Unidad 3 Simulacion Generacion de Numeros Pseudoaleatorios

7/23/2019 Unidad 3 Simulacion Generacion de Numeros Pseudoaleatorios

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INSTITUTO TECNOLOGICO DE TAPACHULA

CATEDRATICO:

ING. MILTON CARLOS HERNANDEZ RAMIREZ

MATERIA:

SIMULACION

TEMA:

UNIDAD 3: GENERACION DE VARIABLES

ALEATORIAS

INTEGRANTES DEL EQUIPO

: YENICSA YESSEL VIDAL GONZALEZ

JAVIER MAAS MORENO

ROBERTO TORRES MORALES

DENISSE

5° SEMESTRE

ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

TAPACHULA CHIAPAS, 25 DE NOVIEMBRE DEL

205



3. G!"!#$%&'" (! )$#&$*+! $+!$-#&$

Hay una variedad de métodos para generar variables aleatorias. Cada método se

aplica solo a un subconjunto de distribuciones y para una distribución en particular

un método puede ser más eficiente que otro.Buscamos métodos que nos permitan obtener valores de variables aleatorias

que sigan determinadas distribuciones de probabilidad a partir de los

números aleatorios generados, que siguen la distribución niforme en el intervalo

!",#$.

Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una

serie de métodos particulares de las distintas distribuciones.

%a facilidad de aplicación de dic&os métodos, as' como el coste computacional

asociado a los mismos, var'a muc&o según la familia de variables aleatorias a las

que se apliquen.

(ormalmente e)isten varios algoritmos que se pueden utili*ar para generar

valores de una determinada distribución, y diferentes factores que se pueden

considerar para determinar qué algoritmo utili*ar en un caso particular.

+esafortunadamente dic&os factores suelen entrar en conflicto unos con otros y

a veces se &a de llegar a una solución de compromiso.

lgunos de estos factores son los siguientes-

)actitud- se &an de obtener valores de una variable con una precisión dada.

veces se tiene suficiente con obtener una apro)imación y otras no.

ficiencia- el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociadoun tiempo de ejecución y un gasto de memoria. legiremos un método que sea

eficiente en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria requeridos.

Complejidad- Buscamos métodos que tengan complejidad m'nima, siempre y

cuando se garantice cierta e)actitud.



3.2 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

ste tipo de variables deben cumplir con estos parámetros-

Px>0 ∑i=0

∞

pi P (fl< x<b )=Spc= Pa+…+ P o

lgunas distribuciones discretas de probabilidad son la uniforme discreta, la de

Bernoulli, la &ipergeométrica, la de /oisson y la binomial !0igura 1.#$. /odemos

asociar a estas otras distribuciones de probabilidad el comportamiento de una

variable aleatoria. /or ejemplo, si nuestro propósito al anali*ar un muestreo de

calidad consiste en decidir si la pie*a bajo inspección es buena o no, estamos

reali*ando un e)perimento con dos posibles resultados- la pie*a es buena o la

pie*a es mala. ste tipo de comportamiento está asociado a una distribución de

Bernoulli. /or otro lado, si lo que queremos es modelar el número de usuarios que

llamarán a un teléfono de atención a clientes, el tipo de comportamiento puede

llegar parecerse a una distribución de /oisson. 2ncluso podr'a ocurrir que el

Comportamiento de la variable no se pareciera a otras distribuciones de

probabilidad conocidas. 3i éste fuera el caso, es perfectamente válido usar una

distribución emp'rica que se ajuste a las condiciones reales de probabilidad. stadistribución puede ser una ecuación o una suma de términos que cumplan con las

condiciones necesarias para ser consideradas una distribución de probabilidad.

3.3 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS



ste tipo de variables se representan mediante una ecuación que se conoce como

función de densidad de probabilidad. +ada esta condición, cambiamos el uso de la

sumatoria por la de una integral para conocer la función acumulada de la variable

aleatoria. /or lo tanto, las variables aleatorias continuas deben cumplir los

siguientes parámetros-

Pix>0 P ( x=s )=0 f ( x )=1 P {a< x<b }= Pia< x<b=f ( x ) ntre las

distribuciones de probabilidad tenemos la uniforme continua, la e)ponencial, la

normal, la de 4eibull, la C&i5cuadrada y la de rlang !vea la figura1.6$. l igual

que en el caso de las distribuciones discretas, algunos procesos pueden ser

asociados aciertas distribuciones.

