MatAyB-01. Numeros Enteros

IES San Mateo Bachillerato de Excelencia Ciencias y Tecnología

Bloque Primero

Aritmética y Álgebra


Abu Abdullah Muhammad bin Musa al-Khwarizmi

Al-Khwarizmi fue un matemático y astrónomo musulmán chií que

vivió aproximadamente entre 780 y 850.

Poco se conoce de su biografía, a tal punto que existen discusiones

no saldadas sobre su lugar de nacimiento. Algunos sostienen que

nació en Bagdad y otros que nació en el actual Uzbekistan.

Estudió y trabajó en Bagdad en la primera mitad del siglo IX, es

considerado como el padre del álgebra


Capítulo 1

Números Enteros ℤ


Euclides 325 a.c. – 265 a.c.

Vivió y trabajó en Alejandría. Su obra más conocida

son “Los elementos” y es una de las obras científicas

más conocidas del mundo.

La geometría de Euclides, además de ser un poderoso

instrumento de razonamiento deductivo, ha sido

extremadamente útil en muchos campos del

conocimiento; por ejemplo, en la Física,

la Astronomía, etc.

Inspirados por la armonía de la presentación de

Euclides, en el siglo III se formuló la

teoría ptolomeica del Universo, según la cual

la tierra es el centro del universo, y los planetas,

la luna y el sol dan vueltas a su alrededor en líneas

perfectas, o sea circunferencias.

http://es.wikipedia.org/wiki/Siglo_II


El primer uso de los números es cardinal, se utilizan para contar y

comparar conjuntos. Por tanto los primeros números para los

humanos fueron los naturales ℕ.

Se han utilizado diversas formas para representar a los números. De

todos es conocido el sistema utilizado por los romanos que es muy

simple pero en el cual los algoritmos de las operaciones aritméticas

eran muy complicados o inexistentes, por este motivo el sistema no

perduró.

El sistema posicional decimal (base 10) que es estándar hoy en día en

todo el mundo nació en la India y llegó a Europa a través del Islam.

La difusión en Europa se debe en gran parte al libro “Liber Abaci” de

Leonardo de Pisa, alias Fibonacci. En este libro no solo se difunde el

nuevo sistema de numeración sino también los algoritmos de las

operaciones aritméticas y los propios guarismos.


Sistemas de representación de ℕ


Dado un natural 𝒃 > 𝟏 denominado base, cualquier natural 𝒏 ∈ ℕ

puede expresarse de forma única como:

𝒏 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒃 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 +⋯+ 𝒂𝒌𝒃

𝒌

𝒂𝟎, 𝒂𝟏, 𝒂𝟐, … , 𝒂𝒌 ∈ ℕ 𝒂𝟎 < 𝒃, 𝒂𝟏 < 𝒃,… , 𝒂𝒌 < 𝒃

𝒚 𝒂𝒌 ≠ 𝟎

Habitualmente esta representación se escribe como:

𝒏 = 𝒂𝒌𝒂𝒌−𝟏… . . 𝒂𝟏 𝒂𝟎(𝒃

Obviamente, no señalamos la base cuando es 10 pero el sistema es el

mismo en cualquier otra base. Con el advenimiento de las

computadoras se utilizan para determinados fines la base 2 y la

base 16 (hexadecimal).


Sistemas posicional actual


Pasar del sistema de numeración con base 𝒃 a base decimal

significa únicamente valorar la siguiente expresión:

𝒂𝒌𝒂𝒌−𝟏… . . 𝒂𝟏 𝒂𝟎(𝒃 ⇒ 𝒏 = 𝒂𝟎 + 𝒂𝟏𝒃 + 𝒂𝟐𝒃𝟐 +⋯+ 𝒂𝒌𝒃

𝒌

Pasar de decimal a otra base supone realizar sucesivas

divisiones del número y de los siguientes cocientes entre la base

b hasta obtener un cociente nulo. Los restos que se han ido

obteniendo son las cifras del número expresado en base b.

