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8/18/2019 U2_escalare-vectores
1/29
Módulo de Aprendizaje
ESCALARES Y VECTORES
Elaborado por:
Clotario Israel Peralta García
Universidad SurcolombianaSemestre B de 2008
8/18/2019 U2_escalare-vectores
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 2
Unidad 1
Cantidades Escalares
1.1 Cantidades Escalares
P ,
.
Q C!. P ?.
, , :
.
, :
?
. P
: 10 ;
0 , , 10
.
Q , , ?
, . C , ,
, .
C , , 500 ,
, ?
, 500 , ;
: , .
B. E, .
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 3
M : ?
, .P , ,
, , 500 : , 500
. E ,
.
O , , ,
, ,
.
B, C A, . A,
( ).
,
.
H , . B, L C,
. :
A.
E ,
( )
:
.
E :
( ) ,
. , ,
38 ,
185
45 , .
24 ,
.
L , . O : 25
, 50 , 100 , 3 , 20 , 1 , 1
, 5000 , 10 . E F, : , , , ,
, , , , ...
P ,
, , ,
75 50 , :
75 + 50 = 125
75 50 = 25
M (75 ) (50 ) = 3750
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FISICA MECANICA Vectores - 4
Unidad 2
Cantidades Vectoriales
2.1 Cantidades Vectoriales
E ,
.
60 /
. E
, ,
.
A
C
.
Q , A! A
: ?
. P
, , .
? P !
E . L , . P :
?
E C 5 40,
C.
540
N
Cordialidad
ComunerosComuneros
540
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 5
70 km/hEste
N
EO
P .Q ! P .
C . ?
C
Q ?
M... , , 70
.
L C, .
A, , ! C . P !
, , . D,
?
D . . . . . . . . . . . .
E . . . !, !, ! I
.
P ! P .
,
: ( ), ?. ?.
, .
C, :
, C (
), () (
), C (). D
.
A, ?
A
.
I ,
; ,
L L (
), ,
, .
A . E
;
;
, , , 70 /.
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FISICA MECANICA Vectores - 6
x
v
gr
y
E , , , ( ). P
, .
, .
; ,
, , (
) . O, C! M ?
C , A! E , , G
.
B, , ; ,
, . .
, ,
, ,
, , ;
, , , , .
E ,
:
Imaginemos que usted está de pie en el centro del salón declase y el profesor de Física le indica que debe desplazarsecinco pasos. ¿Qué haría usted?
2.2 Representación gráfica de una cantidad
vectorial
.
,
( ), .
C
. C
, 2.1:
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FISICA MECANICA Vectores - 7
D E GF J H
Figura 2.1 L .
E
,
.
C
, :
A
, B
, C
A
, B
o C
C ,
, :
A , B , C E A
, B
o C
.
M
,
.
2.3 Características de un vector
:
E , ( ),
, 2.2
L , , 2.2
θ
Dirección
Extremo
inicial
Extremo
final
a) b)
Figura 2.2 ) . ) E .
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FISICA MECANICA Vectores - 8
,
, 2.2.E
. E .
D ) )
( ). E 2.1
D
E
; H
J
.
P , . A
.
2.4 Concepto de desplazamiento
E , . E
,
.
A,
.
1. E ,
(O, O, N ), .
2.
O, 10 .
.
3. A 6
N (
). D
.
4. D , , 10 O. D
.
5. A .
6. ,
.
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FISICA MECANICA Vectores - 9
EJERCICIOS DE APLICACION
1. 500 . C
N
?. ?
2. ,
?
3. C ?
4. E ,
?
5. ?6.
?
7. D . H ?
8. : D ,
F
400 , :
, , , .
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FISICA MECANICA Vectores - 10
Unidad 3
Notación Vectorial
3.1 Notación de vectores
y
x
z
O
:
L .
E .
L .
L ,
( 1),
, 3.1. E
:
F .
C x-y,
. A, .
L , 1,
. : î , ĵ , k ̂.
:
k z componente j y componentei x componenteV ˆ)(ˆ)(ˆ)( ++=
3.1
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FISICA MECANICA Vectores - 11
k V jV iV V z y xˆˆˆ ++=
3.1
3.2 Notación de un vector en el plano x-y
r
,
:
.
C ( , ), 3.2. E .
θ
(x , y)
x
y
Figura 3.2 .
:
. P
( , ) . E :
jr ir r y xˆˆ +=
3.2
D xr yr ,
. P
. P P:
22
y x r r r += 3.3
. :
x
y
r
r 1tan−=θ 3.4
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FISICA MECANICA Vectores - 12
Ejemplo 3.1
C , 3.3
θ
(6 , 4)
x
y
Figura 3.3 I 3.1.
Solución
N : jir ˆ4ˆ6 +=
M: 13246 22 =+=r
D: º7.33666666.0tan6
4tan 11 === −−θ
EJERCICIOS PROPUESTOS
D , ,
.
