Embed Size (px)
Citation preview
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------
VŨ THỊ HƯƠNG SẮC
ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội-2013
2
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
--------------------------
VŨ THỊ HƯƠNG SẮC
ƯỚC LƯỢNG CHO MÔ HÌNH ĐỘ BIẾN ĐỘNG NGẪU NHIÊN CÓ BƯỚC NHẢY
Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê Toán học
Mã số: 60 46 15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊNH
Hà Nội-2013
3
Mục lục Giới thiệu ............................................................................................................ 5
Kiến thức chuẩn bị .............................................................................................. 7
1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính ................................................ 7
1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên ...................................................................... 9
1.2.1 Quá trình Markov ............................................................................... 9
1.2.2 Martingale ........................................................................................ 10
1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng .......................................... 10
1.3.1 Các hàm đặc trưng ............................................................................ 10
1.3.2 Các tham số đặc trưng ...................................................................... 12
1.4 Chuyển động Brown ................................................................................ 14
1.4.1 Phân bố chuẩn .................................................................................. 14
1.4.2 Chuyển động Brown ......................................................................... 15
1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô) ................................................... 18
1.5.1 Bổ đề Itô ........................................................................................... 18
1.5.2 Chuyển động Brown hình học ........................................................... 19
Chương 2 .......................................................................................................... 22
Mô hình Black – Scholes và các hạn chế ........................................................... 22
2.1 Mô hình Black – Scholes ......................................................................... 22
2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes ............................................... 23
2.2.1 Độ biến động nụ cười ....................................................................... 23
2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường ............................................... 24
Chương 3 .......................................................................................................... 26
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ............................................... 26
3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên ..................................................... 26
3.2 Các quá trình bước nhảy .......................................................................... 28
3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ...................................... 32
3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn ................................................ 32
4
3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên ................... 33
3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ
nhảy .......................................................................................................... 33
Chương 4 .......................................................................................................... 34
Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy ....................... 34
4.1 Chuyển động hình học Brown.............................................................. 34
4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy ........................... 40
4.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy .................................. 43
Kết luận ............................................................................................................ 59
Tài liệu tham khảo ............................................................................................. 60
Phụ lục .............................................................................................................. 62
5
Giới thiệu
Từ khi Black và Scholes công bố bài báo của họ về định giá quyền chọn vào năm
1973, nó đã trở thành một phát kiến bùng nổ về lý thuyết và thực nghiệm trên
vấn đề tài chính này. Tuy nhiên, qua hơn ba mươi năm trở lại đây, một số lượng
lớn các mô hình khác đã được đưa ra để thay thế cho tiếp cận cổ điển của Black –
Scholes, cách tiếp cận mà ta phải giả định cổ phiếu có phân bố log – chuẩn với
độ biến động không đổi và càng ngày nó càng thể hiện nhiều thiếu sót trong thực
tiễn.
Do đó, các mở rộng để hiệu chỉnh mô hình Black – Scholes trong đó độ biến
động là ngẫu nhiên và mô hình có bước nhảy là hết sức cần thiết.
Luận văn “Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy”
trình bày về việc điều chỉnh mô hình Black – Scholes thành những mô hình ước
lượng tham số chính xác hơn, gồm 4 chương:
Chương 1: Trình bày các kiến thức quan trọng về các quá trình ngẫu nhiên,
chuyển động Brown.
Chương 2: Trình bày về mô hình Black – Scholes và các hạn chế, từ đó cần thiết
phải đưa ra các mô hình độ biến động ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên có
bước nhảy được trình bày trong chương 3.
Chương 4: Ước lượng cho các mô hình GBM, GBM có thêm bước nhảy và mô
hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy và so sánh các kết quả bằng bảng
ước lượng các tham số qua hai ví dụ thực nghiệm.
Hoàn thành được luận văn trên, trước tiên tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
đến Tiến sĩ Nguyễn Thịnh, người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt
quá trình tôi thực hiện luận văn.
6
Tôi cũng muốn được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoa Toán – Cơ tin
học, Phòng Đào tạo, Phòng Sau đại học trường ĐHKHTN – ĐHQGHN và các
thầy cô từ Viện Toán học đã giảng dạy và hết lòng chỉ bảo tôi trong thời gian
được đào tạo tại trường.
Luận văn không thể tránh khỏi những sai sót, tôi rất mong nhận được sự hướng
dẫn, chỉ bảo của các thầy cô, sự hợp tác của các bạn để tôi có thể hoàn thiện hơn.
Hà Nội, ngày 02 tháng 11 năm 2013
Học viên
Vũ Thị Hương Sắc
7
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
1.1 Các quá trình ngẫu nhiên và toán tài chính
Định nghĩa 1.1 (Đại số) Cho là tập không rỗng và cho F bao gồm các tập
con của . Ta nói rằng F là một đại số thỏa mãn:
(i) F và 0 F ,
(ii) \cA A A F F ,
(iii) ,A B A B F F .
Định nghĩa 2 ( - đại số) Một đại số F của các tập con của được gọi là một
- đại số trên nếu với bất kỳ dãy n nA
F , ta có
1n
n
A
F .
Mỗi một cặp , F như vậy được gọi là một không gian đo được.
Do đó, một - đại số sinh bởi tập tất cả các tập con mở của được gọi là -
đại số Borel: EB .
Định nghĩa 1.3 (Xác suất) Cho là một tập không rỗng, và cho F là một -
đại số các tập con của . Một độ đo xác suất là một hàm số sao cho đối với
mỗi tập AF xác định một số trong đoạn [0,1]được gọi là xác suất của A và
viết là A . Trong đó các tính chất sau phải thỏa mãn:
(i) 1 ,
(ii) (tính cộng tính đếm được) với 1 2, ,...A A là dãy các tập rời nhau trong
F thì
11
n nnn
A A
(1.1)
8
, , F được gọi là một không gian xác suất.
Một không gian xác suất là đầy đủ nếu với mỗi B A F sao cho 0A ,
ta có BF .
Trong tình huống khi mà thời gian biến đổi, nhiều thông tin được tiếp nhận hơn,
ta phải thêm thành phần phụ thuộc thời gian vào không gian xác suất , , F .
Định nghĩa 1.4 (Lọc) Một lọc (hay dòng thông tin) trên , , F là một họ tăng
các - đại số [0, ]t t T
F :
s t T F F F Fvới 0 s t T .
tF biểu diễn thông tin nhận được tại thời gian t, và lọc [0, ]t t T
F biểu diễn dòng
thông tin diễn tiến theo thời gian.
Một không gian xác suất , , F trang bị một lọc được gọi là không gian xác
suất lọc [0, ], , , t t T
F F .
Định nghĩa 1.5 (Các điều kiện thông thường) Ta nói rằng một không gian xác
suất lọc [0, ], , , t t T
F F thỏa mãn các “điều kiện thông thường” nếu:
(i) F là - đầy đủ.
(ii) 0F chứa tất cả các tập - không của . Nghĩa là ta biết biến cố nào là
có thể và biến cố nào là không.
(iii) [0, ]t t T
F là liên tục phải, tức là t t s t s F F F .
Định nghĩa 1.6 (Các quá trình ngẫu nhiên)Một quá trình ngẫu nhiên [0, ]t t T
X
là một họ các biến ngẫu nhiên được đặt chỉ số theo thời gian, xác định trên
không gian xác suất lọc [0, ], , , t t T
F F .
9
Tham số thời gian t có thể hoặc là rời rạc hoặc là liên tục. Với mỗi biễn ngẫu
nhiên w , quỹ đạo : tX w t X w xác định một hàm số của thời gian gọi là
quỹ đạo mẫu của quá trình. Do đó các quá trình ngẫu nhiên có thể cũng được
hiểu như là các hàm số ngẫu nhiên.
Định nghĩa 1.7 (Các quá trình tương thích) Một quá trình ngẫu nhiên
[0, ]t t T
X
được gọi là tF - tương thích (hay không đoán trước được theo cấu trúc
thông tin [0, ]t t T
F ) nếu với mỗi [0, ]t T , giá trị của tX là được xác định tại thời
gian t: biến ngẫu nhiên tX là tF - đo được.
Định nghĩa 1.8 (Thời gian dừng) Một thời gian ngẫu nhiên là biến ngẫu nhiên
dương T 0 biểu diễn thời gian mà tại đó biến cố nào đó là đang xảy ra. Nếu
cho trước dòng thông tin tF thì ta có thể xác định liệu biến cố có xảy ra t
hay không t , thời gian ngẫu nhiên được gọi là thời gian dừng (hay thời
gian ngẫu nhiên không đoán trước). Nói cách khác, là thời gian ngẫu nhiên
không đoán trước ( tF - thời gian dừng) nếu 0, tt t F .
1.2 Một số quá trình ngẫu nhiên
1.2.1 Quá trình Markov
Một quá trình Markov là một dạng quá trình ngẫu nhiên trong đó chỉ giá trị hiện
tại của biến là thích hợp để dự đoán tương lai. Quá khứ của biến và cách thức mà
hiện tại xuất hiện từ quá khứ là không liên quan (nôm na là quá khứ được hợp
nhất trong giá trị hiện tại).
Định nghĩa 1.9 (quá trình Markov) Cho , , F là một không gian xác suất,
cho T là một số dương xác định, và cho [0, ]t t T
F là một lọc. Xét một quá trình
tương thích [0, ]t t T
X
. Nếu với hàm Borel – đo được
: | |t s t sf E f X E f X X F (1.2)
10
quá trình [0, ]t t T
X
được gọi là quá trình Markov.
1.2.2 Martingale
Định nghĩa 1.10 (Martingale) Một quá trình ngẫu nhiên [0, ]t t T
X X
được gọi
là martingale theo , t F nếu
(i) X là tF - tương thích,
(ii) tE X với mọi [0, ]t T ,
(iii) s t , |t s sE X XF (1.3)
X là martingale trên nếu (iii) được thay bởi
|t s sE X XF , s t (1.4)
X là martingale dưới nếu (iii) được thay bởi
|t s sE X XF , s t (1.5)
Nói cách khác, dự báo tốt nhất cho giá trị tương lai của martingale là giá trị hiện
tại của nó. Martingale biểu diễn các tình huống mà trong đó không có độ lệch
hay xu hướng, mặc dù có thể có rất nhiều tính chất ngẫu nhiên. Trong thống kê ta
có dữ liệu = dấu hiệu + nhiễu (data = signal + noise), martingale được sử dụng
để mô hình thành phần nhiễu.
