Capítulo 3B - VectoresCapítulo 3B - VectoresPresentación PowerPoint dePresentación PowerPoint de

Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

Southern Polytechnic State Southern Polytechnic State UniversityUniversity

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Paul E. Tippens, Profesor de FísicaPaul E. Tippens, Profesor de Física

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Actividad PreviaActividad Previa• Analiza las siguientes oraciones, identifica las cantidades Analiza las siguientes oraciones, identifica las cantidades

de las que se habla en cada una de ellas y compara las de de las que se habla en cada una de ellas y compara las de la columna izquierda con las de la columna de la derecha.la columna izquierda con las de la columna de la derecha.

El área del piso del salón de clases es de 25m2

La ciudad de Monterrey se encuentra a 590km al norte de la Ciudad de México.

El agua hierve a 100ºC. Un automóvil recorre la autopista a 100km/h hacia Acapulco.

El volumen de un tanque de gas es de 40 litros.

La aceleración de un ciclista es de 2m/s2 cuando se mueve sobre una pendiente de 30º hacia debajo de la horizontal.

La velocidad del sonido es de 340m/s. José patea el balón con una fuerza de 1 Newton hacia arriba

Comenta con tu equipo y escribe la respuestaComenta con tu equipo y escribe la respuesta

Actividad Previa:Actividad Previa:1.1. ¿Qué son las magnitudes físicas? Da 3 ¿Qué son las magnitudes físicas? Da 3

ejemplos.ejemplos.

2.2. ¿Qué son las cantidades escalares?¿Qué son las cantidades escalares?

3.3. ¿Qué son las cantidades vectoriales?¿Qué son las cantidades vectoriales?

4.4. Cuál es la diferencia entre ambas?Cuál es la diferencia entre ambas?

5.5. ¿Cómo se representan las cantidades ¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales?escalares y cómo las cantidades vectoriales?

6.6. Menciona algunas aplicaciones de los Menciona algunas aplicaciones de los vectores en nuestra vida cotidianavectores en nuestra vida cotidiana

7.7. ¿Cuáles son las características o ¿Cuáles son las características o componentes de un vector?componentes de un vector?

8.8. ¿Cómo se clasifican los vectores?¿Cómo se clasifican los vectores?

9.9. ¿Qué es el desplazamiento?¿Qué es el desplazamiento?

Los topógrafos usan mediciones precisas de magnitudes y

direcciones para crear mapas a escala de grandes regiones.

VectoresVectores

¿Qué son las magnitudes ¿Qué son las magnitudes físicas?físicas?

¿Cuál es la diferencia entre ¿Cuál es la diferencia entre cantidad vectorial y escalar?cantidad vectorial y escalar?

En nuestra vida cotidiana nos En nuestra vida cotidiana nos referimos y hablamos de diversas referimos y hablamos de diversas

magnitudes físicasmagnitudes físicas

¿Cómo se representan las ¿Cómo se representan las cantidades escalares y cómo las cantidades escalares y cómo las cantidades vectoriales?cantidades vectoriales?

Se representa mediante una flecha Se representa mediante una flecha con una escala establecida con una escala establecida

previamente.previamente.

El vector esta El vector esta comprendido por los comprendido por los siguientes elementos:siguientes elementos:

– La Dirección:La Dirección: esta determinada por la recta de  esta determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.inclinada u oblicua.

– La orientación o sentido:La orientación o sentido: esta determinada esta determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia la por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.izquierda.

– El punto de aplicación:El punto de aplicación: esta determinado por  esta determinado por el punto origen del segmento que forma el el punto origen del segmento que forma el vector.vector.

– La longitud o módulo:La longitud o módulo: es el número positivo  es el número positivo que representa la longitud del vector.que representa la longitud del vector.

Clasificación de vectoresClasificación de vectores

Vector deslizanteVector deslizanteEs el vector que se puede trasladar Es el vector que se puede trasladar

a lo largo de su dirección a un a lo largo de su dirección a un punto arbitrario de la recta en que punto arbitrario de la recta en que

se encuentrase encuentra

Vector fijoVector fijo

Es el vector que está ligado al origen o Es el vector que está ligado al origen o punto de aplicación que permite punto de aplicación que permite

localizar un punto o un objeto en el localizar un punto o un objeto en el plano o en el espacio con respecto al plano o en el espacio con respecto al origen del sistema de coordenadas origen del sistema de coordenadas

cartesianas.cartesianas.

