Embed Size (px)
Citation preview
Física I
Ing. Alejandra Escobar
TEMA I. Vectores
UNIVERSIDAD FERMÍN TORO
VICE RECTORADO ACADÉMICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
TEMA I. VECTORES
Magnitudes
Una magnitud se define como toda aquella propiedad que se puede medir
En física las magnitudes pueden ser clasificadas en escalares y vectoriales.
Magnitudes escalares: son aquellas que quedan perfectamente definidas por
un valor numérico y su correspondiente unidad. La longitud, la temperatura, la
masa, la densidad, el tiempo el volumen, la superficie son ejemplos de
magnitudes escalares.
Magnitudes vectoriales: son aquellas donde se tiene que especificar además
de su valor numérico, la dirección y el sentido. Son magnitudes vectoriales: la
fuerza, la velocidad, el desplazamiento, la cantidad de movimiento, la
aceleración, etc. Las magnitudes vectoriales se representan mediante vectores.
Vectores
Un vector se define como un segmento de recta orientado y dirigido, que
tiene un origen y un extremo. Se representa con una letra negrita y cursiva con
una flecha arriba (�� ).
Gráficamente, se dibuja un vector con un segmento de recta (una línea)
con una punta de flecha en un extremo. Un vector posee características que lo
definen las cuales son:
Magnitud o Modulo: es la longitud del segmento dirigido que contiene al
vector.
Dirección: es la dirección de la recta que contiene a dicho vector. La dirección
puede ser horizontal, vertical o inclinada.
Origen: es el punto donde se considera aplicada la magnitud a quien el vector
está representando.
Sentido: está indicado por la punta de la flecha colocada en el extremo. El
sentido puede ser hacia la derecha, hacia la izquierda, hacia abajo o hacia
arriba.
Figura No. 1
Tipos de Vectores
Existen diversas clases de vectores, las más utilizadas y comunes en
física son las siguientes:
Vectores Opuestos: son dos vectores tales que, teniendo el mismo
módulo y la misma dirección, tienen sentidos opuestos. En la figura No. 2
�� es puesto al vector −𝒂
Figura No. 2
Vectores Paralelos: son dos vectores tales que, teniendo la misma
dirección y sentido sus magnitudes son proporcionales.
Figura No. 3
−𝒂 ��
��
2��
Origen
Sentido
Vectores Unitarios: son vectores sin dimensión, cuya magnitud es igual
a la unidad, los cuales son empleados para especificar una dirección
dada. Ellos no poseen otro significado físico, simplemente se usan por
conveniencia para describir una dirección en el espacio.
Vectores Fundamentales: son los vectores unitarios (de magnitud igual a
1) cuyas direcciones y sentidos coinciden con los ejes coordenados. Ellos
constituyen un conjunto de vectores mutuamente perpendiculares, los
cuales serán representados de la manera siguiente: 𝑖 sobre el eje 𝑥, 𝑗
sobre el eje 𝑦, y �� sobre el eje 𝑧.
Figura No. 4
Dirección de un Vector en el Plano
La dirección de un vector en el plano, es el ángulo que este forma con
respecto a un eje de referencia. El método utilizado para dar la dirección de un
vector en física se refiere a las direcciones convencionales norte, sur, este y
oeste. Así, por ejemplo, en la figura No. 5 se muestran varios vectores en un
plano.
𝑥
𝑦
𝑧
𝑖 𝑗
��
Figura No. 5
El vector �� esta ubicado 45° al norte del este, el vector �� esta ubicado 60°
al norte del oeste, el vector �� esta ubicado 70° al sur del oeste y el vector ��
esta ubicado 30° al sur del este.
Expresión Analítica de un Vector
En el Plano
Consideremos el vector �� , el cual esta ubicado en el plano 𝑥𝑦 como se
muestra en la figura No. 6.
