INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALESSIMULACIONUNIDAD Unidad
II: Nmeros pseudoaleatorios
ISC ENRIQUE PONCE RIVERA
S50119-09-2016NOMBRE DEL ALUMNO: ANEL VERONICA SOSA MEJIA
Fecha de entrega:19/09/201
ContenidoIntroduccin32.1Mtodos de generacin de nmeros
Pseudoaleatorio3Mtodos de generacin aritmticos5Mtodo de los
cuadrados medios52.2Pruebas estadsticas72.2.1De uniformidad. (chi
cuadrada, kolmogorov-Smimov) Prueba de Kolmogorov-Smirnov72.2.2De
aleatoriedad. (corridas arriba y debajo de la media y longitud de
corridas)82.2.3De independencia. (Autocorrelacin, prueba de huecos,
prueba del pquer, prueba de Yule)92.3 Mtodo de Monte Carlo92.3.1
Caractersticas9Aplicaciones12Solucin de
problemas13Conclusin:13Referencias:13Raul Coss Bu. (1967).
Simulacion un enfoque practico. Noruega: Limusa.13I. M. Sbol.
Mtodos de Montecarlo. Lecciones populares de Matemticas. Editorial
Mir (1976).13
Introduccin
En esta investigacin se abordaran los temas de la unidad 2
correspondientes a la unidad dos de la materia de simulacin, a
continuacin dar una pequea introduccin a el concepto de simulacin y
mencionar con brevedad los temas y subtemas de la unidad nmeros
pseudoaleatorios.Con el llegado de las computadoras, una de las ms
importantes herramientas de analizar el diseo y operacin de
sistemas o procesos complejos de la simulacin.Simulacin es una
poderosa tcnica para la resolucin de problemas. Sus orgenes estn en
la teora de muestreo estadstico y anlisis de sistemas fsicos
probabilsticos complejos. El aspecto comn de ambos es el uso de
nmeros y muestras aleatorias para aproximar soluciones.Aunque la
construccin de modelos arranca desde el renacimiento, el uso
moderno de la palabra simulacin. El tema 2.1 habla sobre los mtodos
de generacin de nmeros pseudoaleatorios la generacin de nmeros
aleatorios de forma totalmente aleatoria, es muy sencilla con
alguno de los mtodos que se mencionaran, mtodos de generacin
aritmticos, de los cuadrados medios tambin se describen dos de las
pruebas estadsticas que se aplican a los nmeros pseudoaleatorios
generados por cualquiera de los mtodos mencionados.
2.1Mtodos de generacin de nmeros Pseudoaleatorio Los nmeros
pseudoaleatorios se usan de la siguiente manera:Primero, se generan
mediante algn algoritmo determinsticoSe aplican las pruebas
necesarias para comprobar que son aptos (es decir, pueden mostrar
aleatoriamente) para usarse en la simulacin.Con ellos se generan
variables aleatorias para distribuciones continuas o discretas
(cada una conlleva una serie de pasos a seguir). Con mtodos como el
de la transformada inversa.Las cuales se usan para describir el
comportamiento de materiales, personas.
Mtodos mecnicosLa generacin de nmeros aleatorios de forma
totalmente aleatoria, es muy sencilla con alguno de los siguientes
mtodos: Mediante una ruleta. Si estamos interesados en obtener
nmeros aleatorios discretos de una cifra (0,1,2,. . .,9), se hace
girar una ruleta numerando los sectores del 0 al 9 y posteriormente
se de1tiene anotndose el nmero de sector. La probabilidad de
obtener cualquier nmero de la secuencia anterior es 1/10.Si en
lugar de generar nmeros aleatorios de una cifra, necesitamos
generar nmeros aleatorios uniformes de k cifras, con valores de la
variable aleatoria en el conjunto, con probabilidad 1/10, no
tenemos nada ms que partir de una tabla de nmeros aleatorios de una
cifra, y agruparlos de en ; los nmeros resultantes son aleatorios
de cifras.La generacin de nmeros aleatorios de una variable
aleatoria uniforme (0, 1) constituye el paso siguiente, ya que esa
distribucin juega un papel fundamental en la generacin de variables
aleatorias con otras distribuciones. Supongamos que estamos
interesados en la generacin de nmeros aleatorios con cifras
decimales y uniformes en el intervalo (0, 1). El primer paso ser
generar nmeros (), uniformes de cifras para posteriormente, a travs
de una transformacin =/10 , pasarlos al dominio (0, 1)
Mediante una moneda o un dado: Se lanza una moneda o un dado y
se anota el resultado.fig.1
3.Uso de guas telefnicas: Coger la gua telefnica de una
provincia, abrir una pgina al azar y anotar de cada nmero de
telfono las cuatro ltimas cifras. fig2Mtodos de generacin
aritmticos
Los procedimientos de generacin de nmeros aleatorios ms
utilizados son de tipo aritmtico y suelen ser de tipo recursivo.