La física es la ciencia La física es la ciencia de la mediciónde la medición

Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección.

LongituLongitudd

PesoPeso TiempTiempoo

Distancia o Trayectoria: Distancia o Trayectoria: cantidad escalarcantidad escalar

Una cantidad escalar:

Sólo contiene magnitud y consiste de un número y una unidad.

(20 m, 40 mi/h, 10 gal)

A

B

DistanciaDistancia es la longitud de la ruta es la longitud de la ruta tomada por un objeto.tomada por un objeto.

DistanciaDistancia es la longitud de la ruta es la longitud de la ruta tomada por un objeto.tomada por un objeto.

s = 20 m

Desplazamiento-Cantidad Desplazamiento-Cantidad vectorialvectorial

Una cantidad vectorial:

Contiene magnitud Y dirección, un número, unidad y ángulo.

(12 m, 300; 8 km/h, N)

A

BD = 12 m, 20o

• DesplazamientoDesplazamiento es la separación es la separación en línea recta de dos puntos en en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.una dirección especificada.

• DesplazamientoDesplazamiento es la separación es la separación en línea recta de dos puntos en en línea recta de dos puntos en una dirección especificada.una dirección especificada.

¿Trayectoria o ¿Trayectoria o desplazamiento?desplazamiento?

Sistema de coordenadasSistema de coordenadas

Distancia y Distancia y desplazamientodesplazamiento

Desplazamiento Desplazamiento neto:neto:4 m, E4 m, E

6 m, 6 m, WW

D

¿Cuál es la ¿Cuál es la distancia distancia recorrida?recorrida?¡¡ 10

m !!

DD = 2 m, W= 2 m, W

• DesplazamientoDesplazamiento es la coordenada es la coordenada x x o o yy de la posición. Considere un de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.

• DesplazamientoDesplazamiento es la coordenada es la coordenada x x o o yy de la posición. Considere un de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.auto que viaja 4 m E, luego 6 m W.

xx = +4= +4xx = -2= -2

Identificación de direcciónIdentificación de dirección

Una forma común de identificar la dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)sur. (Ubique los puntos abajo.)

Una forma común de identificar la dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos abajo.)sur. (Ubique los puntos abajo.)

40 m, 5040 m, 50oo N del N del EE

EW

S

N

40 m, 60o N del W40 m, 60o W del S40 m, 60o S del E

Longitud = 40 m

5050oo60o

60o60o

Identificación de direcciónIdentificación de dirección

Escriba los ángulos que se muestran a Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.oeste, norte.

Escriba los ángulos que se muestran a Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, continuación con referencias al este, sur, oeste, norte.oeste, norte.

EW

S

N45o

EW

N

50o

S

Clic para ver las respuestas...Clic para ver las respuestas...

500 S del E500 S del E

450 W del N450 W del N

Vectores y coordenadas Vectores y coordenadas polarespolares

Las coordenadas polares (Las coordenadas polares (RR, , ) son una ) son una excelente forma de expresar vectores. excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 5040 m, 500 0

N del EN del E..

Las coordenadas polares (Las coordenadas polares (RR, , ) son una ) son una excelente forma de expresar vectores. excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 5040 m, 500 0

N del EN del E..

0o

180o

270o

90o

0o

180o

270o

90o

RR

RR es la es la magnitudmagnitud y y la la direccióndirección..

40 40 mm5050oo

Vectores y coordenadas Vectores y coordenadas polarespolares

((RR, , ) = 40 m, ) = 40 m, 5050oo

((RR, , ) = 40 m, ) = 40 m, 120120oo ((RR, , ) = 40 m, ) = 40 m, 210210oo

((RR, , ) = 40 m, ) = 40 m, 300300oo

5050oo60o

60o60o

0o180o

270o

90o

120o

Se dan coordenadas polares (Se dan coordenadas polares (RR, , ) para ) para cada uno de los cuatro posibles cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:cuadrantes:

Se dan coordenadas polares (Se dan coordenadas polares (RR, , ) para ) para cada uno de los cuatro posibles cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:cuadrantes:

210o

3000

Coordenadas Coordenadas rectangularesrectangulares

Derecha, arriba = (+, +)

Izquierda, abajo = (-, -)

(x, y) = (?, ?)

x

y

(+3, (+3, +2)+2)

(-2, +3)(-2, +3)

(+4, -3)(+4, -3)(-1, -3)(-1, -3)

La referencia se La referencia se hace a los ejes hace a los ejes xx y y yy, y los , y los números números ++ y y –– indican posición indican posición en el espacio.en el espacio.

