Tugas Kuantum Fix

5/11/2018 Tugas Kuantum Fix - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/tugas-kuantum-fix 1/11

1

Bagian 15Bagian 15Bagian 15Bagian 15

Momentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom HidrogenMomentum sudut dan Atom Hidrogen

Untuk menjelaskan spektrum atom diskrit yang diamati, Bohr menyatakan bahwa

momentum sudut dari elektron dalam atom hidrogen terkuantisasi seperti contoh

= ℏ , =1, 2, 3, … (552)

However, a careful analysis of the observed spectra showed that the angular momentum

tidak bias menjadi ℏ , but rather , where . Namun, analisis yang cermat dari spektrum

yang diamati menunjukkan bahwa momentum sudut tidak bisa menjadi

ℏ, tetapi

mendekati ( +1), dimana = 1, 2, 3, … − 1.

Ini sesuai dengan postulat Bohr yang menyatakan bahwa energi dan juga orbit elektron

terkuantisasi, elektron hanya terdapat pada jarak tertentu dari inti. Sebuah pertanyaan

muncul, di mana elektron sebenarnya ketika electron mengalami transisi dari satu orbit

ke orbit yang lain?

Di sini, kami akan memberikan jawaban atas pertanyaan ini dengan menganalisis gerak

elektron dalam atom hidrogen dari sudut pandang mekanika gelombang kuantum.Dalam pendekatan ini, daripada membingungkan tentang posisi dan gerakan elektron,

kita akan mengklasifikasikan elektron dalam hal jumlah energi yang dimiliki elektron.

Dalam uraian ini, elektron diwakili oleh sebuah fungsi gelombang ψ(r), yang memenuhi

persamaan stasioner Schrödinger.

ψ(r) = Eψ(r) (553)

Dimana Hamiltonian nya adalah

= − ℏ

∇ + V(r) (554)

dengan

V(r) = − π

(555)

Dengan demikian, potensial hanya bergantung pada jarak r dari elektron yang bergerak

ke inti (pusat kekuatan). Karena potensial V (r) memiliki simetri bola, kita akan bekerja

dalam koordinat bola, seperti ditunjukkan dalam Gambar 30, di mana



∇=

+

Gambar 30:Gambar 30:Gambar 30:Gambar 30:

Dalam koordinat bola pers

+ ℏ

Persamaan (557) memiliki

pada jarak r, sedangkan b

azimut. Thus, the wave f

gelombang dari bentuk ter

ψr ,

Oleh karena itu, kita dapat

Kedua sisi Persamaan (559)

dengan konstanta yang sa

sin

Pertama, kita mempertimb

sin

RepresentasiRepresentasiRepresentasiRepresentasi koordinat bolakoordinat bolakoordinat bolakoordinat bola dari vektordari vektordari vektordari vektor

maan Schrodinger dapat ditulis

ψ

sin

dua bagian yang terpisah: bagian perta

agian kedua hanya bergantung pada su

unction is of the separable form Deng

isah menjadi

menulis persamaan (557) sebagai

sin

bergantung pada variabel yang berbeda,

a, katakanlah :

0

0

ngkan Persamaan (561) yang tergantung

2

(556)

osisi.osisi.osisi.osisi.

0 (557)

a bergantung hanya

dut polar dan sudut

an demikian, fungsi

(558)

(559)

sehingga harus sama

(560)

(561)

pada , .



