CONCEPTOS DE VECTOR EN lR2,lR3 Y SU INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA E INCLUYE INTRODUCCIÓN A LOS CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES.

INTRODUCCIÓN:

Anteriormente para el cálculo vectorial se consideraban funciones de variable real y valor real, o sea funciones definidas sobre subconjuntos de la recta real. El cálculo vectorial considera funciones definidas en espacios vectoriales euclidianos. Sin embargo muchas aplicaciones prácticas requieren de la rica estructura geométrica del espacio euclidiano.

En este capítulo se tratará el espacio euclidiano en detalle, como una condición para poder iniciar un curso básico de cálculo para funciones de varias variables. La belleza y la potencia del Álgebra lineal se verán con mayor claridad cuando visualicemos Rn como un espacio vectorial. El estudio de los espacios vectoriales no es tan diferente del estudio de Rn, ya que a partir de la geometría en R2

y R3 podemos visualizar muchos conceptos. Se inicia con los conceptos de punto y vector en Rn, coordenadas, planos coordenados hasta llegar a la topología básica de Rn.

ESPACIO VECTORIAL

El conjunto Rn es la colección de todas las n-tuplas ordenadas de números reales y está determinado por Rn = f(x1; x2; :::; xn)jxi 2 Rg: Recordando que el producto cartesiano de los conjuntos A y B no vacíos es por definición el conjunto A B de parejas ordenadas (a; b) tales que a 2 A y b 2 B, podemos ver que Rn es el producto cartesiano R R ::: R

La idea de emplear un número para situar un punto sobre una recta fue conocida por los griegos. En 1637 Rene Descartes utilizó un par de números para situar un punto en el plano y una terna de números para situar un punto en el espacio. En el siglo Arthur Cayley y H.G. Grassman extendieron esta idea a n-tuplas de números reales. La representación geométrica de R, es el conjunto de los puntos P de una recta identificada mediante un único número real x, luego de determinar una unidad de longitud. De igual forma la representación geométrica de R2, es el conjunto puntos P de un plano identificados mediante una única pareja ordenada de números reales (x1; x2), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y dos rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares llamadas ejes de coordenadas x1 y x2, aunque es ms familiar usar para los puntos y los ejes x y y, en lugar de x1 y x2. Los dos ejes de coordenadas dividen el plano cartesiano en cuatro partes llamadas cuadrantes. Las coordenadas cartesianas del punto P están formadas por la pareja ordenada (a; b) en donde a se denomina abscisa y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje x, luego su proyección en el eje x es un punto Q(a; 0), y b se denomina ordenada y es la distancia perpendicular dirigida de P al eje y, luego su proyección en el eje y es un punto R(0; b). También la representación geométrica de R3, es el conjunto puntos P del espacio identificados mediante una única terna ordenada de números reales (x1; x2; x3), escogiendo un punto …jo 0 llamado origen y tres rectas dirigidas que pasan por 0 y son perpendiculares entre sí, llamadas ejes de coordenadas x1; x2 y x3; aunque es ms familiar usar para los puntos y los ejes x, y y z, en lugar de x1, x2 y x3. Los tres ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados xy (o z = 0), xz (o y = 0) y yz (o x = 0), que dividen el espacio en ocho partes llamadas octantes. Para un punto P (a; b; c), a, b y c son las distancias dirigidas del punto P a los planos coordenados xy, xz y yx respectivamente y su proyección en estos planos son los puntos (a; 0; 0), (0; b; 0) y (0; 0; c) obteniéndolos en forma geométrica trazando una perpendicular desde el punto hasta el plano coordenado. Aunque no se puedan graficar todos los casos, es posible imaginar la representación geométrica Rn, como el

conjunto de puntos P en Rn identificados mediante una n-tupla ordenada de números reales (x1; x2; xn), xi se denomina coordenada i-ésima o la componente i-ésima de P. Se adoptará la convención de usar letras en negrita para denotar n-tuplas en y letras ordinarias para denotar simplemente números reales.

