UNIVERSIDAD DE ORIENTE
NÚCLEO DE BOLÍVAR
UNIDAD DE CURSOS BÁSICOS.
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS
ÁREA DE FÍSICA.
FÍSICA MÉDICA (MED) / FÍSICA PARA CS. DE LA SALUD (BIO).
Prof. Arquímedes E. López M.
Guía Nº 2.
* Vectores.
* Ejercicios de aplicación.
Vector. Definición.
Un vector es todo segmento de recta dirigido (orientado) en el
plano o en el espacio, que posee las siguientes
características:
a) Tiene un origen (denominado también punto de aplicación), es
el punto exacto sobre el que actúa el vector;
b) Tiene un módulo, que representa la longitud o tamaño del
vector;
c) Tiene una dirección (formando un ángulo respecto a la
horizontal o la vertical), que viene dada por la orientación en el
espacio de la recta que lo contiene;
d) Tiene un sentido, que se indica mediante una punta de flecha
situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la
línea de acción se dirige el vector; el sentido puede ser positivo
o negativo.
Los vectores son una herramienta geométrica utilizada para
representar magnitudes físicas vectoriales en las cuales es
importante considerar, no solo su valor, sino también su dirección
y sentido; tales como son la velocidad, la fuerza, el campo
eléctrico, etc. Hay que tener muy en cuenta el sistema de
referencia de los vectores. Este sistema de referencia permite
fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud. Los
vectores pueden situarse el plano, o sea en dos dimensiones y en el
espacio, desde tres hasta infinitas dimensiones. El sistema de
referencia que se usa como norma general es el sistema de
coordenadas cartesianas.
Para trabajar con vectores se necesita tener conocimiento de
trigonometría.
La trigonometría no es más que la rama de la matemática que se
encarga de calcular los elementos de los triángulos. Para ello
estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los
triángulos.
Puntos importantes a tener en cuenta al momento de trabajar con
vectores:
· El origen de los vectores será siempre el origen del eje de
coordenadas, por lo tanto se designará a un vector sólo con el
punto que determina su extremo.
· Para denotar un vector siempre se hará con una letra mayúscula
y una flecha. Por ejemplo A.
· Si el vector está en el plano, la dirección es cualquier
ángulo medido a partir de un eje coordenado. Por lo general se
acostumbra a medir las direcciones con respecto al eje x.
· En el sentido horario, las direcciones (ángulos), serán
negativas (-).
· En el sentido anti-horario, las direcciones (ángulos), serán
positivas (+).
Componentes de un vector.
Para poder representar un vector en el sistema de coordenadas
cartesianas, se hace uso de tres vectores unitarios. Estos vectores
unitarios, son unidimensionales, es decir que tienen módulo 1; son
perpendiculares entre sí y corresponden a cada uno de los ejes del
sistema de referencia; en la dirección horizontal + (eje x), en la
dirección vertical + (eje y), y en el espacio + (eje z). Por ello,
al eje de las X, le corresponde el vector unitario o también
denominado . Del mismo modo, al eje Y, le corresponde el vector
unitario o también denominado . Finalmente, al eje Z, le
corresponde el vector unitario o también denominado .
Los componentes de un vector no son más que, las proyecciones de
dicho vector en cada uno de los ejes del sistema de coordenadas. Un
vector puede expresarse por medio de sus componentes en el espacio
de la siguiente manera:
El eje de referencia principal más utilizado es el plano
cartesiano. Según este marco de referencia, las componentes
horizontales son vectores en dirección al eje x y las componentes
verticales son vectores en dirección al eje y. Las magnitudes de
las componentes se encuentran relacionadas con la magnitud del
vector principal por medio del teorema de Pitágoras, tomando como
catetos las componentes, y como hipotenusa el vector principal. La
dirección del vector principal relaciona también a las magnitudes
de las componentes por medio de las relaciones trigonométricas
conocidas para un triángulo rectángulo simple. Las relaciones más
utilizadas son el seno, coseno y tangente. Un vector puede
expresarse por medio de sus componentes en el plano de la siguiente
manera:
Vector unitario.
Un vector unitario es un vector cuyo módulo es 1. Se puede
obtener un vector unitario de cualquier vector, dividiendo dicho
vector entre su propia módulo.
Operaciones con vectores.
A) Suma de Vectores.
Si se tienen dos vectores o más, éstos se pueden sumar entre sí
y hallar otro vector llamado en física vector resultante. La suma
de vectores se puede realizar de dos maneras diferentes: 1) a
través del método analítico y 2) por medio del método gráfico.
1.- Método gráfico para la suma de vectores.
Para sumar dos vectores de manera gráfica se pude utilizar el
denominado método del paralelogramo que consiste en trasladar
paralelamente cada uno de los vectores hasta unirlos por el origen,
y luego trazar un paralelogramo, del que se obtiene el vector
resultante de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de
ese paralelogramo.
