CAPÌTULO 1Vectores en el espacio.- Graficación de

vectores en el espacio.- Operaciones con vectores en el espacio.- Cosenos directores.- Vectores paralelos y ortogonales.- Proyección

de vectores.- Producto cruz de vectores.- Área de un paralelogramo y del triángulo.-

Ecuaciones paramètricas y simétricas de una recta.- Ecuación cartesiana del plano.- Planos paralelos.- Puntos de intersección de planos.-

Vectores en el EspacioCualquier punto se puede representar como un

par ordenado de números reales. De manera análoga, cualquier punto en el espacio se puede representar por una terna ordenada de números reales.(a, b, c)

Estos vectores constituyen el espacio R3 .Para representar un punto en el espacio se

elige el origen, denotado por 0. Después se dibujan tres rectas perpendiculares entre sí, “x” “y” y “z”.

Los tres ejes determinan tres planos coordenados, que se llaman plano xy, plano xz y plano yz.

Interpretación de los planos coordenados.

Se podría describir P en R3 de una sola manera. P = (x,y,z)

La primera coordenada x es la distancia dirigida del plano yz a P (medida en la dirección positiva del eje x a lo largo de una recta paralela al eje x).

La segunda coordenada y es la distancia dirigida desde el plano xz hasta P ( medida en la dirección positiva del eje y a lo largo de una recta paralela al eje y.

La tercera coordenada z es la distancia dirigida desde el plano xy hasta P (medida en la dirección positiva del eje z y a lo largo de una recta paralela al eje z.

Sistema de coordenadas cartesianas en R3.

En este sistema los tres planos coordenados dividen al espacio R3 en ocho octantes, de la misma manera que en R2 los ejes coordenados dividen al plano en cuatro cuadrantes. El octante en el que los tres ejes coordenados son positivos siempre se elige como el primero.

Este sistema coordenado se conoce como sistema de coordenadas rectangulares o sistema de coordenadas cartesianas.

Teorema 1

Sean P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2,z2) dos puntos en el espacio. Entonces la distancia PQ entre P y Q está dada por.

PQ = (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 + (z1 – z2)2 .

Segmento de recta dirigido Vector en R3.

Sean P y Q dos puntos distintos en R3. Entonces el segmento de recta dirigido PQ es el segmento de recta que se extiende de P a Q. Dos segmentos de recta dirigidos son equivalentes si tienen la misma magnitud y dirección. Un vector en R3 es el conjunto de todos los segmentos de recta dirigidos equivalentes a un segmento de recta dirigido dado, y cualquier segmento dirigido PQ en ese conjunto se llama una representación del vector.

Magnitud, Suma de vectores y multiplicación por un escalar en R3 .

Magnitud: v = x2 + y2 + z2

Suma: u + v = (x1 + x2 ,y1 + y2, z1 + z2)

Producto: αu = ( α x1, α y1, α z1 )

Vector Unitario

Un vector unitario “u” es un vector con magnitud 1. Si v es un vector diferente de cero, entonces u = v/ v es un vector unitario que tiene la misma direcciòn que v.

La dirección de un vector v en R3 se define como el vector unitario u = v/ v .

(0,0, z0) (0,y0,0)

(x0,0,0)

Ángulos Directores

Sería satisfactorio definir la dirección de un vector v en términos de algunos ángulos. Sea v el vector OP descrito anteriormente. Definimos α como el ángulo entre v y el eje x positivo, β el ángulo entre v y el eje y positivo, y el àngulo entre v y el eje z positivo.

Los ángulos α, β, y son llamados àngulos directores del vector v.

Cosenos Directores

Cos α = xo Cos β = yo Cos = zo

v v v Si v es un vector unitario, entonces la

magnitud de v es igual a 1. Por definición, cada uno de estos tres

ángulos cae en el intervalo de 0, . Los cosenos de estos àngulos son llamados cosenos directores del vector v.

Números Directores.

Cos2 α + Cos2 β + Cos2 = x02+ y0

2 + z02

v 2

= x02+ y0

2 + z02 = 1

x02+ y0

2 + z02

Si α, β, y son tres nùmeros cualesquiera entre cero y pi tales que satisfacen la condiciòn anterior, entonces determinan de manera ùnica un vector unitatrio dado por u = (cos α,cos β, y cos ).

Si v = (a, b, c) y v 1, entonces los nùmeros a, b y c se llaman nùmeros directores del vector v.

Teorema 2

Si denota un ángulo positivo más pequeño entre dos vectores u y v diferentes de cero, se tiene

Cos = u.v = u . v

u v u v

Vectores Paralelos y Ortogonales

Dos vectores u y v diferentes de cero son:Paralelos si el ángulo entre ellos es cero o

.Ortogonales (o perpendiculares) si el ángulo

entre ellos es /2.Si u 0, entonces u y v son paralelos sì y

sòlo si v = α u para algùn escalar α 0.Si u y v son diferentes de cero, entonces u y

v son ortogonales sí y sólo si u.v = 0.

Proyección de un vector sobre otro.

