1

)(555 baba )2(242 baba

)1(2 aaaa)2(7714 223 ababbaab

Transformacije algebarskih izraza

Kako dati izraz rastaviti na činioce? Prati sledeći postupak: 1) Izvuči zajednički iz svih ispred zagrade, naravno, ako ima ( distrubutivni

zakon ) 2) Gledamo da li je neka formula:

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3

( )( ) RAZLIKA KVADRATA

2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )

2 ( ) KVADRAT BINOMA ili ako vam je lakše 2 ( )

A B A B A B

I I II II I II A AB B A B

I I II II I II A AB B A B

A B

2 2

3 3 2 2

3 3 2 2 3

3 3 2 2 3

( )( ) RAZLIKA KUBOVA

( )( ) ZBIR KUBOVA

( ) 3 3 KUB ZBIRA

( ) 3 3 KUB RAZLIKE

A B A AB B

A B A B A AB B

A B A A B AB B

A B A A B AB B

3) Ako neće ništa od ove dve stavke, ‘’sklapamo’’ 2 po 2, 3 po 3. itd.

PRIMERI

Izvlačenje zajedničkog ispred zagrade: 1) 2) PAZI: Kad vidimo da ništa ne ostaje pišemo 1. 3) 4)

bbba 27 baa 7 Ako nije jasno šta treba izvući ispred zagrade, možemo svaki član rastaviti:

bbbaab

2714 3 i

baaba 77 2

Zaokružimo (podvučemo) iste i izvučemo ispred zagrade a one koje su ostali stavimo u zagradu!!! 5)

)12(33233

363 22

yxxyyxyyxyxx

xyxyyx

WWW.MATEMATIRANJE.COM

2

6) 333223 91518 bababa

bbbaaabbbaabbaaa 333536

)356(3 22 abbaba Naravno, možemo razmišljati i ovako: Za 18, 15 i 9 zajednički je 3 Za 3a , 2a i 3a zajednički je 2a i Za 2b , 3b i 3b zajednički je 2b

Dakle, ispred zagrade je 2 23a b . 7) )1(11 aaaaaaa xxxxx

8) )1(11 mmm aaaaaaa

9) aaaa xxxxx 124124 22 )3(4 2 xxa

10) 132132 16121612 xxxxxx nnnn )43(4 2 xxxx nn

)43(4 21 nn xx U zadacima 7, 8, 9 i 10 smo koristili pravila za stepenovanje.!!!

UPOTREBA FORMULA:

2 2 ( ) ( )A B A B A B

1) )2)(2(24 222 xxxx

2) )3)(3(39 222 aaaa

3) )1)(1(11 222 xxxx

4) )12)(12(12144 222 yyyy

5) )32)(32(3)2(3294 22222 xxxxx Pazi: Da bi upotrebili formulu za razliku kvadrata ‘’SVAKI’’ član mora da je na kvadrat. 6) )45)(45()4()5(451625 22222222 yxyxyxyxyx

7) 2 2

2 2 2 22 2

1 9 1 3 1 3 1 3

16 25 4 5 4 5 4 5x y x y x y x y

8) ))(()()( 2222222244 yxyxyxyx

))()(( 22 yxyxyx www.matematiranje.com

3

xxAB

BB

xAxA

8422

4162

22

22 )4(168 xxx

xxAB

BB

xAxA

10522

5252

22

Dakle: 4 4 2 2( )( )( )x y x y x y x y ZAPAMTI!!!

9) 4444 12116 aa 44 1)2( a , ako iskoristimo prethodni rezultat: xa 2 i y1

)14)(12)(12(

)1)2)((12)(12(2

22

aaa

aaa

2 2 22 ( )A AB B A B i 2 2 22 ( )A AB B A B

1) 1682 xx Gledamo prvi i treći član jer nam oni daju 2A i 2B , a onaj u sredini proveravamo da li je BA 2 Kako je Pa je 2) 22 )5(2510 xxx jer je ↑ ↑ 2A 2B Proveri da li je 2AB 3) 22 )8(1664 yyy

4) 222 )2(44 bababa

5) 222 )3(96 bababa

6) 2 2 24 20 25 (2 5 )x xy y x y

7) 2 20, 25 0,1 0,01 (0,5 0,1 )a a a jer je

aBaB

AA

1,001,0

5,025,022

2

8) 222 )22,0(48,004,0 bababa

3 3 2 2( ) ( )A B A B A AB B

Najpre se podsetimo da je: 311 , 328 , 3327 , 3464 , 35125 , 36216 , 37343 1) 83x da bi mogli da upotrebimo formulu oba člana moraja biti ‘’na treći’’

333 28 xx Znači x-je A, 2 je B pa zamenjujemo u formulu: )42)(2()22)(2(28 222333 xxxxxxxx www.matematiranje.com