/or ejemplo, es posible que el tiempo de llegada de cada cliente a un sistema

tenga una distribución de probabilidad muy semejante a una e)ponencial, o que el

tiempo que le toma a un

operario reali*ar una serie de

tareas se comporte de manera

muy similar a la dispersión que

presenta una distribución

normal. 3in

embargo, debemos

&acer notar que este tipo de distribuciones tienen sus desventajas, dado que el

rango de valores posibles.

3./ METODO PARA GENERAR VARIABLES ALEATORIAS

n todo modelo de simulación estocástico, e)isten una o varias variables

aleatorias interactuando. 7eneralmente, estas variables siguen distribuciones de

probabilidad teóricas o emp'ricas diferentes a la distribución uniforme. /or



consiguiente, para simular este tipo de variables, es necesario contar con un

generador de números uniformes y una función que a través de un método

especio, transforme estos números en valores de la distribución de probabilidad

deseada

)isten varios métodos que nos permiten generar variables aleatorias. %o normal

es que e)istan varias opciones para generar una misma variable aleatoria.

%a elección del método adecuado se puede basar en una serie de factores como-

E$%-&-1(: se prefiere un método e)acto frente a métodos apro)imados, como

soluciones numéricas.

V!+%&($(: no de los datos que se toma en consideración es el tiempo degeneración de la variable.

E$%&: (ecesidades de memoria del método utili*ado. n general, los métodos

no consumen muc&a memoria.

%os métodos más empleados para la generación de variables aleatorias son-

M-( (! +$ -#$"4#$($ &")!#$: Consiste en emplear la distribución

acumulada 0!)$ de la distribución de probabilidad a simular por medio de

integración8 como el rango de 0!)$ se encuentra en el intervalo de cero !"$ a uno

!#$, se debe generar un número aleatorio ri para luego determinar el valor de la

variable aleatoria cuya distribución acumulada es igual a ri. l problema de este

método radica en el &ec&o que algunas veces se dificulta demasiado la

consecución de la transformada inversa.

M-( (! %")+1%&'": /ermite generar una distribución a partir de la suma de

distribuciones más elementales o mediante la transformada *.

M-( (! $%!-$%&'" 6 #!%7$8: Cuando f!)$ es una función acotada y )

tiene un rango finito, como a 9 ) 9 b, se utili*a este método para encontrar los

valores de las variables aleatorias. l método consiste en normali*ar el rango de f



mediante un factor de escala c, luego definir a ) como una función lineal de r,

después se generan parejas de números aleatorios r#, r6 y por último si el número

encontrado se elige al a*ar dentro del rango !a,b$ y r b, se utili*a este método

para encontrar los valores de las variables aleatorias.

M-( (! %&%&'": Con este método la distribución de probabilidad f!)$ se

e)presa como una me*cla o composición de varias distribuciones de probabilidad

fi!)$ seleccionadas adecuadamente.

P#%!(&&!"- !!%&$+!: )isten algunas distribuciones estad'sticas de

probabilidad en las cuales es posible emplear sus propiedades para obtener

e)presiones matemáticas para la generación de variables aleatorias en formaeficiente.

3./. METODO DE LA TRANS9ORMADA INVERSA

l método de la transformada !o transformación$ inversa, también conocido como

método de la inversa de la transformada, es un método para la generación de

números aleatorios de cualquier distribución de probabilidad continua cuando se

conoce la inversa de su función de distribución !cdf$. ste método es en general



aplicable, pero puede resultar muy complicado obtener una e)presión anal'tica de

la inversa para algunas distribuciones de probabilidad.

l método de Bo)5:uller es un ejemplo de algoritmo que aunque menos general,

es más eficiente desde el punto de vista computacional. l método se utili*a para

simular valores de las distribuciones e)ponenciales, cauc&y, triangular, de /areto y

4eibull. l problema que resuelve el método de la transformada inversa es el

siguiente-

3ea ; una variable aleatoria cuya distribución puede ser descrita por la cdf 0. 3e

desea generar valores de ; que están distribuidos según dic&a distribución.

(umerosos lenguajes de programación poseen la capacidad de generar númerospseudoaleatorios que se encuentran distribuidos de acuerdo con una distribución

uniforme estándar. 3i una variable aleatoria posee ese tipo de distribución,

entonces la probabilidad de que el número caiga dentro de cualquier subintervalo

!a, b$ del intervalo entre " a # es la longitud del subintervalo, o sea b < a.

l método de la transformada inversa, es el método más utili*ado en la obtención

de variables aleatorias para e)perimentos de simulación. /ara aplicar este método

suponga que queremos generar el valor de una variable aleatoria discreta ; con

función de masa de probabilidad-

X = x j= p j , j=0,1,,,,,,,∑ j

pj=1

P ¿

A+#&- :étodo de la transformada inversa para variables aleatorias discretas

#. 7enerar un numero aleatorio =.

