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Validación de Series de Números de Pseudoaleatorios
Mg. Samuel Oporto Díaz Lima, 8 Noviembre 2005
SIMULACION DE SISTEMAS DISCRETOS
22 /42/42
Objetivo
• Exponer los conceptos básicos para realizar pruebas estadísticas de uniformidad y aleatoriedad de series de números pseudoaleatorios.
• Confirmar el grado confianza en un generador de números pseudoaleatorios.
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Tabla de Contenido Pág.
1. Objetivos 3
2. Antecedentes 4
3. Validación de Series de Números Aleatorios 8
4. Prueba de Bondad de Ajuste (distribución uniforme) 8
4.1. Prueba Ji-Cuadrado 12
4.2. Prueba Kolmogorov-Smirnov 15
5. Prueba de Aleatoriedad (independencia) 18
5.1. Prueba de las Series. 20
5.2. Prueba de las Distancias 23
6. Conclusiones. 26
7. Bibliografía 27
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Mapa Conceptual del Curso
Modelado y Simulación
Simulación X Eventos
Proyectos Simulación
Colas en Serie
Colas con un servidor
Colas en Paralelo
Inventarios Series de Nro. Aleato
Validación de Series
Generación de VA
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Mapa Conceptual
Fenómenos FísicosProcedimientos
Matemáticos
NúmerosAleatorios
Validación deSeries de NA
VariablesU (0,1)
VariablesAleatorias
Tabla de Nros. aleatorios
Xi+1=(aXi+c) mod m
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ANTECEDENTES
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Antecedentes• Generación de Números pseudoaleatorios.
Xi+1=(aXi+c) mod m
Manual o mecánico. Tabla de
Números aleatorios
Computador
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Antecedentes• Métodos para la generación de series de
números pseudoaleatorios.– Generadores Congruenciales.– Producto Medio.– Cuadrado Medio.
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Antecedentes• Propiedades deseables de la serie de números
generados.
Distribución uniforme. Independientes entre si.
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Validación de Series de Números Pseudoaleatorios
Probar si una serie de números generados corresponde a una distribución de probabilidad supuesta y probar que los números son independientes entre sí.
• Prueba de Bondad de Ajuste.– Si cumple una distribución uniforme
• Prueba de Aleatoriedad.– Si los elementos de la serie son independientes.
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PRUEBA DE BONDAD DE AJUSTE
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Pruebas de Bondad de Ajuste
• Probar si una serie de números pertenece a cierta distribución de la probabilidad.
• En este caso la distribución es uniforme.
• Prueba de Ji-Cuadrado.• Prueba Kolmogorov-Smirnov
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Prueba de Bondad de AjusteH0, los números están distribuidos uniformemente.
H1, los números no están distribuidos uniformemente.
≤
>
Prueba Ji-cuadrado• Se usa cuando se trabaja con variables
nominales (categorías o grupos).• Responder la pregunta: si las frecuencias
observadas, difiere de la frecuencia esperada.
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Prueba Ji-Cuadrado
• Tomar la serie de N números.• Dividir la serie en k intervalos. k ≈ N½
• Calcular Ei = N/k
• Calcular Oi = (cantidad de #s por intervalo)
• Calcular
• Si se acepta H0
No hay diferencia significativa entre la cantidad de números de cada intervalo
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Prueba Ji-Cuadrado
kk-1k-2intervalo
frec
uenc
ia
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Ejemplo0.7652 0.7901 0.4916 0.99280.3492 0.8097 0.1627 0.12500.8049 0.5645 0.4522 0.38990.5697 0.9609 0.1487 0.95630.3276 0.8017 0.1573 0.27370.3632 0.6963 0.8135 0.06190.1676 0.7821 0.7564 0.26610.8413 0.1599 0.7215 0.41600.3629 0.2594 0.8972 0.38670.2400 0.6831 0.0994 0.80860.3109 0.9862 0.3321 0.32630.3975 0.9909 0.0856 0.27400.4400 0.9476 0.1294 0.48020.4927 0.3358 0.6776 0.53190.6355 0.7604 0.8767 0.16580.4103 0.0824 0.4875 0.9297
N = 64k = 10
X2 = 8.50
X2(9, 5%) = 16.92
X2 < X2(9, 5%)
0
2.5
5
7.5
10
12.5
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
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Prueba de Kolmogorov-Smirnov• Tomar la serie de N números.• Ordenar los números de menor a mayor.