De igual manera para la suma de dos vectores se puede utilizar
también el método del triángulo, que consiste en ubicar
gráficamente un vector a continuación de otro; es decir, el origen
de cada uno de los vectores se lleva sobre el extremo del otro. El
vector resultante es aquél que nace en el origen del primer vector
y termina en el extremo del último.
2.- Método analítico para la suma de vectores.
El método gráfico de suma de vectores no es recomendable en
situaciones en las cuales sea necesaria una gran exactitud, por lo
que es importante realizar dicha suma tomando en cuenta a los
componentes de los vectores respectivos.
Dados tres vectores:
La expresión correspondiente al vector suma es:
O bien;
Siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:
*Conmutativa: *Asociativa: *Elemento neutro o vector 0:
A + B = B + A (A + B) + C = A + (B + C) A + 0 = 0 + A = A
B) Resta de Vectores.
En realidad es una suma de vectores, pero se utiliza el vector
opuesto del vector que se resta. El vector opuesto se obtiene
multiplicando el vector que se resta por (-1); siempre el vector y
su vector opuesto están en la misma línea de acción, pero con
sentidos opuestos.
(A - B) = A + (-B)
C) Producto de un vector por un escalar.
El producto de un vector por un escalar, es otro vector cuyo
módulo es el producto del escalar por el módulo del vector, cuya
dirección es igual a la del vector, o contraria a éste, si el
escalar es negativo. Partiendo de la representación gráfica del
vector, sobre la misma línea de su dirección, se toma tantas veces
el módulo de vector como indica el escalar.
Producto escalar de vectores.
Dados dos vectores A y B, su producto escalar se define como el
producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. El
producto escalar o punto sirve principalmente para calcular el
ángulo entre dos vectores, independientemente del sistema de
coordenadas.
Propiedades producto escalar:
*Conmutativa: *Distributiva:
Producto vectorial.
El producto vectorial o producto cruz de dos vectores, es otro
vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores.
Propiedades producto vectorial:
1.
2.-
3.- Si con y
Aplicación de vectores.
Fuerza:
Es todo agente capaz de modificar la cantidad de movimiento o la
forma de los cuerpos materiales. También puede decirse que es una
influencia, que al actuar sobre un objeto hace que éste cambie su
estado de movimiento. La definición de fuerza viene dada por la
siguiente fórmula:
F = m × a
Dónde;
F = Fuerza
m = masa
a = aceleración.
La fuerza posee las siguientes propiedades:
a) Propiedad 1. Una fuerza siempre es aplicada por un objeto
material a otro.
b) Propiedad 2. Una fuerza se caracteriza por su módulo y por la
dirección en que actúa. Es decir, tanto el módulo como la dirección
son necesarios para especificar completamente una fuerza. La
dirección de una fuerza es la dirección en la que ésta tendería a
mover al objeto al que está aplicada, en ausencia de otras fuerzas,
La dirección se indica mediante una flecha.
c) Propiedad 3. (Tercera ley de Newton del movimiento). Cuando
un objeto A ejerce una fuerza F sobre un objeto B, el objeto B
ejerce simultáneamente una fuerza R sobre el objeto A. La fuerza R
es de igual módulo pero de dirección opuesta a F. Puede decirse,
entonces, que las fuerzas siempre actúan por parejas.
d) Propiedad 4. Si dos (o más) fuerzas actúan simultáneamente
sobre el mismo objeto, su efecto es el mismo que el de una fuerza
única igual a la suma vectorial de las fuerzas individuales.
F1 + F2 = Fuerza total
Primera ley de Newton del movimiento (caso particular). Para que
un objeto permanezca en reposo, o sea, que esté en equilibrio, es
necesario que la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan
sobre él sea cero. Esto es sólo una condición necesaria para que un
objeto esté en reposo, es decir, que si un objeto ha de permanecer
en reposo, la fuerza neta que actúa sobre él debe ser nula, y si la
fuerza neta no es nula, el objeto no puede permanecer reposo.
Ejercicios propuestos.
1.- Graficar los siguientes vectores y determinar su módulo y
dirección.
a) A = (3i + 8j); b) B = (-7i + 5j); c) C = (4i - 3j); d) E =
(-5i - 9j); e) F = (2i +4j + 8k); f) G = (3i +5j + 7k)
2.- Dados los siguientes vectores:
a) A = (7i + 5j); b) B = (3i - 2j); c) D = (-8i - 7j); d) E =
(4i + 3j); e) F = (-2i +5j + 7k); f) G = (3i +7j + 8k)
Calcular:
1) C = A + B; 2) H = E - D; 3) I = F + G; 4) K = A + E; 5) J = D
- B
En cada uno de los casos determinar; componentes, módulo y
dirección del vector resultante.