Cada nmero aleatorio se obtiene en funcin del ltimo nmero obtenido,
o de un nmero relativamente pequeo de los nmeros obtenidos
previamente. Si se considera el caso en el que cada nmero depende
exclusivamente del anterior, la frmula de generacin ser
Mtodo de los cuadrados mediosEste mtodo fue planteado por Von
Neumann en 1950. Se basa en tomar un nmero, elevarlo al cuadrado y
tomar los dgitos del centro como nuevo nmero, luego repetir el
procedimiento. EJEMPLO 1. Sea la semilla RND0 = 4380, (obtenida
aleatoriamente con el procedimiento de papelitos o tarjetas
numeradas del 0 al 9 cada una).(4380)2 = 19 18 44 00, por lo que al
eliminar las cifras exteriores 19 y 00; tenemos que:RND1 = 1844.
Aplicamos iterativamente este procedimiento y tendremos:(1844)2=
3400336. Como esta es una cifra con un nmero impar de dgitos,
establecemos el criterio de aumentar por la izquierda un cero
(puede ser a la derecha), es decir, ahora tendremos: 03 40 03 36.
Entonces, al eliminar a la izquierda la cifra 03 y a la derecha la
cifra 36, tendremos:RND2=4003; (4003)2=16 02 40 09, eliminando a la
izquierda la cifra 16 y a la derecha la cifra 09,
tenemos:RND3=0240; (240)2=57600, entonces: 05 76 00. Aqu se elimina
un solo dgito tanto a la izquierda como a la derecha, por lo
que:RND4=5760; (5760)2=33177600RND5 =1776; y as sucesivamente hasta
obtener el tamao de muestra deseado, o bien hasta que el
procedimiento se degenere repitiendo una serie de nmeros
previamente generados. Si eventualmente se obtiene la semilla
inicial, a la cantidad de nmeros obtenida se le llama perodo del
generador.
2.2Pruebas estadsticas
En esta seccin se describen 2 de las pruebas estadsticas que se
aplican a los nmeros pseudoaleatorios generados por cualquiera de
los mtodos anteriores; en la primera de ellas, se tratar de
verificar la hiptesis de que los nmeros generados provienen de la
distribucin uniforme en el intervalo cerrado [0,1], en la segunda
de ellas, se aplicar la prueba de corrida, misma que sirve para
verificar que los nmeros son efectivamente aleatorios. A
continuacin se detallan ambas pruebas
2.2.1De uniformidad. (chi cuadrada, kolmogorov-Smimov) Prueba de
Kolmogorov-Smirnov
Esta prueba sirve para verificar o negar la hiptesis que un
conjunto de observaciones provienen de una determinada distribucin.
La estadstica D que se utiliza en esta prueba es una medida de la
diferencia mxima observada entre la distribucin emprica (dada por
las observaciones) y la terica supuesta. La estadstica D es
obviamente una variable aleatoria.A continuacin se detalla cmo se
utiliza esta prueba para verificar o negar que un conjunto de
nmeros pseudoaleatorios tenga una distribucin uniforme en el
intervalo cerrado [0, 1].
fig.3
2.2.2De aleatoriedad. (Corridas arriba y debajo de la media y
longitud de corridas)
Aqu se encuentran los resultados de una encuesta con una serie
de cuestiones sobre lo que ocurrira jugando al ajedrez de forma
aleatoria, as como los resultados obtenidos de una simulacin
mediante PC (Mtodo de Monte Carlo) de sta misma cuestin. Las
respuestas a la encuesta se obtuvieron a travs de Internet y de un
BBS local. Las lneas marcadas con dos asteriscos son las respuestas
verdaderas de acuerdo con los resultados de la simulacin.
