VI.4 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór ...krolikow/fizyka1/vi5_zderzenia_przekroj... · Jan Królikowski Fizyka IBC 14 r. akad. 2005/ 2006 Rozkład kątowy i różniczkowy

Jan Królikowski Fizyka IBC 1

r. akad. 2005/ 2006

VI.5 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór Rutherforda i odkrycie jądra atomowego


r. akad. 2005/ 2006

Przekrój czynny


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia

Oddziaływania dwóch (lub więcej) ciał siłami krótkozasiegowymi, w wyniku których te ciała zmieniają swoje czteropędy i/lub pojawiają się inne ciała w stanie końcowym nazywamy zderzeniami.

Krótkozasięgowesiły zderzeniowe


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia cd.

Zderzenia cząstek przyspieszanych w akceleratorach są podstawowymi sposobami zdobywania informacji o materii na małych odległościach w fizyce jądrowej i fizyce cząstek elementarnych


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia cd.

Jeżeli czas zderzenia jest mały, cząstki w nim uczestniczące możemy traktować jako układ odosobniony.Do opisu procesu możemy użyć układu ŚM, w którym spełnione są (relatywistyczne) prawa zachowania pędu, energii i momentu pędu:

1 21

21 2 k

1

1 21

ʹ ; E=E

ʹ

=

=

=

′+ =

+ = + +

+ =

∑

∑

∑

N

ii

N

i pi

N

ii

p p p

E E E E mc

L L L


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia cd. masa niezmiennicza

W wyniku zderzenia zachowany jest wprowadzony wcześniej niezmiennik s (c=1):

Masą niezmienniczą nazywamy:

( ) ( ) ( )2 221 2 1 2 1 2

2 2 2

1ʹ

µ µ

µ

=

= + = + − +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′ ′= = = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑

N

i ii

s p p E E p p

s p E p

( ) ( )221 2 1 22 2

2 2

2 2

1

1

= = + − + =

′ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞′ ′= = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑i i

sM E E p p

c c

sE p

c c


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia cd. Ciepło reakcji Q

Innym użytecznym niezmiennikiem jest ciepło reakcji Q.Zasada zachowania energii przed i po zderzeniu , gdy cząstki wyszły już z obszaru krótkozasięgowych oddziaływań:

( )

1 21 2

1 2

1 2

′=

′ ′+ + + = +

′ − + = =

=

′=

+ − =

−

′

∑ ∑

∑

∑

ik k ki

ki k k k

i

kQ

E E

E E

E E m m E m

E E E

m m m inv


r. akad. 2005/ 2006

Zderzenia cd. Klasyfikacja zderzeń

Zderzenia klasyfikujemy ze względu na ciepło reakcji Q na:

• Elastyczne Q=0, zachowuje się osobno Ek i Ep

• Nieelastyczne I rodzaju (endoenergetyczne) Q<0, energia kinetyczna produktów jest mniejsza od energii kinetycznej cząstek początkowych, zwiększa się zaś energia potencjalna (w tym energia spoczynkowa). Zderzenia te mogą zachodzić tylko powyżej pewnej energii‐ energii progowej (masy cząstek są skwantowane).

•Nieeleastyczne II rodzaju (egzoenergetyczne) Q>0, energia kinetyczna produktów jest większa od energii kinetycznej cząstek początkowych kosztem ich energii potencjalnej (w tym energii spoczynkowej).Mogą zachodzić dla wszystkich energii.


r. akad. 2005/ 2006

Jak często zachodzą zderzenia?Pojęcie przekroju czynnego

Idea: rozpraszamy małe pociski na dużych centrach.Czy możemy wyznaczyć rozmiary (promienie) centrów?


r. akad. 2005/ 2006

cd. Całkowity Przekrój Czynny

Musimy uwzględnić strumieńpadających pocisków Φ0 i liczbę centrów rozpraszających na jedn.powierzchni.

2σ = πR


r. akad. 2005/ 2006

cd...