Một ví dụ gần gũi của martingale là quá trình Weiner tW .
1.3 Các hàm đặc trưng và các tham số đặc trưng
1.3.1 Các hàm đặc trưng
Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên là một biến đổi Fourier của phân bố của
nó. Nhiều tính chất xác suất của các biến ngẫu nhiên dựa vào các tính chất giải
tích của các hàm đặc trưng, khiến cho khái niệm này rất hữu ích trong việc
nghiên cứu các biến ngẫu nhiên.
11
Định nghĩa 1.11 (Hàm đặc trưng) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên X là
hàm : dX xác định bởi
cos iE sinitXX t E e E tX tX (1.6)
Cho XF là hàm phân bố xác suất của X . Khi đó
itX itxX t E e e dF x
(1.7)
do đó là một biến đổi Fourier của F , nhưng không nhân với hằng số như
1/2
2
như thường được dùng trong phân tích Fourier.
Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên xác định phân phối xác suất: hai biến với
cùng hàm đặc trưng là có cùng phân phối. Một hàm đặc trưng thì luôn luôn liên
tục và thỏa mãn
0 1X , 1X t , aXitb
b Xt e at .
Định lý 1.12 Nếu X là khả tích thì X có hàm mật độ được cho bởi
1
2iux
X Xf x e u du
.
Ví dụ 1.13 ( Hàm đặc trưng Gauss) Đối với phân bố chuẩn 2,N , ta có thể
định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau:
2
2
1
21
2
x
f x e
, 2 21
2i z z
X z e
(1.8)
Ví dụ 1.14 ( Hàm đặc trưng Poisson) Đối với phân bố Poisson P , ta có thể
định nghĩa hàm mật độ xác suất và hàm đặc trưng như sau:
!
kef k X k
k
, 1 ize
X z e
(1.9)
12
1.3.2 Các tham số đặc trưng
Các tham số đặc trưng là những thông tin cô đọng phản ánh từng phần về biến
ngẫu nhiên.
Kỳ vọng toán (Expected Value)
Giả sử biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận một trong các giá trị có thể có 1 2, ,..., nx x x
với các xác suất tương ứng 1 2, ,..., np p p . Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên rời rạc
X ký hiệu là E X là tổng các tích giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên
với các xác suất tương ứng:
1
n
i ii
E X x p
. (1.10)
Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ xác suất f x thì kỳ vọng
toán E X được xác định bằng biểu thức
E X xf x dx
. (1.11)
Kỳ vọng toán của biến ngẫu nhiên gần bằng giá trị trung bình (Mean)
1
1 n
ii
x xn
của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên. Nó phản ánh giá trị trung
tâm của phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.
Các tính chất của kỳ vọng
1. Kỳ vọng toán của một hằng số bằng chính hằng số đó E C C .
2. Kỳ vọng toán của tích một hằng số với một biến ngẫu nhiên bằng tích của
hằng số với kỳ vọng của biến ngẫu nhiên đó E CX CE X .
3. Kỳ vọng toán của tổng hai biến ngẫu nhiên bằng tổng các kỳ vọng toán
thành phần E X Y E X E Y .
13
Phương sai (Variance)
Phương sai của biến ngẫu nhiên X , ký hiệu là arV X là kỳ vọng toán của bình
phương sai lệch của biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán của nó
2
arV X E X E X . (1.12)
Có thể thấy, phương sai chính là trung bình số học của bình phương các sai lệch
giữa các giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của các giá
trị đó. Do đó nó phản ánh mức độ phân tán của các giá trị của biến ngẫu nhiên
xung quanh giá trị trung bình của nó là kỳ vọng toán.
Các tính chất của phương sai
1. Phương sai của hằng số bằng 0: ar 0V C
2. Phương sai của tích giữa một hằng số và một biến ngẫu nhiên:
2ar arV CX C V X .
3. Phương sai của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập bằng tổng các phương
sai thành phần: ar ar arV X Y V X V Y .
Độ lệch chuẩn (Standard deviation – Std)
Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X ký hiệu là X , là căn bậc hai của phương
sai arX V X , dùng để đánh giá mức độ phân tán của biến ngẫu nhiên theo
đơn vị đo của nó.
Hệ số bất đối xứng - Skewness
Mức độ đối xứng của một phân phối có thể quan sát qua đồ thị của nó, song để
đo lường mức độ bất đối xứng người ta dùng hệ số bất đối xứng
3
3Skewness
(1.13)
14
trong đó 3
3 E X E X và 3 là lập phương của độ lệch chuẩn. Giá trị
Skewness cho ta các kết luận sau
- Nếu 0Skewness thì phân phối là bất đối xứng và độ thị sẽ xuôi về bên trái
nhiều hơn.
- Nếu 0Skewness thì phân phối là đối xứng.
- Nếu 0Skewness thì phân phối là bất đối xứng và đồ thị sẽ xuôi về bên phải
nhiều hơn.
Hệ số nhọn – Kurtosis
Hệ số nhọn cho phép nhận xét về dạng của một phân phối và bổ sung thêm thông
tin về phương sai. Phương sai của biến ngẫu nhiên có thể được xem là nhỏ, lớn,
hay trung bình. Lúc đó đồ thị của phân phối sẽ rất tập trung, ít tập trung hay tập
trung ở mức bình thường. Hệ số nhọn được xác định bằng công thức sau
44
Kurtosis
(1.14)
trong đó 4
4 E X E X và 4 là bình phương của phương sai.
Khi phân phối xác suất được tập trung ở mức chuẩn thì 3Kurtosis . Phân phối
xác suất sẽ có độ thị càng nhọn nếu Kurtosis càng lớn hơn 3, và đồ thị sẽ càng
bẹt nếu Kurtosis càng nhỏ hơn 3.
1.4 Chuyển động Brown
1.4.1 Phân bố chuẩn
Phân bố chuẩn 2,N là một trong nhưng phân bố xác suất quan trọng nhất.
Như đã trình bày ở trên, hàm đặc trưng của phân bố chuẩn được cho bởi công
thức sau:
15
2 21
2 2or ; ,
i z z
N mal z e
(1.15)
Và hàm mật độ xác suất như sau:
2
2
1
2or
1; ,
2
x
N malf x e
(1.16)
Tính chất chuẩn theo định nghĩa là tính đối xứng quanh giá trị trung bình, có độ
lệch (skewness) bằng 0 và độ nhọn (kurtosis) bằng 3.
1.4.2 Chuyển động Brown
Chuyển động Brown là bản sao biến động từng phần – tức là – tại mỗi nơi mà ta
làm việc với tiến trình theo thời gian – thì phân bố đều là chuẩn. Chuyển động
Brown bắt đầu được mô tả lần đầu bởi nhà thực vật học Robert Brown vào năm
1828. Nó được giới thiệu lần đầu tiên đến giới tài chính bởi Louis Bachelier vào
năm 1900, và được phát triển trong vật lý bởi Albert Einstein vào năm 1905.
Chuyển động Brown lần đầu tiên được chứng minh bằng công thức toán học bởi
Norbert Weiner vào năm 1923. Để ghi nhớ công sức của Weiner, chuyển động
Brown cũng được gọi là quá trình Weiner.
Định nghĩa 1.15 (Chuyển động Brown) Một quá trình ngẫu nhiên 0t t
X X
là
chuyển động Brown chuẩn (một chiều) W trên không gian xác suất , , F nếu
(i) 0 0X hầu khắp nơi,
(ii) X có số gia độc lập: X t u X t là độc lập của :X s s t
với 0u ,
(iii) X có số gia dừng: quy luật của X t u X t chỉ phụ thuộc vào u
,
(iv) X có số gia Gauss: X t u X t có phân bố chuẩn với trung bình
0 và phương sai u , tức là 0,X t u X t N u ,
16
(v) X có các quỹ đạo liên tục: X t là hàm liên tục của t , tức là
,t X t là liên tục theo t với mọi .
Lọc đối với chuyển động Brown
Định nghĩa 1.16 Cho , , F là không gian xác suất trên đó xác định chuyển
động Brown , 0tW t . Một lọc đối với chuyển động Brown là một tập hợp các
- đại số , 0t t F thỏa mãn:
(i) (tính tích tụ thông tin) Với 0 s t , mỗi tập trong sF cũng nằm trong
tF . Nói cách khác, có ít nhất là những thông tin tại thời điểm sau tF
như là tại thời điểm sF trước đó.
(ii) (tính tương thích) Với mỗi 0t , chuyển động Brown tW tại thời điểm
t là tF đo được. Nói cách khác, thông tin tại thời gian t là đủ để ước
lượng chuyển động Brown tW tại thời điểm đó.
(iii) (tính độc lập của các số gia tương lai) Với 0 t u , số gia u tW W
là độc lập theo tF . Nói cách khác, bất kỳ số gia nào của chuyển động
Brown sau thời điểm t đều độc lập với thông tin sẵn có tại thời điểm t .
Để hình dung rõ hơn về chuyển động Brown, ta xét ví dụ sau:
Ví dụ Đồ thị quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn
17
Hình 1.1 Quỹ đạo mẫu của chuyển động Brown chuẩn
Các tính chất của chuyển động Brown
Định nghĩa 1.17 (Tính chất martingale) Chuyển động Brown là một
martingale.
| |
| |
t s t s s s
t s s s s
t s s
s
E W E W W W
E W W E W
E W W W
W
F F
F F (1.17)
Mệnh đề 1.18 (các tính chất của quỹ đạo) Chuyển động Brown có các quỹ
đạo liên tục, tức là tW là hàm liên tục của t . Tuy nhiên, các quỹ đạo của
chuyển động Brown rất bất thường; chúng không khả vi tại bất cứ đâu. Các
quỹ đạo của chuyển động Brown cũng biến thiên vô hạn, tức là biến thiên của
chúng là vô hạn trên mỗi đoạn.
Định nghĩa 1.19 (cân đối chuyển động Brown)
Nếu tW là một chuyển động Brown, với bất kỳ 0c ,
18
2
~
/t
t cW cW , 0t (1.18)
cũng là một chuyển động Brown.
