01. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS

5/11/2018 01. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/01-numeros-pseudoaleatorios 1/13

Lic. Araujo Cajamarca, Raul

Nu meros aleatorios Generación de números aleatorios (pseudoaleatorios) uniformes (0;1)u

Una de las características más importantes de la Simulación es la capacidad de imitar el

comportamiento aleatorio que existe en los sistemas estocásticos. Para simular este

comportamiento aleatorio se requiere de un método que provea la generación den estos

números aleatorios, así como de rutinas para generar variaciones aleatorias, basadas en

distribuciones de probabilidad.

Un generador de números aleatorios es un algoritmo determinístico, usado para crear valores

reales distribuidos entre 0 y 1, tal que

0 1r

Se debe considerar lo siguiente:

o La ocurrencia de cualquier valor es equiprobable o uniforme

o El valor de la muestra previa no afecta la probabilidad del valor de la próxima

muestra(independencia)

Estos números pueden ser transformados en valores que se ajustan a una determinada

distribución de probabilidad.

Métodos para generar números aleatorios

Existen varios métodos que son utilizados para generar números aleatorios, los más populares

son los métodos congruenciales lineales que pueden ser:

1. Método congruencial lineal aditivo

2. Método congruencial lineal multiplicativo

Métodos congruenciales lineales

Hacia 1949, Lehmer introduce un método de generación de números aleatorios mediante el

cual un término de la serie se obtiene como función del término inmediatamente anterior

1( )n n

x f x

En el generador distinguimos cuatro elementos:

0 x : es el valor inicial o semilla 00 1 x m

a : Multiplicador, siendo 0 a m , a

c : Incremento, siendo 0 c m

m : Modulo (resto de la división entera)




Se llama periodo a la subcadena, dentro de la serie generada, en la que no hay repeticiones de

números y longitud de periodo al número de elementos de dicha subcadena.

La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la

generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse

todo el periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodos grandes.

Tipos de generadores congruenciales lineales

Podemos distinguir dos tipos de estos generadores que se diferencian en el valor del

incremento.

a) Generadores congruenciales multiplicativos:

En ellos el incremento 0c este tipo de generadores fueron los introducidos por LEHMER,

aunque menciono como posibilidad la idea de tomar 0c

1 modn n x ax m

b) Generadores congruenciales Mixtos (aditivos):

Fueron introducidos por THOMSON hacia 1958, en ellos el incremento es distinto de cero,

osea 0c .

1 ( ) modn n x ax c m

A los números obtenidos mediante dichos métodos se les conoce como números

pseudoaleatorios, dado que, como se ha mencionado, los números obtenidos están

uniformemente distribuidos pero no son independientes. Un término de la serie se

obtiene como función del término inmediatamente anterior.

No obstante ellos se adecuan en forma aproximada a la aleatoriedad del mundo real, para

propósito de Simulación.

Ejemplo 1

De acuerdo con la información siguiente, determinar la secuencia completa de números

aleatorios; es decir, hasta que se alcance el periodo correspondiente:

06 x

6a

6c

10m




n n x n

k ax c 1

modn

x k m

n x

r m

0 6 42 2 0.20

1 2 18 8 0.80

2 8 54 4 0.40

3 4 30 0 0.00

4 0 6 6 0.60

5 6 42 2 0.20

6 2 18 8 0.80

Interpretación:

1. La secuencia de números aleatorios será: 6; 2; 8; 4 y 0, luego se repite la misma secuencia.

2. Todos los números aleatorios generados tienen un periodo; es decir, después de una cierta

cantidad de números aleatorios la serie vuelve a repetirse. Para nuestro ejemplo, el

periodo es de 5. (Longitud de periodo).

La repetición de números en la serie puede ser aleatoria, pero dado el método utilizado para la

generación de las mismas, en el momento en el que se repite un valor ya empieza a repetirse

todo el periodo, por lo que interesan métodos que garanticen longitudes de periodos grandes.

3. Como el modulo es 10, los números generados no excederán a 10.

4. Para obtener valores aleatorios entre 0 y 1, se deben realizar algunas de las operaciones

con los números aleatorios generados.

nr =valores aleatorios (0;1)u

nn

xr

m

1( )

2

n

n

xr

m

1

nn

xr

m

5. Los valores generados son pseudoaleatorios por que le siguiente número se genera a partir

del anterior, además después del periodo se repite la misma secuencia.

6. En Arena, el periodo contiene por lo menos dos billones de números, luego el ciclo se

repite a través de la misma secuencia.

