143
Parcijalni izvodi i ekstremi funkcija viˇ se promenljivih 2008/2009 (Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 1 / 29

Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

  • Upload
    vankiet

  • View
    292

  • Download
    5

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi i ekstremi funkcija vise promenljivih

2008/2009

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 1 / 29

Page 2: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Prvi parcijalni izvod funkcije

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D.

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi x u tacki (x0, y0)

fx(x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x= lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi y u tacki (x0, y0)

fy (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂y= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 2 / 29

Page 3: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Prvi parcijalni izvod funkcije

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D.

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi x u tacki (x0, y0)

fx(x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x= lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi y u tacki (x0, y0)

fy (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂y= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 2 / 29

Page 4: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Prvi parcijalni izvod funkcije

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D.

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi x u tacki (x0, y0)

fx(x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x= lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi y u tacki (x0, y0)

fy (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂y= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 2 / 29

Page 5: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Prvi parcijalni izvod funkcije

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D.

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi x u tacki (x0, y0)

fx(x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂x= lim

h→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h

Prvi parcijalni izvod funkcije f po promenljivi y u tacki (x0, y0)

fy (x0, y0) =∂f (x0, y0)

∂y= lim

h→0

f (x0, y0 + h)− f (x0, y0)

h

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 2 / 29

Page 6: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2fxy = (fx)y =

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂yfyy = (fy )y =

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 7: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2fxy = (fx)y =

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂yfyy = (fy )y =

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 8: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2

fxy = (fx)y =∂

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂yfyy = (fy )y =

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 9: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2fxy = (fx)y =

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂yfyy = (fy )y =

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 10: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2fxy = (fx)y =

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂y

fyy = (fy )y =∂

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 11: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi viseg reda

Neka f : D ⊂ R2 → R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D. Tadasu i ∂f /∂x i ∂f /∂y takode funkcije dve promenljive definisane na D. Akosada i te funkcije imaju svoje parcijalne izvode na D, dolazimo do drugihparcijalnih izvoda funkcije f i oznacavamo ih redom sa

fxx = (fx)x =∂

∂x

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂x2fxy = (fx)y =

∂y

(∂f

∂x

)=

∂2f

∂y∂x

fyx = (fy )x =∂

∂x

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂x∂yfyy = (fy )y =

∂y

(∂f

∂y

)=

∂2f

∂y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 3 / 29

Page 12: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 13: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h=

limh→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 14: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

=

limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 15: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h=

limh→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 16: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

=

limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 17: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h=

limh→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 18: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1=

2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 19: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fx(x , y) =∂f (x , y)

∂x= lim

h→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h

limh→0

f (x + h, y)− f (x , y)

h= lim

h→0

(x + h)2y − x2y

h

= limh→0

x2y + 2xyh + h2y − x2y

h= lim

h→0

2xyh + h2y

h

= limh→0

h(2x + h)y

h= lim

h→0

(2x + h)y

1= 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 4 / 29

Page 20: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h= lim

h→0x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 21: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h=

limh→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h= lim

h→0x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 22: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

=

limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h= lim

h→0x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 23: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h=

limh→0

x2h

h= lim

h→0x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 24: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h=

limh→0

x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 25: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h= lim

h→0x2 =

x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 26: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Odredivanje prvog parcijalnog izvoda po definiciji

Zadatak 1?. Po definiciji naci prve parcijalne izvode funkcijef (x , y) = x2 · y .

fy (x , y) =∂f (x , y)

∂y= lim

h→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h

limh→0

f (x , y + h)− f (x , y)

h= lim

h→0

x2(y + h)− x2y

h

= limh→0

x2y + x2h − x2y

h= lim

h→0

x2h

h= lim

h→0x2 = x2.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 5 / 29

Page 27: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 28: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 29: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 30: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 31: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 32: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 33: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 34: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 35: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 36: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Zadatak 3. z =√

x2 − y2

Zadatak 4. z = ln(x +√

x2 + y2)

