Upload
keridz
View
1.651
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
Miloš Marinković
Matematika 2011/12 HiT Vrnjačka Banja
N = {1,2,3, . . .}
m, n, k N (m,n i k su elementi skupa prirodnih brojeva) m + n e N
m · n e N
(m+n)+k = m+(n+k) (asocijativnost sabiranja)
m+n = n+m (komutativnost sabiranja)
(m·n)·k = m·(n·k) (asocijativnost množenja)
m·n = n·m (komutativnost množenja)
n·1 = 1·n = n (postoji neutralni element za množenje)
k·(m+n) = k·m+k·n (distributivnost množenja u odnosu na sabiranje)
N0 = {0,1,2,3, . . .}
k + 0 = 0 + k = k (postoji neutralni element za sabiranje)
N0
N
Z
Z = {0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, . . .}
k Z (k je element skupa celih brojeva)
k + (-k) = 0 ( -k je inverzni element za sabiranje u odnosu na element k)
k i (-k) su suprotni brojevi
N0
N N = {n| n Z n>0}
skup celih brojeva većih od 0
N0 = {n| n Z n 0}
skup celih brojeva većih od 0 ili jednakih 0
a,b,c Z
oduzimanje se svodi na sabiranje◦ a – b = a + (-b)
◦ a – b – c = a + (-b) + (-c)
prioritet operacijaviši prioritet • množenje ( * )
• deljenje ( : )niži prioritet • sabiranje (+)
• oduzimanje (-)
• a · b + c = (a · b) + c• a – b · c = a – (b · c)• a + b : c = a + (b : c)• a : b – c = (a : b) - c
• a · b : c =• a : b : c = • a : b · c = ? • nepravilan zapis
• neophodne zagrade
• a – (b + c) = a – b – c• minus (-) ispred zagrade menja
znak svih brojeva unutar zagrada
1. Izračunati vrednost izraza:a) 1233 – 999 +767 – 601=
b) 1400 + 863 – 1368 – 495=
c) 124 + (336 – (270 – 58)) – (211 + 36) =
d) 16 · 240 + 16 · 173 – 16 · 113 =
e) 150 + 17 · 3 – 105 =
f) 232 · 11 + 60 - 81 : 3 + 3 · 5 =
g) (-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2))) + (-7) · (-3) =
h) 4 · (7 − 6) − 315 − 3[7 · (3 − 1) − 2 · (2 + 3)] − (−1) + 2 =
2. U izrazu 7 · 6 + 12 : 3 – 1 postaviti zagrade tako davrednost izraza bude:
a) 17
b) 69
c) 45
d) 35
1233 – 999 + 767 – 601
= 234 + 767 – 601
= 1001 – 601
= 400
1233 – 999 + 767 – 601
= 234 + 166
= 400ILI
1.a)
(-3) · (-2) – ( -12 + (5 · (-2) + 2 · (-7 – 2 · (-3)) – 3 · (-2)))+ (-7) · (-3)= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 – (-6)) - (-6))) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-7 + 6 ) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 + 2 · (-1) + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -10 -2 + 6 )) + 21= 6 - ( -12 + ( -6 )) + 21= 6 - ( -18) + 21= 6 +18 + 21= 45
1.g)
7 · (6 + 12 : 3) – 1 = 7 · (6 + 4) – 1 = 7 · 10 -1= 70 – 1=692.b)
Broj je deljiv sa 2 ako se završava sa 0,2,4,6,8
Broj je deljiv sa 3 ako mu je zbir cifara deljiv sa 3
Broj je deljiv sa 5 ako mu je poslednja cifra 0 ili 5
Broj je deljiv sa 4 ako je njegov dvocifreni završetak deljiv sa 4
Broj je deljiv sa 6 ako je deljiv sa 2 i sa 3
Broj je deljiv sa 8 ako mu je trocifreni završetak deljiv sa 8
Broj je deljiv sa 9 ako mu je zbir cifara deljiv sa 9
Broj je deljiv sa 10 ako se završava sa 0, sa 100 ako se završava sa 00 , itd.
Prosti brojevi su deljivi samo sa jedinicom i sa samim sobom◦ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…
Složeni brojevi su deljivi sa još nekim brojem osim sa jedinicom i sa samimsobom◦ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14…
Jedinica po dogovoru nije ni prost ni složen broj.
Najmanji zajednički sadržalac (NZS) je najmanji broj koji je deljiv sa datimbrojevima.
Najveći zajednički delilac (NZD) je najveći broj sa kojim možemo podelitidate brojeve.