Por ejemplo, pasemos el número 48 a base 5

48 5

3 9 5

4 1 5

1 0 El número es 𝟏𝟒𝟑(𝟓 = 𝟒𝟖


Cambio de base de sistema de numeración


El orden histórico de las construcciones de los números no ha

sido el orden lógico tal y como se conoce hoy.

La realidad se mueve por la necesidad, primero fueron los

naturales por la necesidad de contar y ordenar.

Los griegos no conocían los números enteros negativos pero

como necesitaban para su Geometría medir segmentos

inventaron los números racionales ℚ positivos como razón

entre dos segmentos.

Los griegos ya sabían que no todas las medidas de segmentos

eran racionales y llamaban inconmensurables a los números

irracionales como 𝟐.


Evolución histórica del concepto de número


Los árabes como promotores del Álgebra fueron los primeros en

utilizar los enteros negativos, los racionales negativos y en

general los números reales.

Rafael Bombelli en el siglo XVI fue el verdadero descubridor de

los números complejos ℂ.

La construcción lógica rigurosa de todos los conjuntos de

números tiene lugar a finales del siglo XIX con la corriente

formalista liderada por David Hilbert.

A finales del XIX se construyen rigurosamente los naturales

siguiendo los axiomas de Giuseppe Peano y los reales por Georg

Cantor. Los demás conjuntos de números requieren una

construcción inmediata a partir de naturales y reales, tal es el

caso de enteros, racionales y complejos.






ℂ

ℝ

ℚ ℤ

ℕ

• ℕ 1,2,3,… .

• ℤ …− 2,−1,0,1,2, .

• ℚ −1

3,11

9, ……

• ℝ 1 + 23

, 𝜋, 𝑒

• ℂ 𝑖, 23

− 2𝑖, .


Generalmente las ampliaciones surgen por necesidades

algebraicas:

De ℕ 𝒂 ℤ para poder resolver la ecuación 𝒙 + 𝒂 = 𝒃

De ℤ 𝒂 ℚ para poder resolver la ecuación 𝒂𝒙 = 𝒃

De ℝ 𝒂 ℂ para poder resolver la ecuación 𝒙𝟐 + 𝟏 =0

Algunas ampliaciones no son algebraicas:

De ℚ 𝒂 ℝ se extiende para dar cabida a los números

irracionales y también a los números trascendentes.


Ampliaciones del concepto de número


El conjunto de los enteros ℤ engloba a los naturales positivos, el

cero y las soluciones de ecuaciones del tipo 𝒙 + 𝟓 = 𝟕 que se

denominan enteros negativos.

En el conjunto de los naturales ℕ de los números naturales

existe un orden lineal como:

𝟏 ≤ 𝟐 ≤ 𝟑 ≤ 𝒏 ≤ ⋯

Entre los enteros este orden puede extenderse:

… ≤ −𝟑 ≤ −𝟐 ≤ −𝟏 ≤ 𝟎 ≤ 𝟏 ≤ 𝟐 ≤ 𝟑 ≤ ⋯

Los enteros mayores que cero se denominan positivos y los

menores negativos.


Orden entre los enteros


Suma de enteros:

ℤ × ℤ +

ℤ

𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂+ 𝒃

La definición permite sumar dos cualesquiera números enteros y

verifica:

Asociativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ

Conmutativa 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ

Elemento neutro 0 + 𝒂 = 𝒂 + 0 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ

Elemento opuesto 𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎 ∀𝒂 ∈ ℤ

Se dice que ℤ con la suma forma un Grupo Abeliano


Operaciones con enteros, propiedades.


Producto de enteros:

ℤ × ℤ ∙

ℤ

𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂 ∙ 𝒃

La definición permite multiplicar dos cualesquiera números

enteros y verifica:

Asociativa: 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ

Conmutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ

Elemento neutro 1 ∙ 𝒂 = 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ

Distributiva 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ

Cancelativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒄 𝒚 𝒂 ≠ 𝟎 ⟹ 𝒃 = 𝒄

Se dice que ℤ con la suma y producto forma un anillo

conmutativo con elemento unidad y por la propiedad cancelativa

se dice que es un dominio de integridad.


