STATISTIKA KUANTUMSTATISTIKA KUANTUM

Kuliah Fisika StatistikKuliah Fisika Statistik

Program Studi Pendidikan FisikaProgram Studi Pendidikan Fisika

PMIPA FKIP UnriPMIPA FKIP Unri

Partikel Identik Dan Simetri Yang Partikel Identik Dan Simetri Yang DiperlukanDiperlukan

Beberapa kasus:Beberapa kasus:

A. Kasus “Klasik” (statistic Maxwell Boltzmann)A. Kasus “Klasik” (statistic Maxwell Boltzmann)

1.1. Dalam kasus ini (satistik MB)Dalam kasus ini (satistik MB)

2.2. Partikel dapat dibedakan (distinguishable)Partikel dapat dibedakan (distinguishable)

3.3. Berapapun jumlah partikel dapat menempati keadaan tunggal Berapapun jumlah partikel dapat menempati keadaan tunggal s yang samas yang sama

4.4. Tidak ada simetri yang dibutuhkanTidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar ketika dua partikel ditukar

B. Deskripsi mekanika kuantumB. Deskripsi mekanika kuantum

1.1. System jelas dibutuhkan ketika terjadi pertukaran partikelSystem jelas dibutuhkan ketika terjadi pertukaran partikel

2.2. Partikel secara intrinsic tidak dapat dibedakan Partikel secara intrinsic tidak dapat dibedakan (indistinguishable)(indistinguishable)

3.3. Dapat terjadi pembatasan untuk menempati keadaan tertentuDapat terjadi pembatasan untuk menempati keadaan tertentu

4.4. Karena keadaan simetris ini, keadaan kuantum erat Karena keadaan simetris ini, keadaan kuantum erat hubungannya dengan spin partikel:hubungannya dengan spin partikel:

spin bulat (integral spin)spin bulat (integral spin)

spin setengah (half integral spin)spin setengah (half integral spin)

Klassik Klassik KuantumKuantum

Maxwell-BoltzmannMaxwell-Boltzmann Bose-EinsteinBose-Einstein

Spin: 0,1,2,3,4,….. Spin: 0,1,2,3,4,….. Fermi-DiracFermi-Dirac

Spin:1/2,3/2,…. Spin:1/2,3/2,….

Distinguishable Distinguishable Indistinguishable Indistinguishable Indistinguishable Indistinguishable

Tak ada simetri Tak ada simetri SimetriSimetri Antisimetri Antisimetri

Tak ada batasan Tak ada batasan jumlah menempati jumlah menempati suatu keadaan suatu keadaan

Tak ada batasan Tak ada batasan jumlah menempati jumlah menempati satu keadaan satu keadaan

Prinsip eksklusiPrinsip eksklusi

Pauli Pauli

Contoh:Contoh:

Foton,He4 Foton,He4 Contoh:Contoh:

Elektron,He3 Elektron,He3

Resume :

Formulasi Problem Statistik:Formulasi Problem Statistik:

1.1. Beri label keadaan kuantum yang mungkin rBeri label keadaan kuantum yang mungkin r

2.2. Nyatakan energi partikel pada keadaan r dengan Nyatakan energi partikel pada keadaan r dengan

3.3. Nyatakan jumlah partikrl pada keadaan r dengan Nyatakan jumlah partikrl pada keadaan r dengan

4.4. Beri label semua keadaan yang mungkin dengan RBeri label semua keadaan yang mungkin dengan R

Untuk mengetahui sifat-sifat makroskopis (seperti entropi), Untuk mengetahui sifat-sifat makroskopis (seperti entropi), fungsi partisi dapat dihitung:fungsi partisi dapat dihitung:

Dan seterusnya harga rat-rata jumlah partikel, disperse dll. Juga Dan seterusnya harga rat-rata jumlah partikel, disperse dll. Juga dapat dirumuskan:dapat dirumuskan:

rrn

R

nn

R

E eeZ R ....)( 2211

R

nnR

nns

se

enn

....)(

....)(

2211

2211

Fungsi Distribusi Kuantum :Fungsi Distribusi Kuantum :

Harga rata-rat jumlah partikel:Harga rata-rat jumlah partikel:

,....,

.......

,....,

.......

