RJEŠAVANJE NELINEARNIH ALGEBARSKIH JEDNADŽBIMetoda bisekcije, iteracije, tangente, sekante, regula falsi

Problem?

Zadana je jednadžba f(x)=0 Prvo moramo odrediti interval u kojem se

nalazi nul točka funkcije Ako se nul točka nalazi u [a,b], onda vrijedi f(a)f(b)<0

Što ako je funkcija prekidna?

Kako odrediti interval?

1. Tablično2. Grafički

Zadatak: Odredite intervale u kojima se nalaze rješenja jednadžbe

03 xex

Metoda polovljenja intevala ili metoda bisekcije

,...2

:0)()(:0)()(

0)(2

1

0

abc

cabfcfcbcfaf

cfabc

bxax

Funkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka

Onda je gotovo! A ako to ne vrijedi nego:

Pogreška

Na početku je zadana točnost

U prvom koraku pogreška je jednaka

U k-tom koraku greška je

Kriterij zaustavljanja

k

k

ab

ab

abcb

2

2

2

Zadatak:

Metodom bisekcije rješite jednadžbus točnošću 10-3

05,13 x

Moramo odrediti interval gdje se nultočka nalazi, a zatim naći rješenje gdje pritom pazimo da se zaustavimo kada zadovoljimo kriterij zaustavljanja.

Koja je mana ove metode

Mana ove metode je da je spora tj. postoje puno brže metode nalaženja rješenja jednadžbe odnosno postupci koji puno brže konvergiraju k rješenju

METODA ITERACIJEFunkcije f(x) je definirana na intevalu [a,b], gdje bez smanjenja općenitosti uzmimo da ja a<b, i pretpostavimo da se u tom intervalu nalazi barem jedna nultočka.

Zadana je funckija f(x)=0.Prvo dodamo lijevo i desno x, pa imamo

x+f(x)=x

Zatim lijevu stranu zamijenimo s novom funcijom

xx )(

Naziva se metoda iteracije jer se uvrštavanjem nekog “rješenja” sve više približavamo pravom rješenju. Taj postupak ponavljamo određen broj puta dok ne zadovoljimo kriterij zaustavljanja.

)()(

)()(

1

21

12

01

0

nn

nn

xxxx

xxxx

x

“rješenje”

ZADATAK

Riješite jednadžbu ako znamo da se njezino rješenje nalazi na intervalu [3,5]

Uz uvjet

02ln xx

410

Newtonova metoda(metoda tangente) Uvjeti:

Funkcija je konveksna ili konkavna

0)('')(0)()(

00 xfxf

bfaf

Ponovimo isti postupak više puta:

Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)

)(')(

1n

nnn xf

xfxx

Pogreška i kriterij zaustavljanja

Na početku je zadana točnost

)(')(|| 1n

nnn xf

xfxx

Zadatak

Izračunajte rješenja jednadžbex-sinx-0.25=0

s točnošću 10-4

METODA SEKANTE

Uvjeti: Funkcija je konveksna ili

konkavna Zadane su prva dva čvora 0)()( bfaf

Kako izračunati novu približnu vrijednost nul točke(aproksimaciju)

)()()( 1

11 n

nn

nnnn xf

xfxfxxxx

Pogreška i kriterij zaustavljanja

Na početku je zadana točnost

)(

)()(||

1

11 n

nn

nnnn xf

xfxfxxxx

Izračunajte rješenja jednadžbe

s točnošću 10-4

14

1arctan22

x

x

REGULA FALSI

Uvjeti:

0)()( bfafOno što ne mora biti zadovoljeno je uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti

Zašto ne mora biti zadovoljen uvjet konveksnosti odnosno konkavnosti Jer se metoda prilagođava

situaciji, ali na koji način: pomoću granica glavnog intervala izračuna novu točku:

)()()(

bfafbf

abbc

A zatim čini provjeru:

cabfcfcbcfaf

:0)()(:0)()(

Ovim postupkom se napravi korekcija početnog intervala

Pogreška i kriterij zaustavljanja

Ima isti kriterij zaustavljanja kao i metoda sekante.

KOMBINIRANE METODE

Možemo kombinirati navedene metode:Sekanta i bisekcijaRegula falsi i bisekcijaTangenta i sekanta