3.- Dados los siguientes vectores:
a) A = (3i + 5j) ; b) B = (-4i + 7j)
Calcular gráficamente y analíticamente:
1) C = A + B y 2) D = B - A
Determinar; componentes, módulo y dirección del vector
resultante.
4.- Determinar los componentes de los siguientes vectores:
a) Vector: A; módulo: 7; dirección: 45º respecto al eje x
positivo.
b) Vector: B; módulo: 14; dirección: 125º respecto al eje x
positivo.
c) Vector: C; módulo: 10; dirección: -55º respecto al eje x
positivo.
5.- En los siguientes casos determinar:
a) el ángulo que existe entre los vectores siguientes;
E = (-7i + 3j) ; F = (4i + 5j)
b) un vector perpendicular a los siguientes vectores:
A = (3i + 2j + 5k) ; B = (8i - 4j – 6k)
6.- Una partícula efectúa dos desplazamientos. El primero tiene
una magnitud de 150 cm y forma un ángulo de 120º con el eje x
positivo. El desplazamiento resultante tiene una magnitud de 140 cm
y se dirige a un ángulo de 35º respecto al eje x positivo.
Encuentre la magnitud y dirección del segundo desplazamiento.
7.- Las instrucciones para descubrir un tesoro enterrado son las
siguientes: ir 75 pasos a 240º, girar hasta 135º y caminar 125
pasos; después caminar 100 pasos a 160º. Los ángulos están medidos
en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del eje
que apunta hacia el este, en la dirección de x positiva. Determinar
el desplazamiento resultante desde el punto de partida.
8.- El vector A tiene una componente x negativa de 3 unidades de
longitud y una componente y positiva de 2 unidades de longitud. a)
Determinar una expresión para A en notación de vectores unitarios;
b) Determinar la magnitud y dirección de A; c) ¿Qué vector B,
cuando se suma al vector A, produce un vector C resultante sin
componente en x, y una componente negativa en y de 4 unidades de
largo?.
9.- En la figura nº 1 se muestra la fuerza F ejercida por el
músculo deltoides sobre el húmero cuando el brazo se mantiene en
posición horizontal. Calcular las componentes de la fuerza en
Newton si F = 60 Kg.f. (1Kg.f = 9.806 Newton)
Figura nº 1.
10.- En la figura nº 2 se muestra la forma del tendón del
cuádriceps al pasar por la rótula. Si la tensión T del tendón es
155 Kg.f, ¿Cuál es el módulo y la dirección de la fuerza de
contacto Fc ejercida por el fémur sobre la rótula?.
Figura nº 2.
11.- La figura nº 3 representa la cabeza de un estudiante
inclinado sobre un libro. La cabeza pesa 14,5 Kg.f y está sostenida
por la fuerza muscular Fm ejercidas por los tensores del cuello y
por la fuerza de contacto Fc, ejercida en la articulación
atlanto-occipital. Dado que el módulo de la fuerza Fm es de 15,4
Kg.f, y que está dirigida 35º por debajo de la horizontal. Hallar
el módulo y la dirección de la fuerza de contacto Fc.
Figura nº 3.
12.- El tendón de bíceps de la figura nº 4 ejerce una fuerza Fm
de 17 kg.f sobre el antebrazo. El brazo parece doblado de tal
manera que forma un ángulo de 40º con el antebrazo. Hallar las
componentes de Fm, a) paralela al antebrazo (fuerza estabilizadora)
y b) perpendicular al antebrazo (fuerza de sostén).
Figura nº 4.
13.- El abductor de la cadera, que conecta al fémur de la
cadera, consta de tres músculos independientes que actúan en
diferentes ángulos. En la figura nº 5 se muestra los resultados de
las fuerzas ejercidas por separado por cada músculo. Hallar la
fuerza total ejercida por los tres músculos juntos. (1 Kp = 1
Kg.f).
Figura nº 5.
14.- Las partes posterior y anterior del músculo deltoides
elevan el brazo al ejercer las fuerzas Fp y Fa que se muestran en
la figura nº 6. ¿Cuánto vale el módulo de la fuerza total sobre el
brazo y qué ángulo forma con la vertical?. (1 Kp = 1 Kg.f).
Figura nº 6.
15.- Hallar la fuerza total aplicada a la cabeza del paciente
por el dispositivo de tracción de la figura nº 7. (1 Kp = 1
Kg.f).
Figura nº 7.
16.- En la figura nº8 se muestra una cuerda elástica atada a dos
muelas y estirada hasta pasar por un incisivo. La finalidad de este
dispositivo es aplicar una fuerza F al incisivo. Si la tensión de
la cuerda es de 2 kg.f, ¿Cuál es el modulo y la dirección de la
fuerza aplicada al incisivo?.
Figura nº 8.
