แบบเสนอโครงงานคอมพวเตอร

1. ชอโครงงาน จำานวนจรง is real

2. ประเภทโครงงาน คณตศาสตรและเทคโนโลย

3. ชอผจดทำาโครงงาน

1)น.ส.พมพกา อมรววฒนพงศ ม.4/15 เลขท 182)น.ส.ธญทพย วงคจนทรตบม.4/15 เลขท 273)น.ส.ญาณณ ขนตยาภรณ ม.4/15 เลขท 30

4. ครทปรกษาโครงงาน อาจารยสายฝน สองศร

5. ระยะเวลาดำาเนนงาน วนท 7 สงหาคม ถง วนท 21 สงหาคม 2561

6. แนวคด ทมา และความสำาคญ

การเรยนรวชาคณตศาสตรเปนเนอหาวชาทเปนพนฐานทสำาคญในการนำาไปใชในการศกษาในรายวชาอน ๆ เปนเรองทตองใชความจำาและการคำานวณ ผเรยนตองมนฝกฝนศกษาทบทวนบทเรยน และทำาขอสอบสมำาเสมอสอบทเรยนออนไลนจงจำาเปนอยางมาก เพราะปจจบนเรานยมใชอปกรณอเลกทรอนกสเปนอยางมาก นบวาเปนสอทตอบสนองการเรยนรรายบคคลเปนอยางดอกทงเปนสอทเปนมลตมเดย จงทำาใหบทเรยนมความนาสนใจทงยงสามารถใชเวลาใหเกดประโยชนจงคดอยากจะทำาสอนขน

7. วตถประสงค

1) เพอใหอานหนงสอและทำาแบบฝกหดไดทกททกเวลา2) เพอใชโทรศพทและอปกรณอเลกทรอนกสใหเกดประโยชน3)เพอใชเวลาวางใหเกดประโยชน

8. หลกการและทฤษฎ

8.1 โครงสรางของระบบจำานวนจรง จำานวนตรรกยะ และ จำานวนอตรรกยะ

8.2 สมบตของจำานวนจรง

ระบบจำานวนจรงเปนโครงสรางทางคณตศาสตรซงประกอบดวยเซตของจำานวนจรง กบโอเปอเรชนบวกและคณ ซงสมบตพนฐานของจำานวนจรงตองอาศยสมบตการเทากนของจำานวนจรงกอน

8.2.1 สมบตการเทากนของจำานวนจรง

สมบตสะทอนสำาหรบจำานวนจรง a ทกตว a=a สมบตสมมาตรถา a และ b เปนจำานวนจรง ซง a=b แลว b=a สมบตถายทอดถา a , b และ c เปนจำานวนจรง ซง a=b และ b=c แลว

a=c สมบตการบวกดวยจำานวนเดยวกนถา a , b , c เปนจำานวนจรง ซง

a=b แลว c + a=c + b สมบตการคณดวยจำานวนเดยวกนถา a , b , c เปนจำานวนจรง ซง

a=b แลว ca = cb

8.2.2 สมบตพนฐานของจำานวนจรง

สมบตปดสำาหรบการบวก ถา a และ b เปนจำานวนจรง แลว a + b เปน

จำานวนจรงดวย สมบตเปลยนกลมสำาหรบการบวก

ถา a , b , c เปนจำานวนจรง แลว(a + b) + c = a + (b + c)

สมบตการมเอกลกษณสำาหรบการบวก มจำานวนจรง 0 ซง 0+a = a = a+0 สำาหรบ

a ทกตว เรยก 0 วาเปน เอกลกษณสำาหรบการบวก สมบตการมอนเวอรสสำาหรบการบวก

สำาหรบจำานวนจรง a แตละตว จะมจำานวน –a

ซง –a+a=0=a+(-a) เรยก –a วาเปน อนเวอรสสำาหรบการบวกของ a

สมบตการสลบทสำาหรบการบวก ถา a และ b เปนจำานวนจรง แลว a + b = b + a

สมบตปดสำาหรบการคณ ถา a และ b เปนจำานวนจรง แลว ab เปนจำานวนจรง

ดวย สมบตเปลยนกลมสำาหรบการคณ

ถา a , b , c เปนจำานวนจรง แลว (ab)c = a(bc)