7. Un número es completamente aleatorio si al repetir el experimento el orden es diferente.

Por ejemplo al lanzar sucesivamente un dado, una moneda, etc.

¿Cómo calcular 5mod10?

55mod10 5 10

10

,

Máximo entero




5mod10 5 10 0.50

5mod10 5 10(0)

5mod10 5 0

5mod10 5

¿Cómo se calcula 42mod10 ?

4242mod10 42 10

10

42mod10 42 10 4.2

42mod10 42 10(4)

42mod10 42 40 2

¿Cómo se calcula 18mod10?

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Aplicación (expresiones de probabilidad)

Se desea evaluar la decisión, si la entidad que ingresa al modelo de decisión aprueba o

desaprueba la inspección, véase el siguiente esquema del modelo.




INTERVALOnr SUCESO

INICIAL FINAL

0.00 0.85 0.57 ALMACEN

0.85 1.00 0.96 DESECHO

Para determinar el próximo resultado del evento aleatorio es necesario que se genere un valor

aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1. Este valor es comparado con el valor de la

probabilidad, definida en el modelo (0.85). Si el valor generado está entre 0 y 0.85, entonces la

entidad aprueba la inspección; de lo contrario, la entidad no pasa la inspección y se desecha.

Observación: Para la elección del módulo, nuestro objetivo es generar series con el mayor

número posible de elementos, es decir series con máxima longitud de periodo.

Para ello el modulo que se elija para el generador ha de ser grande dado que

x elemento de la serie se cumple que 0 x m , es decir, longitud de

periodo va a ser m como máximo.

Ejemplo 2

Genere una secuencia de 6 números aleatorios entre 0 y 9 usando el método congruencial

mixto con:0

5 x , 5c , 5a .

Sol.

Falta calcular m , como entre 0 y 9 hay 10 números 10m

n n x nk ax c 1

modn x k m

nr

0 5 30 0 0.00

1 0 5 5 0.50

2 5 30 0 0.00

3 0 5 5 0.50

4 5 30 0 0.00

5 0 5 5 0.50

6 5 30 0 0.00

Vemos que esta secuencia es de periodo muy corto. Para obtener un periodo grande debe

escoger m grande.

Método de cuadrados medios

El procedimiento de obtención de números con este tipo de generadores es el siguiente:

o Generar una semilla0

x de m dígitos, 0n

Número aleatorio

estandarizado, valores

aleatorios




o Elevar al cuadradon

x y adicionar ceros a la izquierda para obtener 2m dígitos

o Tomar de la parte central un conjunto de m dígitos que formarán el número aleatorio1n

x

o Los m dígitos pasarán a ser la nueva semilla con el fin de repetir el proceso n ocasiones.

Ejemplo 1

Generar una secuencia de 4 N.A. de 4 cifras a partir de un generador de cuadrados medios,

utilizando como semilla 1254.

Solución

0 x =1254 m =4

n n x 2

n x 1n x

nr

0 1254 01572516 5725 0.5725

1 5725 32775625 7756 0.7756

2 7756 60155536 1555 0.1555

3 1555 02418025 4180 0.4180

4 4180 17472400 4724 0.4724

Características estadísticas de los números aleatorios

Existen un gran número de métodos para generar los números aleatorios entre 0 y 1, el

método a utilizar, en sí mismo, no tiene importancia; la importancia radica en los números que

genera, ya que estos números deben cumplir ciertas características para que sean válidos,

dichas características son:

a) Aleatoriedad

Uniformemente distribuidos

Estadísticamente independientes

b) Su media debe ser estadísticamente igual a 1 2

c) Su varianza debe ser estadísticamente igual a 1 12

d) Su periodo o ciclo de vida debe ser largo

Una vez que se ha generado o se puede usar un generador es importante verificar si los

números poseen las características mencionadas. La comprobación de tales características se

realiza mediante ciertas pruebas estadísticas que son las siguientes:

1. Prueba de aleatoriedad

Se trata de probar si la secuencia se comporta de forma aleatoria, para lo cual se debe

probar su independencia y uniformidad.




1.1. Prueba de uniformidad

La prueba básica a la que se debería someter cualquier nuevo generador de números

aleatorios o una secuencia de números aleatorios es a la de uniformidad.

Existen dos métodos para realizar esta prueba:

1.1.1. Prueba de Chi-Cuadrado

Esta prueba se empleará en el caso específico de los números aleatorios uniformes

entre 0 y 1, para probar que un conjunto de datos siga esta distribución.