Zadatak 5. z = arctgy

x

Zadatak 6. z = xy

Zadatak 7. z = esin yx

Zadatak 8. z = arcsin

√x2 − y2

x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 6 / 29

Page 37: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 9. u = (x y)z

Zadatak 10. u = zx y

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 7 / 29

Page 38: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 9. u = (x y)z

Zadatak 10. u = zx y

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 7 / 29

Page 39: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 9. u = (x y)z

Zadatak 10. u = zx y

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 7 / 29

Page 40: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode prvog reda:

Zadatak 9. u = (x y)z

Zadatak 10. u = zx y

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 7 / 29

Page 41: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 42: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 43: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 44: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 45: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 46: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Pokazati da su tacne jednakosti:

Zadatak 1. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= x y + z ako je z = x y + x e

yx

Zadatak 2. x∂z

∂x+ y

∂z

∂y= 2 ako je z = ln(x2 + x y + y2)

Zadatak 3.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 0 ako je u = (x − y)(y − z)(z − x)

Zadatak 4.∂u

∂x+

∂u

∂y+

∂u

∂z= 1 ako je u = x +

x − y

y − z

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 8 / 29

Page 47: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 48: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 49: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 50: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 51: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 52: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Parcijalni izvodi - zadaci

Odrediti parcijalne izvode drugog reda:

Zadatak 1. z = x3 + y3 − 3 a x y

Zadatak 2. z =x − y

x + y

Pokazati da je tacna jednakost:

Zadatak 3.∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2+

∂2u

∂z2= 0 ako je u =

1√x2 + y2 + z2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 9 / 29

Page 53: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 54: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 55: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 56: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 57: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 58: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 59: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti parcijalne izvode prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. f (x , y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3

Zadatak 2. f (x , y) = x cos y + y3 tg x + x2ey + y ln x

Zadatak 3. f (x , y) =x2 + y2

x − y

Zadatak 4. f (x , y) = arctgxy

x + y

Zadatak 5. f (x , y , z) = z arcsin y + z3 ctg(xy) + x2ey + ln(zx)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 10 / 29

Page 60: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije f (x , y):

df (x , y) =∂f (x , y)

∂xdx +

∂f (x , y)

∂ydy

Totalni diferencijal drugog reda

d2f (x , y) =∂2f (x , y)

∂x2(dx)2 + 2

∂2f (x , y)

∂x∂ydxdy +

∂2f (x , y)

∂y2(dy)2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 11 / 29

Page 61: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije f (x , y):

df (x , y) =∂f (x , y)

∂xdx +

∂f (x , y)

∂ydy

Totalni diferencijal drugog reda

d2f (x , y) =∂2f (x , y)

∂x2(dx)2 + 2

∂2f (x , y)

∂x∂ydxdy +

∂2f (x , y)

∂y2(dy)2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 11 / 29

Page 62: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije f (x , y):

df (x , y) =∂f (x , y)

∂xdx +

∂f (x , y)

∂ydy

Totalni diferencijal drugog reda

d2f (x , y) =∂2f (x , y)

∂x2(dx)2 + 2

∂2f (x , y)

∂x∂ydxdy +

∂2f (x , y)

∂y2(dy)2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 11 / 29

Page 63: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je u : D ⊂ R3 → R funkcija tri realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije u(x , y , z):

du(x , y , z) =∂u(x , y , z)

∂xdx +

∂u(x , y , z)

∂ydy +

∂u(x , y , z)

∂zdz

Totalni diferencijal drugog reda

d2u =∂2u

∂x2(dx)2 +

∂2u

∂y2(dy)2 +

∂2u

∂z2(dz)2

+ 2∂2u

∂y∂zdydz + 2

∂2u

∂x∂zdxdz + 2

∂2u

∂x∂ydxdy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 12 / 29

Page 64: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je u : D ⊂ R3 → R funkcija tri realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije u(x , y , z):

du(x , y , z) =∂u(x , y , z)

∂xdx +

∂u(x , y , z)

∂ydy +

∂u(x , y , z)

∂zdz

Totalni diferencijal drugog reda

d2u =∂2u

∂x2(dx)2 +

∂2u

∂y2(dy)2 +

∂2u

∂z2(dz)2

+ 2∂2u

∂y∂zdydz + 2

∂2u

∂x∂zdxdz + 2

∂2u

∂x∂ydxdy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 12 / 29

Page 65: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Totalni diferencijal prvog reda