(-8 , 5)
x
y
(-10 , -8)
x
y
(-10 , -12)
x
y
(0 , 12)
x
y
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FISICA MECANICA Vectores - 13
(15 , 0) x
y
(-25 , 0) x
y
Ejemplo 3.2
C (
), 3.4. ,
.
: ur 20=
: º36=θ
: ?=r
Paso 1
r
xr
yr
, 3.4.
30º x
y
30º x
y
) )
Figura 3.4 ) E r
. ) L r
.
, 2.2.
jr ir r y xˆˆ+=
xr yr ,
3.4 :
ur r x
2.16º36cos20cos === θ
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FISICA MECANICA Vectores - 14
usenrsenr y 7.11º3620 === θ
:
jir ˆ7.11ˆ2.16 +=
EJERCICIOS DE APLICACION
1. O
:
x
y
40º
r = 50 m
x
y
40º
r = 60 m
x
y
45º
r = 80 m
x
y
r = 60 m
x
y
r = 30 m
x
y
r = 40 m
2. E ()
.
: )
(5.5, 6.5); ) (3.2, 1.8) (8.7, 8.3);
) (00, 1.8)
8.5 50 ; )
?; )
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FISICA MECANICA Vectores - 15
Unidad 4
Suma y Resta de Vectories
4.1 Suma de vectores
E ,
, :
15
7
:
+ 22
E
.
A
20 30 :
30º
Figura 4.1 L A
B
.
, :
R B A
=+
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 16
P 50 ,
, .
L
, R
.
:
E
E ( )
L ( ).
P :
4.1.1 Método gráfico
E . E
:
A , .
E . E .
. C
, . E
, 4.2.
30º x
y
Figura 4.2 E , R
.
. C
,
( ). L
, 4.3. E
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FISICA MECANICA Vectores - 17
.
30º x
y
30º
R y
R x
R
Figura 4.3 E , R
A
B
.
E :
B A R
+=
O :
j Ri R R y xˆˆ +=
D
x R
.
y R
.
P x R y R ,
.
4.1.2 Método analítico
E
,
,
. E ,
. P ,
, .
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FISICA MECANICA Vectores - 18
L . E B
, 4.4.
x
y
30º
Figura 4.4 E , B
,
.
C x R y R R
4.4:
x x B A R +=
º30cos1520+= x R
1320+= x R
33= x R
y y B R =
º3015sen R y =
5.7= y R
,
:
ji R ˆ5.7ˆ33 +=
L 3.3
uuu R R R y x 84.33)5.7()33(2222=+=+=
L
( )
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FISICA MECANICA Vectores - 19
4.3 4.4. , :
θ cos222 AB B A R ++=
º30cos)15)(20(2)15()20( 22 uuuu R ++=
222 6.519225400 uuu R ++=
u R 83.33=
E
F.
. L R
3.4:
227272.0tan33
5.7tantan 111 −−− ===
x
y
R
Rα
º13=α
A
, (), ,
,
.
Ejemplo 4.1
A 4.5,
: A = 30 B = 50
20º
60º
Figura 4.5 Los vectores A
y B
representados gráficamente para sumarlos.
. L
,
, 4.6.
E :
B A R
+=
O :
j Ri R R y xˆˆ +=
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FISICA MECANICA Vectores - 20
20º
60º
x
y
R y
R x
R
Figura 4.6 Los vectores A
y B
sumados gráficamente, método del paralelogramo.
. P x R y y R
. P
,
, 4.7.
20º
60º
x
y
A
y A
x x B
y B
Figura 4.7 En esta construcción, los vectores A
y B
, se descomponen en sus
componentes rectangulares.
. C x R y y R R
4.7:
x x x B A R −−=
º20cosº60cos B A R x −−=
94.0505.030 ×−×−= x R
4715−−= x
R
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FISICA MECANICA Vectores - 21
62−= x R
y y y A B R −=
º60º20 Asen Bsen R x −=
87.03034.050 ×−×= x R
2617 −= x R
9−= y R x x x B A R −−=
º20cosº60cos B A R x −−=
94.0505.030 ×−×−= x R
4715−−= x
R
62−= x R
y y y A B R −=
º60º20 Asen Bsen R x −=
87.03034.050 ×−×= x
R
2617 −= x R
9−= y R
,
:
ji R ˆ9ˆ62 −−=
E 4.6.
. L
3.3
mmm R R R y x 64.62)9()62(2222=−+−=+=
L
4.7, 80.
θ cos222 AB B A R ++=
º80cos)50)(30(2)50()30( 22 mmmm R ++=
222 5212500900 mmm R ++=
m R 61.62=
E
F.
. L R
,
3.4:
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FISICA MECANICA Vectores - 22
145161.0tan62
9tantan 111 −−− =
−
−==
x
y
R
Rα
º3.8=α
P 4.6
,
,
4.6.
O 180,
:
º3.188º180º3.8 =+=α
Ejemplo 4.2
A 4.2, B A
−
A , .
Ejecutar la animación resta de vectores y escribir un informe
. L ,
, .
P , , , . E ,
B
,
4.8.