สมบตการมเอกลกษณสำาหรบการคณจำานวนจรง 1 ซง (1)a=a=a(1) สำาหรบจำานวนจรง a ทกตวเรยก 1 เปน เอกลกษณสำาหรบการคณ

สมบตการมอนเวอรสสำาหรบการคณสำาหรบจำานวนจรง a แตละตว ทไมเทากบ 0 จะมจำานวนจรง a-1 ซง a-

1(a)=1=(a)a-1 เรยก a-1 วาเปน อนเวอรสสำาหรบการคณของ a

สมบตการสลบทสำาหรบการคณถา a และ b เปนจำานวนจรง แลว ab = ba

สมบตการแจกแจงถา a , b , c เปนจำานวนจรง แลว a(b+c) = ab+ac(b+c)a = ba+ca

8.3 การนำาสมบตของจำานวนจรงไปใชในการแกสมการกำาลงสอง

8.3.1 การแยกตวประกอบของพหนาม

แยกตวประกอบโดยการดงตวรวมให a,b,c เปนจำานวนจรงใดๆ จะไดวา ab+ac=a(b+c) จากสมการนจะเหนวา ทกพจนม a เปนตวรวม ดงนนสามารถดง a ออกมาขางนอกวงเลบไดเชน 5x+15= 5(x+3)

แยกตวประกอบโดยการจบคดงตวรวม

ให a , b , c , d เปนจำานวนจรงใดๆ จะไดวา ax3+bx2+cx+d จากสมการนจะเหนวา มพจนทx เปนตวรวม ดงนนสามารถจบคพจนทคลายกนและดงตวรวมไดเชน x3+3x2-3x-9 = (x3+3x2)-(3x+9)= x2(x+3)-3(x+3) = (x+3)(x^2-3)

แยกตวประกอบออกเปนสองวงเลบให a , b , c เปนจำานวนจรงใดๆ จะไดวา ax2 + bx + c จากสมการนสามารถแยกเปนสองวงเลบไดโดยหาตวทคณกนแลวไดax2 , c ซง ตวทคณกนแลวได c ตองเปนตวท +/- กน แลวได bx ดวย ในรป (ax+*)(x+*)เชน x2+5x+4 = (x+4)(x+1)

แยกตวประกอบโดยการทำาใหเปนกำาลงสองสมบรณและผลตางกำาลงสองกำาหนดให a และ b เปนจำานวนจรงใดๆ จะไดวา

1. a2+2ab+b2 = (a+b)(a+b) = (a+b)2

2. a2-2ab+b2 = (a-b)(a-b) = (a-b)2

3. a2-b2 = (a+b)(a-b)เชน x2-9 = x2-32 = (x-3)(x+3)25x2-4y2 = (52)(x2)-(22)(y2) = 5x2-2y2 = (5x-2y)(5x+2y)

แยกตวประกอบโดยการทำาใหเปนกำาลงสามสมบรณและผลตางกำาลงสามกำาหนดให a และ b เปนจำานวนจรงใดๆ จะไดวา

1. a3+b3 = (a+b)(a2-2ab+b2)2. a3-b3 = (a-b)(a2+2ab+b2)≠(a-b)3

8.3.2 การแกสมการกำาลงสอง

ถา a และ b เปนจำานวนจรง และ ab=0 แลว a=0 หรอ b=0

วธท 1 แยกตวประกอบออกเปนสองวงเลบ (ถาสามารถทำาได)เชน x2-4x=0x(x-4) =0 x = 0 หรอ(x-4) = 0 นนคอ x={0,4}

วธท 2 ใชสตร (กรณแยกตวประกอบยาก)

จากสมการกำาลงสอง ax2 + bx + c= 0 จะไดวา x=−b±√b2−4ac /2a

i. ถา b2−4ac= 0 แลว สมการมคำาตอบเดยว คอ x=-b/2aii. ถา b2−4ac≥ 0 แลว สมการมคำาตอบเปนจำานวนจรงiii. ถา b2−4ac< 0 แลว สมการไมมคำาตอบหรอมคำาตอบเปนจำานวนจนตภาพ