Neka je u : D ⊂ R3 → R funkcija tri realne promenljive. Tada je totalnidiferencijal prvog reda funkcije u(x , y , z):

du(x , y , z) =∂u(x , y , z)

∂xdx +

∂u(x , y , z)

∂ydy +

∂u(x , y , z)

∂zdz

Totalni diferencijal drugog reda

d2u =∂2u

∂x2(dx)2 +

∂2u

∂y2(dy)2 +

∂2u

∂z2(dz)2

+ 2∂2u

∂y∂zdydz + 2

∂2u

∂x∂zdxdz + 2

∂2u

∂x∂ydxdy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 12 / 29

Page 66: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Odrediti totalne diferencije prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. z(x , y) = 4x2 + 2xy + 3y2 + 5x − 3y + 2

Zadatak 2. u(x , y , z) = 2x2−3y2 +4z2− xy +5yz −7xz +2x + y +6z +1

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 13 / 29

Page 67: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Odrediti totalne diferencije prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. z(x , y) = 4x2 + 2xy + 3y2 + 5x − 3y + 2

Zadatak 2. u(x , y , z) = 2x2−3y2 +4z2− xy +5yz −7xz +2x + y +6z +1

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 13 / 29

Page 68: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Totalni diferencijal funkcije

Odrediti totalne diferencije prvog i drugog reda sledecih funkcija:

Zadatak 1. z(x , y) = 4x2 + 2xy + 3y2 + 5x − 3y + 2

Zadatak 2. u(x , y , z) = 2x2−3y2 +4z2− xy +5yz −7xz +2x + y +6z +1

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 13 / 29

Page 69: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Stacionarna tacka

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D. Tacka (x0, y0) je stacionarnatacka funkcije f ako je ispunjen uslov:

∂f

∂x(x0, y0) = 0 i

∂f

∂y(x0, y0) = 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 14 / 29

Page 70: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Stacionarna tacka

Neka je f : D ⊂ R2 → R funkcija dve realne promenljive i (x0, y0) ∈ D,gde je (x0, y0) unutrasnja tacka skupa D. Tacka (x0, y0) je stacionarnatacka funkcije f ako je ispunjen uslov:

∂f

∂x(x0, y0) = 0 i

∂f

∂y(x0, y0) = 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 14 / 29

Page 71: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Neka je (x0, y0) stacionarna tacka funkcije f (x , y). Oznacimo sa g(x , y)

g(x , y) =∂2f

∂x2(x , y) · ∂2f

∂y2(x , y)−

(∂2f

∂x∂y(x , y)

)2

, (x , y) ∈ D .

Tada vazi:

Tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije f ako je

∂2f

∂x2(x0, y0) > 0 ∧ g(x0, y0) > 0 .

Tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije f ako je

∂2f

∂x2(x0, y0) < 0 ∧ g(x0, y0) > 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 15 / 29

Page 72: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Neka je (x0, y0) stacionarna tacka funkcije f (x , y). Oznacimo sa g(x , y)

g(x , y) =∂2f

∂x2(x , y) · ∂2f

∂y2(x , y)−

(∂2f

∂x∂y(x , y)

)2

, (x , y) ∈ D .

Tada vazi:

Tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije f ako je

∂2f

∂x2(x0, y0) > 0 ∧ g(x0, y0) > 0 .

Tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije f ako je

∂2f

∂x2(x0, y0) < 0 ∧ g(x0, y0) > 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 15 / 29

Page 73: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Tacka (x0, y0) nije ekstremna vrednost funkcije f ako je

g(x0, y0) < 0 .

Ako je g(x0, y0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 16 / 29

Page 74: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije dve promenljive

Tacka (x0, y0) nije ekstremna vrednost funkcije f ako je

g(x0, y0) < 0 .

Ako je g(x0, y0) = 0 potrebna su dalja ispitivanja.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 16 / 29

Page 75: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

2x − 6

zy =

12y + 12

zxx =

2

zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 76: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

2x − 6

zy =

12y + 12

zxx =

2

zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 77: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

2x − 6

zy =

12y + 12

zxx =

2

zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 78: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy =

12y + 12

zxx =

2

zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 79: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx =

2

zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 80: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy =

0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 81: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx =

0

zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 82: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy =

12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 83: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy = 12

(ii) A (

3

,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 84: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy = 12

(ii) A ( 3 ,

− 1

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 85: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy = 12

(ii) A ( 3 , − 1 ) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 86: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 1.