30º x
y
R x
R y
30º
α150º
Figura 4.8 En esta construcción, el vector sustraendo se dibuja con su dirección opuesta. La
resultante R
, es también la diagonal de un paralelogramo con los lados A
y B
.
E :
B A R
−=
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FISICA MECANICA Vectores - 23
O :
j Ri R R y x ˆˆ +=
D
x R
.
y R
.
. P x R y y R ,
. P
,
, 4.9.
30º x
y
R x
R y
Figura 4.9 En esta construcción, el vector y B
− , se descomponen ensus componentes rectangulares.
. C x
R y y R R
4.9:
x x B A R −=
º30cos1520−= x
R
1320 −= x R
7= x R
y y B R −=
º3015sen R y −=
5.7−= y R
,
:
ji R ˆ5.7ˆ7 −=
. L
3.3
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FISICA MECANICA Vectores - 24
uuu R R R y x 25.10)5.7()7(2222=+=+=
L
( )
4.8 4.9. , :
θ cos222 AB B A R ++=
º150cos)15)(20(2)15()20( 22 uuuu R ++=
222 6.519225400 uuu R −+=
u R 26.10=
. L R
,
3.4:
)0714585.1(tan7
5.7tantan 111 −=
−==
−−−
x
y
R
Rα
º47−=α
E 4.8.
. (),
:
A B B A
+=+
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. D ,
:
A = 30 Km
B = 50 Km60º
A = 60 Km
B = 40 Km
60º
A = 50 Km
B = 40 Km
30º
A = 80 Km
B = 60 Km
36º
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FISICA MECANICA Vectores - 25
A = 80 Km
B = 60 Km
A = 80 Km B = 50 Km
A = 80 Km B = 50 Km
A = 80 Km B = 100 Km
2. 300 /
E. D 100 /
30 NE: C
? ( )
3. 2.8 45 O
, 7.4 30 N O. A
?
Ejemplo 4.3
A
4.10
Ejecutar previamente la animación suma de tres vectores.
30º 60º
30º
60º
Figura 4.10 Representación gráfica de cuatro vectores que se deben sumar.
. P
, .
. . E
4.11 4.11. O
, .
P , ,
.
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 26
x
y
x
y
a) b)
Figura 4.11 En cualquiera de estas construcciones, el vector resultante R
se
dibuja desde el origen del primer vector hasta el extremo final del último vector.
. A
, 4.12
30º
30º
60º
60º x
y
Figura 4.12 Los vectores se dibuja en un sistema de coordenadas, tal quesus orígenes coincidan con el origen del sistema de coordenadas.
. D , 4.13
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27/29
Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 27
30º
30º
60º
60º x
y
A x
C x B x D x
A y
B y
D y
C y
Figura 4.13 Todos los vectores se descomponen en sus componentesrectangulares.
. E , :
j Ri R R y x
ˆˆ +=
D
x R
.
y R
.
. C ( ) ( ). P
:A = 80 mB = 50 mC = 70 mD = 100 m
θ1 = 30º
θ2 = 60º
θ3 = 30º
θ4 = 60º
C , 4.11:
i DC B A R x x x x xˆ)( +++=∑
mm A A x 3.69)866.0)(80(º30cos ===
mm B B x 25)5.0)(50(º60cos −===
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28/29
Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 28
mmC C x 62.60)866.0)(70(º30cos −===
mm D D x 50)5.0)(100(º60cos ===
imimmmm R xˆ)68.33(ˆ)5062.60253.69( =+−−=∑
C
j DC B A R y y y y yˆ)( +++=∑
mm Asen A y 40)5.0)(80(º30 ===
mm Bsen B y 3.43)866.0)(50(º60 ===
mmCsenC y 35)5.0)(70(º30 −===
mm Dsen D y 6.86)866.0)(100(º60 −===
jmimmmm R yˆ)3.38(ˆ)6.86353.4340( −=−−+=∑
. A
, :
jmim R ˆ)3.38(ˆ)68.33( −=
. C ,
:
mmmm R R R y x 5123.2601)3.38()68.33(22222==−+=+=
. L :
º32.311º67.48)13712339.1(tan68.33
3.38tantan 111 =−=−=
−==
−−−
x
y
R
Rα
E 4.13.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. C ,
: 1 = 25 ; 2 = 40
60 N E; 3 = 30 N; 4 = 50 30 N
OE 5 = 10 45 OE.
2. B
25
42 . E ,
.
3.
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Universidad Surcolombiana Clotario Israel Peralta García
FISICA MECANICA Vectores - 29
100 75
37 , 25
60 . C
?.
4. L , . C , ,
,
:
72.4 ; 32 E N
57.3 ; 36 O
17.8
D , ,
. Q ?.
5. I 10 .
.
, 10 ( 3
) 15 . L
0.2 E, N 0.1
. ) D .
, ) Q ? ) Q
?.
6. F 3.25
N, 4.75 O 1.5 . C
. E
( ),
.
7. ,
A
, B
C
4.14. C
. (: 90.2 N; 256).