El resumen de los resultados de la simulacin al azar, muestra en
la primera tabla, los datos parciales y acumulados que se
obtuvieron despus de simular 2.000.000 de partidas. Una segunda
tabla muestra los resultados cuando se introduce la regla de los 50
movimientos, que no result significativa, ya que de las 264.831
tablas resultantes de la misma, 247.354 tambin lo hubiesen sido sin
la aplicacin de la regla.La tabla tercera muestra el porcentaje de
veces que cada uno de los tipos de piezas aparece en la posicin
final del bando vencedor (naturalmente de las partidas que no
fueron tablas).La cuarta tabla muestra el nmero de casillas que por
trmino medio bate cada una de las piezas durante el desarrollo de
las partidas. Como es bien conocido, esta es una medida del poder
de cada pieza.Una ltima tabla muestra los resultados de simular
tandas de 4.000.000 de simulaciones desde posiciones iniciales que
solo contiene el material de los mates elementales.
2.2.3De independencia. (Auto correlacin, prueba de huecos,
prueba del pquer, prueba de Yule)La prueba Pquer, prueba grupos de
nmeros juntos como una mano de pker y compara cada mano con la mano
esperada usando la prueba Chi-cuadrada. La prueba de corrida arriba
abajo es generalmente.La prueba POKER se utiliza para analizar la
frecuencia con la que se repiten los dgitos en nmeros aleatorios
individuales. Para determinar si los nmeros aleatorios generados
cumplen con las propiedades especificadas (uniformidad e
independencia ) se tendrn las hiptesis siguientes:
2.3 Mtodo de Monte Carlo
2.3.1 Caractersticas
La simulacin de Montecarlo es un mtodo especialmente til para
analizar situaciones que involucran riesgo con el propsito de
obtener respuestas aproximadas cuando el realizar un experimento
fsico o el aplicar mtodos analticos no es posible o resulta muy
difcil o costoso.La simulacin de Montecarlo hace referencia a
experimentos que involucran el uso de nmeros pseudoaleatorios. El
requisito clave de esta tcnica es que los resultados de todas las
variables de inters deben ser seleccionados aleatoriamente.La
simulacin de Montecarlo ha tenido una gran aceptacin en la vida
real debido al poder analtico que presenta sin la necesidad de
matemticas complejas
Para la aplicacin de la simulacin de Monte Carlo se han de
seguir los siguientes pasos:
1. En primer lugar hay que seleccionar el modelo matemtico que
se va a utilizar, siendo en el caso de la valoracin de proyectos de
inversin los ms habituales el Valor Actual Neto (VAN), y la Tasa
Interna de Rentabilidad (TIR). Segn el valor obtenido para estos
mtodos de valoracin se tomar la decisin de si el proyecto es
rentable y se lleva a cabo, o no. 2. Z = f(x), donde "x" es la
variable desconocida a simular
3. A continuacin habr que identificar las variables cuyo
comportamiento se va a simular (x). Es decir, aquellas que se
consideran que no van a tomar un valor fijo, sino que pueden tomar
un rango de valores por no tratarse de variables ciertas, as como
las relaciones que existen entre ellas (por lo que sera deseable
definir los coeficientes de correlacin existentes entre las
variables). Si no se tuvieran en cuenta dichas interrelaciones, y
se simularan las variables de forma independiente, se estara
incurriendo en un error en los resultados obtenidos, y se reducira
la variabilidad de los resultados al tener lugar el efecto de
compensacin en la interaccin de las variables.
4. Una vez identificadas las variables que se van a simular, hay
que determinar la funcin de densidad de probabilidad f(x) asociada
a cada una de ellas.
5. Posteriormente, se obtendrn las funciones de distribucin
asociadas a las variables (o variable).
6. A continuacin se procede a la generacin de nmeros aleatorios
(nmeros tomados al azar) comprendidos entre cero y uno. Estos
nmeros pueden obtenerse utilizando un ordenador, siendo necesarios
tantos como variables se consideren en el modelo multiplicado por
el nmero de simulaciones que se deseen realizar.
7. Una vez se dispone de los nmeros aleatorios, stos se llevan
sobre el eje de ordenadas, y se proyectan horizontalmente sobre las
correspondientes funciones de distribucin F(x) de las variables (o
la variable) del modelo. 8. El valor as calculado de "x" ser el
primer valor de la muestra simulada.
9. Este proceso habr de repetirse el nmero de veces necesario
para poder disponer del nmero adecuado de valores muestrales.
