TUGAS KUANTUM

TRANSLATE BUKU BAB 5

MOMENTUM SUDUT

OLEH :

MARIATI

TITIN FAHRIANA

ARIFUDIN

DEDDY YULIARMAN

PROGRAM STUDI S-1 FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS LAMBUNG MANGKURAT

BANJARBARU 2014

MOMENTUM SUDUT

5.1 pengenalan

Momentum sudut memainkan peran penting dalam Mekanika klasik. Studi

tentang dinamika sistem yang memiliki simetri tertentu, seperti rotasi dalam

ruang, dibuat sederhana dengan menggunakan konsep momentum sudut;

misalnya, momentum sudut dari sebuah sistem yang terisolasi adalah kekal.

Momentum sudut sama pentingnya dalam mekanika kuantum dan dalam

mekanika klasik. Hal ini sangat berguna untuk mempelajari dinamika sistem yang

lebih di bawah pengaruh bola simetris, atau pusat, potensial dalam

mekanika klasik, momentum sudut orbital dari sistem ini sangat penting.

Momentum sudut memainkan peran penting dalam deskripsi, misalnya rotasi

molekul, gerakan elektron dalam atom dan gerakan nukleon dalam inti. Teori

kuantum momentum sudut dengan demikian merupakan prasyarat untuk belajar,

atom suatu sistem nuklir molekuler.

Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan formalisme umum momentum sudut.

A kan memeriksa berbagai properti dari operator momentum sudut, dan fokus

pada menentukan nilai eigen dan tetapan eigen . Akhirnya, kita akan menerapkan

formalisme ini untuk penentuan nilai eigen dan vektor eigen dari orbital dan spin

momentum sudut.

5.2 Orbital Momentum Sudut

Dalam klasik momentum sudut dari sebuah partikel dengan momentum and

posisi didefinisikan oleh

Operator momentum sudut orbital dapat diperoleh sekaligus dengan mengganti

dan oleh operator sesuai pada respresentasi posisi,

Kartesian komponen Bahasa Dari adalah:

Perhatikan momentum sudut tidak ada dalam ruang satu dimensi.

Hubungan Pergantian

Sejak , dan saling bolak-balik dan begitu do x, y dan z,dan karena

, x] = i karena [ , y] = i, dan [ , z] = i, yang dimiliki

Sebuah perhitungan yang sama menghasilkan dua relasi pergantian lainnya; tetapi

jauh lebih mudah untuk menyimpulkan dari (5.6) dengan cara permutasi siklik

dari komponen xyz, x y z x;

Seperti disebutkan dalam Bab 3, sejak x, y dan x tidak bolak-balik, kita tidak

bisa mengukur secara bersamaan untuk akurasi sembarang

Perhatikan bahwa hubungan pergantian (5.7) yang diperoleh mengungkapkan

momentum sudut orbital dalam representasi posisi. Tapi karena ini adalah

hubungan operator, mereka harus berlaku dalam representasi apapun. Pada bagian

berikut kita akan mempertimbangkan formalisme umum momentum sudut;

formalisme yang terbatas tidak ada representasi tertentu.

contoh 5.1

(a) Hitung komutator [ , x], [ , y] and [ , z].

(b)Hitung komutator [ x , x] [ x , y] [ x , z].

(c) Gunakan hasil a untuk menghitung

solusi

Satu-satunya komutator nol yang melibatkan X dan berbagai komponen x, y

dan z adalah [ , x] = i. setelah menyatakan hasil ini, kita dapat dengan mudah

mengevaluasi komutator diperlukan. Firs, karena x = z - y tidak

melibatkan Px yang kemacetan Operator secara terpisah dengan , z, ,dan

y,, maka

Evaluasi dari dua komutator lainnya sangat mudah:

Satu-satunya komutator antara x dan komponen x, y, z yang bertahan lagi

[[ x, =-i.. Dengan demikian kita dapat menyimpulkan

Menggunakan komutator diturunkan dalam (a) dan (b), kami menyimpulkan

5.3 Formalisme umum dari sudut Mumentum

Seorang operator momentum sudut didefinisikan oleh komponen-komponennya

x, y, dan z, yang memenuhi hubungan pergantian:

Atau ekuivalen dengan

Sejak x, y, dan z tidak saling bolak-balik, mereka tidak dapat secara

bersamaan didiagonalkan; yaitu, tidak memiliki eigen tetap . persamaan umum.

dari momentum sudut

skalar, maka bersifat komutatif dengan x, y, dan z:

Dimana k singkatan x, y, dan z misalnya, dalam kasus k = x kami

karena

Tetapan eigen dan Nilai eigen dari operator momentum sudut

karena comut dengan x, y, dan z setiap komponen dapat secara terpisah

didiagonalkan ( memiliki fungsi eigen simultan) dengan. Tapi karena

komponen x , y, dan z,tidak saling bolak-balik, kita dapat memilih hanya salah

satu dari mereka akan bersamaan dengan didiagonalkan. Dengan konvensi kita

memilih z.. Tidak ada yang khusus tentang arah-z, kita seperti dapat mengambil

dan x atau dan y.

Mari kita sekarang mencari tetapan eigen dari dan J z dan nilai eigen yang

berhubungan. Yang menunjukkan tetapan oleh | , ) dan nilai-nilai eigen dari

dan z oleh 2 dan , masing-masing, kita harus

Faktor diperkenalkan sehingga dan adalah berdimensi, karena momentum

sudut memiliki dimensi : energi waktu. Untuk mempermudah, kita akan

mengasumsikan bahwa tetapan eigen ini ortonormal

Sekarang kita perlu memperkenalkan menaikkan dan menurunkan Operator + dan

- seperti yang kita lakukan ketika kita mempelajari osilator harmonik dalam bab 4

Hal ini menyebabkan

Oleh karena itu

Menggunakan (5.16) kita dapat dengan mudah memperoleh hubungan pergantian

berikut:

Selain + dan - memuaskan

Hubungannya menyebabkan

Yang selanjutnya menghasilkan

Mari kita lihat bagaimana beroperasi pada | , >. pertama bagaimana

tidak bolak-balik dengan z,, para kets | , > tidak dari tetapan eigen.

Menggunakan hubungan (5.27) kita memiliki

Merupakan tetapan eigen dari z dengan nilai eigen ( 1).

Sekarang z dan bolak-balik juga harus menjadi tetapan

eigen dari . Nilai eigen dari saat bertindak atas | , ) dapat ditentukan

dengan memanfaatkan komutator [ , ] = 0 . juga merupakan

tetapan eigen dari dengan nilai eigen 2:

Dari (5.32) dan (5.33) kita simpulkan bahwa ketika bertindak atas | , >, hal

itu tidak mempengaruhi pertama kuantum jumlah , tetapi meningkatkan atau

menurunkan bilangan kuantum kedua sebesar satu unit. Artinya

, sebanding dengan | , 1>

Kami akan menentukan kemudian pada konstan

Perhatikan bahwa, untuk eigen tertentu dari , terdapat batas atas bilangan

kuantum . Hal ini disebabkan operator positif, sebab

kita sehingga dapat menulis

Karena memiliki maks batas atas, harus ada negara | , maks> yang tidak

dapat dinaikkan lagi:

Menggunakan hubungan ini bersama dengan - + =

kita melihat bahwa - + | , maks> = 0 atau

karena

Setelah aplikasi dari - pada| , maks>, kita harus mampu mencapai keadaan | ,

maks> yang tidak dapat diturunkan lebih lanjut:

Menggunakan, dan dengan analogi dengan (5.37) dan

(5.38), kita menyimpulkan bahwa

Membandingkan (5.38) dan (5.40) kita memperoleh

Karena min dicapai oleh aplikasi n J - pada | , maks>, berarti

Dan karena min = max kita menyimpulkan bahwa

Oleh karena itu maks dapat menggunakan bilangan bulat atau bukan bilangan

bulat , tergantung pada n yang genap atau ganjil.