++++

----

AcertijoAcertijo

• Un oso camina 10 kilómetros hacia Un oso camina 10 kilómetros hacia el sur, 10 kilómetros hacia el este y el sur, 10 kilómetros hacia el este y 10 kilómetros hacia el norte, 10 kilómetros hacia el norte, volviendo al punto del que partió. volviendo al punto del que partió.

¿De qué color es el oso?¿De qué color es el oso?

Solución:Solución:Los únicos lugares donde Los únicos lugares donde se cumple la condición de se cumple la condición de

regresar al punto de regresar al punto de partida son el Polo Norte y partida son el Polo Norte y cualquier punto situado a cualquier punto situado a

10 km al norte de los 10 km al norte de los paralelos que midan 10 km paralelos que midan 10 km de circunferencia, puesto de circunferencia, puesto que al hacer los 10 km al que al hacer los 10 km al este volveremos al punto este volveremos al punto

de partida.de partida.

En cualquiera de estos En cualquiera de estos casos estaremos en uno de casos estaremos en uno de los Polos, por lo que el oso los Polos, por lo que el oso

será blancoserá blanco..

Repaso de trigonometríaRepaso de trigonometría

• Aplicación de trigonometría a Aplicación de trigonometría a vectoresvectores

y

x

R

y = R sen y = R sen

x = R cos x = R cos

cosx

R

tany

x R2 = x2 +

y2

R2 = x2 + y2

TrigonometríaTrigonometría seny

R

Ejemplo 1:Ejemplo 1: Encuentre la altura de un Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de edificio si proyecta una sombra de 90 90 mm de largo y el ángulo indicado es de de largo y el ángulo indicado es de 3030oo..

90 m

300

h

Cómo encontrar componentes Cómo encontrar componentes de vectoresde vectores

Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, .

x

yR

x = R cos

y = R sen

Cómo encontrar componentes:

Conversiones de polar a rectangular

Ejemplo 2:Ejemplo 2: Una persona camina Una persona camina 400 m400 m en en una dirección una dirección 3030oo N del E N del E. ¿Cuán lejos está . ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte?el desplazamiento al este y cuánto al norte?

x

yR

x = ?

y = ?400 m

E

N

El componente y (N) es OP:

El componente x (E) es ADY:

x = R cos y = R sen

E

N

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de Una caminata de 400 m400 m en en una dirección a una dirección a 3030oo N del E N del E. ¿Cuán lejos está el . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?desplazamiento del este y cuánto del norte?

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de Una caminata de 400 m400 m en en una dirección a una dirección a 3030oo N del E N del E. ¿Cuán lejos está . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte?el desplazamiento del este y cuánto del norte?

x = ?

y = ?400 m

E

N

Ejemplo 2 (cont.):Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de Una caminata de 400 m400 m en en una dirección a una dirección a 3030oo N del E N del E. ¿Cuán lejos está . ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del el desplazamiento del este y cuánto del norte?norte?

Signos para coordenadas Signos para coordenadas rectangularesrectangulares

Primer cuadrante:

R es positivo (+)

0o > < 90o

x = +; y = +x = R cos y = R sen

+

+

0o

90o

R

Signos para coordenadas Signos para coordenadas rectangularesrectangulares

Segundo cuadrante:

R es positivo (+)

90o > < 180o

x = - ; y = +

x = R cos y = R sen

+R

180o

90o

Tercer cuadrante:

R es positivo (+)

180o > < 270o

x = - y = - x = R cos y = R sen

-R

180o

270o

Signos para coordenadas Signos para coordenadas rectangularesrectangulares

Cuarto cuadrante:

R es positivo (+)

270o > < 360o

x = + y = -

x = R cos y = R sen

360o+

R

270o

Signos para coordenadas Signos para coordenadas rectangularesrectangulares

Resultante de vectores Resultante de vectores perpendicularesperpendiculares

Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares.