Figura No. 6
El producto de la componente 𝑨𝒙 y el vector unitario 𝑖 es el vector 𝐴𝑥𝑖, el
cual es paralelo al eje 𝑥 con magnitud 𝐴𝑥. De la misma forma el producto de la
componente 𝑨𝒚 y el vector unitario 𝑗 es el vector 𝐴𝑦𝑗, el cual es paralelo al eje 𝑦
N
S
E O
45°
��
60°
��
70°
��
��
30°
��
𝑨𝒙
𝑨𝒚
𝑥
𝑦
𝜃 𝑗
𝑖
con magnitud 𝐴𝑦. De esta manera, en términos de los vectores unitarios se
puede escribir el vector �� así:
�� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗
Esta última es la expresión analítica del vector en función de los vectores
unitarios 𝑖, 𝑗.
En el Espacio
Un vector en el espacio viene representado por tres componentes sobre
los ejes. Sea �� un vector que se encuentra en el espacio y sean 𝛼, 𝛽 y 𝜃 los
ángulos que forman el vector con los semiejes positivos 𝑥, 𝑦, 𝑧.
Figura No. 7
El vector �� puede ser escrito en función de los vectores unitarios de la
siguiente manera:
�� = 𝑉𝑥𝑖 + 𝑉𝑦𝑗 + 𝑉𝑧��
Componentes Rectangulares de un Vector
Consideremos el vector �� en el plano 𝑥𝑦, donde dicho vector tiene su
origen ubicado en el origen del sistema de coordenadas rectangulares y forman
un ángulo con el eje positivo de las 𝑥. Si desde el extremo del vector �� se
trazan sus proyecciones sobre los ejes, se obtienen dos componentes 𝑨𝒙 ,
𝑥
𝑦
𝑧
𝑽𝒙
�� 𝑽𝒚
𝑽𝒛
𝛽 𝛼
𝜃
componente de �� en la dirección de 𝑥, y 𝑨𝒚 , componente de �� en dirección de
𝑦.
Figura No. 8
Las componentes 𝑥 e 𝑦 del vector �� vienen dadas por:
𝑨𝒙 = |�� | cos 𝜃 , 𝑨𝒚
= |�� | sin 𝜃
La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus componentes. En el plano, la magnitud o longitud de un
vector en función de sus componentes viene dado por:
|�� | = √(𝐴𝑥)2 + (𝐴𝑦)2
La dirección del vector viene dada por el ángulo que forma dicho vector
con la dirección positiva del eje 𝑥, medido en sentido contrario al avance de las
manecillas del reloj. Este ángulo puede calcularse por la relación:
tan 𝜃 =|𝑨𝒙 |
|𝑨𝒚 |
⇒ 𝜃 = tan−1|𝑨𝒙 |
|𝑨𝒚 |
En general, los signos de las componentes rectangulares de un vector
dependen del cuadrante donde el este localizado.
𝐴
𝑨𝒙
𝑨𝒚
𝑥
𝑦
𝜃
Figura No. 9
Componentes en el Espacio de un Vector
Consideremos el vector �� en el espacio 𝑥𝑦𝑧, donde dicho vector tiene su
origen ubicado en el origen del sistema y forman un ángulos con el ejes
positivos 𝑥, 𝑦, 𝑧. Si desde el extremo del vector �� se trazan sus proyecciones
sobre los ejes, se obtienen tres componentes 𝑽𝒙 , componente de �� en la
dirección de 𝑥, 𝑽𝒚 , componente de �� en dirección de 𝑦, y 𝑽𝒛
, componente de ��
en dirección de 𝑧.
Figura No. 10
Los cosenos de los ángulos 𝛼, 𝛽 y 𝜃 los llamamos cosenos directores
del vector, llamados así porque fijan la dirección del vector �� en el espacio.