Sekarang tepat untuk memperkenalkan J notasi dan m untuk menunjukkan maks

dan , masing-masing:

Oleh karena itu nilai eigen dari 2 diberikan oleh

Sekarang karena min = -max, dan dengan n positif, kita menyimpulkan bahwa

nilai-nilai yang diizinkan m terletak antara dan + :

Hasilnya diperoleh sejauh ini dapat diringkas sebagai berikut; nilai-nilai eigen dari

2 dan z yang sesuai dengan sendi vektor eigen | j, m> diberikan, masing-masing

sebesar 2 j (j + 1)dan m

Dimana j = 0, , 1, 3/2, ... dan m = j, - (j - 1), ..., j - 1, j. sejauh setiap j ada 2j + 1

nilai m. misalnya, jika j = 1 maka m mengambil tiga nilai -1, 0, 1; jika j = 5/2

maka m mengambil enam nilai -5/2, -3/2, -1 / 2, 0, 1/2, 3/2, 5/2. Nilai-nilai j yang

baik bilangan bulat. Kita melihat bahwa spektrum operator momentum sudut

dan z diskrit. Karena tetapan eigen sesuai dengan momentum sudut yang

berbeda adalah ortogonal, dan karena spektrum momentum sudut adalah diskrit,

kondisi orthonormal dalah

Mari kita sekarang mencari nilai eigen dari dalam {| j, m> adalah basis

normal; | J, m> bukan tetapan eigen dari . kita dapat menulis ulang persamaan

eigen (5.34) sebagai

Kita akan menurunkan dan menyimpulkan itu. Sejak | j, m>

dinormalisasi, kita dapat menggunakan (5.49) untuk mendapatkan dua ekspresi

berikut

Tapi karena - + adalah sama dengan ( 2 -

2 - z ), dan dengan asumsi +

m m

menjadi nol, kita menyimpulkan bahwa

Dengan analogi dengan +

m m kita dapat dengan mudah menyimpulkan ekspresi

untuk

m :

Dengan demikian, persamaan eigen untuk + dan - diberikan oleh

atau

Yang pada gilirannya mengarah pada dua relasi:

Oleh karena itu nilai ekspektasi x dan y adalah nol :

Kami akan menunjukkan nanti (5,204) bahwa nilai harapan ((j , m | 2 | j, m) dan (

j ,m | 2 |j, m) adalah sama dan diberikan oleh

5.4 Matriks representasi dari momentum sudut

formalism dari bagian sebelumnya Umum dan independen dari perwakilan

tertentu. ada banyak cara untuk mewakili operator momentum sudut dan nilai

eigen. dalam bagian ini kita akan membahas representasi matriks dari momentum

sudut dimana nilai eigen dan operator akan diwakili oleh kolom vektor dan

matriks persegi, masing-masing. Hal ini dicapai dengan memperluas keadaan dan

operator di dasar diskrit. kita akan lihat nanti bagaimana untuk mewakili

momentum sudut orbital dalam representasi posisi.

karena 2 dan z bolak-balik, set nilai eigen umum mereka {j, m)} dapat dipilih

sebagai dasar; dasar ini diskrit, orthonormal dan complate. untuk yang nilai

diberikan j, kondisi othonormalization tempat ini diberikan oleh (5,48), dan

kelengkapan kondisi ini expresed oleh

, ) (, =

+

=

Ketika merupakan operator matriks 2 dan z sampai diagonal dalam dasar yang

diberikan oleh nilai eigen.

( j, m 2 j, m) = 2 j ( j + 1 ) jj mm

( j, m z j, m) = mjj mm

dengan demikian, matriks mewakili 2 dan z di {j, m)} basis eigen diagonal,

unsur-unsur diagonal mereka sama dengan 2 j(j + 1) dan m, masing-masing.

sekarang karena operator tidak bolak-balik dengan z, mereka digambarkan

dalam {j, m)} oleh matriks yang tidak diagonal:

(5.68)

kita dapat menyimpulkan matriks dan J J dari '''

Contoh 5.3 (momentum angular j=1)

Pertimbangkan dimana j=1

(a) Carilah representasi matrik dari operator 2, z , , x dan y

(b) Carilah nilai eigen gabungan dari 2 dan z dan memverifikasi bahwa dari

orthonormal dan dasar lengkap

(c) Gunakan matrik dari x , y dan z untuk menghitung [x , y ], [y , z ] dan

[z , x ]

(d) Buktikan bahwa z3 = 2 z dan

3 = 0

Solusi;