6. 3i R< p0 &acer X = x

0 y terminar.

1. 3i R< p0+ p

1 &acer X = x1 y terminar.



>. 3i R<∑i=1

j

pj &acer X = x j y terminar.

3i los xi , i≥0 , están ordenados de modo que x0< x1< x2<… y si 0 denota la

función de distribución de ;, entonces Fx ( xk )=∑i=0

k

Pi .

E;!+: 3i queremos simular una variable aleatoria ; tal que-

fx ( x )= P ( X = x )={0,20 , si x=10,15 , si x=2

0,25 , si x=3

0,40 ,s i x=4

ntonses si obtenemos la funcion de distribucion, tenemos-

fx ( x )= P ( X < x )=

{

0,20 ,si x ≤1

0,35 , si1< x ≤2

0,60 , si2< x ≤31,00 ,sir>4

0inalmente, las variables aleatorias ; se obtienen atraves de-

fx ( x )= P ( X < x )={ 1 , si R<0.20

2 , si0.20≤ R<0.35

3 , si0.35≤ R<60

4 , si0.60≤ R<1

&ora consideremos si la variable que se desea generar es una variable continua

con función de distribución 0. el método de la transformada inversa para variables

continuas, se basa en la siguiente proporción.



M-( (!+ #!%7$8

?tro procedimiento para generar valores de variables aleatorias de distribuciones

de probabilidad no uniformes, es el método de rec&a*o. ste método consiste

primeramente en generar un valor de la variable aleatoria y en seguida probar que

dic&o valor simulado proviene de la distribución de probabilidad que se está

anali*ando. /ara comprender la lógica de este método, suponga que f !)$ es una

distribución de probabilidad acotada y con rango finito, es decir, a 9 ) 9 b. +e

acuerdo a esta función de probabilidad, la aplicación del método de rec&a*o

implica el desarrollo del siguiente algoritmo-

#. (ormali*ar el rango de f mediante un factor de escala c tal que-

cf ( x )≤1,a ≤ x ≤ b

6. 7enerar dos números uniformes R1 y R

2 .

1. +eterminar el valor de la variable aleatoria ) de acuerdo a la siguiente

relación lineal de R

1

-

x=a+ (b−a ) R1

>. valuar la función de probabilidad en x=a+ (b−a ) R1 .

@. +eterminar si la siguiente desigualdad se cumple-

R2

≤ cf (a+(b−a ) R1)

3e utili*a a x=a+ (b−a ) R1 si la respuesta es afirmativa como un valor simulado

de la variable aleatoria. +e lo contrario, es necesario regresar al paso # tantas

veces como sea necesario.



%a teor'a sobre a que se apoya este método se basa en el &ec&o de que la

probabilidad de que R2≤cf ( x) es e)actamente cf ( x ) . /or consiguiente, si un

número es escogido al a*ar de acuerdo a x=a+ (b−a ) R1 y rec&a*ado si

R2>cf ( x ) , entonces la distribución de probabilidad de las )As aceptadas será

e)actamente f ( x) . /or otra parte, conviene sealar que si todas las )As fueran

aceptadas, entonces ) estar'a uniformemente distribuida entre a y b.

0inalmente, es necesario mencionar que algunos autores como oc&e, &an

demostrado que el número esperado de intentos para que ) sea aceptada como

una variable aleatoria que sigue una distribución de probabilidad f ( x ) , es1

c . sto

significa que este método podr'a ser un tanto ineficiente para ciertas distribuciones

de probabilidad en las cuales la moda sea grande.

E;!+

+istribución parabólica. 3e desea generar valores de variables aleatorias que

sigan la siguiente distribución de probabilidad-

fx ( x )=3

4(1− x

2 ) , si−1≤ x ≤1

ntonces a D 5#, b D # implica que ) D 6= 5#, pero

fx ( x ) está definida en el

intervalo 0≤ fx( x )≤ 3

4 , si se normali*a &aciendo c=3

4 , se transformara a

fx ( x ) al intervalo unitario. &ora para generar valores de variables aleatorias



con distribución de probabilidad fx ( x ) , tenemos que aplicar el siguiente

algoritmo-

A+#&-: G!"!#$%&'" (! )$#&$*+! $+!$-#&$ %" (&-#&*1%&'" $#$*'+&%$.

#. 7enerar dos números aleatorios R1 y R

2 .

6. Calcular x=2 R1−1 .

1. 3i R2≤ 4

3f (2 R1

−1 ) . 3i la respuesta es afirmativa entonces x=2 R1−1

es un valor simulado de la variable aleatoria. +e lo contrario, se requiere

regresar al paso # tantas veces como sea necesario.

