geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije

Patricio Bulic

Faculty of Computer Science and InformaticsUniversity of Ljubljana

Racunarska grafika, Banja Luka, 2011

P. Bulic (University of Ljubljana) Geometrijske transformacije Banja Luka 2011 1 / 42

Sadraj1 2D Geometrijske transformacije

2D Translacija2D Rotacija2D Skaliranje

2 2D Geometrijske transformacije u homogenim koordinatamaHomogene koordinate2D Translacija u homogenim koordinatama2D rotacija u homogenim koordinatama2D skaliranje u homogenim koordinatama

3 3D geometrijske transformacije3D translacija u homogenim koordinatama3D rotacija u homogenim koordinatama

4 Programski kod5 Rotacija koordinatnog sustava6 Sloene transformacije7 Rotacija oko proizvoljno odabrane osi8 Zakljucak


Geometrijske transformacije

geometrijske transformacije se upotrabljavaju za promjenupoloaja objekata i kamere u prostoru, njihove velicine i sl.upotrebljavaju se i u postupcim 2D i 3D modeliranja i prikazivanjaza pocetak cemo obraditi samo osnovne geometrijsketransformacije : translacija (pomak), rotacija, skaliranjesa njima objekte na slici pomicemo, rotiramo, skaliramo, ...


2D Translacija

r

= r + rT

[x

y

]=

[xy

]+

[xy

]P. Bulic (University of Ljubljana) Geometrijske transformacije Banja Luka 2011 4 / 42

2D Rotacija oko koordinatnog ishodita (pocetka)

x

= r cos(+ ) = r cos cos r sin sin y

= r sin(+ ) = r cos sin + r sin cos

Vrijedi: r = (x , y )T , r = (x , y)T

Dogovor: pozitivan kut rotacije je suprotan smjeru kazaljke na satu


2D Rotacija oko koordinatnog (pocetka)

x

= x cos y sin y

= x sin + y cos

[x

y

]=

[cos sin sin cos

][xy

]Matrica:

R =[cos sin sin cos

]je rotacijska matrica.


2D Skaliranje

x

= x sx y = y sy[x

y

]=

[sx 00 sy

][xy

]Matrica:

S =[sx 00 sy

](1)

je matrica skaliranja.Negativni predznak faktora sx ili sy daje zrcaljenje oko koordinatne osiX ili Y.


Homogene koordinate

Cilj: eljeli bi sve transformacije opisati sa matricom istog reda. Takobi za bilo koju geometrijsku transformaciju upotrijebili istu operaciju -mnoenje matrice i vektora. Na taj nacin bi graficka programskaknjinica imala samo jednu funkciju za bilo koju geometrijskutransformaciju. Matrica transformacije i vektor tacke (pozicije) bi u tomslucaju bili samo ulazni parametri (argumenti funkcije).Kod homogenih koordinata svakoj tacki P(x , y) u 2D prostorudodajemo trecu koordinatu: P(x , y ,w).Dva poziciona vektora (x , y ,w) i (x

, y,w) u homogenim

koordinatama reprezentuju istu tacku, ako i samo ako za h 6= 0 vrijedi:

(x, y,w) = (h x ,h y ,h w)

Pazi: koordinata (0,0,0) nije dozvoljena!!!Sve te trojke (h x ,h y ,h w) cine pravac u 3D prostoru.


Homogene koordinate

Ako koordinate (x , y ,w) podjelimo sa w (kaemo da ihhomogeniziramo), dobijemo tacku (x/w , y/w ,1), koja lei na ravniz = 1.ta time dobijamo? Geometrijski gledano, ako postavimo da je w = 1smo tacke iz 3D zapisali sve na istoj ravni z = 1 i time ih postavili u 2D.To su tzv. homogene koordinate.Sada moemo svaku opisanu geometrijsku transformaciju zapisati kaoprodukt matrice i vektora.


2D Translacija

x y 1

=1 0 x0 1 y

0 0 1

xy

1

ili u matricnom obliku:

P

= T(x ,y) P

gdje je matrica T(x ,y) matrica translacije.


2D Rotacija

x y 1

=cos sin 0sin cos 0

0 0 1

xy

1


P

= R() Pgdje je matrica R() matrica rotacije.


2D skaliranje

x y 1

=sx 0 00 sy 0

0 0 1

xy

1


P

= S(sx , sy ) Pgdje je matrica S(sx , sy ) matrica rotacije.