R siempre es positivo; es desde el eje +x

2 2R x y 2 2R x y

tany

x tan

y

x x

yR

Ejemplo 3:Ejemplo 3: Una fuerza de Una fuerza de 30 lb30 lb hacia el sur y hacia el sur y una de una de 40 lb40 lb hacia el este actúan sobre un hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro?NETA o resultante sobre el burro?

Cómo encontrar la resultante Cómo encontrar la resultante (cont.)(cont.)

40 lb

30 lb

40 lb

30 lb

Encontrar (Encontrar (R, R, ) a partir de () a partir de (x, yx, y) dados = (+40, ) dados = (+40, -30)-30)

R

Ry

Rx

R = x2 + y2 R = (40)2 + (30)2 = 50 lb

tan = -30

40 = -36.9o

= 323.1o

= 323.1o

Cuatro cuadrantes (cont.)Cuatro cuadrantes (cont.)

40 lb

30 lbR

Ry

Rx40 lb

30 lb R

Ry

Rx

40 lb

30 lbR

Ry

Rx

40 lb

30 lb

R

Ry

Rx

= 36.9o; = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

= 36.9o; = 36.9o; 143.1o; 216.9o; 323.1o

R = 50 lb

R = 50 lb

Notación vector unitario (Notación vector unitario (i, j, ki, j, k))

x

z

y Considere ejes 3D (x, y, z)Defina vectores unitarios i, j, ki

j

k Ejemplos de uso:

40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i

30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j

20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k

Ejemplo 4:Ejemplo 4: Una mujer camina Una mujer camina 30 m, W30 m, W; ; luego luego 40 m, N40 m, N. Escriba su . Escriba su desplazamiento en notación desplazamiento en notación i, ji, j y en y en notación notación RR, , ..

Ejemplo 4 (cont.):Ejemplo 4 (cont.): A continuación se A continuación se encuentra su desplazamiento en encuentra su desplazamiento en notación notación RR, , ..

Ejemplo 6:Ejemplo 6: La ciudad La ciudad AA está 35 km al sur y está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad 46 km al oeste de la ciudad BB. Encuentre la . Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre longitud y dirección de la autopista entre las ciudades.las ciudades.

Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 28si su brazo forma un ángulo de 2800 con el suelo. con el suelo.

Ejemplo 8. Encuentre los componentes Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de de una fuerza de 300 N 300 N que actúa a lo que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de ángulo con el suelo es de 323200..

Método de componentesMétodo de componentes

1. 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás.los demás.

2. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante.cuadrante de la resultante.

3. Escriba cada vector en notación 3. Escriba cada vector en notación i, ji, j..

4. 4. Sume algebraicamente los vectores para Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación obtener la resultante en notación i, ji, j. Luego . Luego convierta a (convierta a (RR, , ).).

Ejemplo 9.Ejemplo 9. Un bote se mueve Un bote se mueve 2.0 km2.0 km al al este, luego este, luego 4.0 km4.0 km al norte, luego al norte, luego 3.0 km3.0 km al oeste y finalmente al oeste y finalmente 2.0 km2.0 km al sur. al sur. Encuentre el desplazamiento resultante.Encuentre el desplazamiento resultante.

EE

NN1. Inicie en el 1. Inicie en el origen. Dibuje cada origen. Dibuje cada vector a escala con vector a escala con la punta del 1o a la la punta del 1o a la cola del 2o, la punta cola del 2o, la punta del 2o a la cola del del 2o a la cola del 3o, y así para los 3o, y así para los demás.demás.2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de punta del último vector y note el cuadrante de la resultante.la resultante.Nota: La escala es aproximada, pero todavía Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.cuadrante.

2 km, 2 km, EE

AA

4 km, N4 km, NBB

3 km, O3 km, OCC2 km, 2 km,

SS

DD

Ejemplo 9 (cont.)Ejemplo 9 (cont.) Encuentre Encuentre el desplazamiento resultante.el desplazamiento resultante.

