3. VECTORES

Racso Editores 104/11/23

Dr. Félix Aucallanchi V.


ANÁLISIS VECTORIAL

El Análisis Vectorial es una parte esencial de las matemáticas que establece las notaciones concisas y claras que se exige en la presentación de las ecuaciones del modelo matemático de las situaciones físicas.

[Análisis Vectorial, Ph.D. Murray Spiegel, Ed. Mc Graw Hill, México, 1981]

El Análisis Vectorial puede considerarse, sin lugar a dudas, como el más rico lenguaje y forma del pensamiento de las ciencias físicas.

J. W. Gibbs

Josiah Willard Gibbs1839 – 1903, Connecticut, USA

Fue un químico, físico y matemático


SISTEMA COORDENADO DE REFERENCIA

Un Sistema Coordenado de Referencia es un conjunto de objetos matemáticos como rectas, puntos, ángulos y números reales que permiten especificar un lugar en forma precisa y única.

Llamaremos eje a la recta sobre la cual se ha elegido una dirección positiva.

Generalmente la dirección positiva en un eje horizontal es la dirección de izquierda a derecha o simplemente hacia la derecha

(+)Eje


El S.C.R es un sistema coordenado de referencia formado por dos rectas numéricas perpendiculares llamadas Ejes de coordenadas rectangulares que se trazan perpendicularmente entre sí, de modo que sus orígenes coincidan en un punto llamado Origen de coordenadas.

A la recta horizontal la llamaremos «eje x» y a la recta vertical «eje y».

El plano sobre el cual están los ejes se llama plano de coordenadas rectangulares o plano cartesiano o plano xy.

(+)

Llamamos coordenadas rectangulares del punto P al par ordenado (x; y) que identifica cada punto del plano cartesiano, donde «x» e «y» se llaman abscisa y ordenada de P respectivamente.

SISTEMA DE COORDENADAS RECTANGULARES (S.C.R)


Si en lugar de conocer las coordenadas rectangulares de P se conocieran su distancia r al origen O y el ángulo medido en sentido antihorario que forma respecto de una recta de referencia, habríamos establecido un Sistema de Coordenadas Polares, en donde las coordenadas de P son (r; ).

Para relacionar las coordenadas rectangulares de P(x; y) con sus coordenadas polares P(r; ), según la figura, definimos las siguientes Razones Trigonométricas (R.T)

ysen =

r xcos =r

ytan =

x

2 2 2x + y = r 2 2sen + cos = 1

sen= tan

cos

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES


CLASES DE SISTEMAS COORDENADOS RECTANGULARES

Si el movimiento de una partícula se realiza a lo largo de una recta es preferible emplear un sistema unidimensional, si se mueve en el plano será mejor emplear un sistema bidimensional y si se mueve en el espacio es necesario emplear un sistema tridimensional.

Los S.C.R pueden ser (a) unidimensionales, (b) bidimensionales o (c) tridimensionales, según empleen una, dos o tres rectas numéricas perpendiculares entre sí.


ESCALARES

Se llama escalar, o cantidad escalar, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud, que consta de un número y si es el caso de una unidad física.

[Física, Giancoli, Ed. Prentice Hall, México, 1997]

Ejemplo.- Son escalares: la distancia entre la tierra y la luna (), la masa de una manzana (0,1 kg), la temperatura de nuestro cuerpo (310 K), o simplemente 20; -35; ... etc.

Nota.- Los escalares se operan del mismo modo que los números reales.

Por ejemplo si tenemos que mezclar 23 kg de cemento, 45 kg de arena y 12 kg de agua, se obtiene una mezcla de:

23 kg + 45 kg + 12 kg = 56 kg


Se llama vector, o cantidad vectorial, a la cantidad física que se especifica totalmente por su magnitud y una dirección.

[Física Clásica y Moderna, Gettys y otros, Ed. McGraw Hill , Madrid, 1993]

Ejemplo.- Supongamos que una persona se ha desplazado entre dos puntos: desde A hacia B. Primero se desplazó hacia el este 30 m y luego hacia el norte 40 m.

Obsérvese que el desplazamiento fue de 50 m de A hacia B en la dirección indicada por el eje L, cuya inclinación con el eje AE forma 53º.

VECTORES


DESCRIPCIÓN DE LOS VECTORES

Todo vector posee magnitud y dirección. La magnitud de un vector es siempre positiva y se le llama módulo. Así un vector, también, queda determinado por su módulo y dirección.

NOTACIÓN VECTORIAL

Ejemplo.- El desplazamiento del ejemplo anterior se puede denotar como y su módulo como . d = 50 md

Obsérvese que este valor solo depende del triángulo rectángulo formado y es completamente independiente de la dirección L en que se encuentra.

En coordenadas polares se tiene: d = (50 m; 53º )

A y ALas notaciones se leen vector A y módulo del vector A respectivamente.


SEGMENTO DIRIGIDO

Llamaremos segmento dirigido al segmento de recta limitado por los puntos A y B, en el que se ha convenido cuál de estos puntos es el origen cuál es el extremo.

El segmento dirigido con origen en A y extremo en B, se denota como

��AB

Todo segmento dirigido tiene dirección , magnitud y longitud


donde k, llamado factor de escala, es un número positivo expresado en unidades de la cantidad física V por unidad de longitud.

Cuando k = 1, el módulo del vector coincide con la longitud del segmento dirigido.