Rozważmy warstwę tarczy o grubości dx i powierzchni A. W objętości tarczy dV=Adx znajduje się ndV=nAdx centrów rozpraszających. Niech gęstość centrów wynosi n.Niech strumień cząstek padających na warstwę dx wynosi cząstek na jednostkę powierzchni na jednostkę czasu.Liczba rozproszonych cząstek, jeżeli centra mają powierzchniewynosi:

λ‐ średnia droga swobodna

Φ

σ

( ) 0 0

d;

1; −− σ⋅ λ

Φ ⋅ ⋅ σ ΦΦ = − = − σ ⋅

Φ

Φ = Φ λ =σ

xn x

n Adxdx

A

x e en

Φ =

d n


r. akad. 2005/ 2006

Przekrój czynny- wymiary i jednostki

2

‐28 2 24 2 2

[ ] ; 1 barn=10 m 10 cm 100−

σ =

= =

m

fm

R

1 5.64σ = ⇔ =barn R fm


r. akad. 2005/ 2006

Pomiar przekroju czynnego przez pomiar strumienia przechodzącego dla cienkich tarcz

Zachodzi oczywisty wzórdla cienkich tarcz:

( )0

0

Φ −Φσ =

Φx

nx

0Φ ( )Φ x


r. akad. 2005/ 2006

Rozkład kątowy i różniczkowy przekrój czynny

Całkowity przekrój czynny opisuje prawdopodobieństwo zderzenia pocisku z centrum.Można zadać bardziej szczegółowe pytania np. :•Jakie jest prawdopodobieństwo rozproszenia pocisku pod określonym kątem?•Jakie jest prawdopodobieństwo określonej straty energii pocisku w zderzeniu nieelastycznym? Itp.Wielkościami, które wykorzystujemy w odpowiedziach na te i podobne pytania są różniczkowe przekroje czynne.

( )d;

d E‐Eʹσ σΩ

dd


r. akad. 2005/ 2006

Różniczkowy przekrój czynny cd.

Zwykle mamy symetrię osiową: ( ) ( ) ( ), ; d =2 d cos σ φ θ = σ θ Ω π θ


r. akad. 2005/ 2006


Całkowity przekrój czynny otrzymujemy całkując różniczkowy przekrój czynny po całym kącie bryłowym:

4

2 coscosπ

σ σσ = = π θ

Ω θ∫ ∫d d

dd d


r. akad. 2005/ 2006


Przykład: rozpraszanie małej kulki (punktu materialnego) na sprężystej kuli o promieniu R

Wszystkie cząstki padające przechodzące przez pierścień o parametrach zderzenia pomiędzy b a b+db rozpraszają się do kąta <θ, θ+d θ>. Związek między Kątem a parametrem zderzenia:

sin sin cos2 2

π−θ θ⎛ ⎞= α = =⎜ ⎟⎝ ⎠

b R R R

bdb

dθ


r. akad. 2005/ 2006

cd... Rozpraszanie na kuli

Niech strumień padających punktów materialnych wynosi N.Wtedy:

Całkowity przekrój czynny jest, zgodnie z intuicją, przekrojem poprzecznym kuli

2 2 2

22

2

2 2 cos sin2 2 2

dsin ; 2 4 d 4d 2 cos 2d 2

= π

θ θ⎛ ⎞σ = = π = π θ =⎜ ⎟⎝ ⎠

π σ= θ θ = Ω = =

Ωσ π

σ = π θ = = πΩ∫

dN bNdb

dN Rd b db R d

NR R R

d d const

Rd R

Rozkład kątowy jest izotropowy


r. akad. 2005/ 2006

Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r2

Doświadczenie Rutherforda, Geigera i Marsdena 1911, rozpraszanie czastek alfa na cienkiej folii złotej.Oddziaływania kulombowskie, odpychająca siła centralna +k/r2

Odkrycie jądra atomowego


r. akad. 2005/ 2006

Rozpraszanie w polu siły centralnej +k/r2

Podobnie jak dla kuli, znajdziemy związek między db i dcosθ.Z całki momentu pędu:

2

22; r

∞

∞

∞

= µ α = µ

α= =

α

L r bv

r bvb

v


r. akad. 2005/ 2006

cd...