8.4 การแกสมการพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ

การหารสงเคราะหสมมตให p(x) แทนพหนามทมดกรมากกวาหรอเทากบ 1 ถาตองการหาร p(x) ดวย x – c เมอ c ≠ 0 ดวยวธการหารสงเคราะห จะมวธการดงตอไปน1.  เขยนสมประสทธของพจนตาง ๆ ของ p(x) โดยเขยนเรยงลำาดบกำาลงของ x จากมากไปหานอย และพจนใดไมมถอวาสมประสทธของพจนนนเทากบ 02.  เขยน c เปนตวหาร3.  จำานวนแรกในแถวท 1 ใหดงลงมาในแถวท 34.  นำา c คณกบจำานวนแรกของแถวท 3 นำาผลคณทไดมาใสในตำาแหนงทสองของแถวท 25.  บวกจำานวนในแถวท 1 และแถวท 2 ในตำาแหนงทสอง นำาผลบวกใสในตำาแหนงเดยวกนกบแถวท 36.  นำา c มาคณกบจำานวนในตำาแหนงทสองของแถวท 3 นำาผลคณใสในตำาแหนงทสามของแถวท 27.  บวกจำานวนในแถวท 1 และแถวท 2 ในตำาแหนงทสาม   นำาผลบวกใสในตำาแหนงเดยวกนกบแถวท 3 ทำาเชนนเร อยๆ ไป จนหมดทกตำาแหนง แลวจะไดวา@จำานวนแตละจำานวนทไดในแถวท 3 (ยกเวนจำานวนสดทาย) เปนสมประสทธของของผลหาร ซงจะเปนพหนามทมดกรนอยกวาดกรของ p(x) อย 1@จำานวนสดทายของแถวท 3 เปนเศษของการหาร

ทฤษฎบทเศษเหลอเมอ p(x) คอ พหนาม anxn + an-1xn-1+…+a1x +a0 โดยทn เปนจำานวนเตมบวก an,an-1,…,a1,a0 เปนจำานวนจรง ซง an≠ 0

ทฤษฎบทตวประกอบเมอ p(x) คอ พหนาม anxn + an-1xn-1+…+a1x +a0 โดยท n เปนจำานวนเตมบวก an,an-1,…,a1,a0 เปนจำานวนจรง ซง an≠ 0

ทฤษฎบทตวประกอบตรรกะยะเมอ p(x) คอ พหนาม anxn + an-1xn-1+…+a1x +a0 โดยท n เปนจำานวนเตมบวก an,an-1,…,a1,a0 เปนจำานวนจรง ซง an ≠ 0

8.5 ชวง

ถาหารพหนาม p(x) ดวยพหนาม x-c เมอ c เปนจำานวนจรงแลว

พหนาม p(x) จะม x-c เปนตวประกอบดวยกตอเมอ p(c) = 0

ถา x-m/k เปนตวประกอบของพหนาม p(x) โดยท m และ k เปนจำานวนเตม ซง m≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เทากบ 1 แลว m

เมอเอกภพสมพทธเปนจำานวนจรง และ a<b

ชวงเปดหมายถง เซตของจำานวนจรง ทอยระหวาง   และ   และเราสามารถเขยน  ,  ใหอยในรปของสญลกษณแทนชวงเปดไดคอ   และเราสามารถแสดงใหอยในรปของเซตไดดงน

ชวงปดหมายถง เซตของจำานวนจรง ทอยตงแต   ถง   และเราสามารถเขยน  ,  ใหอยในรปของสญลกษณแทนชวงปดไดคอ   ซงเราสามารถแสดงใหอยในรปของเซตไดดงน

ชวงครงเปด เปนการผสมระหวาง ชวงเปดและชวงปด ซงชวงครงเปดน เราสามารถทจะเขยนสญลกษณและลกษณะของเซตจำานวนไดเปนสองกรณคอ1. ชวงครงเปดของ   คอ เซตของจำานวนจรงทมากกวา   แตนอยกวา หรอเทากบ 2. ชวงครงเปดของ   คอ เซตของจำานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ   แตนอยกวา โดยททงสองกรณนสามารถทจะแสดงตวอยางใหอยในรปของเซตไดดงนคอ1. 2. 