Operaciones con enteros, propiedades.


El orden y las operaciones verifican una serie de propiedades de

compatibilidad:

𝑪𝒐𝒎𝒑𝒂𝒕𝒊𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒄𝒐𝒏 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≤ 𝒅

⟹ 𝒂+ 𝒄 ≤ 𝒃 + 𝒅

𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒚 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≥ 𝟎

⟹ 𝒂 ∙ 𝒄 ≤ 𝒃 ∙ 𝒄

𝑷𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐 𝒚 𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏 𝒂 ≤ 𝒃𝒄 ≤ 𝟎

⟹ 𝒂 ∙ 𝒄 ≥ 𝒃 ∙ 𝒄

El orden de los enteros es total o lineal, es decir dados dos

números a, b bien 𝒃 ≤ 𝒂 o bien 𝒂 ≤ 𝒃

A diferencia de los números naturales el orden de los enteros no

es un buen orden, no todos los subconjuntos tienen un elemento

mínimo


Orden y operaciones, propiedades.


Se dice por definición que a divide a b y se nota 𝒂|𝒃 cuando:

𝒂|𝒃 ⟺ ∃𝒄 ∈ ℤ 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒃 = 𝒂𝒄

En este caso se dice que a y c son divisores de b, o bien que a es

múltiplo de a y c.

La relación binaria 𝒂|𝒃 es una relación de orden parcial entre

los enteros positivos ya que verifica las propiedades:

Reflexiva 𝒂|𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ Antisimétrica 𝒂 𝒃 𝒚 𝒃 𝒂 ⟹ 𝒂 = 𝒃

Transitiva 𝒂 𝒃 𝒚 𝒃 𝒄 ⟹ 𝒂|𝒄

No es una relación de orden total.


Divisibilidad


Representada gráficamente la relación a divide a b entre los

enteros positivos:

El nivel inferior lo ocupa el entero positivo 1 y el siguiente nivel

lo ocupan los números primos, es decir los números que solo

admiten como divisores a sí mismo y a la unidad.

Cualquier número no primo se dice que es compuesto.


Divisibilidad

……….

4 6 9 10 15 25 ……..

2 3 5 ……… 1


No todos los números enteros tienen inverso respecto del

producto, o sea no siempre existe otro entero que multiplicado

por el primero de la unidad.

Los únicos enteros con inverso son −𝟏,+𝟏 ⊂ ℤ y, por ello, se

denominan unidades.

Un subconjunto 𝑨 ⊂ ℤ se dice que es un ideal por definición

cuando es un subgrupo aditivo y, además:

𝒙 ∈ 𝑨 𝒆 𝒚 ∈ ℤ ⇒ 𝒙 ∙ 𝒚 ∈ 𝑨

Por ejemplo son ideales los conjuntos 𝟎 𝐲 ℤ , cualquier otro

ideal se dice que es propio.

Un ideal propio es por ejemplo el conjunto de todos los múltiplos

de un entero 𝑎 concreto:

𝒂 = 𝒙 ∈ ℤ. . 𝒕𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒙 = 𝒂


Unidades e ideales


Los ideales propios que se reducen al conjunto de los múltiplos

de un entero se denominan ideales principales.

En el dominio de integridad de los enteros ℤ todos los ideales

propios son el conjunto de los múltiplos de algún número por

ello se dice que es un dominio de ideales principales (PID).

La intersección de ideales es un ideal, por tanto los múltiplos

comunes de dos enteros deben ser todos ellos múltiplos de un

entero que debe ser un múltiplo común, lo que más adelante se

define como el mínimo común múltiplo.


Anillo de ideales principales


Algo muy singular del dominio de integridad de los enteros es la

existencia de una división euclídea.