• Calcular FN (Ui) = i /N
• Calcular D = max[Ui - FN (Ui) ] = max(Ui – i/N)
• Si D < DN,α se acepta H0
N > 30
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Prueba de Kolmogorov-Smirnov
D
10
1
FN (Ui)
Ui
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Ejemplo
i Ui i/N D36 0.4927 0.5625 0.06984
i Ui i/N Di i Ui i/N Di1 0.0619 0.0156 0.0463 33 0.4802 0.5156 0.03542 0.0824 0.0313 0.0512 34 0.4875 0.5313 0.04383 0.0856 0.0469 0.0388 35 0.4916 0.5469 0.05534 0.0994 0.0625 0.0369 36 0.4927 0.5625 0.06985 0.1250 0.0781 0.0468 37 0.5319 0.5781 0.04626 0.1294 0.0938 0.0356 38 0.5645 0.5938 0.02937 0.1487 0.1094 0.0393 39 0.5697 0.6094 0.03978 0.1573 0.1250 0.0323 40 0.6355 0.6250 0.01059 0.1599 0.1406 0.0193 41 0.6776 0.6406 0.0370
10 0.1627 0.1563 0.0065 42 0.6831 0.6563 0.026911 0.1658 0.1719 0.0060 43 0.6963 0.6719 0.024512 0.1676 0.1875 0.0199 44 0.7215 0.6875 0.034013 0.2400 0.2031 0.0369 45 0.7564 0.7031 0.0533
14 0.2594 0.2188 0.0406 46 0.7604 0.7188 0.041715 0.2661 0.2344 0.0317 47 0.7652 0.7344 0.030916 0.2737 0.2500 0.0237 48 0.7821 0.7500 0.032117 0.2740 0.2656 0.0084 49 0.7901 0.7656 0.024518 0.3109 0.2813 0.0296 50 0.8017 0.7813 0.020519 0.3263 0.2969 0.0295 51 0.8049 0.7969 0.008120 0.3276 0.3125 0.0151 52 0.8086 0.8125 0.003921 0.3321 0.3281 0.0040 53 0.8097 0.8281 0.018422 0.3358 0.3438 0.0080 54 0.8135 0.8438 0.030223 0.3492 0.3594 0.0102 55 0.8413 0.8594 0.018124 0.3629 0.3750 0.0121 56 0.8767 0.8750 0.001725 0.3632 0.3906 0.0274 57 0.8972 0.8906 0.006626 0.3867 0.4063 0.0196 58 0.9297 0.9063 0.023527 0.3899 0.4219 0.0320 59 0.9476 0.9219 0.025728 0.3975 0.4375 0.0400 60 0.9563 0.9375 0.018829 0.4103 0.4531 0.0428 61 0.9609 0.9531 0.007730 0.4160 0.4688 0.0528 62 0.9862 0.9688 0.017531 0.4400 0.4844 0.0444 63 0.9909 0.9844 0.006532 0.4522 0.5000 0.0478 64 0.9928 1.0000 0.0072
D = 0.06984 D64,5% = 0.1700
D < D64,5%
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
2020 /42/42
PRUEBAS DE ALEATEORIEDAD(INDEPENDENCIA)
2121 /42/42
Prueba de Aleatoriedad (independencia)
• Probar si los elementos de una serie de números no estas correlacionados.
• Prueba de las Series.• Prueba de las Distancias
2222 /42/42
Prueba de las series
• Tomar una muestra de tamaño N• Dividir un cuadrado de lado 1 en n2 celdas.
• Formar los pares ordenados (Ui, Ui+1), N-1 pares
• Calcular Eij = (N -1)/n2
• Calcular Oij = (cantidad de #s por celda)
• Calcular
• Si se acepta H0
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Prueba de las series
3/n
4/n
1/n
2/n
8/n
1
5/n
7/n
3/n 4/n1/n 2/n 8/n 15/n 7/n
Ejemplon U1 U21 0.7652 0.34922 0.3492 0.80493 0.8049 0.56974 0.5697 0.32765 0.3276 0.36326 0.3632 0.16767 0.1676 0.84138 0.8413 0.36299 0.3629 0.240010 0.2400 0.310911 0.3109 0.397512 0.3975 0.440013 0.4400 0.492714 0.4927 0.635515 0.6355 0.410316 0.4103 0.7901....
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.2 0.4 0.6 0.8 10.2 3 3 2 4 30.4 1 2 2 2 30.6 2 3 2 1 30.8 4 5 2 1 41 2 3 3 2 2
0.2 0.4 0.6 0.8 10.2 0.08 0.08 0.12 0.81 0.080.4 0.95 0.12 0.12 0.12 0.080.6 0.12 0.08 0.12 0.95 0.080.8 0.81 2.33 0.12 0.95 0.811 0.12 0.08 0.08 0.12 0.12
X2 = 9.4375
X2(24,5%) = 36.41
Oij =
Oij - Eij =
0.2 0.4 0.6 0.8 10.2 2.56 2.56 2.56 2.56 2.560.4 2.56 2.56 2.56 2.56 2.560.6 2.56 2.56 2.56 2.56 2.560.8 2.56 2.56 2.56 2.56 2.561 2.56 2.56 2.56 2.56 2.56
Eij =
0.2 0.4 0.6 0.8 10.2 0.44 0.44 -0.6 1.44 0.440.4 -1.6 -0.6 -0.6 -0.6 0.440.6 -0.6 0.44 -0.6 -1.6 0.440.8 1.44 2.44 -0.6 -1.6 1.441 -0.6 0.44 0.44 -0.6 -0.6
(Oij – Eij)2 = Eij
N = 64n = 5
X2 < X2(24, 5%)
2525 /42/42
Prueba de las distancias• Tomar una muestra de tamaño N• Elegir α y θ, tal que β = α + θ
• Definir: PE = θ y PF = 1 – θ• Calcular para cada número
si o al intervalo.• Hueco. Es la cantidad de números
aleatorios, en la serie, que no se encuentran en el intervalo α, β, pero se encuentran entre dos números que pertecen al intervalo.