21

2211

21

2211

nn

EnEns

n

En

nn

EnEns

n

Ens

s

ee

een

n

s

ss

s

ss

1. Statistika Maxwell-Boltzmann1. Statistika Maxwell-Boltzmann1.1. Partikel dapat dibedakanPartikel dapat dibedakan

2.2. Berapapun jumlah partikel dapat menempatai keadaan Berapapun jumlah partikel dapat menempatai keadaan tunggal s yang samatunggal s yang sama

3.3. tidaktidak ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar ada simetri yang dibutuhkan ketika dua partikel ditukar

Pada kasus klasik statistic Maxwell-Boltzmann fungsi partisi. Pada kasus klasik statistic Maxwell-Boltzmann fungsi partisi. Jumlah untuk semua partikel dengan juga mempertimbangkan Jumlah untuk semua partikel dengan juga mempertimbangkan bahwa partikel dapat dibedakan, sehingga untuk N partikelbahwa partikel dapat dibedakan, sehingga untuk N partikel

Disini nr = 0,1,2,3,…dengan retriksiDisini nr = 0,1,2,3,…dengan retriksi

...2211

, 21!....3!2!1

nn

nn

ennn

NZ

r

r Nn

Fungsi partisi dapat ditulis :Fungsi partisi dapat ditulis :

Yang tidak lain merupakan binomial NewtonYang tidak lain merupakan binomial Newton

...!...,!,!

3322

21

11

, 321

nn

nn

neee

nnn

NZ

r

- r

321

eln ln Zatau

...

N

eeeZN

2. Statistika Bose-Enstein2. Statistika Bose-Enstein

Partikel-partikel yang tidak mematuhi asas larangan pauli adalah Partikel-partikel yang tidak mematuhi asas larangan pauli adalah yang memiliki spin bulat (0, 1, 2, …,dalam satuan ) yang secara yang memiliki spin bulat (0, 1, 2, …,dalam satuan ) yang secara kolektif disebut boson. Bentuknya adalah sebagai berikut :kolektif disebut boson. Bentuknya adalah sebagai berikut :

Fungsi partisi diberikan oleh:Fungsi partisi diberikan oleh:

Tidak seperti foton disini ada retriksi :Tidak seperti foton disini ada retriksi :

1A

1E/kTBE

e

Ef

...2211 nn

R

eZ

Nnr

r

Pembatasan ini menyulitkan evaluasi nilai Z. Pembatasan ini menyulitkan evaluasi nilai Z.

Secara pendekatan diperoleh : Secara pendekatan diperoleh :

Radiasi benda HitamRadiasi benda Hitam

Bagian yang tersulit dari perhitungan ini adalah fungsi kerapatan Bagian yang tersulit dari perhitungan ini adalah fungsi kerapatan keadaan g(E). untuk kasus gas molekul biasa, g(V) kita hitung keadaan g(E). untuk kasus gas molekul biasa, g(V) kita hitung dengan meninjau sistem koordinat tiga dimensi vx, vy, vz. dengan meninjau sistem koordinat tiga dimensi vx, vy, vz.

'' N

N

eNZZ

Enstein-Bose distribusi 1

1n

dan

1

1

e-1ln-Nln Z

ZlnN Zln

r

-- r

r

r

e

Ne

N

s

r

Kuantisasi ketiga bilangan gelombang ini setara dengan kuantisasi Kuantisasi ketiga bilangan gelombang ini setara dengan kuantisasi ketiga bilangan gelomang ini setara dengan kuantisasi ketiga ketiga bilangan gelomang ini setara dengan kuantisasi ketiga komponen momentum, karena komponen momentum, karena .dan ,, zzyyxx kpkpkp

2z

2y

2x

2z

2y

2x

2z

2y

2x

2z

2y

2x

nnnL

E

jadi pc,E foton, Bagi

nnnL

kkk

pppp

c

Jumlah keadaan energi foton yang diperkenankan adalah:Jumlah keadaan energi foton yang diperkenankan adalah:

dn n x48

1 x 2 2dnng

Karena nL

cE

Kita dapatkan bahwa E E23

dc

LdEEg

Jadi, jumlah foton yang memiliki energi dalam rentang E dan E + dE menurut distribusi Bose-Enstein adalah

dEfEgdEEp BE

dEe

Ec

LdEEp

kTE 1

1/

23

3. Statistik Fermi-Dirac3. Statistik Fermi-Dirac

Partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2, …) yang Partikel-partikel berspin pecahan setengah (1/2, 3/2, …) yang mematuhi asas larangan pauli, seperti elektron dan nukleon mematuhi asas larangan pauli, seperti elektron dan nukleon disebut disebut fermionfermion, fungsi distribusi yang berlaku bagi fermion , fungsi distribusi yang berlaku bagi fermion adalah :adalah :