De esta manera la hipótesis propuesta se resume como sigue:

0 H : (0;1)nr U Hipótesis nula

1 H : (0;1)n

r U Hipótesis alterna

0 H : Es la hipótesis que se somete a prueba: la diferencia que existe entre la

distribución de la muestra y la distribución uniforme no es significativa

1 H

: De negarse la hipótesis nula, seria esta la que se acepta, lo cual nos indica que: la

diferencia que existe entre la distribución de la muestra y la distribución uniforme es

significativa.

Requiere de la siguiente información:

o Frecuencia observada (i

FO ): Número de observaciones reales en la clase i .

o Frecuencia Esperada (i

FE ): número de observaciones en la clase i , para la

distribución uniforme.

*i

N FE N p

n , donde

1 p

n

, N : Total observaciones (Datos), n : Total

clases (Intervalos).

o Grados de libertad ( 1n ): Número de grados de libertad, en este caso se toma

intervalos de clase de igual longitud.

o Nivel de Significación ( ): generalmente se utiliza 0.01 0.05

: Probabilidad del error

1 : Nivel de confianza

o Tabla de valores críticos2 x , según G.L. y a un




o Si el valor de2

x es tal que la probabilidad asociada con su ocurrencia, conforme a

la hipótesis nula0

H para ( 1n ) G.L. es:

p Se rechaza0

H

p Se acepta0 H

La distribución de2 x , es Ji-Cuadrada con ( 1n ) G.L.

Ejemplo 1

Fueron generados 100 N.A. que luego se agruparon en 9 intervalos de amplitud 8,

como se muestra en la tabla siguiente:

Prueba Ji-Cuadrada

i INTERVALOS

iFO

i

N FE

n

i iFE FO 2

( ) / i i iFE FO FE INICIAL FINAL

1 0.00 8.00 12 11.10 0.90 0.0730

2 8.00 16.00 10 11.10 -1.10 0.1090

3 16.00 24.00 14 11.10 2.90 0.7580

4 24.00 32.00 11 11.10 -0.10 0.0010

5 32.00 40.00 10 11.10 -1.10 0.1090

6 40.00 48.00 15 11.10 3.90 1.3700

7 48.00 56.00 10 11.10 -1.10 0.1090

8 56.00 64.00 8 11.10 -3.10 0.8660

9 64.00 72.00 10 11.10 -1.10 0.1090

N= 100 3.5040

9n

Observamos que la tabla de valores críticos de2

x para G.L.= 1n =8 y =0.01

2 2

(1 ; 1) (0.99;8) 20.10n x x

También observamos el estadístico de prueba2 3.5040 x , al comparar con el valor

crítico,2 2

(0.99;8) x x podemos concluir que se acepta

0 H , es decir los datos

maestrales no reflejan una diferencia significativa con respecto a la distribuciónuniforme.

OBSERVACIONES:

Numero de intervalos (Clases):

Se calcula con la fórmula de STURGES 1 3.32(log( ))n N Aproximado

N : Número de datos

Amplitud de clase o intervalo (C):




Se calcula previamente,

Ls : Límite superior o mayor valor

Li : Límite inferior o menor valor

R : Rango o recorrido: R Ls Li

RC n

Ejemplo 2

Realice la prueba de uniformidad utilizando el método Chi-Cuadrado a los siguientes

30 números (valores) con nivel de confianza del 95%.

Solución.

0 H : Los datos o números corresponden a una distribución uniforme

1 H : Los datos o números no corresponden a una distribución uniforme

0.05

Prueba Ji-Cuadrada

iINTERVALOS

iFO

i

N FE

n i i

FE FO 2

( ) / i i i

FE FO FE INICIAL FINAL

1 0.00 0.10 3 3.00 0.00 0.0000

2 0.10 0.20 4 3.00 1.00 0.3330

3 0.20 0.30 3 3.00 0.00 0.0000

4 0.30 0.40 4 3.00 1.00 0.3330

5 0.40 0.50 1 3.00 -2.00 1.3330

6 0.50 0.60 2 3.00 -1.00 0.3330

7 0.60 0.70 2 3.00 -1.00 0.3330

8 0.70 0.80 3 3.00 0.00 0.0000

9 0.80 0.90 3 3.00 0.00 0.0000

10 0.90 1.00 5 3.00 2.00 1.3330

N= 30 3.9980

Tenemos el estadístico de prueba que hemos calculado en la tabla,2 3.9980 x

Buscamos en tabla Chi-Cuadrada el valor crítico,2 2

(1 ; 1) (0.95;9)16.90

n x x

y la

comparación indica:

2 2

(1 ; 1)n x x

Aceptamos 0 H , es decir los números generados siguen una distribución uniforme

entre 0 y 1.