10. A continuacin, se sustituyen los valores simulados en el
modelo matemtico para ver el resultado obtenido para las
simulaciones realizadas. En el caso del anlisis de proyectos de
inversin en los que se utiliza como mtodo de valoracin el VAN, hay
que tener en cuenta que la tasa de descuento a utilizar en las
simulaciones es la tasa libre de riesgo, porque en caso contrario
se estara penalizando doblemente al proyecto de inversin, tanto en
el numerador como en el denominador por el riesgo. No obstante, en
contra de esta posicin que es la que se utiliza habitualmente en la
prctica empresarial, se encuentra la de los autores Brealey y
Myers, quienes limitan la utilidad de la simulacin de Monte Carlo a
la mejor estimacin de los flujos netos de caja, y proponen aplicar
para el descuento de los mismos la tasa de descuento ajustada por
el riesgo, y no la tasa libre de riesgo, porque consideran que hay
un nico VAN.
11. Posteriormente, se agrupan y clasifican los resultados. Se
comparan los casos favorables, con los casos posibles, y se agrupan
por categoras de resultados
12. Para finalizar, se lleva a cabo el anlisis estadstico y de
inferencia sobre el comportamiento de la realidad, siendo
interesante calcular la media, la varianza y la desviacin tpica.
Por ejemplo, en la valoracin de proyectos de inversin, es habitual
llevar a cabo el anlisis de la viabilidad de un proyecto de
inversin analizando la probabilidad de que el Valor Actual Neto
(VAN) sea positivo (P(VAN>0)), as como el anlisis de
sensibilidad con el objetivo de identificar aquellas variables que
son consideradas crticas por tener mayor impacto sobre el VAN.
Aplicaciones
Sistemas de computacin: redes de ordenadores, componentes,
programacin, bases de datos, fiabilidad.Fabricacin: manejo de
materiales, lneas de montaje, equipos de almacenamiento, control de
inventario, mantenimiento, distribucin en planta, diseo de
mquinas.Negocios: anlisis de existencias, poltica de precios,
estrategias de marketing, estudios de adquisicin, anlisis de flujo
de caja, prediccin, alternativas del transporte, planificacin de
mano de obra.Gobierno: armamento y su uso, tcticas militares,
prediccin de la poblacin, uso del suelo, prevencin de incendios,
servicios de polica, justicia criminal, diseo de vas de
comunicacin, servicios sanitarios.Ecologa y medio ambiente:
contaminacin y purificacin del agua, control de residuos,
contaminacin del aire, control de plagas, prediccin del tiempo,
anlisis de sesmos y tormentas, exploracin y explotacin de
minerales, sistemas de energa solar, explotacin de
cultivos.Sociedad y comportamiento: estudios de alimentacin de la
poblacin, polticas educativas, estructuras organizativas, anlisis
de sistemas sociales, sistemas de asistencia social, administracin
universitaria.
Solucin de problemas
Supongamos que tenemos un satlite, que para su funcionamiento
depende de que al menos 2 paneles solares de los 5 que tiene
disponibles estn en funcionamiento, y queremos calcular la vida til
esperada del satlite (el tiempo promedio de funcionamiento hasta
que falla, usualmente conocido en la literatura como MTTF -
Supongamos que cada panel solar tiene una vida til que es
aleatoria, y est uniformemente distribuda en el rango [1000 hrs,
5000 hrs] (valor promedio: 3000 hrs).
Conclusin:En esta investigacin se vieron los temas de la unidad
dos, nmeros pseudoaleatorios y en ella se estudiaron todos los
mtodos Los procedimientos de generacin de nmeros aleatorios ms
utilizados son de tipo aritmtico y suelen ser de tipo recursivo,
adems de entender la parte de los nmeros hay que saber aplicar
porque este campo tiene muchas aplicaciones en la vida cotidiana as
como en la vida de un profesional como en nuestra carrera para
hacer programas y as ayudar a los clientes a poder resolver esta
clase de problemas ms fcilmente Sistemas de computacin: redes de
ordenadores, componentes, programacin, bases de datos. Esto no solo
en el rea computacional si no tambin y no menos importante, en el
rea del gobierno, negocios, fabricas, sociedad y
comportamiento.Tambin en el rea de ecologa y medio ambiente para
resolver control de residuos, plagas. Explotacin de minerales,
crear sistemas de energa solar etc.
Referencias:
Raul Coss Bu. (1967). Simulacion un enfoque practico. Noruega:
Limusa.I. M. Sbol. (1976). Mtodos de Montecarlo. Lecciones
populares de Matemticas. Mir