Dados 𝑎, 𝑏 ∈ ℤ con 𝒃 > 𝟎 denominados dividendo y divisor

respectivamente existe dos números enteros únicos 𝒒, 𝒓 ∈ ℤ

denominados cociente y resto respectivamente tales que:

𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 ≤ 𝒓 < 𝒃

La demostración de la existencia y unicidad de cociente y resto

se basa en que el orden entre los enteros positivos es un buen

orden, o sea todo subconjunto tiene un mínimo.

Si el resto de la división euclídea es nulo 𝒓 = 𝟎 entonces 𝒂 es un

múltiplo de 𝒃 o, si se prefiere, 𝒃 es un divisor de 𝒂.


División euclídea


Un entero 𝒙 ∈ ℤ se dice por definición que es primo si:

1. Es mayor que 1 𝒙 > 𝟏

2. Sus únicos divisores son los elementos de +𝟏,−𝟏, 𝒙, −𝒙

Es decir los primos son 2,3,5,7,11,13,17,19,…..

Los números primos son las piezas de Lego de la Matemáticas.

Una de las propiedades características de los primos que a veces

se utiliza como definición es que si 𝑝 es primo entonces:

𝒑|𝒂𝒃 ⇒ 𝒑|𝒂 𝒐 𝒑|𝒃

Un primo que divide a un producto divide a uno de los factores.


Números primos


Los números primos constituyen una sucesión ilimitada, es decir

que existen infinitos números primos.

Si 𝒑𝟏, 𝒑𝟐, 𝒑𝟑, … . . , 𝒑𝒓 fueran los r primeros y únicos números

primos, entonces 𝒑𝟏 ∙ 𝒑𝟐 ∙ 𝒑𝟑 ∙. .∙ 𝒑𝒓+1 da de resto 1 al dividirlo por

cualquiera del los r primeros primos luego no es divisible por

ninguno de ellos por tanto es primo lo que contradice que solo

existan r primos.

Esta demostración fue realizada por primera vez por Euclides.

Dado que no existe ninguna formula recurrente simple de

generar la serie de los números primos tiene mucha importancia

el diseño de un algoritmo eficiente para averiguar si un número

es primo.


Números primos


¿Cómo averiguar si un número entero dado 𝒑 ∈ ℤ es primo?

Se va dividiendo p por todos los primos anteriores menores o

iguales que 𝒑 hasta obtener un resto nulo.

Si se obtuviera un resto nulo antes de llegar a 𝒑 el número en

compuesto, en caso contrario es primo.

Este algoritmo no es difícil de programar, pero utilizando

Mathematica de forma interactiva basta con una instrucción

para averiguar si un número entero es primo:


Números primos


Una propiedad característica de los enteros es la que

corresponde al siguiente enunciado:

Cualquier entero 𝑥 ∈ ℤ no nulo puede expresarse como ±1 por

factores primos, además esta expresión es única salvo

permutaciones del orden de los factores.

x = 𝑝1𝑝2𝑝3 ∙ ⋯ .∙ 𝑝𝑚 𝑝1, 𝑝2,∙ ⋯ ,∙ 𝑝𝑚 𝒆𝒏𝒕𝒆𝒓𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒐𝒔

Esta factorización se denomina descomposición en factores

primos, ya era conocida y utilizada por Euclides.

La descomposición en factores primos es como la huella dactilar

de un número entero. No existen dos enteros con la misma huella

dactilar.


Teorema fundamental de la Aritmética


Descomponer en factores primos es un proceso relativamente

simple de describir, ahora bien cuando los factores primos son

grandes o muy grandes puede tomar a un ordenador mucho

tiempo.

La ayuda de un “software” como Mathematica facilita las tareas:


Descomposición en factores primos


Sabemos que la sucesión de los números primos es infinita, ahora

bien caben muchas preguntas:

¿Hay aproximadamente en mismo número de primos en cada millar?

No, parece que van disminuyendo

¿Son cada vez más numerosos o cada vez más raros?

Cada vez son más raros y se distancian más

¿Existe alguna forma de predecir el número de primos 𝝅 𝒙 menores

que un número dado x?