Magnitudes físicas

Existen magnitudes físicas que quedan perfectamente definidas mediante un número expresado en sus unidades correspondientes. Ejemplos de este tipo de magnitud son: la masa m, volumen V, temperatura T, longitud de onda , potencial eléctrico V, etc. A estas magnitudes se les denomina magnitudes escalares. Sin embargo, para describir adecuadamente ciertos sistemas físicos, deberemos hacer uso de otro tipo de magnitudes para las que, además de un escalar (número), hace falta indicar la dirección y el sentido. Se llaman magnitudes vectoriales y en los textos se representan mediante una letra con una flecha encima, o bien en negrita. Por ejemplo, la velocidad v ó v, la fuerza F, campo magnético B, etc. Vamos a ocuparnos de definir estas últimas y recordar las operaciones básicas que pueden llevarse a cabo con ellas.

Definición de vector

Un vector es un ente matemático que representa una magnitud vectorial. Geométricamente es un segmento de recta orientado, es decir, una flecha. En tres dimensiones, se necesitan tres parámetros para definirlos; en dos dimensiones este número se reduce a dos. Estos parámetros pueden ser representados de distintas maneras, pero siempre tiene que haber un modo de pasar de una representación a otra, como veremos a continuación. En primer lugar es necesario definir un sistema de ejes perpendiculares entre sí: XYZ en 3 dimensiones ó XY en 2 dimensiones (ver figura).

Si v representa una magnitud vectorial, llamamos

módulo de v = o bien simplemente v, a la longitud de la flecha que la representa. El módulo debe ser siempre una cantidad positiva. Para completar la definición del vector es preciso indicar la dirección de la flecha. Suele darse

indicando el ángulo que la misma forma con uno de los ejes, θ. Cuando un vector se define con estas dos cantidades, se dice que está expresado en coordenadas polares.

Otra manera de representar la misma magnitud vectorial en el mismo sistema de ejes consiste en dar las proyecciones del vector a lo largo de cada uno de los ejes, vx y vy. Cuando el vector se define así, se dice que está expresado en coordenadas cartesianas y se suele representar como (vx, vy). ¿Cómo se transforman unas coordenadas en otras? A la vista de la figura, y utilizando relaciones trigonométricas sencillas se llega a:

En tres dimensiones, como ya se ha comentado, se necesitan tres parámetros para definir el vector. Las coordenadas cartesianas son ahora las proyecciones del vector sobre cada uno de los ejes XYZ y de forma análoga al caso anterior se suele representar el vector como (vx, vy, vz). Las coordenadas polares

reciben el nombre de coordenadas esféricas y están constituidas por el módulo del vector (v), el ángulo que forma con el eje Z (θ) y el ángulo que la proyección del vector sobre el plano XY forma con el eje X (ϕ) (ver figura).

El modo de pasar de unas coordenadas a otras es:

ORIGEN

Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.

MÓDULO

En física, se llama módulo de un vector a la norma matemática del vector de un espacio euclídeo ya sea este el plano euclídeo o el espacio tridimensional. El módulo de un vector es un número que coincide con la "longitud" del vector en la representación gráfica.

El concepto de norma de un vector generaliza el concepto de módulo de un vector del espacio euclídeo.

Ejemplo:

Dado un vector del espacio euclídeo  tridimensional expresado por sus componentes, V( ) 

su  módulo es el número real dado por la expresión:

La intensidad o módulo de un vector es la longitud del segmento que lo representa, por lo que habrá

de ser proporcional al valor de la magnitud medida.

DIRECCIÓN:

La dirección de un vector es la recta que contiene al vector, o cualquier recta paralela a ella comparada contra uno de los ejes de referencia y separada mediante un ángulo de inclinación representado por la expresión tg=vx/vy

SENTIDO

Se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.

MAGNITUD:

Es una propiedad o cualidad medible a la que se le pueden asignar distintos valores como resultado de una medición. Las magnitudes se miden usando un patrón que tenga bien definida esa magnitud, y tomando como unidad la cantidad de esa propiedad que posea el objeto patrón

VECTORES EN EL ESPACIO

Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular

en el origen de coordenadas a los ejes X e Y.

Cada punto viene determinado por tres coordenadas P(x, y, z).