(a) Untuk j = 1 diperbolehkan dari nilai-nilai m adalah -1, 0, 1. Dengan nilai

eigen bersama 2 dan z adalah 1, -1}, 1, 0} dan 1, 1}. Representasi

operator matrik dapat disimpilkan dari (5.66) dan (5.67) :

Sama halnya menggunakan (5.68) kita dapat memastikan bahwa matrik + dan -

diberikan oleh

Matrik untuk x dan y pada { j, m)} hasil basis langsung dari hubungan x = (+ +

- )/2 dan y = i( - - + )/2

(b) Vektor eigen bersama 2 dan z dapat diperoleh sebagai berikut. Persamaan

matrik z j, m} = m j, m}

Dinormalisasi yang solusi untuk persamaan ini untuk m = -1, 0, 1 diberikan oleh

masing-masing a = 1, b = c = 0; a = 0, b = 1, c = 0; dan a =b = 0, c = 1; sebagai

berikut,

Kita bisa buktikan bahwa ini adalah vector orthonormal:

Kita juga bisa buktikan secara komplit

(c) menggunakan matrik (5.74)

Oleh karena itu

Dimana matrik dari z diberikan oleh (5.72). mengarah pada perhitungan yang

serupa [ y , z ] = i x dan [ z , x ] = i y

Gambar 5.1 representasi geometri dari momentum sudut : vektor berputar

sepanjang permukaan datang tentang hal itu sumbu; tinggi kerucut adalah sama

m, proyeksi pada sumbu kerucut. ujung atau terletak, dalam pesawat Jz Jxy,

sebuah lingkaran radius ( + 1)

(d) perhitungan dari z3 dan

3

5.5 Representasi geometris dari momentum sudut

masalah di sini adalah hubungan antara momentum sudut dan komponen z;

hubungan ini dapat diwakili geometris sebagai berikut. untuk nilai tetap j,

momentum sudut total dapat diwakili oleh vektor yang panjang, yang tampil

pada gambar 5.1, diberikan oleh ( + 1) dan yang komponen z m. karena x

dan y terpisah undefined, hanya jumlah mereka x2 + Jy

2 = 2 z

2, yang terletak

dalam bidang xy, didefinisikan dengan baik. dalam istilah klasik,

gambar 5.2 grafik representasi geopmetris dari momentum sudut j = 2 untuk

ketinggian 2, m} dengan m=-2, -1, 0, 1, 2. Jari-jari lingkaran adalah

2 (2 + 1) = 6

kita dapat menganggap sebagai representasi tabel grafik oleh vektor, titik akhir

yang terletak pada lingkaran radius ( + 1), berputar sepanjang permukaan

kerucut setengah-sudut

sedemikian rupa sehingga sebarannya sepanjang sumbu z adalah selalu m.

karena semua orientasi pada permukaan kerucut sama mungkin, proyeksi pada

sumbu x dan y rata-rata ke nol;

dimana ( x ) tetapan untuk {j, m x j, m}

sebagai contoh, Gambar 5.2 menunjukkan representasi grafis untuk kasus j = 2

5.6 momentum sudut spin

5.6.1 Bukti percobaaan dari spin

percobaan spin telah dilakukan oleh stern dan gerlach pada tahun 1922

menggunakan atom perak (Ag). Silver memiliki 47 elektron, 46 diantaranya dari

distribusi pengisian dan elektron 47th menempati orbit dalam waktu 5 detik. Jika

atom perak dalam kondisi tanah, dengan momentum sudut orbital total akan

menjadi nol, I=0 (karena elektron shell kelima akan di 5s negara). eksperimen

stern-gerlach, seberkas atom perak melewati melalui medan magnet

inhomogeneous (bebas seragam). Jika, untuk argumen ampun, Lapangan

sepanjang z-arah, kita akan mengharapkan klasik untuk melihat pada layar sebuah

band terus-menerus yang simetris tentang arah PBB yang dibelokkan, z=0.