Gauss conjeturó que 𝜋 𝒙 se aproxima a 𝒙

𝑙𝑜𝑔 𝒙 cuando 𝒙

crece indefinidamente


Teorema de los números primos


Que cada vez son más escasos se puede comprobar de inmediato

contando haciendo uso de la función PrimePi[x] de Mathematica:

Tres millares que contienen cantidades decrecientes de primos.

Luego parece que efectivamente los primos no se distribuyen de

modo uniforme sino que cada vez son más escasos




La conjetura de Gauss respecto de la distribución de los primos

afirma que:

𝒙𝑳𝒏 𝒙

𝝅 𝒙 ⟹ 𝟏

De modo que 𝒙

𝑳𝒏 𝒙 para valores de x elevados puede tomarse como

una aproximación del valor de 𝝅 𝒙 . Por ejemplo ¿Cuántos primos

aproximadamente hay entre los primeros 100 millones enteros

positivos?.

La respuesta aproximada es 𝟏𝟎𝟖

𝑳𝒏 𝟏𝟎𝟖= 𝟓𝟒𝟐𝟖𝟔𝟖𝟏.

La respuesta correcta es:




Todos los factores primos de cualquier divisor de otro entero deben

aparecer en la descomposición en factores de este.

Agrupando en potencias los factores primos que se repiten:

𝑥 = 𝑝1𝛼1 ∙ 𝑝2

𝛼2 ∙ ⋯ ∙ 𝑝𝑚𝛼𝑚

Los divisores enteros positivos de este número son los sumandos del

desarrollo de

1 + 𝑝11+. . +𝑝1

𝛼1 ∙ 1 + 𝑝21+. . +𝑝1

𝛼2 ∙. .∙ 1 + 𝑝𝑚1 +. . +𝑝𝑚

𝛼𝑚

El número de divisores enteros de 𝑥 es:

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑥 = 2 𝛼1 + 1 ∙ 𝛼2 + 1 ∙. .∙ 𝛼𝑚 + 1


Divisores de un número entero



Máximo común divisor

Dados 𝑥, 𝑦 ∈ ℤ se define su máximo común divisor (𝑚𝑐𝑑 𝑥, 𝑦 ) como el

entero 𝑑 > 0 tal que:

i. 𝑑|𝑥 𝑦 𝑑|𝑦

ii. 𝑚 𝑥 𝑦 𝑚 𝑦 ⟹ 𝑚|𝑑

Es decir que el máximo común divisor de dos enteros es otro entero

positivo divisor común tal que cualquier otro divisor común es

divisor suyo.

La existencia y unicidad del máximo común divisor es consecuencia

de la existencia de la división euclídea y la demostración se debe a

Euclides y es constructiva, se conoce como algoritmo de Euclides.


Cualquier divisor común de dos números es divisor de su

máximo común divisor.

Si un número es múltiplo de otro el máximo común divisor de

ambos es el segundo.

Dos números cuyo máximo común divisor es la unidad se dice

que son primos entre si (“coprimes” en ingles)

El máximo común divisor del dividendo y divisor de una división

euclídea es igual que el máximo común divisor de divisor y resto

𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 < 𝒓 < 𝒃 ⇒ 𝒎𝒄𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝒎𝒄𝒅(𝒃, 𝒓)


Propiedades del máximo común divisor


El algoritmo de Euclides es un procedimiento de cálculo del

máximo común divisor de dos números basado e la propiedad:

𝒂 = 𝒃𝒒 + 𝒓 𝟎 < 𝒓 < 𝒃 ⇒ 𝒎𝒄𝒅 𝒂, 𝒃 = 𝒎𝒄𝒅(𝒃, 𝒓)

Consiste en realizar divisiones sucesivas hasta obtener un resto

nulo. Si el resto no es nulo para la siguiente división el divisor

pasa a ser dividendo y el resto pasa a ser el divisor.