4

)198)(1(

)46296)(1(

22)3()3()23(

2

2

22

aaa

aaaa

aaa

2) )366)(6()66)(6(6216 222333 xxxxxxxx

3) )416)(4()44)(4(464 222333 yyyyyyyy

4) 333333 1)5(151125 xxx Pazi ovde se najčešće napravi greska: xA 5 ,

1B 22 115)5()15( xxx )1525)(15( 2 xxx

5) 333 2)3(8)3( aa pazi: 3a A , 2 B

3 3 2 2( )( )A B A B A AB B

1) 3 3 3 3 2 2 2343 7 ( 7)( 7 7 ) ( 7)( 7 49)x x x x x x x x

2) 3 3 3 2 2 264 1 (4 ) 1 (4 1) (4 ) 4 1 1 (4 1)(16 4 1)a a a a a a a a

3) 3 3 3 3 2 2 2 227 (3 ) (3 ) (3 ) 3 (3 )(9 3 )x y x y x y x x y y x y x xy y

4) 2233 )2()2)(1()1()21()2()1( yyxxyxyxBA

754)1(

442212)1(

44)22(12)1(

22

22

22

xyyyxxyx

yyyxxyxxyx

yyyxxyxxyx

5) ))(()()()()()( 42242222222222323266 yyxxyxyyxxyxyxyx Redje se koristi da je:

3 2 2 3 33 3 ( )A A B AB B A B

1)

33

3

Pr

2

Pr

23 6128

BoverioveriA

yxyyxx ako je 33 8xA onda xA 2 i 33 yB pa je yB

3)2( yx

2) 3223 )4(64412 yxyxyyxx jer je

yBBy

xAxA

464 33

33

3) 3 2 2 3 3125 150 60 8 (5 2 )a a b ab b a b

www.matematiranje.com

5

SKLAPANJE ‘’2 po 2’’

U situaciji kad ne možemo izvući zajednički, niti upotrebiti neku formulu, koristimo sklapanje ‘’2 po 2’’.

Primeri:

1) ayaxyx 22 izvlačimo ispred zagrade zajednički za prva dva, pa druga dva. )2)(()()(2 ayxyxayx 2) byaybxax 12896

3 (2 3 ) 4 (2 3 ) (2 3 )(3 4 )x a b y a b a b x y 3) babaa 44 2 PAZI NA ZNAK!!!

)4)(1()1()1(4 baaabaa 4) 532012 baab PAZI NA ZNAK!!!

)14)(53()53(1)53(4 abbba 5) yaybxbxa

)()( abybax Ovde moramo ‘’okrenuti’’ izraz ab da postane ba , ili pazi, kako je )( baab , moramo promeniti znak ispred y ))(()()( yxbabaybax 6) abxbax 22 = ne '' juri '' da sklopiš ''prva dva'' i ''druga dva'' možda je bolja neka druga kombinacija!!

)21()12( xbxa Slično kao u prethodnom primeru, promenimo znak ispred b, a oni u zagradi promene mesta,

))(12()12()12( baxxbxa 7) 22 8228 xybxbyyx )28)(()(2)(8 bxyyxyxbyxxy www.matematiranje.com

6

22

2

2

4)3(

16)3(

7996

x

x

xx

8) 762 xx Ovo liči na kvadrat binoma ali očigledno nije. Ne možemo izvući zajednički iz svih, niti sklopiti ‘’2 po 2’’ Šta raditi? Naravno, učinici II godina srednje škole i stariji znaju da treba iskoristiti da je

))(( 212 xxxxacbxax , ali u I godini srednje škole moramo raditi ovako:

1. način: 762 xx ideja je da se srednji član napiše kao zbir ili razlika neka 2 izraza. Naravno, to možemo učiniti na veliki broj načina. Onaj prvi je kad posmatramo član bez x-sa i kako njega možemo predstaviti u obliku proizvoda. Kako je 177 to ćemo napisati umesto -6x izraz -7x+1x ili +1x-7x , svejedno. Onda sklapamo ''2 po 2'' )1)(7()7(1)7(71776 22 xxxxxxxxxx 2. način: 762 xx izvršimo dopunu do ‘’punog’’ kvadrata, što znači da moramo dodati (i oduzeti) drugi član na kvadrat.

7336 222

xx

zapamti: uvek dodaj (i oduzmi) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat. sada iskoristimo da je ovo razlika kvadrata.

)1)(7(

)43)(43(

xx

xx

Ti naravno izabereš šta ti je lakše, odnosno šta više voli tvoj profesor. Evo još par primera: 9) ?652 xx 1.način: Kako je 236 to ćemo umesto 5x pisati 3x+2x )2)(3()3(2)3(6232 xxxxxxxx

2.način: Dodajemo (i oduzmemo) onaj uz x podeljen sa 2, pa na kvadrat.

Znači 22

2

5

2

5

, pa je:

www.matematiranje.com

7

)3)(2(

2

1

2

5

2

1

2

5

2

1

2

5

4

1

2

5

4

24

4

25

2

5

22

2

2

xx

xx

x

x

x

)5)(2(

2

3

2

7

2

3

2

7

2

3

2

7

4

9

2

7

4

40

4

49

2

7

22

2

2

xx

xx

x

x

x

62

5

2

5565

2222

xxxx

10) ?1072 xx 1.način: )2)(5()5(2)5(10252 xxxxxxxx

2.način: 102

7

2

77107

2222

xxxx

8