menurut teori gelombang Schrdinger 's, namun, jika atom memiliki momentum

sudut orbital I, kita berharap balok untuk tumpah

Gambar 5.3 (a) percobaan Stern_Gerlach: Ketika seberkas atom perak melewati

medan magnet inhomogenous, itu terbagi menjadi dua komponen yang berbeda

sesuai dengan memutar dan spin dowwn. (b) grafis represnetation putaran 1/2:

ujung S terletak pada lingkaran radius S = sehingga sebarannya pada sumbu z

mengambil hanya dua nilai

Bilangan bulat spin s=0,1,2, (sisi phi memiliki spin s=0, photon memiliki spin

s=1, dan sebagainya) dan yang lain lain memiliki setengah bilangan spin s =1

2,

3

2,

5

2, (electron, proton dan neutron memiliki spin s =

1

2, dan deltas berspin s

=3

2, dan sebagainya). Kita akan melihat chapter 8 dimana partikel dengan setengah

bilangan spin dinamakan fermion (electron, proton, neutron, dll), dan yanag

memiliki bilangan spin penuh dinamakan boson (pion, photon, graviton, dll)

Selain memberitahukan keberadaan spin dan pengukurannya, percobaan

Stern Gerlach juga memberitahukan angka penting yang digunakan pada

mekanika kuantum. Pertama, untuk menunjukan sebuah pecahan menjadi bentuk

komponen yang diskrit, hal ini memberikan tambahan konfirmasi untuk hipotesis

kuantum pada karakter diskrit di dunia mikroskopis. percobaan Stern Gerlach

juga memberitahukan cara terbaik untuk memperbaiki suatu keadaan kuantum.

Kita akan mempersiapkan perkiraan spin dari atom, seperti partikel tak

terpolarisasi yang melalui magnet yang tidak homogeny, ketika bagian yang

diinginkan terkumpul dan dibuang (per bagian ) dan yang lainnya. percobaan

Stern Gerlach hanya dapat digunakan untuk menentukan momentum angular total

dari atom yang mana diberikan pada l0, ini diperoleh dari orbital dan momen

spin angular:

5.6.2 Teori Umum Spin

Teori spin biasanya identik dengan teori momentum angular. Dimana dapat

dianalogikan dengan momentum angular vector , spin hanya direpresentasikan

oleh operator vektor , dimana komponennya x, y, z menurut kommutasi dari

persamaan x, y, z:

Penjumlahan 2 dan z akan berubah, karena itu kita berikan vektor eigen:

Dimana . Dengan cara yang sama, kita

dapatkan

Dimana dan

Dimana merupakan

Keaadaan spin berasal dari keadaan orthonormal

Dimana I adalah matrix.

5.6.3 Spin dan Matrix Pauli

Untuk partikel dengan spin 1

2 nomor kuantumnya ms hanya menggunakan dua

nilai ms = - 1

2 dan

1

2. Partikel dapat ditemukan di salah satu dari dua keadaan:

Nilai eigen dari 2 dan z diperoleh dari

Oleh karena itu spin mungkin merepresentasikan grafik, seperti gambar 5.3b, oleh

panjang vektor dimana titik akhir berada pada radius lingkaran

berputar disepanjang permukaan dengan sepruh sudut

Proyeksi 2 pada garis z hnaya dibatasi oleh nilai sesuai dnegan spin atas

dan spin bawah.

Sekarang ke pelajaran representasi matrik dari spin 1

2 kita dapat

menuliskan operator 2 dan z dengan matrik

Matrik + dan - dapat dituliskan

Dan , didapatkan

Penggabungan vektor eigen dari 2 dan z terdapat di dalam dua elemen matrik

kolom, disebur sebagai spinor

Untuk memastikan vektor eigen ini, dapat di lengkapi menjadi

Dan ortonormal,

Sekarang kita cari vektor eigen dari x dan y. Pertama, ingat basis vektor | , ms

> adalah bukan vektor eigen x atau y; namun dapat dituliskan :

Persamaan Nilai eigen untuk x dan y, diberikan oleh

Ketika s =1

2 sehingga mudah untuk menuliskan matrik pauli x, y, z,

dimana ini terkait untuk vektor spin yang menikuti

Gunakan persamaan (5.97) dan (5.99), didapatkan

Sehingga matrik memenuhi dua keadaan

Dimana tand j dan k menuju ke x, y, z, dan adalah matrik 2x2. Ini adalah dua

persamaan yang setara namun tidak berhubungan.