Data je funkcija

z(x , y) = x2 + 6y2 − 6x + 12y + 10 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = 2x − 6 zy = 12y + 12

zxx = 2 zxy = 0

zyx = 0 zyy = 12

(ii) A ( 3 , − 1 ) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) = − 5

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 17 / 29

Page 87: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

− 4x − 4y + 4

zy =

− 8y − 4x + 2

zxx =

− 4

zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 88: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

− 4x − 4y + 4

zy =

− 8y − 4x + 2

zxx =

− 4

zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 89: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx =

− 4x − 4y + 4

zy =

− 8y − 4x + 2

zxx =

− 4

zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 90: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy =

− 8y − 4x + 2

zxx =

− 4

zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 91: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx =

− 4

zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 92: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy =

− 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 93: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx =

− 4

zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 94: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx = − 4 zyy =

− 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 95: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx = − 4 zyy = − 8

(ii) A (

− 1/2

,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 96: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx = − 4 zyy = − 8

(ii) A ( − 1/2 ,

− 1/2

) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 97: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx = − 4 zyy = − 8

(ii) A ( − 1/2 , − 1/2 ) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) =

− 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 98: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadatak 2.

Data je funkcija

z(x , y) = −2x2 − 4y2 + 4x + 2y − 4xy − 12 .

(i) Naci sve parcijalne izvode prvog i drugog reda.

(ii) Odrediti tacku u kojoj se dostize lokalni ekstrem, zaokruziti o kom jeekstremu rec i naci vrednost funkcije z(x , y) u toj tacki.

(i) zx = − 4x − 4y + 4 zy = − 8y − 4x + 2

zxx = − 4 zxy = − 4

zyx = − 4 zyy = − 8

(ii) A ( − 1/2 , − 1/2 ) je MINIMUM/MAKSIMUM

z(A) = − 35/2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 18 / 29

Page 99: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije tri promenljive

Neka je (x0, y0, z0) stacionarna tacka funkcije u(x , y , z). Formiramosledecu matricu

∂2u

∂x2(x0, y0, z0)

∂2u

∂x∂y(x0, y0, z0)

∂2u

∂x∂z(x0, y0, z0)

∂2u

∂y∂x(x0, y0, z0)

∂2u

∂y2(x0, y0, z0)

∂2u

∂y∂z(x0, y0, z0)

∂2u

∂z∂x(x0, y0, z0)

∂2u

∂z∂y(x0, y0, z0)

∂2u

∂z2(x0, y0, z0)

=

A B CB D EC E F

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 19 / 29

Page 100: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije tri promenljive

Neka je (x0, y0, z0) stacionarna tacka funkcije u(x , y , z). Formiramosledecu matricu

∂2u

∂x2(x0, y0, z0)

∂2u

∂x∂y(x0, y0, z0)

∂2u

∂x∂z(x0, y0, z0)

∂2u

∂y∂x(x0, y0, z0)

∂2u

∂y2(x0, y0, z0)

∂2u

∂y∂z(x0, y0, z0)

∂2u

∂z∂x(x0, y0, z0)

∂2u

∂z∂y(x0, y0, z0)

∂2u

∂z2(x0, y0, z0)

=

A B CB D EC E F

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 19 / 29

Page 101: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije tri promenljive

Tada vazi:

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni minimum funkcije u ako je d2u > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ > 0

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni maksimum funkcije u ako je d2u < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ < 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 20 / 29

Page 102: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije tri promenljive

Tada vazi:

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni minimum funkcije u ako je d2u > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ > 0

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni maksimum funkcije u ako je d2u < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ < 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 20 / 29

Page 103: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije tri promenljive

Tada vazi:

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni minimum funkcije u ako je d2u > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ > 0

Tacka (x0, y0, z0) je lokalni maksimum funkcije u ako je d2u < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0,