1.1.2. Prueba de Kolmogorov-Smirnov

La forma de obtenerlo es de la siguiente manera:

o Se ordenan los datos de menor a mayor, 1 2 ,..., ir r r

o Se calculai

N

o Se calculai i

i D r

N

o Se busca elmax

( )i D Max D

o Se compara con el valor de la tabla para un dado y N , numero de datos.

Ejemplo 1

Sean 5 números 0.44; 0.81; 0.14; 0.05; 0.93 generados por algún método. Realice la

prueba de uniformidad utilizando el método de Kolmogorov-Smirnov con un nivel de

confianza del 95%.

Solución

0 H : Los números provienen de una población uniforme entre (0 y 1)

1 H : Los números no provienen de una población uniforme

0.05 Pues, 1 0.95 también, 5 N datos

Prueba K-Smirnov

i ir

i

N

i

i i

r D r

N

1 0.050 0.20 0.1500

2 0.140 0.40 0.2600

3 0.440 0.60 0.1600

4 0.810 0.80 0.0100

5 0.930 1.00 0.0700

0.2600

Una vez calculado el estadístico de prueba, max 0.2600 D necesitamos determinar el

valor critico en la tabla K-S, siendo: ( , ) (0.05,5)0.56328

N D D

, ahora hagamos las

comparaciones:

Como max ( 0.05;5) D D concluimos que no se puede rechazar la hipótesis nula, es

decir que los números provienen de una población uniformemente distribuida.




1.2. Prueba de independencia

Las pruebas de independencia consisten en demostrar que los números generados son

estadísticamente independientes entre sí, esto es, que no depende uno de otro. Para esto

se propone la siguiente hipótesis:

0 H :

ir son independientes

1 H :

ir son dependientes

Para realizar esta prueba de hipótesis existen varios métodos, puede seleccionarse

cualquiera de la siguiente lista:

Prueba de Póker

Prueba de corridas arriba y debajo de la media

Prueba de la longitud de las corridas

Prueba de distancias

Prueba de series

Prueba de huecos

1.2.1. Prueba de corridas para la independencia

Pasos:

Paso 1:0 H :


1 H : ir son dependientes

Paso 2: clasificar cada número aleatorio con respecto al anterior, de acuerdo con:

Si 1i r r r

entonces ir =+

Si1i r

r r

entoncesir =-

Paso 3: calcular el número de corridas observadas h , una corrida se forma por un

conjunto de números aleatorios consecutivos del mismo signo.

Paso 4: Calcular:

Esperanza,2 1

( )3

n E h

Varianza,16 29

( )90

nV h

Donde n es el número de datos generados




Paso 5: Calcular el estadístico de prueba( )

( )

h E h z

V h

Paso 6: buscar el valor crítico(1 )

2

z

en tabla estadística

Paso 7: si el estadístico de prueba es menor que el valor crítico, entonces se acepta la

hipótesis de independencia.

(1 ) ( )2 2

( )

( )

h E h z z z

V h

Ejemplo 01

Determine si la siguiente secuencia de 20 números puede ser aceptada como independiente

con un nivel de confianza del 95%, usando la prueba de corridas.

Solución

0 H :


1 H : ir son dependientes

0.43 - 0.28 + 0.33 - 0.27 - 0.12+ + - + +

0.31 0.42 0.01 0.32 0.45

+ - + - +

0.98 0.79 0.99 0.55 0.67

+ - + - +

0.74 0.16 0.20 0.12 0.58

20n

La secuencia de corridas es:

- + - - + + - + + + - + - + + - + - +

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Número de corridas observadas es:

14h

Entonces calculamos:




2(20) 1( ) 13

3 E h

16(20) 29( ) 3.23

90V h

El estadístico de prueba:

14 130.5564

3.23 z

Buscamos en la tabla normal el valor crítico:

0.05 0.05 (0.975)( ) (1 )

2 2

1.96 z z z

Comparamos:

Como(1 ) ( )

2 2

z z z

Entonces podemos concluir que la independencia de estos números no puede ser rechazada.

Trabajo domiciliario: Traer para la próxima clase, las otras pruebas de independencia, teoría y

ejemplos

Documents

01. NUMEROS PSEUDOALEATORIOS