Kita dapat memferifikasi matrik pauli untuk memferifikasi hubungan dari :

Dimana jkl adalah atisimetrik tensor.

Kita dapat menurunkan persamaan 5.110; 5.111 dan 5.113 menjadi

Dengan persamaan ini dapat digunakan untuk membuktikan dua vektor dan B

dimana komut dengan , sehingga:

Dimana adalah matrik satuan. Matrik Pauli bagian dari Hermitian, Traceless, dan

Determinan sama dengan -1

Dengan menggunkan persamaan x y =Iz hingga z2 = , diperoleh

Dari persamaan kommutasi 5.113 dapat dilihat

Dimana I adalah matrik satuan dan a adalah konstan.

Keterangan

Sejak spin tidak tergantung dengan derajat bebas, komponen x, y, z adalah

spin operator komut dengan semua derajat bilangan operator, terutama pada

orbital momentum sudut L pada posisi dan momentum operator R dan P:

Fungsi gelombang total |>, dimana sistem spin terdiri dari dua bagian spasial

Ini merupakan hasil kali dan derajat spin yang bebas sehingga hasil ini

merupakan bukan hasil yang biasa. Kita akan melihat empat nomor kuantum

n, l, ml, dan ms diperlukan untuk mengetahui keberadaan dan pergerakan

electron pada sebuah atom; sehingga fungsi gelombangnya menjadi

Sejak operator spin tidak berada bebas, ini mengakibatkan spin terbagi |s, ms>

dan fungsi gelombang dihilangkan tidak dihilangkan; sebaliknya,

operator spasial L, R dan P berlaku untuk bagian spasialdan tidak berada pada

bagian spin. Untuk spin 1

2, fungsi gelombang total sesuai untuk spin-up dan

spin-down, kasus seperti ini biasanya terdapat pada spinors

Contoh 5.4

Tentukanlah level energy dari spin s= 3

2 dengan menggunakan persamaan

Hamiltonian

Penyelesaian:

Tulis kembali H dari

Akan terlihat H adalah diagonal {|s, m>} :

Sehingga m memiliki empat nilai m= -3

2,-

1

2,

1

2,

3

2. Level energi dari pertikel

merosot empat kali lipat.

5.7 Fungsi Eigen Dari Momentum Sudut Orbital

Kembali ke koordinat yang merefresentasikan momentum angular. Pada bagian

ini, kita akan beketja dengan koordinat bola.

Operator merupakan bagian dari kartesian, dapat dimasukkan ke

dalam koordinat bola:

Sehingga operator Lz dan L hanya tergantung pada sudut dan , maka keadaan

eigen hanya terjadi pada dan . Keadaan eigen ditunjukkan oleh

Dimana Ylm (, ) adalah fungsi lanjutan dari dan , dan dapat dituliskan nilai

eigennya :

Dengan Lz hanya menjadi , dua persamaan sebelumnya menjadikan fungsi eigen

Ylm (, ) dapat dipisahkan

Dapat dipastikan

5.7.1 Fungsi Eigen dan Nilai Eigen dari Lz

Masukkan persamaan 5.135 ke 5.134, dengan

didapatkan :

Yang disederhanakan menjadi

Dan syarat normalisasinya adalah :

Dimana 1/ 2 adalah konstan

Untuk m adalah nilai tunggal, sehingga harus menjadi periodik di dengan

maka

Persamaan ini menunjukkan Lz, lz= , sehingga nilai batanya ditulis

Dgn demikin, nilai dari m bervariasi dari l hingga l:

Maka bilangan kuantum l harus selalu bilangan bulat. Sehingga momentum sudut

orbital harus memiliki nilai bilangan bulat.

5.7.2 Fungsi Eigen dari L2

Focus pada determinan dari fungsi eigen . kita akan menggunakan 2 metode.

Pertama dengan melibatkan persamaan diferensial, sehingga akan diketahui

hubungan dari Fungsi Legendre. Kedua adalah metode aljabar; dengan

menggunkan operator L dan menuliskan kembali secara explicit Ylm (, ) bola

harmonic.

5.7.2.1 Metode Pertama untuk determinan Fungsi Eigen dari L2

Gunakan persamaan L2 dari 5.130 pada fungsi eigen

Masukkan

Kemudian eliminasi , untuk mengurangi

Persamaan ini disebut Persamaan Differensial Legendre.