Ellos quedan determinados a través de las relaciones siguientes:
�� ��
�� ��
𝐴𝑥 : + 𝐴𝑦 : + 𝐵𝑥: −
𝐵𝑦: +
𝐶𝑥: −
𝐶𝑦: −
𝐷𝑥: +
𝐷𝑦: −
𝑥
𝑦
𝑧
𝑽𝒙
�� 𝑽𝒚
𝑽𝒛
𝛽 𝛼
𝜃
cos 𝛼 =𝑉𝑥
|�� | , cos 𝛽 =
𝑉𝑦
|�� | , cos 𝜃 =
𝑉𝑧
|�� |
Las componentes 𝑥, 𝑦, 𝑧 del vector �� vienen dadas por:
𝑉𝑥 = |�� | cos 𝛼 , 𝑉𝑦 = |�� | cos 𝛽 , 𝑉𝑧 = |�� | cos 𝜃
La magnitud de un vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de sus componentes. En el espacio, la magnitud del vector viene
dada por la expresión:
|�� | = √(𝑉𝑥)2 + (𝑉𝑦)2+ (𝑉𝑧)2
Operaciones con Vectores
Suma de Vectores
Método Gráfico: para sumar dos vectores se pueden aplicar la regla del
triángulo y la regla del paralelogramo.
Regla del Triangulo
Regla del Paralelogramo
Figura No. 11
Método Analítico: la suma analítica de varios vectores es igual a la suma
de las componentes de los vectores en cada eje.
Sean �� y �� dos vectores dados por sus expresiones analíticas, los cuales
son:
�� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧�� y �� = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧��
𝐴
��
𝐴
��
𝐴 + ��
𝐴
��
𝐴
��
𝐴 + ��
La suma es:
𝑨 + 𝑩 = (𝐴𝑥 + 𝐵𝑥)𝑖 + (𝐴𝑦 + 𝐵𝑦)𝑗 + (𝐴𝑧 + 𝐵𝑧)��
Resta de Vectores
Método Gráfico: para retar dos vectores se pueden aplicar la regla del
triángulo.
Figura No. 12
Método Analítico: la resta analítica de varios vectores es igual a la resta
de las componentes de los vectores en cada eje.
Sean �� y �� dos vectores dados por sus expresiones analíticas, los cuales
son:
�� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧�� y �� = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧��
La resta es:
𝑨 − 𝑩 = (𝐴𝑥 − 𝐵𝑥)𝑖 + (𝐴𝑦 − 𝐵𝑦)𝑗 + (𝐴𝑧 − 𝐵𝑧)��
Producto de un Escalar por un Vector
Sea �� un vector y 𝑚 un escalar. El producto del escalar 𝑚 por el vector ��
es otro vector expresado como 𝑚�� que cumple los siguientes requisitos: 𝑚��
tiene la misma dirección y sentido que �� si 𝑚 es positivo, 𝑚�� tiene la misma
dirección y sentido opuesto de �� si 𝑚 es negativo, y el módulo de 𝑚�� es 𝑚
veces el modulo de �� .
𝐴
��
𝐴
��
𝐴 − ��
Si el vector �� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧�� su multiplicación por el escalar 𝑚 es
multiplicar cada componente del vector �� por el escalar 𝑚, de la manera
siguiente:
𝑚�� = 𝑚𝐴𝑥𝑖 + 𝑚𝐴𝑦𝑗 + 𝑚𝐴𝑧��
Producto Escalar o Producto Punto de Vectores
El producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como 𝑨.𝑩
se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno
y otro vector.
Otra manera de definir el producto escalar, es el producto de las
magnitudes de dos vectores por el coseno del ángulo que se forma entre ellos,
donde se obtiene una cantidad escalar.
©
Si conocemos las expresiones analíticas de dos vectores, el producto
punto entre ellos se obtiene aplicando la propiedad distributiva entre sus
componentes y haciendo uso de la siguiente tabla:
∙ �� 𝒋 ��
�� 1 0 0
𝒋 0 1 0
�� 0 0 1
Sean �� y �� dos vectores dados por sus expresiones analíticas, los cuales
son:
�� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧�� y �� = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧��
El producto punto es:
𝑨.𝑩 = (𝐴𝑥𝐵𝑥)𝑖. 𝑖 + (𝐴𝑥𝐵𝑦)𝑖. 𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑧)𝑖. �� + (𝐴𝑦𝐵𝑥)𝑗. 𝑖 + (𝐴𝑦𝐵𝑦)𝑗. 𝑗 + (𝐴𝑦𝐵𝑧)𝑗. ��
+ (𝐴𝑧𝐵𝑥)��. 𝑖 + (𝐴𝑧𝐵𝑦)��. 𝑗 + (𝐴𝑧𝐵𝑧)��. ��
𝑨.𝑩 = 𝐴𝑥𝐵𝑥 + 𝐴𝑦𝐵𝑦 + 𝐴𝑧𝐵𝑧
Producto Vectorial o Producto Cruz de Vectores
Dados dos vectores �� y �� , se define el producto vectorial de los dos
vectores y se denota como �� × �� , como otro vector �� que tiene las siguientes
características:
El modulo es igual al producto de los módulos de �� y �� , multiplicado por
el seno del ángulo que forman sus direcciones.