3

15.115.115.115.1 BagianBagianBagianBagian sudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudutsudut dari fungsi gelombang: Momentum sudut

Pada kenyataannya, Persamaan (561) adalah persamaan nilai eigen untuk kuadrat dari

operator momentum sudut

= = −ℎ ∇ (562)

yang dalam koordinat bola berbentuk

= −ℏ

sin

+

(563)

Karena persamaan nilai eigen untuk dapat ditulis sebagai

(, ) = (, ), (564)

Kita dapatkan = − ℎ⁄ , dimana is adalah nilai eigen dari . Dengan demikian, kita

dapat menulis persamaan nilai eigen untuk sebagai

sin sin

− sin + = 0 (565)

Persamaan ini mengandung dua bagian terpisah, satu tergantung hanya pada dan

lainnya tergantung hanya pada . Oleh karena itu, solusi dari Persamaan (565) akan

menjadi

(, ) = ()Φ() (566)

Oleh karena itu, substitusi Persamaan (566) ke persamaan (565), dan membagi kedua sisi

dengan ()Φ(), kita peroleh

sin

sin − sin =

(567)

dimana ≡ () dan Φ ≡ Φ().Seperti sebelumnya, kedua belah pihak harus sama dengan suatu konstanta, katakanlah

. Jadi

sin

sin − sin = (568)

= − (569)

Pertama, kita akan memecahkan Persamaan (569) untuk bagian azimut dari fungsi

gelombang, yang kita dapat menulis sebagai

= −Φ (570)



4

dan solusi dari Persamaan (570) adalah

Φ() = exp()(571)

dimana A adalah konstanta.

Ketika dalam rotasi, and + 2 sesuai dengan posisi yang sama di ruang: Φ() =Φ( + 2 ) memenuhi ketika

exp(im) = expim( + 2) (572)

Dari hal ini kita dapatkan bahwa

exp(2 π) = 1 (573)

Namun, ini dipenuhi hanya jika m adalah integer. Oleh karena itu, konstanta yang bukan

nomor acak, adalah integer.

Normalisasi Φ() memberikan

1 = |Φ()| = 2| | (574)

yang mengarah ke bentuk akhir Φ() sebagai

Φ() = √ exp (∅) (575)

Langkah berikutnya dalam penyelesaian adalah untuk menemukan (), komponen

polar dari fungsi gelombang.Dari Persamaan (568), jika kita kalikan kedua sisi persamaan dengan X dan membaginya

dengan sinθ kemudian mengatur ulang, kita memperoleh

sin

− + = 0 (576)

Memperkenalkan variabel baru = cos , dan mencatat bahwa

= −√ 1 −

(577)

kita dapatkan

(1 − ) − 2 − + 1 − = 0

atau

(1 − )

− + = 0 (578)

Persamaan (578) dikenal dalam matematika sebagai persamaan umum diferensial

Legendre , dan solusinya adalah polinomial Legendre. Untuk m = 0, persamaan itu



5

disebut persamaan diferensial Legendre biasa yang solusinya diberikan oleh polinomial

Legendre. Solusi Persamaan (578), yang biasa di z = 1, diasumsikan diwakili oleh

serangkaian deret berbentuk

() = (1 − )|| ∑ ∞ (579)

Dengan mensubstitusi persamaan (579) ke dalam Persamaan (578), kita memperoleh

relasi rekursi untuk suatu koefisien . = (||)(||)

()() (580)

Karena a > a, deret divergen ( secara logaritma) untuk z = ±1. Oleh karena itu,

dalam rangka untuk mendapatkan fungsi gelombang yang terbatas di mana-mana dalam

ruang, kita harus mengakhiri deret di rumah j = j. Dengan kata lain, kita berasumsi

bahwa a = a = ⋯ = 0. Deret ini berakhir pada j = j. Menunjukkan bahwa

( + ||)( + || + 1) + = 0 (581)

Memperkenalkan

= + || (582)

Kita lihat bahwa ≥ ||, dan

= −( + ), = 0,1, 2, … (583)

Oleh karena itu, kita melihat bahwa nilai eigen dari momentum sudut terkuantisasi

= ℏ( + 1), = ℏ ( + 1), (584)

Jumlah bilangan bulat disebut bilangan kuantum momentum sudut. Karena ≥ ||,bilangan m terbatas untuk nilai-nilai absolut tidak lebih besar dari .Kita telah menunjukkan bahwa bagian azimut dari fungsi gelombang yang diberikan oleh

Φ() = √ exp (), = 0, ±1, ±2, … , ± (585)

Pertimbangkan komponen z dari momentum sudut.