Los ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados: XY, XZ e YZ. Estos planos

coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes, en el primer octante

las tres coordenadas son positivas.

Vector en el espacio

Un vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en un punto

y su extremo en el otro.

Componentes de un vector en el espacio

Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o

componentes del vector  son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del

origen.

Ejemplo:  

Determinar la componentes de los vectores que se

pueden trazar en el triángulo de vértices A(−3, 4, 0),

B(3, 6, 3) y C(−1, 2, 1).

Módulo de un vector

El módulo de un vector es la longitud del segmento orientado que lo define.

El módulo de un vector es un número siempre positivo y solamente el vector nulo tiene

módulo cero.

Cálculo del módulo conociendo sus componentes

Ejemplo:  

Dados los vectores  y  , hallar los módulos de   y  ·

Cálculo del módulo conociendo las coordenadas de los puntos

Distancia entre dos puntos

La distancia entre dos puntos es igual al módulo del vector que tiene de extremos dichos

puntos.

Hallar la distancia entre los puntos A(1, 2, 3) y B(−1, 2, 0).

Vector unitario

Un vector unitario tiene de módulo la unidad.

La normalización de un vector consiste en asociarle otro vector unitario, de la misma

dirección y sentido que el vector dado, dividiendo cada componente del vector por su

módulo.

OPERACIONES CON VECTORES

SUMAS DE VECTORES

Para sumar dos vectores se suman sus respectivas componentes.

Ejemplos

1. Dados  = (2, 1, 3),   = (1, −1, 0),   = (1, 2, 3), hallar el vector   = 2u + 3v − w.

 = (4, 2, 6) + (3, −3, 0) − (1, 2, 3) = (6, −3, 3)

2. Dados los vectores   y  , hallar el módulo del vector  .

Propiedades de la suma de vectores

1. Asociativa

 + (  +   ) = (  +  ) + 

2. Conmutativa

 +   =   + 

3. Elemento neutro

 +   = 

4.Elemento opuesto

 + (−  ) = 

Producto de un número real por un vector

El producto de un número real k     por un vector  es otro vector:

De igual dirección que el vector  .

Del mismo sentido que el vector   si k es positivo.

De sentido contrario del vector   si k es negativo.

De módulo 

Las componentes del vector resultante se obtienen multiplicando por K las componentes del vector.

Propiedades del producto de un número por un vector

1. Asociativa

k · (k' ·   ) = (k · k') · 

2. Distributiva respecto a la suma de vectores

k · (   +   ) = k ·   + k · 

3. Distributiva respecto a los escalares

(k + k') ·   = k ·   + k' · 

4. Elemento neutro

1 ·   = 

Ejemplo:  

Dado   = (6, 2, 0) determinar   de modo que sea 3  =  .

PRODUCTO ESCALAR

El producto escalar de dos vectores es un número real que resulta al multiplicar el

producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman.

Expresión analítica del producto escalar

Ejemplo:  

Hallar el producto escalar de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son:

(1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Ejemplo:  

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas   = (−3, 2, 5) en una base

ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Ejemplo:  

Determinar el ángulo que forman los vectores   = (1, 2, −3) y   = (−2, 4, 1).

Vectores ortogonales

Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es 0.

Ejemplo:  

Calcular los valores x e y para que el vector (x, y, 1) sea ortogonal a los vectores (3, 2, 0) y (2,

1, −1).

Propiedades del producto escalar

1. Conmutativa

2. Asociativa

3. Distributiva

4. El producto escalar de un vector no nulo por sí mismo siempre es positivo.

Interpretación geométrica del producto escalar

El producto de dos vectores no nulos es igual al módulo de uno de ellos por la

proyección del otro sobre él.

OA' es la proyección del vector   sobre v, que lo denotamos como:  .

Ejercicio:  

Dados los vectores   y   hallar:

1  Los módulos de   y  ·

2  El producto escalar de   y  ·

3  El ángulo que forman.

4  La proyección del vector   sobre  .

5  La proyección del vector   sobre  .

6  El valor de m para que los vectores   y   sean ortogonales.

Cosenos directores

En una base ortonormal, se llaman cosenos directores del vector   = (x, y, z), a los

cosenos de los ángulos que forma el vector   con los vectores de la base.