Cuando se obtiene resto nulo el último divisor es el máximo

común divisor


Algoritmo de Euclides


Dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ+ o en caso de que alguno fuera negativo se

consideraría su opuesto ya que el máximo común divisor será el

mismo y será siempre positivo, se realiza la división euclídea

sucesiva:

𝒂 = 𝒃 ∙ 𝑞1 + 𝑟1 0 ≤ 𝑟1 < 𝑦

𝒃 = 𝑟1 ∙ 𝑞2 + 𝑟2 0 ≤ 𝑟2 < 𝑟1 𝑟1 = 𝑟2 ∙ 𝑞3 + 𝑟3 0 ≤ 𝑟3 < 𝑟2 .

.

𝑟𝑛−3 = 𝑟𝑛−2 ∙ 𝑞𝑛−1 + 𝑟𝑛−1 0 ≤ 𝑟𝑛−1 < 𝑟𝑛−2 𝑟𝑛−2 = 𝑟𝑛−1 ∙ 𝑞𝑛 + 𝑟𝑛 0 ≤ 𝑟𝑛 < 𝑟𝑛−1 𝑟𝑛−1 = 𝑟𝑛 ∙ 𝑞𝑛+1

𝑚𝑐𝑑 𝒂, 𝒃 = 𝑚𝑐𝑑 𝒃, 𝑟1 = 𝑚𝑐𝑑 𝑟1, 𝑟2 = ⋯ = 𝑚𝑐𝑑 𝑟𝑛−1, 𝑟𝑛 = 𝑟𝑛


Algoritmo de Euclides


Dados 𝒂, 𝒃 ∈ ℤ , sea 𝒅 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 , entonces existen dos enteros

𝒎,𝒏 ∈ ℤ tales que:

𝒅 = 𝒎𝒂+ 𝒏𝒃

A partir de algoritmo de Euclides, comenzando por el final y

sustituyendo cada resto despejado en la expresión anterior hasta

llegar a la primera se obtiene el máximo común divisor como

combinación lineal de los dos números, es decir la identidad de

Bezout.

El cálculo de los coeficientes m y n se realiza como se describe en

el párrafo anterior.


Identidad de Bezout



Mínimo común múltiplo

Dados 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ se define su mínimo común múltiplo (𝑚𝑐𝑚 𝑥, 𝑦 ) como

el entero 𝒎 > 0 tal que:

i. 𝒙|𝒎 𝒆 𝒚|𝒎

ii. 𝒙 𝒏 𝒆 𝒚 𝒏 ⟹ 𝒎|𝒏

Es decir que el mínimo común múltiplo de dos enteros es otro entero

positivo múltiplo común tal que cualquier otro múltiplo común sea

múltiplo suyo.

Utilizando la identidad de Bezout se puede demostrar que el

producto de dos números es igual que el producto de su máximo

común divisor por su mínimo común múltiplo.

𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 ∙ 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚


Cualquier múltiplo común de dos números es múltiplo de su

mínimo común múltiplo.

Si un número es múltiplo de otro el mínimo común múltiplo de

ambos es el primero.

Dos números primos entre sí tienen como mínimo común

múltiplo el producto de ambos.

La intersección entre el ideal de los múltiplos de x y el ideal de

los múltiplos de y es otro ideal formado por los múltiplos

comunes por tanto es el ideal de los múltiplos del mínimo común

múltiplo.

𝒙 ∩ 𝒚 = 𝒎 𝒔𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒎 = 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚


Propiedades del mínimo común múltiplo


La existencia y unicidad del mínimo común múltiplo es

consecuencia de la existencia y unicidad del máximo común

divisor y de la propiedad:

𝒙 ∙ 𝒚 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 ∙ 𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚

El cálculo del mínimo común múltiplo es sencillo basándose en

la propiedad anterior.

Dados dos números 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ se calcula en primer lugar su

máximo común divisor utilizando el algoritmo de Euclides

𝑑 = 𝒎𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 . Después se calcula:

𝒎𝒄𝒎 𝒙, 𝒚 = 𝒎 =𝒙∙𝒚

𝒅


Cálculo del mínimo común múltiplo


La descomposición en factores es una operación más complicada de

lo que aparenta a primera vista.