3.3. Escriba cada Escriba cada vector en notación vector en notación i, ji, j::AA = +2 = +2 ii

BB = + 4 = + 4 jjCC = -3 = -3 ii

DD = - 2 = - 2 jj 4.4. Sume Sume algebraicamente los algebraicamente los vectores vectores AA, , BB, , CC, , DD para obtener la para obtener la resultante en notación resultante en notación i, ji, j..

EE

NN

2 km, 2 km, EE

AA

4 km, N4 km, NBB

3 km, O3 km, OCC2 km, 2 km,

SS

DD

5. 5. Convierta a notación Convierta a notación RR, , Vea página siguiente. Vea página siguiente.

Ejemplo 9 (cont.)Ejemplo 9 (cont.) Encuentre Encuentre desplazamiento resultante.desplazamiento resultante.

EE

NN

2 km, 2 km, EE

AA

4 km, N4 km, NBB

3 km, O3 km, OCC2 km, 2 km,

SS

DDLa suma resultante La suma resultante es:es:RR = -1 = -1 ii + 2 + 2 jj

RR

Ahora encuentre Ahora encuentre RR, ,

Recordatorio de unidades Recordatorio de unidades significativas:significativas:

EE

NN

2 km2 kmAA

4 km4 kmBB

3 km3 kmCC2 km2 km

DDPor conveniencia, Por conveniencia, siga la práctica de siga la práctica de suponer tres (3) suponer tres (3) cifras cifras significativas para significativas para todos los datos en todos los datos en los problemas.los problemas.En el ejemplo anterior, se supone que En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km.3.00 km.Por tanto, la respuesta se debe reportar Por tanto, la respuesta se debe reportar como:como:

Dígitos Dígitos significativos para significativos para ángulosángulos

40 lb

30 lbR

Ry

Rx

40 lb

30 lbR

Ry

Rx

= 36.9o; 323.1o

= 36.9o; 323.1o

Puesto que una Puesto que una décima décima de grado de grado con con frecuencia puede ser frecuencia puede ser significativa, a veces se significativa, a veces se necesita un cuarto necesita un cuarto dígito.dígito.Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes:

Regla: Escriba los ángulos a la décima de grado más cercana. Vea los dos ejemplos siguientes:

Ejemplo 10:Ejemplo 10: Encontrar Encontrar RR, , para los para los tres desplazamientos vectoriales tres desplazamientos vectoriales siguientes: siguientes:

1. Primero dibuje los vectores 1. Primero dibuje los vectores AA, , BB y y CC a escala a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo)burdo)2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. la resultante. ((RR, , ))

3. Escriba cada vector en notación 3. Escriba cada vector en notación i, ji, j. . (continúa...)(continúa...)

Ejemplo 10:Ejemplo 10: Encuentre Encuentre RR, , para los tres para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.)(Puede ser útil una tabla.)

VectorVector

componente componente xx ((ii))

componente componente yy ( (jj))

AA = 5 m = 5 m BB = 2.1 = 2.1 mm

202000BB

CC = = 0.5 m0.5 mRR

Para notación i, j, encuentre los componentes x, y de cada vector A, B, C.

Ejemplo 10 (cont.):Ejemplo 10 (cont.): Encuentre Encuentre i, ji, j para tres vectores: para tres vectores: A A = 5 m, 0= 5 m, 000; ; BB = 2.1 m, 20= 2.1 m, 2000; ; CC = 0.5 m, 90 = 0.5 m, 9000..

componente x componente x ((ii))

componente y componente y ((jj))

4. Sume los 4. Sume los vectores para vectores para obtener la obtener la resultante resultante R R en en notación notación i, ji, j..

Ejemplo 10 (cont.): Ejemplo 10 (cont.): Encuentre Encuentre i, ji, j para para tres vectores: tres vectores: A A = 5 m, 0= 5 m, 000; ; BB = 2.1 m, = 2.1 m, 202000; ; CC = 0.5 m, 90 = 0.5 m, 9000..

Ejemplo 11:Ejemplo 11: Un ciclista viaja Un ciclista viaja 20 m, E20 m, E luego luego 40 m40 m a a 6060oo N del W N del W, y finalmente , y finalmente 30 m30 m a a 210210oo. ¿Cuál es el desplazamiento . ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente?resultante gráficamente?