Luego, si es un vector y es el segmento dirigido que lo representa, entonces ellos se relacionan según la fórmula de graficación:

V��AB

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UN VECTOR

Un vector se grafica mediante un segmento dirigido

��V = k AB

Ejemplo.- ¿De cuántos centímetros será la longitud del segmento dirigido para un vector |F| = 80 N si el factor de escala es k = 16 N/cm?

Aplicando la fórmula de graficación: ��N

80N=16 AB AB 5cmcm


TIPOS DE VECTORES

Vectores Codirigidos

Vectores Contrariamente Dirigidos

Vectores Ortogonales

AB

C D

A

B

A BNotación:

C DNotación:

A BNotación:


A =BA =B

A B

IGUALDAD DE VECTORES

A

B

Definición.- Dos vectores A y B son iguales si poseen el mismo módulo y la misma dirección.

Ejemplo.- Los siguientes vectores son iguales

Obsérvese la igualdadde las longitudes y el paralelismo de los segmentos dirigidos que representan a los vectores.


VECTORES OPUESTOS

A BB A

A B

Un vector B es el opuesto del vector A si teniendo el mismo módulo posee dirección contraria.

A B

B es el opuesto de A

A -A

-A es el opuesto de A


MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

|P |=| k.V | = | k | . | V |

Si P = k.V P V si k > 0

P V si k < 0

Multiplicar un vector por un escalar k, denotado por , es obtener un vector de la misma dirección que , si k es positivo, y de dirección opuesta que , si k es negativo, y cuyo módulo es |k| veces |V| .

V kVVV

V

Obsérvese que |k| es el valor absoluto del escalar k.


Ejemplo.- Dado el vector A, se pide determinar los otros vectores como la multiplicación de un vector por un escalar:

AA/2

2A

-1,5A


DESCOMPOSICIÓN DE VECTORES

Son cada una de las proyecciones de un vector sobre dos ejes concurrentes, cuyos segmentos dirigidos están definidos por las intersecciones entre las paralelas trazadas por su origen y extremo, con cada eje.

En todos los casos V1 y V2 son los vectores componentes de V.

COMPONENTES VECTORIALES DE UN VECTOR EN EL PLANO


Se llaman componentes escalares de un vector a los módulos de éstos con un signo según la dirección que poseen respecto de la dirección positiva del eje sobre el cual descansan.

COMPONENTES ESCALARES DE UN VECTOR

Componente Escalar = (signo) (módulo del vector)

En adelante llamaremos Componentes Vectoriales de V a los

términos V1 y V2 y Componentes Escalares a los términos V1 y V2.

Ejemplo.- En la descomposición vectorial de A y B se muestran los módulos de sus componentes vectoriales. Se pide las componentes escalares de c/u:

A1 = +8 y A2 = +12

B1 = -9 y B2 = -15


Se llaman componentes rectangulares de un vector a los vectores que corresponden a sus proyecciones sobre dos ejes que forman ángulo recto, llamados ejes rectangulares.

(a)

x

Vy

Vx

V

y

(b)

x

RVy

Vx

V

y

(c)

xR

Vy

Vx

V

y(d)

x

R

Vy

Vx

V

y

Si x e y son los ejes rectangulares entonces las componentes

rectangulares de V son Vx y Vy ubicados respectivamente en cada

uno de esos ejes.Todos los casos posibles son:

COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR


Para obtener las componentes escalares rectangulares Vx y Vy de las

componentes Vx y Vy se aplican las R.T seno y coseno del ángulo de

referencia R que forma el vector V con el eje x, tales que: x R y RV = ± Vcos ; V = ± Vsen

Ejemplo.- Determinemos las componentes escalares rectangulares del vector F = (250; 127º):

Luego de graficar reconocemos que elángulo de referencia mide 53º.

Aplicando las fórmulas de las componentes rectangulares y teniendo en cuenta la orientación de cada componente, se tiene:

Fx = -250cos53º Fx = -150

Fy = +250sen53º Fy = +200


VECTORES UNITARIOS

Se llama vector unitario aquel vector cuyo módulo es 1, sin dimensiones y unidades físicas.

uV1

V

VVu =V

Sean V y |V| un vector y su respectivo módulo. El vector unitario en la dirección de

V, denotado por uV, se determina mediante

la relación:

Ejemplo.- Si n es un vector unitario, expresar en términos vectoriales la fuerza F = 0,20 N que se aplica al levantar la tapa del libro.

De la definición de vector unitario:

F= F n F=0,2n(N)


VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS

Los vectores unitarios cartesianos son un conjunto de vectores de valor unitario, denotados como , cuyas direcciones están en las direcciones positivas de cada eje coordenado x, y, z, respectivamente, tales que:

i , j y k

i : Vector unitario en el eje x

j : Vector unitario en el eje y

k: Vector unitario en el eje z

i = j = k = 1 i j , j k , k iTal que: y

El símbolo , denota perpendicularidad.

Los ejes cartesianos x, y, z se llaman eje de abscisas, ordenadas y cotas, respectivamente. A los vectores unitarios cartesianos también se les conoce como versores


En un proceso de descomposición rectangular en el plano xy o en el espacio rectangular xyz, pueden ser útiles los vectores unitarios rectangulares para denotar a las componentes rectangulares así:

donde Vx, Vy y Vz se llaman componentes escalares rectangulares.

x y zx y z

Componente Componente Vector= V = V i , V = V j , V = V k

Rectangular Escalar Unitario

Ejemplo.- Determinar las componentes rectangulares del vector mostrado:

V

x

yO

12

8

6

z

Vy

V

Vz

Vx

x

yO

12

8

6

z xxV = 6 V = 6 i

yyV = 8 V = 8 j

zzV =12 V =12k

Documents

3. VECTORES