|�� × �� | = |�� |. |�� |. sin 𝛼
La dirección es un ventor �� , perpendicular al plano determinado por los
vectores �� y �� .
El sentido este viene dado por la regla de la mano derecha. La cual
consiste en Cuando se realiza un producto vectorial (�� �� ), el vector
resultante �� se obtiene en la dirección del dedo pulgar al cerrar la mano
derecha desde el vector �� hacia el vector �� . El vector resultante es
perpendicular al plano formado por los vectores multiplicados.
Figura No. 13
El vector �� se obtiene conociendo las expresiones analíticas de dos
vectores, el producto cruz entre ellos se obtiene aplicando la propiedad
distributiva entre sus componentes y haciendo uso de la siguiente tabla:
× �� 𝒋 ��
�� 0 �� −𝑗
𝒋 −�� 0 𝑖
�� 𝑗 −𝑖 0
Sean �� y �� dos vectores dados por sus expresiones analíticas, los cuales
son:
�� = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 + 𝐴𝑧�� y �� = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗 + 𝐵𝑧��
El producto punto es:
�� × �� = (𝐴𝑥𝐵𝑥)𝑖 × 𝑖 + (𝐴𝑥𝐵𝑦)𝑖 × 𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑧)𝑖 × �� + (𝐴𝑦𝐵𝑥)𝑗 × 𝑖 + (𝐴𝑦𝐵𝑦)𝑗 × 𝑗
+ (𝐴𝑦𝐵𝑧)𝑗 × �� + (𝐴𝑧𝐵𝑥)�� × 𝑖 + (𝐴𝑧𝐵𝑦)�� × 𝑗 + (𝐴𝑧𝐵𝑧)�� × ��
�� × �� = (𝐴𝑥𝐵𝑦)�� + (𝐴𝑥𝐵𝑧)(−𝑗) + (𝐴𝑦𝐵𝑥)(−��) + (𝐴𝑦𝐵𝑧)𝑖 + (𝐴𝑧𝐵𝑥)𝑗 + (𝐴𝑧𝐵𝑦)(−𝑖)
�� × �� = (𝐴𝑦𝐵𝑧 − 𝐴𝑧𝐵𝑦)𝑖 + (𝐴𝑧𝐵𝑥 − 𝐴𝑥𝐵𝑧)𝑗 + (𝐴𝑥𝐵𝑦 − 𝐴𝑦𝐵𝑥)��
Ejercicios
1. Calcular las componentes de los siguientes vectores
a. Vector desplazamiento de magnitud 40 𝑐𝑚, ubicado a 35° al norte del
este.
𝑨𝒙 = 40 𝑐𝑚. cos 35° = 32,77 𝑐𝑚
𝑨𝒚 = 40 𝑐𝑚. sin 35° = 22,94 𝑐𝑚
��
𝑨𝒙
𝑨𝒚
𝑥
𝑦
35°
b. Vector fuerza de magnitud 25 𝑁𝑤, ubicado a 60° con respecto al eje 𝑦
negativo en sentido anti horario.
