Vektorske funkcije i polja - vježbe - personal.unizd.hrpersonal.unizd.hr/~makosor/mat3/vektorska analiza (print).pdf · Diferencijal skalarne funkcije Diferencijal vektorske funkcije

1 / 23

Vektorske funkcije i polja - vježbe

Mate Kosor

10.12.2009.

Uvodne napomene

Uvodne napomene

Plan današnjeg rada

Vektorske funkcije

Polja

2 / 23

Tokom vježbi pokušajte rješavati zadatke koji su vam zadani. Ova prezentacija biti cedostupna na webu. Isti format vježbi ocekujte do kraja semestra.Plan:

� 10.12. -> analiza vektorskih funkcija i polja

� 17.12. -> krivuljni integral

� 7.1. -> plošni integral

� 14.1. ->

� ! treci kolokvij ! (može biti izostavljen)

� uvod u laplace tranformaciju

� 21.1. -> Rješavanje ODJ pomocu laplace transormacije

� 28.1. -> cetvrti kolokvij


3 / 23

� Danas vrlo brzi ritam!

� knjiga prof. Uglešica: str. 287–309

� možete pogledati web sadržaje na http://lavica.fesb.hr/mat3/

� podsjetnik i priprema za ono što slijedi. . .

Sadržaj:Vektorske funkcije

Polja

Vektorske funkcije

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost

Diferencijal skalarne funkcije

Diferencijal vektorske funkcije

Diferencijal (zadatak)

Integral

Polja

4 / 23

Vektorska funkcija

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

5 / 23

Vektorska funkcija je opcenito

f : X ⊆ Rm → R

n .

Primjer.

g : R2 → R4

g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(

[

x

y

]

) =

x

y

ex

sin(x+ y)

Skalarna funkcija

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

6 / 23

Izraz skalarna funkcija odnosi se na

f : X ⊆ Rm → R ,

tako da se vrlo cesto iz pojma vektorska funkcija izuzimaju skalarne funkcije, daklevektorska funkcija u užem smislu podrazumijeva n > 2.Vektorske funkcije možemo razumijeti kao ”vektor skalarnih funkcija”.Primjer

g : R2 → R4,

g(x, y) = (x, y, ex, sin(x+ y)) ⇐⇒ g(x, y) =

g1(x, y)g2(x, y)g3(x, y)g4(x, y)

,

g1 : R2 → R, g2 : R2 → R, g3 : R2 → R, g4 : R2 → R,

g1(x, y) = x, g2(x, y) = y, g3(x, y) = ex, g4(x, y) = sin(x+ y)

Neprekidnost

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

7 / 23

Neke pojmove dovoljno je definirati na skalarnim funkcijama:–> isti pojam na vektorsku funkciju prenosi se po elementima (koordinatama).Primjer: Neprekidnost.

f(x, y) =

sin (x+ y)x

y5

Dovoljno je ispitati neprekidnost za svaku skalarnu funkciju posebno:

1. f1(x, y) = sin (x+ y). . . "neprekidna

2. f2(x, y) =x

y. . . $

3. f3(x, y) = 5 . . . nije potrebno ispitivati

=⇒ f nije neprekidna jer nisu neprekidne sve njene komponente.


Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

8 / 23

Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po koordinatama.Za skalarnu funkciju f : X ⊆ R

m → R diferencijal je funkcija

df =

[

∂f

∂x1. . .

∂f

∂xm

]

.

Primjer. Izracunati diferencijal skalarne funkcije f(x, y) =y

x. . .

df = d(y

x

)

=

[

∂f

∂x

∂f

∂y

]

=

∂(y

x

)

∂x

∂f(y

x

)

∂y

=

[

− y

x2

1

x

]

Napomena: cesto se diferencijal oznacava sa velikim slovom

Df ≡ df .


Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

9 / 23

Za vektorsku funkciju f : X ⊆ Rm → R

n takvu da je f =

f1...fn

diferencijal je

funkcija u obliku matrice

df =

df1...

dfn

=

∂f1

∂x1· · · ∂f1

∂xm...

......

∂fn

∂x1· · · ∂fn

∂xm

.

Primjer. Izracunati diferencijal od f(x, y) =

sin (2x+ y)exy

5

. . .

df =

d (sin (2x+ y))d (exy)d (5)

=

2 cos (2x+ y) cos (2x+ y)yexy xexy

0 0


Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

10 / 23

Zadatak. Izracunati diferencijal od f(x, y) =

[

cos (xy)x

y

]

. . .

Integral

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Vektorska funkcija

Skalarna funkcija

Neprekidnost




Integral

Polja

11 / 23

Definirati za skalarnu f , zatim na vektorsku f po komponenatama.

1. Skalarna funkcija:∫

f =. . ." jednostruki ili višestruki integral

2. Za vektorsku funkciju f =

f1...fn

integral se može definirati po

komponentama

∫

f =

∫

f1...

∫

fn

.

Primjer. f(x, y) =

[

cos (xy)x

y

]

⇒∫

fdx =

[∫

cos (xy) dx∫ x

ydx

]

=

sin(xy)y

x2

2y

Polja

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent

Usmjerena derivacija

Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje

Vrtložno, bezvrtložno isolenoidalno polje

12 / 23

Pojmovi

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


13 / 23

Polja su poseban slucaj skalarnih i vektorskih funkcija.Skalarno polje: f : X ⊆ R

3 → R (n=3,m=1)Vektorsko polje: f : X ⊆ R

3 → R3 (n=3,m=3)

Podrazumijevamo euklidski prostor u kojem je definiran pravokutni koordinatni sustavsa koordinatnim vektorima i, j i k. Koordinate su uobicajeno x, y i z.Cesto pišemo

f(x, y, z) = fx(x, y, z)i+ fy(x, y, z)j+ fz(x, y, z)k

=

fx(x, y, z)fy(x, y, z)fz(x, y, z)

Motivacija

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


14 / 23

Svijet u kojem sudjelujemo ima tri prostorne dimenzije, polja su funkcije kojima jedomena naš svijet.Primjer 1. -> skalarna polja

� temperatura u prostoru

� tlak zraka, mora . . .

