości fizycznej przez pomiar wielu innych wielkości fizycznych

Przykład: pomiar średniej prędkości poprzez pomiar drogi i czasu

oraz

Niepewnośd pomiaru *błąd pomiaru+

Wszystkie pomiary mogą byd wykonywane tylko ze skooczoną dokładnością !

Powód: •niedoskonałośd przyrządów pomiarowych•nieprecyzyjnośd naszych zmysłów•Szumy , zakłócenia

Jedyny sensowny zapis wyniku pomiaru

(zmierzona wartośd niepewnośd pomiarowa) jednostka

np.: S= (2.20 0.11) mm

Niepewnośd pomiarowa ma taki sam wymiar *jednostkę+ jak mierzona wielkośd !

Niepewnośd względna i bezwzględna

niepewnośd bezwzględna

niepewnośd względna

niepewnośd procentowa

L=(1001)mm ; L/|L|=0.01 lub 1%

Rodzaje niepewności pomiarowych

PRZYPADKOWE•Spowodowane przez wiele niezależnych przyczyn o porównywalnym znaczeniu •nieprecyzyjnośd naszych zmysłów, szumy , zakłócenia•symetryczny przypadkowy rozrzut wyników pomiaru wokół wartości rzeczywistej

SYSTEMATYCZNE•W przybliżeniu ta sama różnica ( w jedną stronę) pomiędzy wartością rzeczywistą a wynikami pomiarów•Np: skooczona dokładnośd przyrządów

GRUBE•Drastycznie duże odchyłki. Nieumiejętnośd obsługi, pomyłki przy odczycie lub zapisie [ELIMINACJA!]

Błędy grube

t=239s

Niepewności systematyczne

Przesuwają wynik zawsze w jedną stronę w stosunku do prawdziwej wartości

= najmniejsza działka (w tym przypadku 1mm, 1oC)

Taki zapis oznacza, że prawdziwa wartośd „prawie na pewno” * z prawdopodobieostwem bliskim 100%+znajdzie się w tym przedziale*niepewnośd maksymalna+

= specyfikacja urządzenia!

to nie jest ostatnia cyfra znacząca!!!

Należy przeczytad specyfikacjęinstrukcję urządzenia!

Niepewności systematyczne przyrządów cyfrowych

Notujcie typ przyrządów. W Internecie prawie zawsze można znaleźd specyfikację !!!

Niepewności przypadkowepomiarów bezpośrednich

Przykład: pomiar okresu drgao wahadłaDokładny stoper (0.01s)Czas reakcji człowieka jest rzędu 0.2s

Wyniki kolejnych pomiarów okresu

i-ty

pomiarTi [s]

1 2.01

2 2.00

3 1.98

4 1.69

5 2.34

6 1.91

7 2.02

8 2.06

9 2.18

10 2.10

11 2.05

12 1.72

13 2.19

14 2.32

15 1.71

16 1.69

17 1.99

18 2.02

19 1.83

20 1.89 Naszym zadaniem jest podanie wyniku i jego niepewności

wielkością najbardziej zbliżoną do wartości rzeczywistej[estymatorem wartości oczekiwanej] jest średnia arytmetyczna pomiarów.

Wynik pomiaru – średnia arytmetyczna

Ogólnie:

W tym przypadku:

- wartość średnia

- i-ty pomiar

- liczba pomiarów

Wielkością najlepiej opisującą niepewnośd wyniku jest odchylenie standardowe średniej arytmetycznej

Niepewnośd wyniku –niepewnośd średniej arytmetycznej

Ostateczny wynik pomiaru:

Niepewnośd wyniku –małe serie pomiarowe

Dla małych serii pomiarowych (kilka pomiarów - ok. 6) do oszacowania niepewności bierze się maksymalne odchylenie od średniej*nie oblicza się odchyleo standartowych+

wynik maksymalnie odbiegający od średniej

Ostateczny wynik pomiaru:

Niepewności pomiarów pośrednich

x - wielkość mierzona bezpośrednio (znamy także jej niepewność x )

y - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnością y)

tu liczymy

pochodną

Znamy równanie, które łączy obie wielkości

Przykład 1

Pomiar pola powierzchni na

podstawie zmierzonej średnicy

Identyfikujemy nasze zmienne

Obliczamy pochodną

Zatem:

Przykład 2

Pomiar częstości kołowej na

podstawie pomiaru okresu

Identyfikujemy nasze zmienne

Obliczamy pochodną

Zatem:

Niepewnośd wielkości złożonej

x,y - wielkości mierzone bezpośrednio w doświadczeniu (znamy także x i y )

z - wielkość którą chcemy wyznaczyć (wraz z niepewnościa z )

Znamy równanie, które te wielkości [ tutaj zależność od dwóch zmiennych]

Tutaj liczymy tzw. pochodne

cząstkowe. Liczy się je tak samo

jak zwykłe pochodne. Wszystkie

inne zmienne (oprócz tej po której

różniczkujemy) traktujemy jako

stałe.

Przykład 1

Mierzona wielkość jest

sumą/różnicą dwóch innych

wielkości

Uwaga: dla różnicy też „+” !

Przykład 2

Pomiar prędkości na podstawie

pomiaru przebytej drogi i czasu

Identyfikujemy nasze zmienne

Obliczamy pochodne cząstkowe:

Zapis niepewności zaokrąglanie

•Podaje się tylko dwie cyfry znaczące niepewności . Liczymy co najmniej trzy izaokrąglamy zawsze do góry.

•Wynik pomiaru obliczamy o co najmniej jedno miejsce dziesiętne dalej niż miejscedziesiętne, na którym zaokrąglono błąd, a następnie zaokrąglamy wg. normalnychreguł do tego samego miejsca dziesiętnego, do którego zaokrąglono błąd.

notatki

Sprawozdanie

g=(9.81±0.22) m/s2

Zapis niepewności prezentacja

Wyniki pomiarów i obliczeo najlepiej podawad w jednostkach, dla których wartośd liczbowa zawarta jest przedziale od 0,01 do 1000.

Można używad: przedrostków, * m,M, G+ itd. lub notacji potęgowej typu 2x106, 2x10-6

I=0.00003121 A 0.00000012 A

I=(31.21 0.12) A

I=(31.21 0.12) x 10-6 A

Porównywanie zmierzonych wielkości

porównanie z wielkością tablicową

porównanie dwóch zmierzonych wielkości

zgodnośd

zgodnośd

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

Jak robid wykresy ?

dobrzeźle

Jak robid wykresy ?

Regresja liniowa

pomiary

Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową

Regresja pozwala sprawdzid czy zależnośd jest liniowa oraz wyznaczyd parametry a i b

Wyniki (kartka lub komputer)Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności

Współczynnik korelacji*im bliższy 1 tym lepiej+

Regresja liniowa

pomiary

Badanie związku między dwoma wielkościami związanymi zależnością liniową

Regresja pozwala sprawdzid czy zależnośd jest liniowa oraz wyznaczyd parametry a i b

Wyniki (kartka lub komputer)Wartości oczekiwane parametrów a oraz b i ich niepewności

Współczynnik korelacji*im bliższy 1 tym lepiej+

Przykład

Mierzymy wydłużenie

sprężyny l w zależności od

obciążającej ją masy m

x

l

Na tej podstawie

wyznaczymy stałą

sprężystości sprężyny k

Równowaga: siła grawitacji

i sprężystości (prawo Hooke;a)

są równe

Identyfikujemy zmienne

Robimy regresję.

Na podstawie współczynnika a wyznaczamy k.

Sprawdzamy czy b jest bliskie zero.

Literatura

I Pracownia fizyczna , red. A.Magiera, OWI Kraków 2006

H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, PWN Warszawa 1999