Định nghĩa 1.20 (Các martingale chuyển động Brown) Mỗi quá trình sau
là một martingale liên tục theo lọc chuyển động Brown chuẩn:
1. t tX W
2. 2t tX W t
3. 21
2tW t
tX e
1.5 Tích phân ngẫu nhiên (tích phân Itô)
Tích phân ngẫu nhiên được đưa ra vào năm 1944 bởi K.Itô, do đó mang tên là
tích phân Itô. Tích phân này có công thức là 0
t
t tX dY trong đó quá trình ngẫu
nhiên , 0tX X t và , 0tY Y t là hàm lấy tích phân và biến lấy tích
phân. Vì ta sẽ lấy các quá trình biến tích phân có biến thiên vô hạn (không bị
chặn) trên mọi đoạn (ví dụ chuyển động Brown, t tY W ), tích phân ngẫu
nhiên có thể khá khác so với các tích phân xác định thông thường.
1.5.1 Bổ đề Itô
Giả sử rằng b là tương thích và khả tích địa phương ( 0
t
b s ds được định
nghĩa như tích phân ban đầu), và là tương thích và đo được sao cho
0
t
s dW s được xác định như tích phân ngẫu nhiên. Khi đó
0 0 0
t t
X t x b s ds s dW s (1.19)
xác định một quá trình ngẫu nhiên (hay quá trình Itô) X với 00X x . Ta
thường biểu diễn dưới dạng phương trình vi phân ngẫu nhiên
0, 0t tdX b t dt s dW X x (1.20)
19
Giả sử 2:f là một hàm số, khả vi liên tục bậc một trong argument
đầu tiên (ký hiệu thời gian) và bậc hai trong thành phần thứ hai (không gian):
1,2f C . Vấn đề đặt ra là tìm hiểu ý nghĩa của vi phân ngẫu nhiên tdf X
của quá trình tf X và tìm nó.
Định lý 1.21 (Bổ đề Itô) Nếu quá trình ngẫu nhiên X t có vi phân ngẫu
nhiên được cho bởi t tdX b t dt t dW , thì , tf f t X có vi phân
ngẫu nhiên
2
2
1
2t t t
f f fdf dt dX dX dX
t x x
(1.21)
hay rút gọn thành biểu diễn theo dt và tdW
22
2
1
2t
f f f fdf b dt dW
t x x x
(1.22)
vì t tdW dW dt và 0dtdt . Hay với 00,f x là giá trị ban đầu của f
2
20 20 0
10,
2
t t
t
f f f ff f x b dt dW
t x x x
(1.23)
Mệnh đề 1.22
2
20 20
1, 0,
2
t
t
f f fE f t X f x E b dt
t x x
(1.24)
1.5.2 Chuyển động Brown hình học
Giờ ta làm việc với cả chuyển động Brown và Bổ đề Itô, chúng ta sẽ trình bày
một quá trình ngẫu nhiên rất quan trọng – chuyển động Brown hình học.
Giả sử ta muốn mô hình hóa tiến trình theo thời gian của giá cổ phiếu S t .
Xem xét việc làm thế nào mà S biến đổi trong khoảng thời gian nhỏ nào đó
20
từ thời điểm hiện tại t tới thời điểm t dt trong thời gian gần. Ta viết dS t
đối với sự thay đổi S t dt S t trong S , hay lợi tức của S trong khoảng
này là
dS t
S t. Để dễ cho phân tích kinh tế, ta sẽ chia lợi tức này thành hai
phần, một phần hệ thống và một phần ngẫu nhiên.Phần hệ thống có thể được
mô hình bởi dt trong đó là tham số nào đó thể hiện tốc độ trung bình của
lợi tức của cổ phiếu.Phần ngẫu nhiên có thể được mô hình bởi dW t trong
đó dW t biểu diễn phần nhiễu làm cho giá cổ phiếu biến động, và là
tham số thứ hai cho biết nhiễu ảnh hưởng thế nào (do đó được gọi là độ
biến động của cổ phiếu).
Kết hợp lại ta có phương trình vi phân ngẫu nhiên
, 0 0t t tdS S dt dW S (1.25)
Phương trình vi phân này có nghiệm duy nhất
21
20tt dW
tS S e
(1.26)
Giá tài sản tS có tốc độ trung bình tức thời của lợi tức t và độ biến động
t . Cả tốc độ trung bình của lợi tức và độ biến động đều cho phép biến đổi
theo thời gian và ngẫu nhiên. Ví dụ này bao gồm tất cả các mô hình dương
của một quá trình giá tài sản luôn luôn dương, không có bước nhảy và có xu
thế theo chuyển động Brown đơn giản. Mặc dù mô hình là mang xu thế
chuyển động Brown, phân bố của S t không cần là dạng log – chuẩn vì
t và t có thể biến đổi theo thời gian và ngẫu nhiên.
Nếu và là hằng số, ta có mô hình chuyển động Brown hình học thông
thường t t tdS S dt dW và phân bố của tS là log – chuẩn
21
210 exp
2t tS S t W
(1.27)
22
Chương 2
Mô hình Black – Scholes và các hạn chế
2.1 Mô hình Black – Scholes
Lý thuyết toán tài chính bắt đầu từ năm 1900 khi nhà toán học người Pháp
Louis Bachelier, trong luận văn của ông Théorie de la spéculation (Lý thuyết
đầu cơ), đề xuất mô hình sau nhằm mô tả giá S của một tài sản tại Paris
Bourse:
0t tS S W
trong đó tW là chuyển động Brown.
Tuy nhiên, mô hình này có nhiều khiếm khuyết, bao gồm, ví dụ, giá cổ phiếu
có thể âm. Một mô hình phù hợp hơn được đề xuất bởi Samuelson vào năm
1965: chuyển động Brown hình học trong đó log – giá tuân theo chuyển động
Brown.
Vào năm 1973, Black, Scholes và Merton, trong các bài báo nổi tiếng của
mình, đã giải thích làm thế nào để định giá một cuộc gọi kiểu châu Âu dựa
trên mô hình này. Thật vậy, họ giả sử giá cổ phiếu tuân theo chuyển động
Brown hình học và đưa ra một số điều kiện để nhận được công thức định giá
quyền chọn:
1. Không có chi phí hay thuế, thương mại diễn ra liên tục theo thời gian và
được phép vay và bán khống (thị trường là không có ma sát).
2. Lãi suất ngắn hạn (lãi suất không rủi ro r ) đã biết và là hằng số trong suốt
thời gian tính toán.
3. Cổ phiếu không phải trả lãi cổ phần trong suốt thời gian của quyền chọn.
4. Quyền chọn kiểu châu Âu (chỉ có thể thực hiện tại thời điểm đáo hạn).
23
5. Giá cổ phiếu tuân theo chuyển động Brown hình học trong suốt thời gian
đưa ra phân phối log – chuẩn đối với giá cổ phiếu giữa hai điểm bất kỳ
theo thời gian.
6. Độ biến động là hằng số đối với bất kỳ giá thực thi và kỳ hạn nào.
Người ta đã chỉ ra rằng mô hình có thể được sửa đổi dễ dàng khi lãi suất là
ngẫu nhiên hay là một hàm của t , khi cổ phiếu trả lãi cổ phần hay khi quyền
chọn theo kiểu Mỹ.
Nhờ tính đơn giản và tính độc lập của phát minh về việc định giá tài sản
tương lai mà công thức Black – Scholes được sử dụng rộng rãi trong thực
hành để định giá và bảo hộ các quyền chọn.
Trong công thức Black – Scholes, giá cổ phiếu S tuân theo chuyển động
Brown hình học,
t t t tdS S dt S dW (2.1)
trong đó và là các hằng số chưa biết, tW là chuyển động Brown chuẩn.
Có thể chỉ ra rằng nghiệm của phương trình vi phân này là
21
20
tt W
tS S e
(2.2)
2.2 Các hạn chế của mô hình Black – Scholes
2.2.1 Độ biến động nụ cười
Mặc dù công thức Black – Scholes là rất mạnh để định giá cổ phiếu và dễ
dàng sử dụng, rất nhiều các kết quả thực nghiệm chỉ ra rằng nó có thể định
giá không đúng một cách hệ thống nhiều giá cổ phiếu. Hiện tượng được biết
đến nhiều nhất liên quan đến các sai chệch của mô hình Black – Scholes được
gọi là độ biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười bắt nguồn từ các độ biến
động tiềm ẩn.
24
Biến động tiềm ẩn là biến động được sử dụng trong mô hình Black – Scholes
như giá thị trường được quan sát của quyền chọn bằng giá mô hình
arBS m ketc c (2.3)
Để sử dụng mô hình Black – Scholes, ta mong đợi rằng các biến động tiềm ẩn
là đồng nhất vì biến động hằng số là một trong những giả thiết của mô hình
Black – Scholes. Tuy nhiên, điều này có vẻ như không xảy ra trong thực tế.
Hầu hết các thị trường đều biểu lộ các biến động không là hằng số. Trong một
số thị trường, các biến động tiềm ẩn tạo thành một dạng hình chữ U nên được
gọi là biến động nụ cười hay hiệu ứng nụ cười. Nói chung, hình dáng của biến
động nụ cười là không đối xứng mà là đường cong chữ U thường bị lệch về
một phía nhiều hơn. Thông thường, hình dáng nụ cười sẽ rõ ràng hơn đối với
các quyền chọn kỳ hạn ngắn và trở nên bẹt/phẳng đối với các quyền chọn kỳ
hạn dài.
Hình 2.1 Độ biến động nụ cười. Các biến động tiềm ẩn đối với giá cổ phiếu
Hiển nhiên, hiện tượng độ biến động nụ cười là không phù hợp với mô hình
Black – Scholes.