Kita akan mencoba untuk menemukan nilai eigen dan fungsi Eigen dari:

Φ = Φ (586)

Dalam koordinat bola



6

= −ℏ (587)

dan kemudian kita dapatkan dari persamaan diferensial Persamaan sederhana−ℏ = Φ (588)

yang solusinya adalah

Φ() = exp ℏ Φ (589)

dimana A adalah konstanta.

Dengan menggunakan argumen yang sama seperti sebelumnya, bahwa dalam rotasi,

dan

+ 2hubungan ke posisi yang sama dalam ruang, kita menemukan bahwa

= ℏ = 0, ±1, ±2, … (590)

Jadi, bagian azimut dari fungsi gelombang adalah fungsi gelombang dari komponen z

dari momentum sudut, dan nilai m adalah komponen z momentum sudut bilangan

kuantum.

15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial15.2 Bagian Radial Fungsi GelombangFungsi GelombangFungsi GelombangFungsi Gelombang

Di dalam langkah akhir solusi persamaan Schrodinger, kita mempertimbangkan bagian

radial R fungsi gelombang, Persamaan(560).

Kita dapat menfesipikkan Persamaan (560) didapatkan variabel baru

2 = − 2, 2 , = 2

40 , = 2 (594)

Dan subtitusikan format yang eksplisit untuk () (Persamaan (555)), dan = −( + 1). Setelah itu, diferensialkan persamaan (560) untuk mendapatkan bentuk

1

2

2

+ − 1

4− (1)

2 = 0 (595)

Kita dapat mencoba untuk mendapatkan solusi dari Persamaan (595) dalam bentuk

() = 1

2 ∑ (596)

sebelumnya, deretnya divergen sehingga kita harus menghentikan deretnya pada = 0 sehingga 0 = − − 1.

Denotasi 0 − − 1 = , kita memiliki = , dan = 1, 2,3, …dan seterusnya,



7

Kita lihat bahwa > . disebut − bilangan kuantum utama. Kita dapat menemukan

(= ), jadi dengan memiliki

, dan dari sebelumnya, kita dapatkan persamaan energi

= − 1

(40) 2 4

2 21

2(597)

Serta kita dapatkan konstanta

0 = 40 2 2 , (598)

Yang disebut jari-jari Bohr, dan kemudian

= − 1

(40) 21

20 2(599)

dimana, energi dari elektron didalamnya adalah kuantitas atom hidrogen. Catatan

bahwa Persamaan (599) sangat tepat dengan prediksi dari teori Bohr tentang atom

hidrogen (lihat persamaan (111)). Karena = 2, dan = 1 = (0), bagian radial

fungsi gelombang dapat dituliskan

() = ( 2) () (600)

Dimana

() = ∑ ( 2)10 (601)

adalah gabungan polynomial Laquerre dimana

( − −1

). Koefisien bj ditemukan dari

normalitas fungsi radial

2|()| 2 = 1∞

0(602)

sekali bagian dari fungsi gelombangl diketahui, solusi untuk masalah atom hidrogen

diselesaikan dengan menulis fungsi gelombang elektron ternormalisasi.

(,,) = ()(,) (603)

RingkasanRingkasanRingkasanRingkasan Bab iniBab iniBab iniBab iniNilai Eigen dari energi elektron pada atom hidrogen terkuantisasi yaitu

= − 1

(40) 21

20 2(604)

dan hubungan fungsi eigennya adalah

(,,) = ()(,) (605)

Dimana bilangan quantumnya adalah

= 1, 2, 3, … . ,1



0, 1, 2, … ,

Sedikit normalisasi fungsi ei

Ψ 210 1

323 20

Harus diingat bahwa fun

dari dan . Kemutlak

probabilitas dari kepadatan

|,,Adalah kemungkinan u

disekitar titik .