Sea v un vector diferente de cero, entonces para cualquier otro vector u,

w = u - u.v v es ortogonal a v v 2

Sean u y v dos vectores diferentes de cero. Entonces la proyección de u sobre v, denotada por proyv u está definida por.

proyv u = u.v v v 2

La componente de u en la dirección de v está dada por (u.v)/ v

El producto cruz de dos vectores

El producto cruz es llamado también producto vectorial.

El producto cruz fue definido por Hamilton en una serie de artículos publicados el Philosophical Magazine entre los años 1844 y 1850.

Sean u = α1i+ b1j+ c1k y v = α2i+ b2j+ c2k. Entonces el producto cruz de u y v, es un nuevo vector definido por.

u x v = (b1c2 - c1b2)i + (c1a2 - a1c2)j + (a1b2- b1a2)k.

TEOREMA 1

i j k u x v = a1 b1 c1

a2 b2 c2

i j k uxv = a1 b1 c1 = i b1 c1 - j a1 c1 + k a1 b1

a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 c2

= (b1c2 - c1b2)i + (c1a2 - a1c2)j + (a1b2- b1a2)k.

TEOREMA 2: Sean u, v y w tres vectores en R3 y sea α en

escalar, entonces:

u x 0 = 0 x u = 0 u x v = - (v x u) (propiedad anticonmutativa) (α u) x v = α ( u x v ) u x (v + w) = (u x v) + (u + w) pr. distributiva.( u x v ).w = u. (v x w) triple producto escalar.u.(u x v)= v. (u x v ) = 0 ( el resultado es

ortogonal a u y a v.Si ni u ni v son el vector cero, entonces u y v

son paralelos si y sólo si u x v = 0

OBSERVACIONES DEL PRODUCTO CRUZ

Se sabe que u x v es un vector ortogonal a u y v, pero siempre habrá dos vectores unitarios ortogonales a u y v. Los vectores n y – n (normal) son ambos ortogonales a u y v.¿Cuàl tiene la direcciòn de u x v?. La respuesta està dada por la regla de la mano derecha.

Teorema 3: Si es un ángulo entre u y v, entonces. u x v = u v Sen

Se tendría que u x v 2 = u 2 v 2– (u.v) 2 . Entonces como (u . v)2 = u 2 v 2– Cos2

u x v 2 = u 2 v 2– u 2 v 2 Cos2 = u 2 v 2 – (1 - Cos 2 ) u 2 v 2 Sen 2 Y el teorema que da demostrado después de

sacar la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación. Sen 0 porque 0

El área de un paralelogramo: que tiene lados adyacentes u y v es igual a u v Sen = u x v

es el àngulo entre u y v . h / v = Sen de manera que h = v Sen

z

v h u y x

Rectas y Planos en el Espacio

En el plano R2 se puede encontrar la ecuación de una recta si se conocen dos puntos sobre la recta, o bien, un punto y la pendiente de la misma. En R3 la intuición dice que las ideas básicas son las mismas. Como dos puntos determinan una recta, debe poderse calcular la ecuación de una recta en el espacio si se conocen dos puntos sobre ella. De manera alternativa, si se conoce un punto y la dirección de una recta, también debe ser posible encontrar su ecuación.

Dados dos puntos: P = (x1, y1, z1) y Q = (x2, y2, z2) sobre una recta L. Un vector paralelo a L es aquel con representación PQ. Entonces:v = ( x2 – x1 ) i + (y2 – y1 ) j + (z2 – z1) k es un vector paralelo a L. Ahora sea R = ( x, y, z ) otro punto sobre la recta. Entonces PR es paralelo a PQ, que a su vez es paralelo a v, de manera que PR = tv, para algùn real t. En los tres

casos posibles tenemos: OR = OP + PR; OR = OP + tv R Q

Q P Q R P P R

Ecuación vectorial de una recta.

La ecuación: OR = OP + tv se llama ecuación vectorial de la recta L. Si R está sobre L, entonces la ecuación anterior se satisface para algún número real t. Inversamente, si la ecuación se cumple, entonces invirtiendo los pasos, se ve que PR es paralelo a v, lo que significa que R está sobre L. Si se extienden las componentes de la ecuación dada, se obtiene.

xi + yj + zk = x1i + y1j + z1k + t (x2 – x1)i + t (y2 – y1) j + t (z2 – z1)k.

x = x1 + t ( x2 – x1 ); y = y1 + t ( y2 – y1 ) ;

z = z1 +t (z2 – z1). Ecuaciones paramètricas.

Ecuaciones Paramètricas y Simétricas de una recta.

Al despejar t de las ecuaciones paramètricas y definir a = x2 – x1, b = y2 – y1 y c = z2 – z1; se podría decir que:

x – x1 = y – y1 = z – z1

a b c

Las ecuaciones anteriores se llaman ecuaciones simétricas de la recta. Aquí a, b, y c son números directores del vector v. Por supuesto que son válidas las ecuaciones si a, b y c son diferentes de cero. Estas ecuaciones de la recta no son únicas.