2.2.2 Tính không đầy đủ của các thị trường
Mô hình Black – Scholes giả sử rằng thị trường là đầy đủ, tức là bất kỳ quyền
phái sinh nào cũng cho phép một danh mục đầu tư đáp ứng, do đó nó có thể
25
được bảo hộ hoàn toàn. Tuy nhiên, trong khi hầu hết các mô hình ngẫu nhiên
sử dụng trong định giá quyền chọn là không chênh lệch thị giá, chỉ một số ít
là đầy đủ. Chúng ta đều biết rằng bảo hộ hoàn toàn không thể tồn tại trong
thực tế: tất cả các rủi ro không thể bị giới hạn. Thị trường “không ma sát”
(không có chi phí, lợi suất thương mại có thể diễn ra liên tục, …) có vẻ như
không phải là một khái niệm chặt chẽ trong thực tế nhưng đặc tính này chỉ thể
hiện một phần nhỏ của rủi ro mà người ta không chấp nhận với mô hình
khuếch tán. Động cơ thúc đẩy việc sử dụng các bước nhảy trong mô hình là
các thị trường chứng khoán phá sản và trong suốt một phá sản không có một
cơ hội nào để thực hiện một bảo hộ Delta thay đổi liên tục. Hệ quả của điều
này là tính không khả thi của bảo hộ hoàn toàn: tại một thời gian cho trước
giá chứng khoán có thể tăng nhẹ hoặc giảm nhẹ hoặc rơi giá rất nhiều. Nó
không thể được bảo hộ chống lại tất cả rủi ro một cách đồng thời.Tính không
khả thi của bảo hộ hoàn toàn có nghĩa là thị trường là không đầy đủ, tức là
không phải mọi quyền chọn đều có thể tự đáp ứng bởi một danh mục đầu tư
tự tài trợ. Do đó, nó khiến cho việc dùng các mô hình thị trường không đầy
đủ có ý nghĩa hơn, trong đó rủi ro của bảo hộ có thể được định lượng hơn là
gắn vào các mô hình thị trường đầy đủ trong đó rủi ro của bảo hộ theo định
nghĩa bằng không.
26
Chương 3
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
3.1 Các mô hình độ biến động ngẫu nhiên
Thực nghiệm chỉ ra rằng phương sai của lợi suất là không dừng. Vì thế mô
hình độ biến động hằng số là không đủ để giải thích các hiện tượng và đưa ra
tham số dự báo. Do đó cần thiết phải xây dựng các mô hình độ biến động
ngẫu nhiên – SV (Stochastic Volatility). Đ ối với mô hình độ biến động ngẫu
nhiên, ta thay biến động không đổi bằng hàm t mô hình hóa phương sai
của tS . Hàm phương sai này cũng được mô hình như chuyển động Brown, và
dạng của t phụ thuộc vào mô hình độ biến động ngẫu nhiên SV cụ thể mà ta
nghiên cứu.
, ,
t t t t t
t S t S t t
dS S dt S dW
d dt dZ
(3.1)
trong đó ,S t và ,S t là các phương trình nào đó của còn tdZ là một quá
trình Gauss chuẩn khác tương quan với tdW với nhân tử tương quan hằng số
.
Mô hình độ biến động ngẫu nhiên tổng quát này chứa nhiều mô hình nổi
tiếng, ta đưa ra ba ví dụ:
1. Heston – Heston (1993) giả sử rằng tY tuân theo quá trình Cox-Ingersoll-
Ross (CIR),
t t t tdY Y dt Y dZ (3.2)
và f y y . là phương sai dài hạn, là tốc độ trở về trung bình,
được gọi là độ biến động của độ biến động. tY là dương chặt k
27
hi 22 và không âm khi 20 2 . Mô hình này là rất quan trọng
vì nó đưa ra một công thức gần với dạng cho quyền chọn kiểu châu Âu và
có thể là một số khác không.
2. Mô hình độ co giãn phương sai không đổi
Mô hình này mô tả mối quan hệ giữa độ biến động và giá, giới thiệu độ
biến động ngẫu nhiên:
t t t tdS S dt S dW (3.3)
Một cách trực quan, trong một số thị trường độ biến động tăng khi giá
tăng (ví dụ các loại hàng hóa), do đó 1 . Trong các thị trường khác, độ
biến động có xu hướng tăng khi giá giảm, được mô hình với 1 .
Có một vướng mắc nào đó ở đây, là vì mô hình độ co giãn không đổi của
phương sai không kết hợp chặt chẽ quá trình độ ngẫu nhiên đối với độ
biến động của chính nó cho nên nó không chính xác là mô hình độ biến
động ngẫu nhiên. Vì thế người ta gọi mô hình này là mô hình độ biến
động địa phương.
3. Mô hình độ biến động ngẫu nhiên an-pha, bêta, rô – hay mô hình
SABR (Stochastic Alpha, Beta, Rho volatility model)
Mô hình SABR mô tả một diễn tiến đơn F (theo bất kỳ một tài sản nào
như một chỉ số, lãi suất, trái phiếu, tiền tệ hoặc cổ phần) với độ biến động
ngẫu nhiên :
,t t t t
t t t
dF F dW
d dZ
(3.4)
Giá trị ban đầu 0F và 0 là giá diễn tiến và độ biến động hiện tại, trong
khi tW và tZ là hai quá trình Weiner tương quan (tức là các chuyển động
Brown) với hệ số tương quan 1 1 . Các tham số hằng số , thỏa
mãn 0 1, 0 .
4. Mô hình GARCH
28
(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)
Mô hình GARCH là một mô hình phổ biến khác nữa để ước lượng độ biến
động ngẫu nhiên. Mô hình giả sử rằng tính ngẫu nhiên của quá trình
phương sai khác nhau với phương sai, đối lập với căn bậc hai của phương
sai như là trong mô hình Heston. Mô hình chuẩn GARCH(1,1) có dạng
sau đối với vi phân phương sai:
t t t td dt v dB (3.5)
5. Mô hình 3/2
Mô hình 3/2 giống với mô hình Heston, nhưng giả sử rằng tính ngẫu nhiên
của quá trình phương sai khác với 3/2t . Dạng của vi phân phương sai là:
3/2t t t t td dt dB (3.6)
Tuy nhiên ý nghĩa của các tham số thì khác với mô hình Heston. Trong
mô hình này, cả sự trở về trung bình và độ biến động của các tham số
phương sai là các đại lượng ngẫu nhiên được cho tương ứng bởi t và
t .
6. Mô hình Chen
Trong các mô hình lãi suất, Lin Chen vào năm 1994 đã phát triển mô hình
trung bình ngẫu nhiên và độ biến động ngẫu nhiên đầu tiên, được gọi là
mô hình Chen. Cụ thể, các động lực của lãi suất tức thời được cho bởi các
phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:
,
,
.
t t t t t t
t t t t t
t t t t t t
dr dt r dW
d dt dW
d dt dW
(3.7)
3.2 Các quá trình bước nhảy
Cuối cùng, một yếu tố quan trọng khác trong các mô hình định giá quyền
chọn là mô hình giá cổ phiếu với bước nhảy. Các quá trình bước nhảy
(Lévy) đã trở nên ngày càng phổ biến trong toán tài chính vì chúng có thể
mô tả thực tế được quan sát của các thị trường tài chính theo cách chính
29
xác hơn là các mô hình khuếch tán cơ bản dựa trên chuyển động Brown.
Trong thực tế, ta quan sát các quá trình giá tài sản có bước nhảy và đưa
chúng vào tính toán. Hình (2.4) biểu diễn giá chỉ số Standard and Poors
vào 7-28 tháng ba năm 2008, là một ví dụ điển hình cho bước nhảy trong
giá cổ phiếu.
Hình 3.1 Giá Standard and Poors 28/7/2008
Merton vào năm 1976 đã thêm các bước nhảy ngẫu nhiên vào chuyển
động Brown hình học. Quá trình ngẫu nhiên đối với giá cổ phiếu là
dS
k dt dW dpS
(3.8)
trong đó là số trung bình các bước nhảy trong một khoảng, k là cỡ
bước nhảy trung bình, dp là quá trình Poisson tạo thành từ các bước nhảy.
Mô hình khuếch tán có bước nhảy rất hữu dụng khi giá tài sản có những
thay đổi lớn, vì các mô hình thời gian liên tục không thể nắm bắt được
tính chất này.
Một số nhà nghiên cứu khác thậm chí đã mô hình giá cổ phiếu như là một
quá trình hoàn toàn là quá trình bước nhảy.Họ cũng kết hợp độ biến động
ngẫu nhiên và bước nhảy (Bates, 1996). Ta sẽ tập trung vào các quá trình
bước nhảy trong các phần tiếp theo.
30
Quá trình bước nhảy thuần túy cơ bản là quá trình Poisson.Tất cả các bước
nhảy của quá trình Poisson có cỡ là một.Quá trình Poisson phức hợp giống
như quá trình Poisson trừ các bước nhảy là có cỡ ngẫu nhiên.
Theo cách mà chuyển động Brown được xây dựng cho các quá trình quỹ
đạo liên tục, quá trình Poisson là bước khởi đầu dành cho quá trình bước
nhảy.
Các biến ngẫu nhiên mũ
Ta nói rằng biến dương là tuân theo phân phối mũ với tham số 0
nếu nó có hàm mật độ xác suất như sau
01t te (3.9)
và giá trị kỳ vọng của là 1
E
.
Hàm phân phối được cho bởi
0, 1 tt F t t e (3.10)
Phân phối mũ có một tính chất quan trọng được gọi là tính mất trí nhớ:
, 0, |t s T t s T t T s (3.11)
Phân phối Poisson
Một biến ngẫu nhiên N được gọi là tuân theo phân phối Poisson với tham
số nếu
, =e !
n
n N nn
(3.12)
Quá trình Poisson
31
Để xây dựng quá trình Poisson, ta bắt đầu với dãy 1 2, ,... các biến ngẫu
nhiên mũ độc lập, tất cả với cùng trung bình 1
. Ta sẽ xây dựng một mô
hình trong đó một biến cố, tra gọi là một “bước nhảy”, xuất hiện theo thời
gian. Bước nhảy đầu tiên xuất hiện tại thời gian 1 , bước nhảy thứ hai
xuất hiện sau 2 đơn vị thời gian sau bước nhảy thứ nhất, bước nhảy thứ
ba xuất hiện 3 đơn vị thời gian sau bước nhảy thứ hai, …Các biến ngẫu
nhiên k được gọi là các thời gian lặp lại (interarrival times). Các thời
gian đến là: 1
n
n kk
S
(3.13)
(tức là nS là thời gian của bước nhảy thứ n ). Quá trình Poisson tN đếm
số các bước nhảy xuất hiện tại hoặc trước thời gian t
1
1nt t T
n
N
(3.14)
Quá trình Poisson do đó được định nghĩa như là quá trình đếm.