Figure 32:Figure 32:Figure 32:Figure 32: FunFunFunFun

Nilai maximum dari

dari perkiraan (rata-rata) ja

nlm

Contoh dari fungsi probabil

0,1, 2, … , 1, en dari elektron

Ψ100 1

3 0 ,

Ψ 200 1

8 31

20

20

20

si eigen untuk 0 memiliki simmetri

an bentuk dari fungsi gelombang |temuan dari elektron dalam nilai ,,| 2 4 2|,,| 2

tuk menemukan elektron dalam v

gsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitasgsi probabilitas elektron dalamelektron dalamelektron dalamelektron dalam , yang banyak ditemukan jarak dari elec

i-jari , ditunjukan oleh

litas ditunjukkan pada Gambar. 32 d

8

(606)

(607)

s bola yang terlepas

,,| 2 adalah

, dan

(608)

olume kecil

. ron dari inti, bentuk

(609)

an 33



GambarGambarGambarGambar 33333333: Ben: Ben: Ben: Ben

Sifat-sifat menarik dari fung

1. Untuk n = 1, proba

2. For (n = 2; l = 0;

terletak

pada

3. Hanya untuk men

maksimum yang terl

LatihanLatihanLatihanLatihan

Fungsi gelombang dinorm

bentuk

di mana = 1/ adalah

r adalah jarak antara elektr

a. Nilai ekspektasi dari

a) Nilai yang paling mu

tuktuktuktuk Fungsi ProbabilitasFungsi ProbabilitasFungsi ProbabilitasFungsi Probabilitas daridaridaridari elektron (elektron (elektron (elektron (nlm nlm nlm nlm

si probabilitas :

ilitas memiliki satu nilai maksimum yaitu

= 0), probabilitas menunjukkan dua

atakan seperti 1, probabilitas

tak pada .

lisasi dari keadaan awal suatu atom hid

/

sebuah konstanta, 4/ adal

n dan inti (nukleus). Tunjukkan:

r adalah

ngkin untuk adalah =.

9

==== ((((200).200).200).200).

pada .

ilai maksimum yang

menunjukkan satu

rogen yang memiliki

ah jari-jari Bohr, dan



10

SolusiSolusiSolusiSolusi

a. Dari definisi nilai harapan, kita dapatkan:

= ψ∗ ()ψ() = 4 ∞

dimana = 1/dan kami telah mengubah integral dari ke koordinat bola dengan

= 4. Dengan mengintegralkan, kita dapatkan

= 4 6

(2) = 24

16

= 3

2 1

= 3

2

Dengan demikian, jarak rata-rata elektron dari inti dalam bentuk ψ adalah 3/2 kali jari-

jari Bohr.

b. Nilai yang paling mungkin dari r adalah nilai di mana kemungkinan untuk menemukan

elektron maksimal.

Jadi, pertama kita bisa menghitung kemungkinan untuk menemukan elektron pada

titik r:

() = 4|ψ(r)| = 4 = 4

Nilai maksimum dari () adalah di mana()

= 0. Karenanya

() = 8

− 8

sehingga,()

= 0 ketika = 1 dari mana, kita dapat:

= 1 =

Perhatikan bahwa hasil ini sesuai dengan prediksi dari model Bohr, bahwa radius orbit

= 1 adalah sama dengan .

Ringkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinyaRingkasan dari solusinya: Harapan dan nilai yang paling mungkin dari tidak sama. Hal

ini karena kurva probabilitas () tidak simetris untuk nilai maksimum pada , lihat

Gambar 32. Jadi, nilai

yang lebih besar dari

yang berbobot lebih berat dalam



11

persamaan untuk nilai harapan dari lebih kecil dari nilai . Hal ini mengakibatkan nilai

ekspektasi

melebihi

untuk distribusi probabilitas ini.

Documents

Tugas Kuantum Fix