Primjer 2. -> vektorska polja

� brzina vjetra, morske struje,

� fluid koji pod pritiskom struji u nekom crijevu

Uz prostorne dimenzije pridadaje se još vrijeme. . . o tome cemo šutjeti

Gradijent

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


15 / 23

Za skalarno polje f : X ⊆ R3 → R definiramo gradijent :

gradf =

∂f

∂x∂f

∂y∂f

∂z

Napomena: usporedi sa df =

[

∂f

∂x1. . .

∂f

∂xm

]

Primjer: gradijent za polje f =zy

x:

gradf =

−zy

x2z

xy

x


Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


16 / 23

Usmjerena derivacija zove se još derivacija u smjeru vektora. Za zadani vektor a, cija

je duljina |a| sa a0 oznacimo jedinicni vektor a0 =a

|a| . Usmjerena derivacija polja

f : X ⊆ R3 → R u smjeru vektora a racuna se po formuli (gdje je · skalarno

množenje)∂f

∂a= a0 · gradf

Primjer. Derivacija u smjeru vektora l = (4, 4, 2) polja f (x, y, z) =zy

x. . .

|l| =√42 + 42 + 22 = 6 . . . l0 =

(

23 ,

23 ,

13

)

. . .gradf =

∂f

∂a=

2

32

31

3

·

−zy

x2z

xy

x

=2

3

(

−zy

x2

)

+2

3

z

x+

1

3

y

x=

−2yz + 2xz + xy

3x2

Divergencija

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


17 / 23

Divergenciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

definiramo

div g =∂gx

∂x+

∂gy

∂y+

∂gy

∂z

Primjer. Izracunaj divergenciju za g =

1xyz

x2y2z2

:

div g =∂ (1)

∂x+

∂ (xyz)

∂y+

∂(

x2y2z2)

∂z

= 0 + xy + 2x2y2z

Rotacija

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


18 / 23

Rotaciju vektorskog polja g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

definiramo

rot g =

∂gz

∂y− ∂gy

∂z∂gx

∂z− ∂gz

∂x∂gy

∂x− ∂gx

∂y

=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

gx gy gz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k

Rotacija (primjer)

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


19 / 23

rot g =

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k

Primjer. Izracunaj rotaciju polja g = yz i+ xz j+ 1k. . .

rot g =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

i j k∂∂x

∂∂y

∂∂z

yz xz 1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=

∂1

∂y− ∂xz

∂z∂yz

∂z− ∂1

∂x∂xz

∂x− ∂yz

∂y

=

0− x

y − 0z − z

= −x i+ y j

Hamiltonijan

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


20 / 23

Hamiltonov diferencijalni operator ili nabla je formalni vektorski operator

∇ =

∂∂x∂∂y∂∂z

=∂

∂xi+

∂

∂yj+

∂

∂zk .

Vrijedi

∇f =

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

= gradf

∇ · g =∂gx

∂x+

∂gy

∂y+

∂gy

∂z= div g

∇× g =

(

∂gz

∂y− ∂gy

∂z

)

i+

(

∂gx

∂z− ∂gz

∂x

)

j+

(

∂gy

∂x− ∂gx

∂y

)

k = rot g

Važno! Zapamtite nabla kao izraz i kako se koristi

Laplacijan

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


21 / 23

Laplaceov diferencijalni operator ili delta je formalni skalarni operator

4 =

(

∂

∂x

)2

+

(

∂

∂y

)2

+

(

∂

∂z

)2

= div grad = ∇2

Primjer. Za f =zy

xizracunaj 4. . .∇f =

− zyx2

zxyx

4f = ∇2 = ∇ · ∇f

=

∂f∂x∂f∂y∂f∂z

·

− zyx2

zxyx

=2zy

x3

Potencijalno polje

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


22 / 23

Vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R

3, g =

gxgygz

je potencijalno (ili konzervativno)

ako postoji neko skalarno polje f : X ⊆ R3 → R takvo da vrijedi

g = −gradf

Napomena: u formuli predznak (−) zaista nije bitan. Definicija je takva zbogustaljenog znacenja u fizici.Zadatak. Provjeri da li je g = (y, x, 0) potencijalno polje. . . "

Zadatak. Provjeri da li je g = (x+ y, x+ y, 1) potencijalno polje? . . . "

Ovo je važno znati!

Vrtložno, bezvrtložno i solenoidalno polje

Uvodne napomene


Vektorske funkcije

Polja

Pojmovi

Motivacija

Gradijent


Divergencija

Rotacija

Rotacija (primjer)

Hamiltonijan

Laplacijan

Potencijalno polje


23 / 23

Promatramo vektorsko polje g : X ⊆ R3 → R

3. Kažemo da je g:

� bezvrtložno ako je rot g = 0 ,

� vrtložno ako nije bezvrtložno,

� solenoidalno ako je div g = 0.

Lako zapamtiti formulu: bez vrloga = bez rotacije = rotacija nula.Zadatak. Provjeri za g = (−2y, 2x, 0) gornja svojstva . . .

Documents

Vektorske funkcije i polja - vježbe - personal.unizd.hrpersonal.unizd.hr/~makosor/mat3/vektorska analiza (print).pdf · Diferencijal skalarne funkcije Diferencijal vektorske funkcije