ชวงอนนต คอ ชวงทไมสามารถรจดสนสด ซงแทนสญลกษณอนนตดวย   โดยท   นน มทงชวงบวกและชวงลบ เชนเดยวกบจำานวนเตม ซงเราสามารถแบงกรณของชวงอนนตไดถง 5 กรณดวยกนคอ1. ชวงอนนต   หมายถง เซตของจำานวนจรงทมากกวา   

2. ชวงอนนต   หมายถง เซตของจำานวนจรงทมากกวาหรอเทากบ   

3. ชวงอนนต   หมายถง เซตของจำานวนจรงทนอยกวา   

4. ชวงอนนต   หมายถง เซตของจำานวนจรงทนอยกวาหรอเทากบ   5. ชวงอนนต   หมายถง เซตของจำานวนจรง 

8.6 การแกอสมการ

พยายามจดรป (Ax±a)(Bx±b)(Cx±c)…>=0 หนา x เปน+ ทงหมด จบแตละวงเลบใหเทากบ 0 และ plot ลงเสนจำานวน ชองขวามอสดเปน + เสมอ จากนน -,+,-,+ สลบกน โจทยตองการ <,≤ใหตอบชวง -

>,≥ใหตอบชวง +

8.7 คาสมบรณ

8.7.1 คาสมบรณของจำานวนจรง a ใดๆ หมายถง ระยะหางระหวาง 0 กบ จด a บนเสนจำานวน

8.7.2 คาสมบรณเปนบวกเสมอ เพราะเปนระยะหาง

8.7.3 สมบตของคาสมบรณ

1. |x|>=0 เสมอ 5. |xy|=|x||y|2. |x|=|-x| 6. |x|/|y|=|x|/|y|3. |x-y|=|y-x| 7. |x+y|<=|x|+|y|4. |x|^2=|x^2|=x^2 8. |x-y|>=|x|-|y|

หลกการแกสมการคาสมบรณ

หลกการแกอสมการคาสมบรณ

9. วธดำาเนนงาน

ขนตอนการดำาเนนงาน วสดอปกรณ งบประมาณ ผรบผดชอบ

คดหวขอ ศกษาขอมล และวางแผน

คอมพวเตอร ทกคน

พมพแบบเสนอโครงงาน คอมพวเตอร ทกคนตรวจสอบและสงแบบเสนอ

โครงงานอาจารยคอมพวเตอร น.ส.พมพกา

ทำาเวบไซต คอมพวเตอร ทกคนตรวจสอบ ลองใช และปรบปรง คอมพวเตอร ทกคน

สงงานใหอาจารย คอมพวเตอร น.ส.พมพกา

10. ขนตอนการปฏบต

วน/เดอน/ป กจกรรม ผรบผดชอบ

7 สงหาคม 2561

คดหวขอ ศกษาขอมล และวางแผน ทกคน

8-12 สงหาคม

พมพแบบเสนอโครงงาน ทกคน

256113-14 สงหาคม 2561

ตรวจสอบและสงแบบเสนอโครงงานอาจารย น.ส.พมพกา

15-18 สงหาคม 2561

ทำาเวบไซต ทกคน

19-20 สงหาคม 2561

ตรวจสอบ ลองใช และปรบปรง ทกคน

21 สงหาคม 2561

สงงานใหอาจารย น.ส.พมพกา

11. ผลทคาดวาจะไดรบ

1) เกดความสะดวกสบาย2) ใชโทรศพทและอปกรณอเลกทรอนกสไดเกดประโยชน3) ใชเวลาวางใหเกดประโยชนไปกบการเรยนมากขน

12. เอกสารอางอง

1) https://pantip.com/topic/35190525 : รปโครงสรางระบบจำานวนจรง จำานวนตรรกยะและอตรรกยะ2) เอกสารประกอบการเรยนของ SIGMA summation of knowledge; MATHEMATICS 1 3) https://mathpaper.net/index.php/en/2013-01-08-17-11-58: การแยกพหนามดกรสองโดยดงตวรวม 4) http://www.vcharkarn.com/lesson/3: number interval 5) http://www.vcharkarn.com/lesson/1584: การแกสมการและอสมการคาสมบรณ 6)

https://coolaun.com/2011/09/07/remainder/: การหารสงเคราะห

13. ผลการพจารณาโครงงาน

อนมต ควรปรบปรง

ลงชอ ....................................................

ครทปรกษาโครงงาน