3./.2 METODO DE LA CONVOLUCION

Convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en

una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que

se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. na convolución es un

tipo muy general de media móvil, como se puede observar si una de las funciones

se toma como la función caracter'stica de un intervalo.

C")+1%&'" (&%#!-$

Cuando se trata de &acer un procesamiento digital de seal no tiene sentido

&ablar de convolución aplicando estrictamente la definición ya que solo

disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. s necesario, pues, una

apro)imación numérica. /ara reali*ar la convolución entre dos seales, se

evaluará el área de la función- x ( τ )∗h( t −τ ) Para ello, disponemos de

http://es.wikipedia.org/wiki/Operador

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_m%C3%B3vil

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Media_m%C3%B3vil

http://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_caracter%C3%ADstica

http://es.wikipedia.org/wiki/Intervalo_(matem%C3%A1ticas)

http://es.wikipedia.org/wiki/Operador



muestreos de ambas señales en los instantes de tiemponτ que llamaremos

x [k ] y

h [n−k ] (donde n y k son enteros. El área es, por tanto:

y [n ]=∑k =−∞

∞

t . x [k ] . h [ n−k ]=t . [ ∑k =−∞

∞

x [ k ]. h [n−k ]]

n algunas distribuciones de probabilidad la variable aleatoria a simular, puede

generarse mediante la suma de otras variables aleatorias ; de manera más rápida

que a través de otros métodos. ntonces, el método de convolución se puede

e)presar como- .ED;-F;6F...F;G.

%as variables aleatorias de cuatro de las distribuciones más conocidas !de rlang,

normal, binomial y de /oisson$ pueden ser generadas a través de este método,

como se verá a continuación.

D&-#&*1%&'" (! E#+$"

%a variable aleatoria c5rlang con media # puede producirse a partir de la

generación de G variables e)ponenciales con media#I-



3./.2 METODO DE

COMPOSICION

l método de composición

conocido también como

método mi)to permite generar

Iariables aleatorias ) cuando éstas provienen de una función de densidad f) que

puede e)presarse como la combinación conve)a de m distribuciones de

probabilidad f!)$. ntonces, la combinación conve)a se puede e)presar como-

lgunas de las distribuciones más conocidas que pueden e)presarse como una

combinación conve)a son- triangular, de %aplace y trape*oidal. l procedimiento

general de generación es el siguiente-

#. Calcular la probabilidad de cada una de las distribuciones fJ!)$.6. segurar que cada función f) sea función de densidad.1. ?btener, mediante el método de la transformada inversa, las e)presiones



para generar variables aleatorias de cada una de las distribuciones fJ!)$.

>. 7enerar un número pseudoaleatorios rJ que permita definir el valor del K)$.@. 3eleccionar la función generadora correspondiente a la función fJ!)$.

L. 7enerar un segundo número pseudoaleatorios f, y sustituirlo en la funcióngeneradora anterior para obtener E.

+eterminar cuál era el método de composición de 4olfgang madeus :o*art &a

sido una cuestión muy estudiada. %a visión decimonónica de este tema se

basaba a menudo en una concepción romántica e ideali*ada del proceso de

composición8 los estudios más recientes &an tratado de abordar el asunto a través

del e)amen sistemático de las cartas y documentos que &an sobrevivido, llegando

a diversas conclusiones.

3.5 PROCEDIMIENTOS ESPECIALES

)isten diferentes tipos de métodos para generar variables aleatorias, pero

también e)isten casos especiales para generar estas los cuales son-

%a distribución de /oisson parte de la distribución binomial-

Cuando en una distribución binomial se reali*a el e)perimento un número MnM muy

elevado de veces y la probabilidad de é)ito MpM en cada ensayo es

reducida, entonces se aplica el modelo de distribución de /oisson-

3e tiene que cumplir que-

N M p M 9 ",#"

N M p O n M 9 #"

%a distribución de /oisson sigue el siguiente modelo-

l número MeM es 6,P#Q6Q

http://es.wikipedia.org/wiki/Wolfgang_Amadeus_Mozart





M l M D n O p !es decir, el número de veces M n M que se reali*a el e)perimento

multiplicado por la probabilidad M p M de é)ito en cada ensayo$ M G M es el número

de é)ito cuya probabilidad se está calculando

%a distribución binomial parte de la distribución de Bernouilli-

%a distribución de Bernouiili se aplica cuando se reali*a una sola ve* un

e)perimento que tiene únicamente dos posibles resultados !é)ito o fracaso$, por lo

que la variable sólo puede tomar dos valores- el # y el ".

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