Un número compuesto cuyo primer factor primo es grande implica

un arduo trabajo para descomponerlo en factores, mientras que el

calculo del mcd de este número con otro puede ser muy simple y

requerir pocos pasos mediante el algoritmo de Euclides.

Por consiguiente, para números grandes es casi siempre mas

eficiente calcular mcd y mcm mediante el algoritmo de Euclides.

Mathematica utiliza el algoritmo de Euclides para el cálculo de

mcd.


Mcd y mcm con Mathematica


En ingles mcd se denomina “greatest common divisor” y se nota GCD.

Del mismo modo mcm se denomina “least common multiple” y se nota

LCM.

En Mathematica existen instrucciones para el cálculo de ambos:


Mcd y mcm con Mathematica


Dados dos enteros 𝒙, 𝒚 ∈ ℤ y sus respectivas descomposiciones en

factores primos:

𝒙 = 𝑝𝑘𝛼𝑘 𝒚 = 𝑝𝑘

𝜷𝑘𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

Entonces, es sencillo demostrar que:

m𝒄𝒅 𝒙, 𝒚 = 𝑝𝑘𝒎𝒊𝒏 𝜶𝒌,,𝜷𝒌

𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

m𝒄𝒎 𝒙, 𝒚 = 𝑝𝑘𝒎𝒂𝒙 𝜶𝒌,,𝜷𝒌

𝑝𝑘 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜

Formulas que corresponden a las conocidas reglas “factores primos

comunes al menor exponente” para el mcd y “factores primos

comunes y no comunes al mayor exponente”


Mcd y mcm por descomposición en factores


En el conjunto ℤ de los números enteros dado 𝑚 ∈ ℤ+ se puede definir

la relación siguiente:

𝑥 ≡ 𝑦 𝑚𝑜𝑑 𝑚 ⟺ 𝑚| 𝑥 − 𝑦

Otra definición equivalente consistiría en decir que dos enteros están

relacionados si y solo si dan el mismo resto en la división euclídea

entre m.

La relación así definida verifica las propiedades reflexiva, simétrica y

transitiva, de forma que es una relación de equivalencia.

Dos enteros relacionados se dice que son congruentes módulo m.


Congruencias


Se puede comprobar que la relación es de equivalencia y el conjunto

cociente tiene m clases que se corresponden con los m posibles restos

de un entero al dividir por m:

ℤ𝑚 =ℤ

≡= 0 , 1 , 2 , … ,𝑚 − 1

En el conjunto cociente ℤ𝑚 se puede considerar dos operaciones: suma

y producto

𝒂 + 𝒃 = 𝒂 + 𝒃 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒂 ∙ 𝒃

Las definiciones son consistentes pues se puede comprobar que el

resto de la suma (producto) de dos número al dividir por m es la suma

(producto) de los restos de ambos números al dividirlos por m.


Congruencias


Suma de elementos de ℤ𝑚, 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐜𝐥𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚:

ℤ𝑚 × ℤ𝑚 +

ℤ𝑚

𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂+ 𝒃

La definición permite sumar dos elementos de ℤ𝑚 cualesquiera y

verifica:

Asociativa: 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚

Conmutativa 𝒂 + 𝒃 = 𝒃 + 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝑚

Elemento neutro 𝟎 + 𝒂 = 𝒂 + 𝟎 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚

Elemento opuesto 𝒂 + −𝒂 = −𝒂 + 𝒂 = 𝟎 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚

Se dice que ℤ𝑚 con la suma forma un Grupo Abeliano


Congruencias


Producto de elementos de ℤ𝑚, 𝐞𝐬 𝐝𝐞𝐜𝐢𝐫 𝐜𝐥𝐚𝐬𝐞𝐬 𝐝𝐞 𝐞𝐪𝐮𝐢𝐯𝐚𝐥𝐞𝐧𝐜𝐢𝐚:

ℤ𝑚 × ℤ𝑚 ∙

ℤ𝑚

𝒂, 𝒃 ⟶ 𝒂 ∙ 𝒃

La definición permite sumar dos elementos de ℤ𝑚 cualesquiera y

verifica:

Asociativa: 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚

Conmutativa 𝒂 ∙ 𝒃 = 𝒃 ∙ 𝒂 ∀𝒂, 𝒃 ∈ ℤ𝑚

Elemento unidad 𝟏 ∙ 𝒂 = 𝒂 ∙ 𝟏 = 𝒂 ∀𝒂 ∈ ℤ𝑚

Distributividad 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒄 = 𝒂 ∙ 𝒃 + 𝒂 ∙ 𝒄 ∀𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℤ𝑚

Se dice que ℤ𝑚con la suma y producto forma un anillo conmutativo

con elemento unidad denominado el anillo de los restos módulo m.


Congruencias


Considérese ℤ𝟔 anillo de las clases residuales módulo 6. Las tablas de

sus operaciones son:

Obsérvese que no se verifica la propiedad cancelativa:

𝟑 ∙ 𝟏 = 𝟑 ∙ 𝟑 y, sin embargo, 𝟏 ≠ 𝟑

Existen divisores de cero como 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟎


Congruencias

+ 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟎 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟏 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎

𝟐 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏

𝟑 𝟑 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐

𝟒 𝟒 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑

𝟓 𝟓 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒

∙ 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

𝟏 𝟎 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓

𝟐 𝟎 𝟐 𝟒 𝟎 𝟐 𝟒

𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑

𝟒 𝟎 𝟒 𝟐 𝟎 𝟒 𝟐

𝟓 𝟎 𝟓 𝟒 𝟑 𝟐 𝟏


Cualquier número entero positivo puede expresarse en forma de

polinomio de potencias de 10 cuyos coeficientes son las cifras o dígitos

del número:

𝟗𝟎𝟑𝟒𝟎𝟔 = 𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟏 + 𝟒 ∙ 𝟏𝟎𝟐 + 𝟑 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟒 + 𝟗 ∙ 𝟏𝟎𝟓

Esta representación va a permitir establecer criterios de divisibilidad.

Por ejemplo, considérense los restos de las potencias de 10 módulo 3.

𝟏𝟎𝟎 = 𝟏 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 𝟏𝟎𝟏 = 𝟏𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑

𝟏𝟎𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 𝟏𝟎𝟑 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑

………

𝟏𝟎𝒌 ≡ 𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑 ∀𝒌


Criterios de divisibilidad


Los restos de todas las potencias de 10 módulo 3 son iguales a la

unidad, por tanto dado un número:

𝒑𝒌𝒑𝒌−𝟏. . 𝒑𝟏𝒑𝟎 = 𝒑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎 + 𝒑𝟏 ∙ 𝟏𝟎

𝟏 +⋯+ 𝒑𝒌−𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝒌−𝟏 + 𝒑𝒌 ∙ 𝟏𝟎

𝒌

Entonces:

𝒑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟎≡ 𝒑𝟎 𝒎𝒐𝒅 𝟑

𝒑𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝟏 ≡ 𝒑𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑

……

𝒑𝒌−𝟏 ∙ 𝟏𝟎𝒌−𝟏 ≡ 𝒑𝒌−𝟏 𝒎𝒐𝒅 𝟑

𝒑𝒌 ∙ 𝟏𝟎𝒌 ≡ 𝒑𝒌 𝒎𝒐𝒅 𝟑

Sumando 𝒑𝒌𝒑𝒌−𝟏. . 𝒑𝟏𝒑𝟎 ≡ 𝒑𝒋𝒌𝒋=𝟎 𝒎𝒐𝒅 𝟑 es decir:

“Un número es divisible por tres si la suma del valor de sus cifras es

múltiplo de 3”


Criterios de divisibilidad

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MatAyB-01. Numeros Enteros