A continuación se proporciona una A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los comprensión gráfica de los componentes y la resultante:componentes y la resultante:

60o

30o

R

Nota: Rx = Ax + Bx + Cx

Ax

B

Bx

Rx

A

C

Cx

Ry = Ay + By + Cy

0

Ry

By

Cy

Ejemplo 11 (cont.)Ejemplo 11 (cont.) Use el método de Use el método de componentes para encontrar la componentes para encontrar la resultanteresultante..

Ejemplo 11 (cont.)Ejemplo 11 (cont.) Método de Método de componentescomponentes

60

30o

R

A

x

B

Bx

Rx

A

C

Cx

Ry

By

Cy

Sume Sume algebraicamente:algebraicamente:A = 20 i

B = -20 i + 34.6 jC = -26 i - 15 j

R = -26 i + 19.6 j

R

-26

+19.6

R = (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 mtan =

19.6

-26 = 143o = 143o

Ejemplo 11 (cont.)Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la Encuentre la resultante.resultante.

Ejemplo 12.Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a los vectores que se muestran a continuación.continuación.

Ejemplo 12 (cont.).Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C Encuentre A + B + C

Diferencia vectorialDiferencia vectorialPara vectores, los signos indican la Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).signo (dirección).

Considere primero A + BA + B gráficamente:

B

A

BR = A + B

RR

AB

Diferencia vectorialDiferencia vectorialPara vectores, los signos indican la Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección).signo (dirección).

Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector

negativo.B

A

B --B

A

--BRR’’

A

Comparación de suma y resta de B

B

A

B

Suma y restaSuma y resta

R = A + B

RR

AB --BR’R’

AR’ = A - B

La resta resulta en un diferencia significativa La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la tanto en la magnitudmagnitud como en la como en la direccióndirección del vector resultante. del vector resultante. |(|(AA – – BB)| = |)| = |AA| - || - |BB||

Ejemplo 13.Ejemplo 13. Dados Dados A = 2.4 km NA = 2.4 km N y y B B = 7.8 km N= 7.8 km N: encuentre : encuentre A – BA – B y y B – AB – A..

A A 2.43 2.43

NN

B B 7.74 7.74

NN

A – A – B; B - B; B -

AA

A - B

+A

-B

(2.43 N – 7.74 S)

5.31 km, S

B - A

+B-A

(7.74 N – 2.43 S)

5.31 km, N

RR RR

Resumen para vectoresResumen para vectores Una Una cantidad escalarcantidad escalar se especifica se especifica

completamente sólo mediante su completamente sólo mediante su magnitud. (magnitud. (40 m40 m, , 10 gal10 gal))

Una Una cantidad vectorialcantidad vectorial se especifica se especifica completamente mediante su magnitud completamente mediante su magnitud yy dirección. (dirección. (40 m, 3040 m, 3000))

Rx

Ry

R

Componentes de Componentes de R:R:

RRxx = R = R coscos

RRyy = R = R sen sen

Continúa resumen:Continúa resumen:

Rx

Ry

R

Resultante de Resultante de vectores:vectores:

2 2R x y

tany

x

Encontrar la Encontrar la resultanteresultante de dos vectores de dos vectores perpendiculares es como convertir de perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (coordenadas polares (RR, , ) a rectangulares ) a rectangulares ((RRxx, , RRyy).).

Método de componentes Método de componentes para vectorespara vectores

Inicie en el origen y dibuje cada vector Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono en sucesión para formar un polígono etiquetado.etiquetado.

Dibuje la resultante desde el origen hasta Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante.cuadrante de la resultante.

Escriba cada vector en notación Escriba cada vector en notación i, ji, j ( (RRxx, , RRyy).).

Sume algebraicamente los vectores para Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación obtener la resultante en notación i, ji, j. . Luego convierta a (Luego convierta a (RR

Diferencia vectorialDiferencia vectorialPara vectores, los signos indican dirección. Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo de sumar se debe cambiar el signo (dirección).(dirección).

Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector

negativo.B

A

B --B

A

--BR’R’

A

Conclusión del Capítulo 3B - Conclusión del Capítulo 3B - VectoresVectores