α β
θ
0 1
0.35 Є < α, β>0.43 Є < α, β>0.71 ¢ < α, β>0.61 ¢ < α, β>0.42 Є < α, β>0.31 Є < α, β>0.94 ¢ < α, β>0.83 ¢ < α, β>0.32 Є < α, β>
α = 0.3, β = 0.6, θ = 0.3
i = 0
i = 2
i = 2
i = 0
P0 = θP1 = (1 - θ)θP2 = (1 - θ)2 θ
Pi = (1 – θ)iθ
Pi = (1 – θ)n, i > n
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Prueba de las distancias
• Calcular la tabla.
• Calcular
• Si se acepta H0
i Pi Oi Ei
0 θ FO0 ΣFO0*θ
1 (1-θ)θ FO1 ΣFO1*(1-θ)θ
2 (1-θ)2θ FO2 ΣFO2*(1-θ)2θ
3 (1-θ)3θ FO3 ΣFO3*(1-θ)3θ
. . . .
. . . .
i ≥ n (1-θ)n FOi≥n ΣFOi≥n*(1-θ)n
1 ΣOi ΣOi
n
n
2727 /42/42
Ejemplon Ui Є i n Ui Є i1 0.7652 1 0 32 0.0824 02 0.3492 0 1 33 0.4916 03 0.8049 1 34 0.1627 04 0.5697 1 35 0.4522 05 0.3276 0 36 0.1487 06 0.3632 0 37 0.1573 07 0.1676 0 38 0.8135 18 0.8413 1 0 39 0.7564 19 0.3629 0 40 0.7215 110 0.2400 0 41 0.8972 111 0.3109 0 42 0.0994 012 0.3975 0 43 0.3321 013 0.4400 0 44 0.0856 014 0.4927 0 45 0.1294 015 0.6355 1 0 46 0.6776 116 0.4103 0 1 47 0.8767 117 0.7901 1 48 0.4875 018 0.8097 1 49 0.9928 019 0.5645 1 50 0.1250 020 0.9609 0 1 51 0.3899 021 0.8017 1 52 0.9563 022 0.6963 1 53 0.2737 023 0.7821 1 54 0.0619 024 0.1599 0 55 0.2661 025 0.2594 0 56 0.4160 026 0.6831 1 0 57 0.3867 027 0.9862 0 58 0.8086 1 028 0.9909 0 59 0.3263 029 0.9476 1 0 60 0.2740 030 0.3358 0 61 0.4802 031 0.7604 1 0 62 0.5319 0
63 0.1658 064 0.9297 1 0
5
0
4
0
100
2
2
60
3
6
0
α = 0.55, β = 0.95, θ = 0.4
i Pi Oi Ei Ei - Oi (Ei - Oi)2/Ei0 0.4000 12 9.60 -2.40 0.6001 0.2400 3 5.76 2.76 1.3232 0.1440 2 3.46 1.46 0.6133 0.0864 1 2.07 1.07 0.5564 0.0518 1 1.24 0.24 0.0485 0.0311 1 0.75 -0.25 0.0866 0.0187 2 0.45 -1.55 5.379
i ≥ 7 0.0280 2 0.67 -1.33 2.6261.0000 24 24 11.230
X2 = 11.230
X2(7,5%) = 14.067
X2 < X2(7, 5%)
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Conclusiones• Antes de usar un generador de números
pseudoaleatorios, se debe probar su distribución uniforme y aleateatoriedad.
• La prueba de uniformidad, permite determinar si la serie corresponde a una distribución uniforme.
• La prueba de aleatoriedad permite determinar si los números no están correlacionados.
• En caso de rechazar algunas de las Ho, se recomienda probar con otra serie de números.
• Los resultados obtenidos por las pruebas son válidos para series de más de 30 elementos.
2929 /42/42
Bibliografía• Simulación. Métodos y Aplicación. D. Rios, S. Rios y
J. Martín. 2000.
• Simulación. Sheldom M. Ross. 1999. 2da. Edición.
• Simulación de Sistemas Discretos. J. Barceló. 1996
3030 /42/42
PREGUNTAS
3232 /42/42