Dengan batasan nr = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh :Dengan Dengan batasan nr = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh :Dengan batasan nr = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh :batasan nr = 0 dan 1 untuk setiap r diperoleh :

1A

1E/kTFD

e

Ef

Dirac-Fermi distribusi 1

1n

dan

1lnln

1

1

r

r

r

e

eNZ

e

s

r

r

Penerapan Statistik Fermi-DiracPenerapan Statistik Fermi-DiracMengingat semua elektron valensi dalam logam tidak terlalu kuat terikat Mengingat semua elektron valensi dalam logam tidak terlalu kuat terikat pada atom-atomnya, maka mereka dapat bergerak lebih bebas dalam pada atom-atomnya, maka mereka dapat bergerak lebih bebas dalam logam. Sistem elektron ini dapat kita perlakukan sebagai suatu “gas” yang logam. Sistem elektron ini dapat kita perlakukan sebagai suatu “gas” yang mematuhi distribusi Fermi-Dirac. mematuhi distribusi Fermi-Dirac.

Jumlah elektron dengan energi E, antara E + Jumlah elektron dengan energi E, antara E + ddE adalah : E adalah :

1

28/

2/1

3

2/33

kTEE Fe

dEEmLdEEp

Nilai EF dapat dihitung sebagai berikut : anggaplah contoh bahan logam mengandung N buah elektron bebas; ini bearti ;

0

dEEPN

Pada T = 0, fungsi distribusi Fermi-Dirac sama dengan 1 untuk E < EF, dan 0 untuk E > EF. Jadi :

2/32

0

2/13

2/33

8

3

2

28

V

N

m

hE

dEEmL

N

F

EF

4. Konduksi Electron Dalam Zat 4. Konduksi Electron Dalam Zat Padat Padat

Beberapa fenomena fisis makroskopis seperti konduktivitas atau Beberapa fenomena fisis makroskopis seperti konduktivitas atau resistivitas dapat dijelaskan dengan melihat electron konduksi.resistivitas dapat dijelaskan dengan melihat electron konduksi.

Untuk pendekatan pertama, prilaku electron ini dapat dipandang Untuk pendekatan pertama, prilaku electron ini dapat dipandang seperti gas ideal. Nemu karena konsentrasi electron cukup tinggi, seperti gas ideal. Nemu karena konsentrasi electron cukup tinggi, maka tidak dapat digunakan statistic klasik. Statistic yang maka tidak dapat digunakan statistic klasik. Statistic yang digunakan Fermi-Dirac:digunakan Fermi-Dirac:

Jumlah rata-rata partikel :Jumlah rata-rata partikel :

1

1

1

1

Fss ee

ns

Besaran ini disebut “energi Fermi” suatu system (terlihat bahwa besaran ini sama dengan potensial kimia gas).,

Harga dan ditentukan oleh kondisi :Harga dan ditentukan oleh kondisi : F

Ne

nSS

s Fs

1

1

N : jumlah total partikel pada volume V

5. Zat Padat/Solid5. Zat Padat/SolidSesungguhnya setiap atom akan bervibrasi Sesungguhnya setiap atom akan bervibrasi

energi kinetik vibrasi :energi kinetik vibrasi :

Energi potensial :Energi potensial :

N

iii

N

iiik mxmE

1

3

1

2

1

3

1

2

2

1

2

1

...2

1

,

2

0

jiji ji

ii i xx

V

x

VVV

Dalam kesetimbangan Dalam kesetimbangan VV minimum, maka minimum, maka

Pada bagian Potensial atom saling berinteraksi, Pada bagian Potensial atom saling berinteraksi, jadi tidak saling independen.jadi tidak saling independen.

0

ix

V

ji

jijiAVV,

0 2

1

Kapasitas panas pada volume konstan menjadi:Kapasitas panas pada volume konstan menjadi:

Pada suhu tinggi (yakni kT>> ) diperoleh:Pada suhu tinggi (yakni kT>> ) diperoleh:

de

ekC

Ek

T

EC

V

VV

V

2

02

2

1

MAX

NkdkCV 30