Các quỹ đạo mẫu tt N là càdlàg. tN có các số gia độc lập, và các số gia
này là đồng nhất. tN có tính chất Markov
| , | ,t u t sE f N N u s E f N N t s . Tuy nhiên, quá trình
Poisson không là martingale. Hàm đặc trưng của tN được cho bởi
1,
iu
t
t
t eiuN
N u E e e u
(3.15)
32
Hình 3.1 Quá trình Poisson
3.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
Để đạt được các mô hình thực tế hơn, các nhà nghiên cứu đã thêm các bước nhảy
vào mô hình Black – Scholes. Merton (1976) đã đề xuất rằng các biến động giá
tài sản có thể được mô hình như là quá trình nhảy khuếch tán và quá trình các lợi
tức của một tài sản có thể được tách thành ba phần, một phần trượt tuyến tính,
một chuyển động Brown biểu diễn các biến động chuẩn, và quá trình Poisson
phức hợp sinh ra một thay đổi không chuẩn (nhảy) trong các giá của tài sản theo
thông tin. Tầm quan trọng của bước nhảy được xác định bởi sự lấy mẫu từ một
biến ngẫu nhiên phân bố độc lập và đồng nhất (iid). Merton đã giả sử rằng các
bước nhảy là có phân phối log chuẩn. Trường hợp đặc biệt này làm cho ước
lượng và kiểm định giả thiết được dễ dàng và trở thành biểu diễn quan trọng nhất
của quá trình nhảy khuếch tán. Hơn nữa, bằng cách thêm các bước nhảy không
liên tục vào mô hình Black – Scholes và chọn các tham số thích hợp của quá
trình nhảy, các mô hình bước nhảy log chuẩn sinh ra biến động nụ cười hay biến
động lệch như được nói đến trong phần 2.1.2. Cụ thể, bằng cách đặt trung bình
của quá trình bước nhảy là âm, các độ lệch ngắn hạn sẽ dễ dàng được nắm bắt.
3.3.1 Các khuếch tán bước nhảy log chuẩn
Merton (1976) đã thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động Brown
hình học chuẩn để xấp xỉ sự chuyển động của giá cổ phiếu thỉnh thoảng bị không
liên tục
33
t
dSdt dW kdq
S (3.16)
trong đó dq là đếm Poisson với cường độ , tức là 1P dq dt và k là một
kéo theo từ phân bố chuẩn, đặt logy k , loga của cỡ bước nhảy có phân bố
chuẩn:
2
22
1exp
22
yg y
(3.17)
trong đó y là loga của cỡ bước nhảy, là trung bình của phân phối loga cỡ
bước nhảy, là độ lệch chuẩn của phân phối loga cỡ bước nhảy.
3.2.2 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên
Bate (1996) đã thêm một phần bước nhảy vào các mô hình độ biến động ngẫu
nhiên này để làm cho chúng có tính thực tiễn hơn:
1 , 0 ;
, 0 .
s Jf
v
dS t r d S t dt V t S t dW t e S t dN t S S
dV t V t dt V t dW t V V
(3.18)
trong đó N t là quá trình Poisson với cường độ không đổi , là tần số của
các bước nhảy trên năm, J là biên độ bước nhảy (thường được gọi là cỡ bước
nhảy), m là trung bình biên độ bước nhảy.
3.2.3 Các khuếch tán bước nhảy với độ biến động ngẫu nhiên và cường độ
nhảy
Dựa trên mô hình của Bates, Fang (2000) đề xuất một mô hình với tốc độ cường
độ bước nhảy ngẫu nhiên:
34
1 , 0 ;
, 0 ;
, 0 .
s Jf
v
dS t r d S t dt V t S t dW t e S t dN t S S
dV t V t dt V t dW t V V
d t t dt V t dW t
(3.19)
trong đó là tốc độ trở về trung bình, là cường độ dài hạn, là độ biến
động của cường độ nhảy, và quá trình Weiner W t là độc lập với sW t và
vW t . Đây là một mô hình rất nhiều tham vọng và phức tạp, nhưng nó sẽ bị
tránh trong thực hành.
Chương 4
Ước lượng cho mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
Phần này trình bày các ước lượng từ ba quá trình xác định phổ biến trong tài
chính: chuyển động hình học Brown, chuyển động hình học Brown cộng thêm
một quá trình nhảy, và một biến động ngẫu nhiên cộng thêm một quá trình nhảy.
Mục đích là để tìm ra một xấp xỉ thích hợp cho dữ liệu với biểu diễn cụ thể nhất.
Số liệu thực nghiệm mà luận văn sử dụng để phân tích là tỉ giá USD/Việt Nam
đồng (http://www.bankofcanada.ca/rates/exchange/10-year-converter/)
và NOK/GBP (Krone Na Uy/ Bảng Anh) (http://www.norges-bank.no/en/price-
stability/exchange-rates/).
4.1 Chuyển động hình học Brown
Chuyển động hình học Brown là đơn giản nhất và có lẽ là quá trình xác định phổ
biến nhất trong các mô hình tài chính. Mô hình Black-Scholes giả định dựa theo
giả thiết của chuyển động hình học Brown. Chuyển động hình học Brown khẳng
35
định rằng phần trăm tức thời thay đổi trong tỷ giá có độ lệch hằng số B , và biến
động B
tB B
t
dSdt dW
S (4.1)
Sai số dW là quá trình Weiner chuẩn. Để ước lượng các tham số của GBM, ta sử
dụng phương pháp hợp lý cực đại, để ngắn gọn ta tạm ký hiệu , ,B B .
Ta thực hiện các biến đổi như sau:
2
2
2
1ln
2
,
1ln
2
ln2
~ 0,
tt
t
t t
t t
t
t
dSdt dW
S
d S dt dW
S t W
S t
W N t
(4.2)
Hàm log – hợp lý được xây dựng như sau:
21
2
1 2 1 2
2
1
2
1
2
1
1
2
, ,..., ...
1 1exp
22
1ln ln 2
2 2
1ln 2
2 2
~ 0;
Wt
T T
T
tt
Tt
t
T
tt
t
g W et
g W W W g W g W g W
Wtt
WL t
t
TL t W
t
W N t Var W t
36
Phần ln 22
Tt
không đóng vai trò gì trong việc tìm cực trị nên ta bỏ qua.
Ta xét hàm 2
1
1ln
2
T
tt
L Wt
hay
22
1
ln21
ln ,2
t
Tt t
t
St
SL
Để cực đại hàm này, ta giải hệ phương trình đạo hàm riêng theo và bằng 0,
kết quả được 2
1
1ln
2
Tt
t t t
S
T S
; và
2
2
02
1
2
0
1
lnln ln1 1
ln ln1
=
t
Tt t T
t
t T
Tt t
t
S
S S S
T t T T
S S
S St
T t T
Phân tích số liệu thực nghiệm
Áp dụng phân tích thực nghiệm trên số liệu tỷ giá ngoại tệ VND/USD trong 10
năm từ tháng 1 năm 2003 đến tháng 12 năm 2013 bằng phần mềm Stata, ta được
các kết quả sau:
Ước lượng tỉ giá ngoại tệ Việt Nam đồng/USD
37
Hình 4.1 Chuỗi thời gian của tỷ giá VND/USD
Đây là biểu đồ thô về dãy số liệu tỷ giá VND/USD theo thời gian, cho thấy sự
biến đổi về tỷ giá, các biến động và các bước nhảy rõ ràng.
Hình 4.2 Biểu đồ chuỗi thời gian của lợi suất VND/USD
Biểu đồ ở hình 4.2 thể hiện dãy lợi suất theo thời gian, đây là quá trình trở lại
trung bình, trong đó sự biến động và các bước nhảy cũng rất rõ.
14
00
01
60
00
18
00
02
00
00
22
00
0ty
gia
0 500 1000 1500 2000 2500t
-20
0-1
00
01
00
20
0r
0 500 1000 1500 2000 2500t
38
Hình 4.3 Biểu đồ mật độ của lợi suất VND/USD so với chuẩn
Biểu đồ này cho thấy ước lượng mật độ được so sánh với đường mật độ chuẩn,
đường mật độ các giá trị quan sát của lợi suất nhọn hơn rất nhiều so với đường
chuẩn. Như vậy dãy số liệu không có phân bố log chuẩn.
Các biểu đồ sau cho thấy tự tương quan khác không của dãy lợi suất và dãy lợi
suất bình phương:
0.0
2.0
4.0
6.0
8D
en
sity
-200 -100 0 100 200r
Kernel density estimate
Normal density
kernel = epanechnikov, bandwidth = 0.9778
Kernel density estimate
39
Hình 4.4 Biểu đồ về sự tự tương quan
Tự tương quan trong các bình phương lợi suất – đọ tin cậy 95%
Tự tương quan trong các lợi suất – độ tin cậy 95%
0.0
00.2
00
.40
0.6
0A
uto
co
rre
latio
ns o
f r2
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
-0.4
0-0
.20
0.0
0A
uto
co
rre
latio
ns o
f r
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
40
Phân tích dãy số liệu trên Stata, cho ta bảng các tham số đặc trưng của dãy lợi
suất như sau (quý vị quan tâm có thể xem thêm Stata Code cho các bảng/ biểu/
phân tích trong phần phụ lục):
Bảng 4.1 Ước lượng tham số với moment không điều kiện
Mean Variance Skewness Kurtosis
Estimate .1211918 9.99492 .7503242 10.62211
Std.Err .0850827 .1923287 .0771408 .1923301
Hệ số Skewness=.75, cho thấy phân phối của lợi suất là bị lệch; hệ số
Kurtosis=10.62 lớn, do đó phân phối sẽ rất nhọn, không có gì ngạc nhiên vì điều
này đã có thể thấy rất rõ ràng qua đồ thị.
Ước lượng các tham số cho quá trình chuyển động Brown hình học được trình
bày trong bảng kết quả sau:
Bảng 4.2 Ước lượng tham số GBM
B B Skewness Kurtosis
Estimate .1211918 3.0331502 0 3
Std.Err .0850827 .0187753
4.2 Chuyển động hình học Brown cộng thêm bước nhảy
Merton (1976) đã cộng thêm các bước nhảy Poisson vào quá trình chuyển động
hình học Brown để xấp xỉ sự biến động của giá cổ phiếu với giả thiết các bước
nhảy là hoàn toàn ngẫu nhiên
W B B
dSdt d kdq
S
(4.4)
41
Ở đây dq là quá trình đếm Poisson với cường độ , tức là P(dq=1)= dt, và k
được suy ra từ phân bố chuẩn 2( , ) J Jk N
Quá trình bước nhảy là có kurtosis dương và có thể lệch.