∣∣∣∣∣∣A B CB D EC E F

∣∣∣∣∣∣ < 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 20 / 29

Page 104: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

U slucaju funkcije dve promenljive z = z(x , y)

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije z ako jed2z > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije z ako jed2z < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 21 / 29

Page 105: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

U slucaju funkcije dve promenljive z = z(x , y)

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije z ako jed2z > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije z ako jed2z < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 21 / 29

Page 106: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

U slucaju funkcije dve promenljive z = z(x , y)

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni minimum funkcije z ako jed2z > 0 ili

A > 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

Stacionarna tacka (x0, y0) je lokalni maksimum funkcije z ako jed2z < 0 ili

A < 0,

∣∣∣∣ A BB D

∣∣∣∣ > 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 21 / 29

Page 107: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 108: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 109: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 110: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 111: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 112: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 113: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)

Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 114: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 115: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Ekstremi funkcije vise promenljivih - zadaci

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 3. u = −x2 − 3

2y2 − 4z2 + xy − 3xz − yz − 3x + 4y − 3z

Zadatak 4. z =8

x+

x

y+ y x , y > 0

Zadatak 5. u = x +y2

4x+

z2

y+

2

zx , y , z > 0

Zadatak 6. u = e(2x−2y+z)2+(x−y)2+(x−1)2

Zadatak 7. u = ln((x + y − z)2 + (x − y)2 + (y − 1)2 + 1

)Zadatak 8. z = x4 + y4 − 2x2 + 4xy − 2y2, x , y 6= 0

Zadatak 9. z =1 + x − y√1 + x2 + y2

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 22 / 29

Page 116: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 117: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 118: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 119: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 120: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 121: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti ekstremne vrednosti funkcija:

Zadatak 1. z = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2

Zadatak 2. z = y√

1 + x + x√

1 + y

Zadatak 3. u = 2x2 + y2 + 2z − xy − xz

Zadatak 4. u = 3 ln x + 2 ln y + 5 ln z + ln(22− x − y − z)

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 23 / 29

Page 122: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Neka su date funkcije u = u(x , y , z) i g = g(x , y , z) koje imaju neprekidneprve parcijalne izvode na skupu

G = {(x , y , z)|g(x , y , z) = 0} .

Za nalazenje uslovnog ekstrema funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 formirase Langranzova funkcija

F (x , y , z , λ) = u(x , y , z) + λ g(x , y , z)

i odreduju parcijalni izvodi∂F

∂x,

∂F

∂y,

∂F

∂zi

∂F

∂λ.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 24 / 29

Page 123: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Neka su date funkcije u = u(x , y , z) i g = g(x , y , z) koje imaju neprekidneprve parcijalne izvode na skupu

G = {(x , y , z)|g(x , y , z) = 0} .

Za nalazenje uslovnog ekstrema funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 formirase Langranzova funkcija

F (x , y , z , λ) = u(x , y , z) + λ g(x , y , z)

i odreduju parcijalni izvodi∂F

∂x,

∂F

∂y,

∂F

∂zi

∂F

∂λ.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 24 / 29

Page 124: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Neka su date funkcije u = u(x , y , z) i g = g(x , y , z) koje imaju neprekidneprve parcijalne izvode na skupu

G = {(x , y , z)|g(x , y , z) = 0} .

Za nalazenje uslovnog ekstrema funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 formirase Langranzova funkcija

F (x , y , z , λ) = u(x , y , z) + λ g(x , y , z)

i odreduju parcijalni izvodi∂F

∂x,

∂F

∂y,

∂F

∂zi

∂F

∂λ.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 24 / 29

Page 125: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Uslovni ekstremi funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 se odreduju iz sistemajednacina Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0 i Fλ = 0, po nepoznatima x0, y0, z0 i λ.Treba resiti sistem

∂u

∂x(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂x(x0, y0, z0) = 0

∂u

∂y(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂y(x0, y0, z0) = 0

∂u

∂z(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂z(x0, y0, z0) = 0

g(x0, y0, z0) = 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 25 / 29

Page 126: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Uslovni ekstremi funkcije u uz uslov g(x , y , z) = 0 se odreduju iz sistemajednacina Fx = 0, Fy = 0, Fz = 0 i Fλ = 0, po nepoznatima x0, y0, z0 i λ.Treba resiti sistem