Związek kąta rozproszenia z parametrem zderzenia znajdujemy całkując pionową składową siły Fy w granicach od 0 do v∞ sinα:

( )

[ ] ( )

2

sin

0

2

0

sin sin

sin

sin cos 1 cos0

1 cossin 2

∞

∞

θ π−θ

∞

∞

∞∞ ∞

α α αµ = = =

θ = π − α ∞

= α αµ

π − θθ =

µ + θ

− α = + θµ

θ= =

µ

θ

∫ ∫

yy

v

y

dv k kF

dt r v b

kdv d

v b

k kv

vb c

b b

tgk

v v


r. akad. 2005/ 2006

F=k/r2 cd...

Niech gęstość jąder atomowych w folii wynosi n. W tarczy o grubości x znajduje się nx jąder na jednostkę powierzchni.Strumień cząstek padających na folię: N. Mamy:

2 2

2 2 2

2

2 4

2

2

2

2 4 4

2 1 1;1 2 sin 2

1 122 2 sin 2

2 cos4sin 2

; 4sin

14sin 22 ∞

∞

∞ ∞

∞

∞

⋅ π= = θ

µ θθ

= ⋅ π ⋅ θ =µ µ θ

⎛ ⎞ π= θ⎜ ⎟µ θ⎝ ⎠

⎛ ⎞= ⎜ ⎟Ω µ θ⎝

⎛ ⎞σ= ⎜⎝⎠

⎟Ω µ θ⎠

nx b dbdN kdb d

N v

k kdN Nnx ctg d

v v

kNnx d

v

dN k Nnv

kxd

dd v


r. akad. 2005/ 2006

Ile wynosi stała?

20 , ,

15

2

2

2 794 2 2

~ 227.620.3 10

11.2

~ 4.13

α

α α

−

⎛ ⎞ ⋅ ⋅α= = =⎜ ⎟µ πε⎝ ⎠

⋅≈ = ⋅

⎛ ⎞= ⋅ =⎜ ⎟µ⎝ ⎠

Au

k k

q qk cv E E

MeV fmm

MeV

kb

v

Dostajemy rząd wielkości rozmiarów jądra atomowego ~ 1fm.


r. akad. 2005/ 2006

Model atomu Thomsona i jądrowy model atomu Rutherforda

Na pocz. XX w. uważano, że atomyzbudowane są z dodatnio naładowanejcieczy, w której jak rodzynki tkwią elektrony (model atomu Thomsona).Rozmiary atomu oceniano na 10‐10 m.Prawdopodobieństwo zaobserwowaniarozproszenia do tyłu cząstki alfa w tym modelu jest 1016 za małe, żeby wytłumaczyć wyniki GMR, dlategow 1911 Rutherford postulował istnieniejądra atomowego o rozmiarach 10‐15 m.Policzymy pole elektryczne w obu modelach:


r. akad. 2005/ 2006

cd.

W modelu Thomsonamaksymalne pole:

Pole elektryczne na pow. jądra jest 2.108razy silniejsze niż pole na pow. atomu Thomsona!

( )( )

( )( )

199 2 13

22 100

21021

215

1 79 1.6 109 10 / 1.1 10 /4 1 10

1 102.3 10 /

1 10

−

−

−

−

⋅ ⋅= = ⋅ = ⋅

πε ⋅

⋅= = ⋅

⋅

AuTh

Ru th

Z e CE Nm C N C

r m

mE E N c

m

R/10-10m

Eth/1013

1.1

1

Documents

VI.4 Zderzenia i rozpraszanie. Przekrój czynny. Wzór ...krolikow/fizyka1/vi5_zderzenia_przekroj... · Jan Królikowski Fizyka IBC 14 r. akad. 2005/ 2006 Rozkład kątowy i różniczkowy