NZS(3,4) = 12
3,4 23,2 23,1 31,1
NZD(8,24,6) = 2
8,24,6 24,12,3
primer
primer
- -
Q
Q = { | p Z, q N }
◦ celi brojevi : k Z => Q
◦ razlomci : { | p Z, q N, NZD(p,q)=1}, decimalni brojevi
◦ mešoviti brojevi: { | k Z ,p Z, q N, NZD(p,q)=1, = }
Z
N0
N
p
q
p
q
1
k
pk
q
pk
q
k · q + p
q
1 3 10 2 3, , , , 2 ,
2 7 17 25 4
73
81,2, 2,
k · = 1 ( je inverzni element za
množenje u odnosu na element k)
1
k
1
k
sabiranje
+ = p
q
m
n
NZS (q, n) NZS (q, n) · p + · m
q n
NZS (q, n)
oduzimanje
- = p
q
m
n
NZS (q, n) NZS (q, n) · p - · m
q n
NZS (q, n)
2 3 17+ =
3 4 12
primer
2 3 1 - = -
3 4 12
primer
množenje
· = p
q
m
n
p · m
q · n
deljenje
: = · =
2 3 6 · =
3 4 12
primer
2 3 8 : =
3 4 9
primer
p
q
m
n
p · n
q · m
p
q
n
m
1. Izračunati vrednost izraza:
1 5 5 2 120 1 6 3 :5
3 7 12 3 2
2 3 1
5 43 2
1 4 5
2 1 11 : 7 0,23
9 3 6
12 1,2
8
a)
d) c)
b)
1 23 1 4,2 2,25 4
2 3
3 1 3 2 74 2 5 :3
4 2 4 3 9
(:13
(:13
2 3 7 3 28 15 13 1
13 15 4 5 4 20 203 2 1 6 20 6 26 26 2
1 4 5 1 20 20 20
1.b)
skraćivanje razlomaka
ako je NZD(a,b)=c tada važi (:c
(:c
a
a a cbb b
c
oni koji nisu racionalni◦ algebarski rešenja (koreni) jednačina sa racionalnim koeficijentima:
-
◦ transcedentni
p = O/(2 r), e, …
Q I = ø
Q
Z
N0
N
I
33
2, 10, ,9
3
R = Q I
|
Q
Z
N0
N
I
R
C – skupkompleksnih
brojeva
-1 0 1 21
2
R
apsolutna vrednost broja x
|x|
n-ti stepen broja x
x = x·x·… ·x x = x·x
n-ti koren broja x
x , ako je x ≥ 0
-x , ako je x < 0
n
n puta
2
x = y <=> y = xn n
16 = 4 jer je 4 =162
primeri
primeri
primeri
|5| = 5
|-5| = 5
3 = 9
3 = 243
2
5
144 = 12
5 243= 3
( 3 + 4) = 9 + 24 + 16 = 492
razlika kavadrata:
x - y = (x – y) (x + y)
kvadrat binoma:
(x + y) = x + 2xy + y
2 2
22 2
primeri
( a - b) = a - 2ab + b2 2 2
primeri
49 – 25 = (7 – 5) (7 + 5) = 2 · 12= 24
= 5 – 3 = 2 ( 5 - 3)( 5+ 3)
1. Uprostiti izraze:
2 2
a b a + b+ - =
ab - b a - ab ab 2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 a - 4 a - 2
2 2
2
a - a a + 2a + 1 · =
a - 1 a + a
2 2 2
2 2 2
a + b - c + 2ab=
a + c - b + 2ac
a)
d)
b)
c)
2
2 2
2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 a - 4 a - 2
a + 1 6a 2a - 1+ - =
a + 2 (a + 2)(a - 2) a - 2
(a + 1)(a - 2) + 6a - (2a - 1)(a + 2)=
(a + 2)(a - 2)
a - 2a + a - 2 + 6a - (2a + 4a - a - 2)=
(a + 2)(a - 2)
a - 2a + a - 2 + 2
2
6a - 2a - 4a + a + 2=
(a + 2)(a - 2)
- a + 2a - a(a - 2) - a = =
(a + 2)(a - 2) (a + 2)(a - 2) a + 2
1.b)
ax + b = c (opšti oblik)
x = (rešenje) c - b
a
primer:5x + 3 = 23
5x = 23 – 3
x =
x =
x = 4
20
5
23 - 3
5primer: 5x - 3 = 22
5x = 22 + 3 x =
x = x = 522 + 3
5
25
5
duga menja pol osobe, = menja znak broja
1. Rešiti jednačine:a) 9 – 2x = 5x + 2
b) 3(2 – 3x) + 4(6x - 11) = 10 – x
f) |5x - 1| + x = 2
g) |x – 4| - |2x + 3| = 2
h) |x + 2| - |x – 2| = 4
y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = -
7 2 14c)
2 2(x + 3) – (x – 4) = 2x – 13d)
2 - x 1 - x 2x = 1 + -
2 3 3e)
2 1 =
x - 2 x + 3
x + 5 1 2x - 3 = +
3x - 6 2 2x - 4
2
2x - 1 8 2x + 1 + = 2x + 1 4x - 1 2x - 1
2. Rešiti jednačine:
a)
c)
b)
3. Otac ima 43 godine a sin 18, kroz koliko godinaće otac biti dva puta stariji od sina?
4. Turistički aranžman se plaća u tri rate. Prva rata
iznosi cene aranžmana, druga ostatka, a
treća 40 eura. Kolika je cena aranžmana?