𝑭𝒙 = 25 𝑁𝑤. sin 60° = 21,65 𝑁𝑤
𝑭𝒚 = 25 𝑁𝑤. cos 60° = −12,5 𝑁𝑤
2. Sean los siguientes vectores: �� = 2𝑖 + 4𝑗 − 6�� y �� = 5𝑖 − 2𝑗 − 3��, hallar:
a. �� + ��
�� + �� = (2𝑖 + 4𝑗 − 6��) + (5𝑖 − 2𝑗 − 3��) = (2 + 5)𝑖 + (4 − 2)𝑗 + (−6 − 3)��
�� + �� = 7𝑖 + 2𝑗 − 9��
b. �� − ��
�� − �� = (2𝑖 + 4𝑗 − 6��) − (5𝑖 − 2𝑗 − 3��)
= (2 − 5)𝑖 + (4 + 2)𝑗 + (−6 + 3)��
�� − �� = −3𝑖 + 6𝑗 − 3��
c. 4. ��
4. �� = 4. (2𝑖 + 4𝑗 − 6��) = (4.2)𝑖 + (4.4)𝑗 + (4. (−6))��
4. �� = 8𝑖 + 16𝑗 − 24��
d. 𝑨.𝑩
𝑨.𝑩 = (2𝑖 + 4𝑗 − 6��). (5𝑖 − 2𝑗 − 3��)
𝑨.𝑩 = 2.5 + 4. (−2) + (−6). (−3)
𝑨.𝑩 = 10 − 8 + 18 = 20
𝐹
𝑭𝒙
𝑭𝒚
𝑥
𝑦
60°
e. �� × ��
�� × �� = (2𝑖 + 4𝑗 − 6��) × (5𝑖 − 2𝑗 − 3��)
�� × �� = 2.5(𝑖 × 𝑖) + 2. (−2)(𝑖 × 𝑗) + 2. (−3)(𝑖 × ��) + 4.5(𝑗 × 𝑖)
+ 4. (−2)(𝑗 × 𝑗) + 4. (−3)(𝑗 × ��) + (−6). 5(�� × 𝑖)
+ (−6). (−2)(�� × 𝑗) + (−6). (−3)(�� × ��)
�� × �� = 10(0) − 4(��) − 6(−𝑗) + 20(−��) − 8(0) − 12(𝑖) − 30(𝑗) + 12(−𝑖)
+ 18(0)
�� × �� = (−12 − 12)𝑖 + (6 − 30)𝑗 + (−4 − 20)�� = −24𝑖 − 24𝑗 − 24��
3. Un esquiador viaja 7,4 𝐾𝑚 45° al este del sur. Luego 2,8 𝐾𝑚 30° al norte del
este y por ultimo 5,2 𝐾𝑚 22° al oeste del norte. Hallar a que distancia y sentido
esta el esquiador de su punto de partida. Muestre los desplazamientos en un
diagrama.
𝑨𝒙 = 7,4 𝐾𝑚. sin 45°
𝑨𝒙 = 5,25 𝐾𝑚
𝑨𝒚 = 7,4 𝐾𝑚. cos 45°
𝑨𝒚 = −5,25 𝐾𝑚
�� = 𝟓, 𝟐𝟓�� − 𝟓, 𝟐𝟓𝒋
𝑩𝒙 = 2,8 𝐾𝑚. cos 30°
𝑩𝒙 = 2,42 𝐾𝑚
𝑩𝒚 = 2,8 𝐾𝑚. sin 30°
𝑩𝒚 = 1,4 𝐾𝑚
�� = 𝟐, 𝟒𝟐�� + 𝟏, 𝟒𝒋
𝑪𝒙 = 5,2 𝐾𝑚. sin 22°
𝑪𝒙 = −1,95 𝐾𝑚
𝑪𝒚 = 5,2 𝐾𝑚. cos 22°
𝑪𝒚 = 4,82 𝐾𝑚
�� = −𝟏, 𝟗𝟓�� + 𝟒, 𝟖𝟐𝒋
�� = �� + �� + �� = (5,25𝑖 − 5,25𝑗) + (2,42𝑖 + 1,4𝑗) + (−1,95𝑖 + 4,82𝑗)
�� = 5,70𝑖 + 0,99𝑗
|�� | = √(5,70)2 + (0,99)2 = 5,79 𝐾𝑚
𝜃 = tan−1 (0,99
5,70) = 9,85°
��
45° ��
22° ��
��
30°