Loga lợi suất đối với ngày bất kỳ chứa hai thành phần
1 11 2
, 0ln lnS
... , 1t t tQ
x QS y
x k k k Q
(4.5)
quá trình chuyển động Brown, x, cộng thêm các kéo theo k1, k2, … từ quá trình
bước nhảy. Một kéo theo từ quá trình Poisson xác định số các kéo theo từ quá
trình bước nhảy, k, mỗi ngày
P( = )=( )!
qeQ q
q
(4.6)
Ta đã ước lượng các tham số của quá trình bước nhảy phương pháp hợp lý cực
đại. Hàm hợp lý cực đại là
21
2 22 20 0
1 ( )( , ) ln[ ]exp( )
! 2( )2 ( )
qQTt B J
t q B JB J
e y ql y
q qq
,
tổng của các loga của các tổng hàm mũ xác định bởi các xác suất Poisson. Các
kết quả là các hàm không tuyến tính của các tham số chưa biết, {Nói chung vô
hạn các bước nhảy có thể xuất hiện trong suốt ngày lợi suất. Ta đặt số các bước
nhảy lớn nhất trong một ngày là Q, lớn đến 10. Jorian (1988) chứng minh được
rằng 10 là đủ.}. Để ước lượng các tham số làm cực đại hàm hợp lý, ta viết
chương trình nhập hàm hợp lý và sử dụng gói lệnh ML trong Stata (xem phụ lục
về Stata code ước lượng hợp lý cực đại cho VND/USD), kết quả được trình bày
trong bảng sau:
42
Bảng 4.3 Các tham số ước lượng quá trình nhảy
B B J J
estimate .2497801 1.5783967 -.1340483 2.792051 .15467626
Mô hình bước nhảy lồng trong nó sự xác định chuyển động hình học Brown. Nó
thích hợp với dữ liệu hơn là mô hình đơn giản hơn.
Các moment
Trung bình không điều kiện của quá trình bước nhảy bằng
.22904601B J
trung bình của quá trình chuyển động hình học Brown cộng thêm trung bình của
quá trình bước nhảy nhân với xác suất của bước nhảy.
Variance của quá trình bước nhảy có hai thành phần: phần biến động thông
thường của chuyển động hình học Brown, cộng thêm phần bước nhảy
2 2 2 2( ) 3.6999018B J J
nhỏ hơn phương sai ước lượng ban đầu là 9.9.
Mô hình bước nhảy có thể đã, nhưng không sinh ra độ lệch,
Độ lệch Skewness3 3
2 2 2 3/2
( 3 )( ) [ ]=-.09960413
( )J J J
B J J
y
Ước lượng tự nhiên của độ lệch trong mẫu là dương, 0.75, và đáng kể.
Mô hình bước nhảy sinh ra kurtosis mẫu được ước lượng
4 2 2 4
2 2 2 2
( 6 3 )( ) 3 [ ]=5.0566308
( )J J J J
B J J
Kurtosis y
43
nhỏ thua hơn nhiều so với 10.62.
Ta so sánh các kết quả ước lượng moment không điều kiện, ước lượng sử dụng
mô hình GBM và ước lượng sử dụng mô hình GBM cộng thêm bước nhảy bằng
bảng tổng hợp sau:
Bảng 4.4 So sánh các đặc trưng ước lượng moment không điều kiện, GBM và
GBM cộng thêm bước nhảy
Mean - Variance - 2 Skewness Kurtosis
Unconditional
moment
.1211918
9.99492
.7503242
10.62211
GBM .1211918 9.5933992 0 3
GMB+Jump .2290460 3.6999018 -.09960413 5.0566308
Nhìn vào bảng so sánh, có thể dễ dàng nhận thấy rằng ước lượng moment không
điều kiện và ước lượng sử dụng mô hình GBM không phải là các ước lượng tốt
cho dãy số liệu; các tham số ước lượng sử dụng mô hình GBM cộng thêm bước
nhảy đã cải tiến đáng kể, phương sai rơi từ 9.6 xuống còn 3.7, Skewness=-.01, âm
và tương đối gần không, hệ số nhọn giảm nhiều từ trên 10 xuống còn 5.1. Liệu
rằng các tham số ước lượng còn tốt hơn được nữa hay không, ta xét mô hình
quan trọng sau đây: mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy.
4.3 Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
4.3.1 Mô hình
Biến động tụ là một đặc tính quan trọng của dữ liệu. Biến động ngẫu nhiên là
một mở rộng tự nhiên của các mô hình được áp dụng một cách rộng rãi trong các
tài liệu định giá tài sản. Chúng ta mở rộng sự xác định chuyển động hình học
Brown truyền thống bằng cách tạo ra biến động ngẫu nhiên. Chúng ta thêm biến
động ngẫu nhiên vào mô hình bước nhảy.
44
2 2 2
2
W
ln ( ln ) ln
( , )
B
h
J J
dSdt hd kdq
S
d h b h dt cdZ adt b h dt cdZ
k N
(4.7)
Ở đây logarit của variance, 2h , suy ra một quá trình trở lại trung bình với một sai
số Weiner độc lập dZ.
Kỹ thuật ước lượng
Ước lượng mô hình quá trình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy xuất hiện
hai thách thức
(1) Mô hình là trong thời gian liên tục và không có dạng biểu thức gần gũi tồn tại
đối với biểu diễn rời rạc.
(2) Biến động ngẫu nhiên là biến ngầm ẩn và không có dạng công thức biểu diễn
gần gũi đối với hàm hợp lý.
4.3.2 Ước lượng dựa trên mô phỏng
Ta ước lượng một quá trình độ biến động ngẫu nhiên bước nhảy khuếch tán sử
dụng kỹ thuật dựa trên mô phỏng đã được giới thiệu bởi McFadden (1989) và
Pakes và Pollard (1989). Ý tưởng đằng sau sự ước lượng dựa trên mô phỏng là
rất đơn giản và cực kỳ mạnh. Các kỹ thuật hợp lý cực đại giả định một hàm mật
độ xác suất đối với quá trình sinh dữ liệu và chọn các tham số của mật độ làm
cực đại hàm hợp lý của mẫu được quan sát. Các phương pháp dựa trên mô phỏng
giả định rằng mô hình là quá trình sinh dữ liệu. Các phương trình 4.3.1 hoàn toàn
xác định các mật độ chung và có điều kiện đối với các lợi suất và biến động. Với
một tập các tham số { , , , , , , }i i i i i i i iJ J a b c , ta có thể làm sinh ra một
mẫu tương tự-mẫu mô phỏng ( )s iy .Chọn vector tham số sao cho mẫu mô
phỏng “phù hợp” với mẫu được quan sát, đưa ra các ước lượng tham số của quá
trình sinh dữ liệu.
45
Phương pháp moment hiệu quả
Định nghĩa thế nào là “phù hợp” với dữ liệu mẫu xác định cách thức ước lượng.
Ta sử dụng cách ước lượng được gọi là “Phương pháp moment hiệu quả” bởi
Gallant và Tauchen (1996) hay “suy luận gián tiếp” bởi Gourieroux và Monfort
(1996) để chọn các tham số. Giả thiết không có hiệu lực là dữ liệu mẫu được
quan sát ( )ty , được vẽ nên từ quá trình sinh dữ liệu trong phương trình 4.1.1
được tham số hóa bởi vector tham số chưa biết .
Phương pháp suy luận gián tiếp lựa chọn một mô hình “bổ trợ”. Mô hình bổ trợ
là thống kê mô tả, ví như, một thuật toán hồi quy, phải nắm được các đặc tính
chìa khóa của dữ liệu. Cho
1
( ( ); ) log ( ( ); )T T
at t
t t
l y f y
ký hiệu hàm hợp lý giả loga với mô hình bổ trợ. là các tham số của mô hình
bổ trợ
1
log ( ( ); )( ( ); ) 0
aT Tt
tt t
f yl y
được đánh giá tại các ước lượng hợp lý cực đại giả định, ˆT , sử dụng dữ liệu
mẫu được quan sát bằng không bởi sự cực đại hóa.
Kỹ thuật của Gallant và Tauchen là lựa chọn một vector tham số ˆNT , làm cho
các mục tiêu của mô hình bổ trợ được đánh giá với dữ liệu được mô phỏng tại
ước lượng hợp lý cực đại giả định ˆT , gần nhất có thể tới không. Tức là, lựa
chọn một tập các tham số sao cho các mẫu được mô phỏng phù hợp với dữ liệu
được quan sát. Họ chỉ ra rằng, dưới các điều kiện thông thường, các ước lượng là
vững, và dưới các điều kiện chặt hơn, là có hiệu quả.
46
Đặc biệt, mô phỏng mô hình, phương trình 4.1.1, với vector tham số cho trước
i , để sinh ra một mẫu sty , t=1,.., T. Khi đó, đánh giá các kết quả sử dụng dữ
liệu mô phỏng và các ước lượng khả năng cực đại từ mô hình bổ trợ,
1
ˆ( ( ); )T
st T
t
l y
Nếu các tham số i là các tham số của quá trình sinh dữ liệu và không có sai số
mẫu, thì các kết quả sẽ bằng không. Tăng cỡ mẫu làm giảm sai số mẫu. Do đó
làm tăng cỡ mẫu bằng cách vẽ thêm nhiều mẫu, N,
1 1
ˆ( ( ); )N T
st T
s t
l y
Sau đó tìm vector tham số tốt nhất .
Phương pháp ước lượng các moment hiệu quả lựa chọn vector tham số làm
cho trung bình có trọng của các kết quả là gần không nhất có thể
10 0
1 1 1 1
ˆ ˆ ˆ( ) arg min [ ( ( ); )]' [ ( ( ); )]N T N T
s sNT t T t T
s t s t
I l y I l y
(4.8)
trong đó 0I là ma trận thông tin đối với mô hình bổ trợ.
