Embed Size (px)
DESCRIPTION
Rastavljanje izraza na proste faktore. Begzada Kišić. Prirodne brojeve dijelimo na proste i složene. Prosti prirodni brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,... Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom. Složeni brojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,... - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Rastavljanje izraza na proste faktore
Begzada Kišić
Prirodne brojeve dijelimo na proste i složene
Prosti prirodni brojevi su 2 3 5 7 11 13 17 19
Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom
Složeni brojevi su 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18
Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku proizvoda dva ili više prostih brojeva tj možemo ih rastaviti na proste faktore
4=2bull2 6=2bull3 8=2bull2bull2 9=3bull3 10=2bull5 faktori složenog broja su njegovi djelioci
I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni
Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora
Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka
Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Prirodne brojeve dijelimo na proste i složene
Prosti prirodni brojevi su 2 3 5 7 11 13 17 19
Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom
Složeni brojevi su 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18
Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku proizvoda dva ili više prostih brojeva tj možemo ih rastaviti na proste faktore
4=2bull2 6=2bull3 8=2bull2bull2 9=3bull3 10=2bull5 faktori složenog broja su njegovi djelioci
I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni
Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora
Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka
Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Složeni brojevi su 4 6 8 9 10 12 14 15 16 18
Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku proizvoda dva ili više prostih brojeva tj možemo ih rastaviti na proste faktore
4=2bull2 6=2bull3 8=2bull2bull2 9=3bull3 10=2bull5 faktori složenog broja su njegovi djelioci
I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni
Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora
Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka
Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
I cijeli algebarski izrazi (polinomi) mogu biti prosti i složeni
Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora
Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu kod algebarskih razlomaka
Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti polinoma
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora Grupisanje članova Primjena izvedenih formula
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
izvlačenje zajedničkog faktora
a(b+c)=ab+ac distributivni zakon
vrijedi i obrnuto ab+ac=a(b+c)
Primjer 1 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
grupisanje članova
ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc= =7b(2a+3c)+5a(2a+3c)= =(2a+3c)(7b+5a)
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore metodom grupisanja
Primjer 3 2x2+5x-3 2x2+6x-x-3= =2x(x+3)-(x+3)= =(x+3)(2x-1) Napomena u ovom slučaju treba naći dva broja koji pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 a sabrani daju koeficijent linearnog člana 5 a to su 6 i -1
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
razlika kvadrata (x-y)(x+y)= x2-y2
obrnuto x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Ponekad kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore i dopunom do kvadrata
Primjer 5 x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
razlika kubova (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3
obrnuto x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
zbir kubova (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3
obrnuto x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
kvadrat zbira (x+y)2= x2+2xy+y2
obrnuto x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8 16+8b+b2
16+8b+b2=42+24b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
kvadrat razlike (x-y)2= x2-2xy+y2
obrnuto x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-22a1+12=
=(2a-1)2
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
kub zbira (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3
obrnuto x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3125a+31(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
kub razlike (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3
obrnuto x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3(2x)21+32x 12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Zadaci po grupama
I GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 4x2y+8xy2=
2 a2x+b2x-a2y-b2y=
3 16-a2=
4 b2+10b+25=
5 x3+6x2+12x+8=
6 x2+4x-21=
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
II GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 6x2y+12xy2=
2 ab2-3b2+3a-9=
3 25-a2=
4 x2-14x+49=
5 x3-6x2+12x-8=
6 x2-3x-10=
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
III GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3a2b-6ab2=
2 xa+y2a-xb-y2b=
3 9a2-b2=
4 x2-10x+25=
5 a3+6a2b+312ab2+8b3=
6 a2-11a+24=
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
IV GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac=
2 x2a+y2a+x2b+y2b=
3 4a2-b2=
4 b2-6b+9=
5 x3-3x2+3x-1=
6 y2+6y+5=
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
V GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 3ab-6ac+9ad=
2 ax-bx+by-ay=
3 (a-b)2-c2=
4 x2-2x+1=
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=
6 b2-8b+15=
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
VI GRUPA Rastaviti date polinome na proste faktore
1 2a2b-4a2c+6a2d=
2 ax+bx-by-ay=
3 (a-2)2-c2=
4 4x2-4x+1=
5 8+12x+6x2+x3=
6 x2-5x-14=
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Rješenja
GRUPA I 1 4x2y+8xy2=4xy(x+2y) 2 a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y) 3 16-a2=(4-a)(4+a) 4 b2+10b+25=(b+5)2
5 x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6 x2+4x-21=(x+7)(x-3)
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
GRUPA II
1 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2 ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3 25-a2=(5-a)(5+a)
4 x2-14x+49=(x-7)2
5 x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6 x2-3x-10=(x-5)(x+2)
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
GRUPA III
1 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2 xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4 x2-10x+25=(x-5)2
5 a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6 a2-11a+24=(a-3)(a-8)
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
GRUPA IV
1 3ab-6ac=3a(b-2c)
2 x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4 b2-6b+9=(b-3)2
5 x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6 y2+6y+5=(y+1)(y+5)
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
GRUPA V
1 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2 ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3 (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4 x2-2x+1=(x-1)2
5 x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6 b2-8b+15=(b-3)(b-5)
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
GRUPA VI
1 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2 ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3 (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4 4x2-4x+1=(2x-1)2
5 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6 x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji
Hvala na pažnji