Ejemplo:  

Determinar los cosenos directores del vector (1, 2, −3).

PRODUCTO VECTORIAL

El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los

dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v.

Su módulo es igual a:

El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:

Ejemplos:  

Calcular el producto vectorial de los vectores   = (1, 2, 3) y   = (−1, 1, 2).

Dados los vectores   y  , hallar el producto vectorial de dichos

vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a   y  .

El producto vectorial de   es ortogonal a los vectores   y  .

Área del paralelogramo

Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área

del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.

Ejemplo:  

Dados los vectores  y  , hallar el área

del paralelogramo que tiene por lados los vectores   y  ·

Área de un triángulo

La diagonal de un paralelogramo lo divide en dos triángulos iguales, por tanto el área del triángulo será la mitad del área del paralelogramo.

Ejemplo  

Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).

Propiedades del producto vectorial

1. Anticonmutativa

 x   = −  x 

2. Homogénea

λ (  x  ) = (λ ) x   =   x (λ )

3. Distributiva

 x (  +   ) =   x   +   x   ·

4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.

         x   = 

5. El producto vectorial   x   es perpendicular a   y a  .

PRODUCTO MIXTO

El producto mixto de los vectores  ,   y   es igual al producto escalar del primer

vector por el producto vectorial de los otros dos.

El producto mixto se representa por [ ,  ,  ].

El producto mixto de tres vectores es igual al determinante que

tiene por filas las coordenadas de dichos vectores respecto a una

base orto normal.

Ejemplos:  

Calcular el producto mixto de los vectores:

Volumen del paralelepípedo

El valor absoluto del producto mixto representa el volumen del paralelepípedo cuyas

aristas son tres vectores que concurren en un mismo vértice.

Ejemplo  

Hallar el volumen del paralelepípedo formado por los vectores:

Volumen de un tetraedro

El volumen de un tetraedro es igual a 1/6 del producto mixto, en valor absoluto.

Ejemplo  

Obtener el volumen del tetraedro cuyos vértices son los puntos A(3, 2, 1), B(1, 2, 4), C(4, 0, 3) y D(1, 1, 7).

Propiedades del producto mixto

1. El producto mixto no varía si se permutan circularmente sus factores, pero cambia de

signo si éstos se trasponen.

2. Si tres vectores son linealmente dependientes, es decir, si son coplanarios, producto

mixto vale 0.

EJERCICIOS DE PRODUCTO ESCALAR Y VECTORIAL

1 Dados los vectores ,   y   hallar:

1 ,   ,   ,  

2 ,   ,   ,  

3 ,  

4 ,   ,  

5 ,  

2 Dados los vectores  y  , hallar:

1 Los módulos  de   y 

2 El producto vectorial  de   y 

3 Un vector unitario ortogonal  a   y 

4 El área del paralelogramo  que tiene por lados los vectores   y 

3 Hallar el ángulo  que forman los vectores    y  .

4 Hallar los cosenos directores  del vector  .

5 Dados los vectores  y  , hallar el producto  y

comprobar que este vector es ortogonal a    y a  . Hallar el vector   y

compararlo con  .

ECUACIONES DE PLANOS Y RECTAS

PLANOS Y RECTASAsí como una recta determinada por dos puntos distintos, un plano está determinado

por 3 puntos no colineales.

APLICACIONES DE LOS VECTORES

EJEMPLO 1

EJERCICIO 2

CÁLCULO DEL VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO SUSTENTADO POR TRES VECTORES

EJEMPLO

EJERCICIOS PPROPUESTOS

SUPERFICIES

PARA CILINDROS

EJERCICIOS

EJEMPLO 1

EJEMPLO 1

En coordenadas cilíndricas R=k determina un cilindro circular recto de radio k,r = 0 determina el eje z, k determina un plano que forma un ángulo k con el eje z y z=k determina también un plano. Entonces : z= x2 + y2 que representa la ecuación de un paraboloide.

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

PROPIEDAD

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5

EJERCICIOS A RESOLVER

LONGITUD DE ARCO CON PARAMÉTRICAS