Ma trận thông tin 0I có thể được ước lượng phù hợp với thủ tục kiểu GMM hai -
chặng. Trong chặng đầu tiên sử dụng một ma trận có trọng xác định dương bất kỳ
0I , trong 4.3.2 và các ước lượng tham số là vững nhưng chưa hiệu quả . Sau
đó, sử dụng các ước lượng vững để ước lượng ma trận thông tin,
01 1
1 ˆ ˆˆ [ ( ( ); ), ( ( ); ) ']N T
s st T t T
s t
I l y l yNT
47
Trong chặng thứ hai sử dụng ước lượng của ma trận có trọng “tối ưu” 0I trong
hàm chi phí 4.3.2.
Phân bố tiệm cận
Gallant và Tauchen (1996) và Gourieroux và Monfort đưa ra phân bố tiệm cận
của các ước lượng,
0 0 0
10 0
ˆ( ( ) ) (0,W( , ))
1W( , ) (1 ) '
NTT I N N I
N I D I DN
(4.9)
trong đó 2
0 0[ , ]l
D
là các đạo hàm từng phần đối với vector tham số . D có thể được tính toán thành
số cụ thể.
4.3.3 Các ước lượng mẫu mô phỏng của quá trình biến động ngẫu nhiên có
bước nhảy (SVJD)
Một bước then chốt trong việc ứng dụng là việc lựa chọn một mô hình bổ trợ
thích hợp. Mô hình bổ trợ phải nắm được các đặc tính quan trọng của dữ liệu
hoặc là nó sẽ không đồng nhất các tham số của quá trình sinh dữ liệu. Và nó phải
dễ ước lượng hoặc là bài toán trở nên không thể tính được dù sử dụng máy tính.
Mô hình bổ trợ
Trong ứng dụng, chúng ta chỉ quan sát quá trình lợi suất tỷ giá chứng khoán.
Chúng ta chọn một hỗn hợp các chuẩn để biểu diễn quá trình bước nhảy và tự hồi
quy của bình phương các số dư từ quá trình này để nắm được sự tụ biến động.
Mô hình bổ trợ không có biến ngầm ẩn.
Hỗn hợp các chuẩn
48
Quá trình bước nhảy là một quá trình chuyển động hình học Brown với các bước
nhảy rời rạc xuất hiện tại các khoảng thời gian phân bố Poisson. Các bước nhảy
được phân bố chuẩn. Ta đơn giản hóa quá trình bằng cách chỉ cho phép từng
bước nhảy mỗi ngày. Quá trình được đơn giản hóa có thể được viết như một hỗn
hợp của hai chuẩn với một phân bố. Hàm loga lợp lý là
2 21 2
2 21 1 21 2
1 ( ) 1 ( )log exp (1 ) exp
2 22 2
Tt t
t
y yp p
trong đó p là xác suất đồng thời và 2, , 1,2ii i là các tham số của các phân
bố chuẩn. Hỗn hợp của hai chuẩn được phân bố iid. Nó không nắm được tính tụ
biến động.
Hồi quy
Để nắm được tính tụ biến động ta chạy một hồi quy trên bình phương các số dư
từ quá trình hỗn hợp. Cho u ký hiệu phần dư từ mô hình hỗn hợp các chuẩn.
Công thức hồi quy
102 2
01
ln lnt i t i ti
u b b u e
tìm được một số tụ biến động.
Mô hình mô phỏng
Phiên bản rời rạc của quá trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy là,
1
1 1 1
21 2
12
ln w 1/
ln ln +cz 1 /
j dj j j
j
j
j j
j
Sh kq
S
h a bh
h
(4.10)
49
trong đó w và z là nhiễu trắng Gauss không tương quan với variance đơn vị, và q
là quá trình đếm Poisson bằng một với xác suất / . Ở đây 1/ là xấp xỉ cho
dt. Quá trình rời rạc, phương trình 4.3.5, có phân bố tiến tới quá trình liên tục,
phương trình 4.3.1, khi 1 / tiến tới không tại tốc độ vừa đủ.
Các lợi suất hàng ngày
Như trước, định nghĩa,
11 ln ; 1,2,...,t
t
t
Sy t T
S
là các lợi suất ngày được quan sát. Trong mẫu được mô phỏng lợi suất hàng ngày
là
/
1 1/ 2/ 1/ / ( 1)/1/
(ln ln ) (ln ln ) ... (ln ln )t
s s s s s s s st j t t t t t t
t
y y S S S S S S
tổng tích lũy của các lợi suất được thực hiện trong khoảng [ 1 / , / ]t t .
Ta đã sử dụng 5 (5 ngày làm việc trong tuần), do đó lợi suất “hàng ngày”
bằng tổng của 5 kéo theo từ quá trình thời gian tốt hơn.
Thuật toán
Mô hình bổ trợ
1. Đạt được vector của các ước lượng 1,ˆ
T từ việc cực đại loga hàm hợp lý
của hỗn hợp các chuẩn, mô hình bổ trợ sử dụng dữ liệu được quan sát.
2. Tính toán và bình phương các số dư.
3. Ước lượng vector của các tham số của AR(10) mô hình bổ trợ 2,ˆ
T và ghi
nhận các kết quả.
Các mô phỏng
50
1. Giả sử N T là số các biến ngẫu nhiên được sử dụng trong các tính
toán tiếp sau.
2. Chọn: (i) các giá trị ban đầu đối với vector của các tham số của mô
hình, và (ii) một ma trận có trọng tùy ý 0I .
Chặng đầu tiên
1. Sử dụng các biến ngẫu nhiên và để ước lượng các kết quả.
2. Tìm một giá trị mới i làm cho giá trị của hàm mục tiêu nhỏ hơn.
3. Lặp lại 1 và 2 ở trên cho đến khi giá trị của kết quả gần không nhất có thể,
tức là cho đến khi tiêu chuẩn hội tụ. Điều này đưa ra các ước lượng tham
số vững .
Ước lượng ma trận có trọng tối ưu
Sử dụng các ước lượng tham số vững để ước lượng ma trận có trọng tối ưu
0I .
Chặng thứ hai
1. Sử dụng các biến ngẫu nhiên và các ước lượng vững để ước lượng các
kết quả.
2. Tìm một giá trị mới i làm giá trị của hàm mục tiêu nhỏ hơn với ma trận
có trọng tối ưu nhỏ hơn.
3. Lặp lại 1 và 2 cho đến khi giá trị của kết quả là gần không nhất có thể, tức
là cho đến khi tiêu chuẩn hội tụ. Điều này đưa ra các ước lượng tham số
tối ưu .
Các kết quả ước lượng trên số liệu tỷ giá đồng Krone Nauy với đồng
Bảng Anh từ tháng 1 năm 1990 đến tháng 8 năm 1998
(Số liệu lấy từ http://www.norges-bank.no/en/price-stability/exchange-rates/)
51
Phân tích số liệu trên Stata, ta được bảng tóm tắt các đặc trưng của dãy tỷ giá
như sau (các biểu đồ và bảng 4.3 có thể xem phụ lục Stata Code)
Bảng 4.5 Mô tả về số liệu mẫu
Obs Mean Std. Dev. Variance Skewness Kurtosis
2183
10.9547
.7595726
.5769505 .3088797
2.549906
Hình 4.5 Biểu đồ chuỗi thời gian của tỷ giá NOK/GBP 1990-1998
10
11
12
13
14
rate
0 500 1000 1500 2000t
52
Hình 4.6 Biểu đồ hàm mật độ đối với lợi suất NOK/GBP so với chuẩn
Hình 4.7 Biểu đồ loga lợi suất NOK/GBP
0.0
5.1
.15
Density
-50 0 50r
Kernel density estimate
Normal density
kernel = epanechnikov, bandwidth = 0.6460
Kernel density estimate
-50
05
0r
0 500 1000 1500 2000t
53
Hình 4.6 Các tự tương quan
Tự tương quan trong các bình phương lợi suất – độ tin cậy 95%
Tự tương quan trong các lợi suất – độ tin cậy 95%
-0.1
00.0
00.1
00.2
00.3
0A
uto
corr
ela
tions o
f r2
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
-0.0
50.0
00.0
5A
uto
co
rrela
tio
ns o
f r
0 10 20 30 40Lag
Bartlett's formula for MA(q) 95% confidence bands
54
Phần này trình bày các kết quả ước lượng được đưa ra bởi Roger Craine, Lars
A.Lochstoer và Knut Syrtveit (Jan-2000).[17]
Họ đã ước lượng quá trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy cho các lợi
suất, giả sử sử dụng chuỗi mô phỏng có độ dài 2183 – 2183 quan sát, sử dụng
hệ số 5 . Thủ tục ước lượng đòi hỏi rất nhiều tính toán trên máy tính.
Việc ước lượng phần biến động ngẫu nhiên có vẻ khá thô vì thủ tục ước
lượng cùng dẫn đến các ước lượng giống như các ước lượng đối với các giá
trị bắt đầu khác. Ước lượng của trung bình cũng vững đối với các giá trị ban
đầu khác nhau. Các tham số nhảy , ,J J thường xuyên hội tụ đến các giá
trị khác nhau đối với các giá trị bắt đầu khác nhau. Các bước nhảy xuất hiện
không thường xuyên và khó nhận biết. Sự lựa chọn của chúng ta về các giá trị
bắt đầu cho các tham số nhảy được dựa trên tính chất định tính trên số lượng
và kích cỡ các bước nhảy và cũng trên kích cỡ của hàm chi phí. Việc ước
lượng của quá trình này cần các giá trị bắt đầu tốt để bảo đảm sự hội tụ đến
cực tiểu toàn cục.
Chúng ta đã biểu diễn một số các ước lượng với các giá trị ban đầu khác nhau
để tìm một cực tiểu toàn cục. Các kết quả của ước lượng được tổng hợp trong
bảng 4.6
Bảng 4.6 Ước lượng các tham số moment không điều kiện
Mean Variance Skewness Kurtosis
Estimate .0402 4.8633 .8178 13.8507
Std.Err .0472 .1041 .0175 .2967
55
Ước lượng các tham số quá trình GBM
B B Skewness Kurtosis
Estimate .0402 2.2047 0 3
Std.Err .0472 .0334
Ước lượng các tham số của quá trình GBM có bước nhảy
B B J J
estimate .0702 1.2747 -.0897 2.9815 .3354
Ước lượng các tham số của quá trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
T=2180,N=20 A b C J J
estimate .0333 .0377 .2635 .0680 -.5805 8.3802 .0098
Ta so sánh với các kết quả ước lượng:
Các moment
Bốn moment không điều kiện đầu tiên của quá trình biến động ngẫu nhiên có
bước nhảy SVJD có thể được tính toán từ các tham số mô hình được ước
lượng và được so sánh với các moment mẫu.