Sehingga ditemukan

Dan menjadi

Dimana Pl (x) adalah l pada Persamaan Differensial Legendre yang didefinisikan

dari Formula Rodrigues.

Dan didapatkan turunan pertama Polinom Legendre

Table 5.1 polinomial legendre dan fungsi asosiasi legendre

Polynomial legendre mengikuti persamaan :

Dengan cara yang sama, menghasilkan beberapa fungsi asosiasi legendre :

Konstanta Clm diperoleh dari orthonormalisasi

Persamaan diatas dikenal sebagai normalisasi dari spherical harmonic. Dengan

menggunakan persamaan 5.144 untuk Ylm(,), dan teori fungsi asosiasi legendre

diperoleh fungsi eigen untuk L2

:

Penggabungan fungsi eigen, Ylm dari L2 dan Jz diperoleh :

Persamaan diatas dikenal sebagai spherical harmonic ternormalisasi

5.7.2.2 Metode kedua untuk mendapatkan fungsi eigen dari L2

Metode kedua membahas sebuah kontruksi langsung dari Ylm(,); dimulai

dengan kasus m = 1. Dengan analogi aljabar momentum sudut,

Dengan menggunakan persamaan 5.131 untuk L+ dalam koordinat bola,

persamaan di atas dapat ditulis ulang menjadi

Solusi dari persamaan ini adalah :

Dimana C1 adalah konstanta yang diperoleh dari normalisasi dari Yll(,);

Dengan menggunakan koordinat bola, persamaan L- pada Yll(,), dapat

diperoleh persamaan spherical harmonic Ylm(,) untuk m 0

5.7.3 Sifat dari Spherical Harmonic

Karena spherical harmonic Ylm(,) merupakan penggabungan fungsi eigen dari

L2

dan Lz yang ortonormal, yang merupakan ortonormal berdasarkan pada ruang

hilbert dari integral kuadrat fungsi dari dan .

Sifat pertama, spherical harmonic merupakan fungsi kompleks. konjugatnya

dinyatakan dengan

Tabel 5.2 spherical harmonic dan persamaannya dalam koordinat kartesian

Spherical harmonic dalam koordinat kartesian

Ylm(,) dapat dinyatakan dalam bentuk koordinat kartesian. Ini dilakukan dengan

mensubstitusi

dalam persamaan Ylm(,).

Sebagai contoh, kita ambil Y10 dan Y1,1

Substitusi cos = z/r kedalam Y10(,) = 3

4cos 10 menjadi

Menggunakan sin cos = x/r dan sin sin = y/r diperoleh

Substitusikan ke Y1,1 (,) diperoleh

Contoh 5.5. aplikasi operator pada spherical harmonic

a. Gunakan relasi untuk menyatakan Y30(,)

b. Nyatakan Y30 dalam koordinat kartesian

c. Gunakan Y30(,) untuk mencari nilai dari Y3,1 (,)

Solusi

a. Dari table 5.1 diketahui

Sehingga

b. Sejak cos = z/r, sehingga

Y30(,) dalam kartesian menjadi

c. Untuk menemukan nilai Y3,1 (,), diperlukan mengoperasikan operator

L+ pada Y30

Gunakan bentuk diferensial dari L+ :

Masukkan persamaan diatas ke Y31

Untuk nilai -1 dari Y30 operasikan Y30 dengan operator L-

Sehingga

Diferensial dari L-

Masukkan ke persamaan Y3,-1

Problem 5.1

Fungsi gelombang partikel

a. Hitunglah L2 (x,y,z) dan Lz (x,y,z). tentukan momentum sudut total

partikel

b. Hitunglah L+ (x,y,z) dan | L+|

c. Hitunglah probabilitas menemukan 0, dan

Solusi

a. Diketahui

Sehingga

Total momentum sudut partikel adalah

b. Gunakan relasi

Sehingga

Hasilnya

c. Karena

Perhitungan | Lz| menghasilkan

| Lz| = 0 dan probabilitas P0 = 1/5

| Lz| = - dan probabilitas P-1 = 2/5

| Lz| = dan probabilitas P1 = 2/5