∂u

∂x(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂x(x0, y0, z0) = 0

∂u

∂y(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂y(x0, y0, z0) = 0

∂u

∂z(x0, y0, z0) + λ

∂g

∂z(x0, y0, z0) = 0

g(x0, y0, z0) = 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 25 / 29

Page 127: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Svako resenja prethodnog sistema (x0, y0, z0) se naziva stacionarna tackaza λ dobijeno takode iz sistema. Sada se formira d2F forma koja ce, nakonodredenih transformacija, biti oblika

d2F =∂2F

∂x2(dx)2 +

∂2F

∂y2(dy)2 +

∂2F

∂z2(dz)2

+ 2∂2F

∂y∂zdydz + 2

∂2F

∂x∂zdxdz + 2

∂2F

∂x∂ydxdy

uz uslov dg = 0 ili

∂g

∂xdx +

∂g

∂ydy +

∂g

∂zdz = 0, (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 6= 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 26 / 29

Page 128: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Svako resenja prethodnog sistema (x0, y0, z0) se naziva stacionarna tackaza λ dobijeno takode iz sistema. Sada se formira d2F forma koja ce, nakonodredenih transformacija, biti oblika

d2F =∂2F

∂x2(dx)2 +

∂2F

∂y2(dy)2 +

∂2F

∂z2(dz)2

+ 2∂2F

∂y∂zdydz + 2

∂2F

∂x∂zdxdz + 2

∂2F

∂x∂ydxdy

uz uslov dg = 0 ili

∂g

∂xdx +

∂g

∂ydy +

∂g

∂zdz = 0, (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 6= 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 26 / 29

Page 129: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Svako resenja prethodnog sistema (x0, y0, z0) se naziva stacionarna tackaza λ dobijeno takode iz sistema. Sada se formira d2F forma koja ce, nakonodredenih transformacija, biti oblika

d2F =∂2F

∂x2(dx)2 +

∂2F

∂y2(dy)2 +

∂2F

∂z2(dz)2

+ 2∂2F

∂y∂zdydz + 2

∂2F

∂x∂zdxdz + 2

∂2F

∂x∂ydxdy

uz uslov dg = 0 ili

∂g

∂xdx +

∂g

∂ydy +

∂g

∂zdz = 0, (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 6= 0 .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 26 / 29

Page 130: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Ako je

d2F (x0, y0, z0, λ0) < 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni maksimum za λ = λ0,

d2F (x0, y0, z0, λ0) > 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni minimum za λ = λ0.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 27 / 29

Page 131: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi funkcije tri promenljive

Ako je

d2F (x0, y0, z0, λ0) < 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni maksimum za λ = λ0,

d2F (x0, y0, z0, λ0) > 0, tada u tacki (x0, y0, z0) funkcija u imauslovni minimum za λ = λ0.

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 27 / 29

Page 132: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 133: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 134: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 135: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 136: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 137: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Uslovni ekstremi - zadaci

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = x + 2y uz uslov x2 + y2 = 5

Zadatak 2. u = x − 2y + 3z uz uslov x2 + y2 + z2 = 9

Zadatak 3. u = xy2z3 uz uslov x + y + z = 6, x , y , z 6= 0

Zadatak 4. z = xy + xy2 uz uslov x + y = 2, x , y 6= 0

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 28 / 29

Page 138: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29

Page 139: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29

Page 140: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29

Page 141: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29

Page 142: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29

Page 143: Parcijalni izvodi, totalni diferencijal i ekstremi

Zadaci za vezbu

Odrediti uslovne ekstremne sledecih funkcija:

Zadatak 1. z = xy uz uslov x + y = 1

Zadatak 2. z = x2 + y2 uz uslov x/2 + y/3 = 1

Zadatak 3. z = x2 + y2 + xy uz uslov x + y + xy = 0, x2 + y2 6= 0

Zadatak 4. Naci paralelopiped maksimalne zapremine ako je povrsinaparalelopipeda jednaka 12. Formula za zapreminu je V = xyz , a zapovrsinu P = 2yz + 2xz + 2xy .

(Parcijalni izvodi i ekstremi) 2008/2009 29 / 29