Trung bình của quá trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
0.062J
lớn hơn trung bình mẫu là 0.04, nhưng vẫn nằm hoàn toàn trong hai khoảng
tin cậy độ lệch chuẩn.
56
Variance không điều kiện bằng variance ngẫu nhiên kỳ vọng cộng thêm phần
đóng góp của bước nhảy
2 2 2 2( )JJEh
Trung bình sự xác định trở lại đối với biến động ngẫu nhiên trong phương
trình 4.3.1 suy ra rằng log của 2h có phân bố chuẩn,
2
22
lnln ( , )
2h
ch N
b
Do đó giá trị được kỳ vọng của variance ngẫu nhiên là
2
22
ln3.98
4h
cEh
b
Và variance của quá trình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy SVJD là
2 4.66
nằm trong hai đầu khoảng tin cậy độ lệch chuẩn đối với variance không điều
kiện mẫu, 4.86.
Độ lệch được tính từ mô hình biến động ngẫu nhiên có bước nhảy SVJD
Skewness = -0.12,
là không thật gần với độ lệch mẫu 0.82.
Mô hình SVJD sinh ra 90% kurtosis mẫu,
kurtosis = 9.72,
Nhưng, nó vẫn còn dưới hai đầu khoảng tin cậy độ lệch chuẩn đối với ước
lượng không điều kiện trong bảng 4.5.
57
Bảng 4.7 So sánh các ước lượng tham số của moment không điều kiện, GBM,
GBM cộng thêm bước nhảy và độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy
Mean Variance Skewness Kurtosis
Unconditional
moment
.0402 4.8633 .8178 13.8507
GBM .0402 2.2047 0 3
GBM +Jump .04011462 4.6036468 -.0811 6.75
Stochastic
Volatility +
Jump
.062 4.66 -0.12 9.72
Kiểm định
Gallant và Tauchen (1996) và Gourieroux, Monfort, và Renault (1993) chỉ ra
rằng dưới giả thiết bằng không (vô hiệu –null) rằng mô hình cơ bản là xác
định đúng giá trị cân bằng của hàm mục tiêu
10
1 1 1 1
ˆ ˆmin [ ( ( ); )]' [ ( ( ); )]N T N T
s st T t T
s t s t
T l y I l y
(4.11)
được phân bố một cách tiệm cận 2 ( )p q . Ở đây q=dim( ) là số các tham
số trong mô hình bổ trợ, và p=dim( ) là số các tham số trong mô hình cơ
bản.
Mô hình SVJD không bị bác bỏ tại các mức tin cậy chuẩn sử dụng kiểm định
khi bình phương. Giá trị cực tiểu cân bằng của chi phí là 13.71 . Mô hình
bổ trợ của chúng ta có 17 tham số và mô hình cơ bản SVJD có 7 tham số, bỏ
58
đi 10 bậc tự do. Giá trị P cho cdf, 2 (13.7,10) 0.81 , chỉ ra rằng hầu hết hai
mươi phần trăm thời gian các lợi suất xuất hiện ngẫu nhiên.
59
Kết luận
Số liệu về các lợi suất tài chính tần số cao biểu diễn các bước nhảy ngầm ẩn,
tính tụ biến động, độ lệch và độ nhọn. Ta cần phải tìm ra mô hình tham số
hóa nhằm mục đích nắm bắt được các đặc tính thiết yếu trong dữ liệu. Các kết
quả chính của luận văn là: (1) Đưa ra một xác định nắm bắt được các đặc tính
này trong đó có cả các bước nhảy và độ biến động ngẫu nhiên. (2) Chỉ ra rằng
xác định mà chỉ cho phép các bước nhảy biểu diễn không tốt dữ liệu. Và (3)
chỉ ra các ước lượng chính xác hợp lý của các tham số của phân bố bước nhảy
yêu cầu một mẫu rất lớn.
Luận văn trình bày kỹ thuật ước lượng được sử dụng là kỹ thuật ước lượng
dựa trên mô phỏng (Monte Carlo) để ước lượng mô hình độ biến động ngẫu
nhiên có bước nhảy của tỷ giá NOK/GBP. Ước lượng dựa trên mô phỏng là
kỹ thuật ước lượng tương đối mới, mềm dẻo và tổng quan, nhưng nặng nề về
tính toán. Ta cũng ước lượng chuyển động Brown hình học và chuyển động
Brown hình học cộng thêm bước nhảy Poisson bằng phương pháp ước lượng
hợp lý cực đại (VND/USD và NOK/GBP).
Luận văn cũng đã phân tích các kết quả bằng cách giải thích các mô hình đã
phù hợp thế nào với bốn moment không điều kiện đầu tiên của dữ liệu và
phân tích kỹ thuật Monte Carlo thực nghiệm. Xác định GBM phân phối chuẩn
iid, không có độ lệch và độ nhọn. GBM cộng thêm bước nhảy cũng có phân
phối iid nhưng có thể lệch và nhọn. Các phân phối iid không phù hợp với đặc
tính tụ biến động. Mô hình độ biến động ngẫu nhiên có bước nhảy có thể thỏa
mãn tốt các đặc tính của dữ liệu và do đó mô hình độ biến động ngẫu nhiên có
bước nhảy là cải tiến tốt nhất để thực hành.
60
Tài liệu tham khảo
1. Nguyễn Quang Dong, Nguyễn Thị Minh, Giáo trình kinh tế lượng, Nxb
ĐHKTQD, 2012.
2. Đào Hữu Hồ, Nguyễn Văn Hữu, Hoàng Hữu Như: Thống kê toán học,
Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004.
3. Trần Trọng Nguyên: Giáo trình “Cơ sở toán tài chính”, ĐHKTQD
4. Trần Hùng Thao: Nhập môn Toán học tài chính, Nxb. Khoa học và Kỹ
thuật, 2004.
5. Nguyễn Duy Tiến: Các mô hình xác suất và ứng dụng, Nxb ĐHQGHN,
2005.
6. Bjorn Eraker, Michael Johannes, Nicholas Polson, The impact of jumps
in volatility and returns, The Jornal of Finance, Vol. LVIII, No.3, June
2003.
7. Christopher F Baum, ARCH and MGARCH models, EC 823: Applied
Econometrics, Boston College, Spring 2013.
8. Clayton Scott, Robert Nowak, Maximum likelihood estimation, The
conexions Project and licensed under the Creative commons Atribution
License, 2004.
9. David M. Drukker, Generalized method of moments (GMM) estimation
in Stata 11, Encuentro de Usarios de Stata en M´exico 2010
10. Davide Raggi, Silvano Bordignon, Sequential Monte Carlo Methods for
Stochastic V olatility Models with Jumps, Financial support from the
MIUR under grant PRIN 2005 Prot. N. 2005132539 and Prot. N.
2002135473, 2006.
11. Dr. Keshab Bhattarai, Generalised Method of Moments, Business
School, University of Hull, HU6 7RX, Hull, UK, 2010.
12. Glenn W. Harrison, Maximum Likelihood Estimation of Utility
Functions Using Stata, Working Paper 06-12, Department of
61
Economics, College of Business Administration, University of Central
Florida, 2006.
13. Kim Hartelius Henriksen, Volatility prediction and out-of-sample tests
for Emerging Markets, Copenhagen Business School, 2011.
14. Marco R. Steenbergen, Maximum Likelihood Programming in Stata,
University of North Carolina, Chapel Hill, August 2003.
15. Mark B. Garman and Michael J. Klass, On the Estimation of Security
Price Volatility from Historical Data, University of California, Berkeley.
16. Michael Johannes, Nicholas Polson, Jonathan Stroud, Sequential
Parameter Estimation in Stochastic Volatility Models with Jumps, 2006.
17. Roelf Skypkens, Risk properties and parameters estimation on mean
and reversion on mean reversion and GARCH model,University of
South Africa, 2010.
18. Roger Craine, Lars A. Lochstoer, Knut Syrtveit, Estimation of a
Stochastic-Volatility Jump-Diffusion Model, University of California at
Berkeley, 2000.
19. Yacine Aı¨t-Sahalia, Robert Kimmel, Maximum likelihood estimation of
stochastic volatility models, Journal of Financial Economics 83 (2007)
413–452.
20. Yi-Yu Liang, Demand Modeling withthe Geometric Brownian Motion
Process, Technical Report NTU-IE-Chou-2003-T001.
21. http://www.norges-bank.no/en/price-stability/exchange-rates/
22. http://www.bankofcanada.ca/rates/exchange/10-year-converter/
23. http://en.wikipedia.org/wiki/Stochastic_volatility
62
Phụ lục
Stata Code
VND/USD
. use "C:\Users\Windows 7\Desktop\VND-USD.dta", clear
. gen t=_n
. tsset t
. gen l=ln(S)
. gen r=D.l
. replace r=r*1000
. sum r, detail
(*Các biểu đồ*)
. line S t
. line r t
. kdensity r,norm
. gen r2=r^2
. ac r
. ac r2
. arch r, arch(1) garch(1)
(*VND/USD MLE*)
. gen Q=10
. program define vnus
1. args lnf theta1 theta2 theta3 theta4 theta5
2. temvar q
3. quietly gen double q=rn(Q)
63
4 . quietly replace `lnf'=ln(rpoisson(`theta5'))-
.5*ln(2*_pi)+ln(`theta2'^2+exp(q*`th
> eta4'^2)-.5* (($ML_y1-`theta1'-q*`theta3')^2)/(`theta2'^2+q*`theta4'^2))
5. end
. ml model lf vnus (reg: r=)
. ml max
(*NOK/GBP analysis*)
. use "C:\Users\Windows 7\Desktop\NOK GBP.dta", clear
. gen t=_n
. tsset t
. gen l=ln(S)
. gen r=D.l
. replace r=r*1000
. sum r, detail
(*Các biểu đồ*)
. line S t
. line r t
. kdensity r,norm
. gen r2=r^2
. ac r
. ac r2