1
4
2
3
9 – 2x = 5x + 2
– 2x – 5x = 2 – 9
– 7 x = – 7
x = – 1
y - 5 2y - 3 6y + 5 + 2 = - /·14
7 2 14
2(y - 5) + 28 = 7(2y - 3) - (6y + 5)
2y - 10 + 28 = 14y - 21 - 6y - 5
2y - 14y + 6y = - 21- 5 + 10 - 28
- 6y = - 44 /·(- 1)
6y = 44
44y =
6
22y =
3
1.a) 1.c)
2 1 =
x - 2 x + 3
2(x + 3) = x - 2
x = - 8
uslovi:x 2, x -3
ispunjava uslove
2.a)
3
23
2
uslovi I i III:(x-4)-(2x+3)=2-x = 9x=-9, ne ispunjava
uslove I i III
|x-4|
|2x+3|
x – 4; x-4≥0, x ≥4
-(x – 4); x-4<0, x <4
2x + 3; 2x+3≥0, x ≥-
-(2x + 3); 2x+3<0, x <-
I
II
III
IV
|x – 4| - |2x + 3| = 2
uslovi I i IV:nema rešenjakoje bi ispunilo ove uslove
uslovi II i III:-(x-4)-(2x+3)=2-3x = 1
x=- , ispunjava uslove II i III
1
3
uslovi II i IV:-(x-4)+(2x+3)=2
x=- 5 , ispunjava uslove II i IV
1.f)
ax + b > c
◦ a > 0 => x >
◦ a < 0 => x <
ax + b < c
◦ a > 0 => x >
◦ a < 0 => x >
c - b
a
b - c
a
c - b
a
b - c
a
primer: 5x - 3 > 22
5x > 22 + 3 x >
x > x > 5
x ,
22 + 3
5
25
5
primer: -5x - 3 22
-5x 22 + 3 x -
-5x 25 /*(-1)
5x -25 x - 5
x -,
25
5
1. Rešiti nejednačine:a) 3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8
b) (x – 2) + 3x < 2(x + 3) + 6
c) (x – 2) + 3x < 5(x + 3) + 6
d) 2x - 9 ≤ 8x – 4(3,75 – 3x)
e) ≥ - 1
f) (x – 1) (x – 4) > 0
g) (x + 3) (x - 5) ≤ 0
h) ≤ -2
2y + 1 3y - 2 -
3 2
6 - x
3 - x
3(x – 2) + 9x < 2(x + 3) + 8
3x – 6 + 9x < 2x + 6 + 8
3x + 9x – 2x < 6 + 8 + 6
10x < 20
x < 2
x (-,2)
1.a)
(x – 1) (x – 4) > 0
I slučaj:
x – 1 > 0 x – 4 > 0x > 1 x > 4
x (4,+)
II slučaj:
x – 1 < 0 x – 4 < 0x < 1 x < 4
x (-,1)
2
1 4
41
Rešenje je: x (-,1) U (4,+)
1.f)
A B
f : A -> B ili y = f(x)
x1x2...
y1y2...
f
y = xk = 1n = 0
y = kx + n
n :presek sa y-osom
presek sa x-osom: y=0kx + n = 0
x= - (nula funkcije)n
k
y = 2x + 4
x 0 -2 2
y 0 -2 2
domen kodomen
y = -3k = 0n = -3
x = 2k = 0n = 2
k : koeficijent pravca
ako je grafici funkcija su paralelni ako je grafici funkcija su normalni
1 1 1 2 2 2y = k + n , y = k + n
1 2k = k
1 2k k = -1
y = -2x + 4k = -2 < 0n= 4
y = 2x + 4k = 2 > 0n= 4
monotonost funkcije
k<0 k>0
funkcija jeopadajuća
funkcija je rastuća
znak funkcije
y<0 y>0
funkcija jenegativna,ispod x-ose
funkcija je pozitivna,iznad x-ose
y > 0 zax(-,2)
y > 0 zax(-2,+)
y < 0 zax(2,+)
y < 0 zax(-,-2)
1. Ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije:
2. Dat je skup funkcija y = 4mx – (3m - 2)a) Odrediti m tako da nula funkcije bude x=2
b) Za dobijeno m ispitati osobine i nacrtati grafik funkcije
1y = x - 1
2y = 2x - 6 y = - x + 1
y = - 3x + 2 2y = 3x + 2 2x = 3y + 2
a)
d)
b) c)
f)e)
1) domen (oblast definisanosti): x R2) nule funkcije:
3) znak funkcije:
4) monotonost:k = -1 => f-ja je opadajuća
y = 0-x+1=0-x = -1x = 1
y > 0-x+1>0-x > -1/(-1)x < 1
za x(-,1)f-ja je pozitivna
y < 0-x+1<0-x < -1/(-1)x > 1
za x(1,+)f-ja je negativna
1. c)
Racionalni i iracionalni brojevi
Aritmetičke operacije sa racionalnimbrojevima
Linearne jednačine