Transformacije u 3D

geometrijske transformacije u 3D su formalno slicnetransformacijam u 2Ddodaje se jo jedna jednacina za Zmatrice geometrijskih transformacija postaju reda 4x4


3D translacija

x

y

z

1

=

1 0 0 x0 1 0 y0 0 1 z0 0 0 1

xyz1


P

= T(x ,y ,z) P

gdje je matrica T(x ,y ,z) matrica translacije.PAZI: koordinatni pocetak (0,0,0,1) se pomjera u tacku(x ,y ,z,1)


Rotacije u 3D

sjetimo se: u 2D postoji samo jedna elementarna rotacija - okokoordinatnog pocetkau 3D imamo 3 elementarne rotacije oko koordinatnog pocetka -oko svake koordinatne osi!pozitivan smjer rotacije odreden je pravilom desne ruke - akogledamo u os, onda pozitivno rotiramo u suprotnom smjeru odkazaljke na satu


3D rotacija oko osi Z

x

y

z

1

=

cos sin 0 0sin cos 0 0

0 0 1 00 0 0 1

xyz1


P

= Rz() Pgdje je matrica Rz() matrica translacije oko osi Z.


3D rotacija oko osi X

x

y

z

1

=

1 0 0 00 cos sin 00 sin cos 00 0 0 1

xyz1


P

= Rx() Pgdje je matrica Rx() matrica translacije oko osi X.


3D rotacija oko osi Y

x

y

z

1

=

cos 0 sin 00 1 0 0

sin 0 cos 00 0 0 1

xyz1


P

= Ry() Pgdje je matrica Ry() matrica translacije oko osi Y.


3D skaliranje

x

y

z

1

=sx 0 0 00 sy 0 00 0 sz 00 0 0 1

xyz1


P

= S(sx , sy , sz) P

gdje je matrica S(sx , sy , sz) matrica skaliranja.


defs.h

#ifndef _DEFS_H#define _DEFS_H

#define ROUND(x) ((int)(x+0.5))

typedef double MATRIX4X4[4][4];

typedef struct Point3D{

double x;double y;double z;double t;

} POINT3D;

#define PI 3.14159265

#endif


Init

void tglClearMatrix (MATRIX4X4 m) {

int i, j;

for (i = 0; i < 4; i++) {for (j = 0; j < 4; j++) {

m[i][j] = 0.0;}

}}

void tglUnitMatrix (MATRIX4X4 m) {

tglClearMatrix(m);m[0][0] = 1; m[1][1] = 1; m[2][2] = 1; m[3][3] = 1;

}

void tglCloneMatrix (MATRIX4X4 original, MATRIX4X4 clone) {int i, j;

for (i = 0; i < 4; i++) {for (j = 0; j < 4; j++) {

clone[i][j] = original[i][j];}

}

}


Produkti

void tglMatrixMultiply (MATRIX4X4 matrix1, MATRIX4X4 matrix2) {MATRIX4X4 matrix_temp;int i, j, k;

for (i = 0; i < 4; i++) {for (k = 0; k < 4; k++) {

for (j = 0; j < 4; j++) {matrix_temp[i][j] +=

matrix1[i][k] matrix2[k][j];}

}}

tglCloneMatrix(matrix_temp, matrix2);}


Produkti

void tglMultiplyMatrixPoint (MATRIX4X4 matrix, POINT3D point) {POINT3D point_temp;

point_temp.x = matrix[0][0] pointx +matrix[0][1] pointy +matrix[0][2] pointz +matrix[0][3] pointt;

point_temp.y = matrix[1][0] pointx +matrix[1][1] pointy +matrix[1][2] pointz +matrix[1][3] pointt;

point_temp.z = matrix[2][0] pointx +matrix[2][1] pointy +matrix[2][2] pointz +matrix[2][3] pointt;

point_temp.t = matrix[3][0] pointx +matrix[3][1] pointy +matrix[3][2] pointz +matrix[3][3] pointt;

point_temp.t = 1;

pointx = point_temp.x;pointy = point_temp.y;pointz = point_temp.z;pointt = point_temp.t;

}


Transformacije

void tglTranslate (POINT3D point, POINT3D tp) {MATRIX4X4 m;

tglUnitMatrix(m);

m[0][3] = tp.x;m[1][3] = tp.y;m[2][3] = tp.z;

tglMultiplyMatrixPoint(m, point);}

void tglScale (POINT3D point, double sx, double sy, double sz) {MATRIX4X4 m;

tglUnitMatrix(m);

m[0][0] = sx;m[1][1] = sy;m[2][2] = sz;m[3][3] = 1.0;



Rotacije

void tglRotateZ (POINT3D point, double angle) {

MATRIX4X4 m;

tglClearMatrix(m);

m[0][0] = cos(angle); m[0][1] = -sin(angle);m[1][0] = sin(angle); m[1][1] = cos(angle);m[2][2] = 1; m[3][3] = 1;


void tglRotateX (POINT3D point, double angle) {

MATRIX4X4 m;

tglClearMatrix(m);

m[0][0] = 1;m[1][1] = cos(angle); m[1][2] = -sin(angle);m[2][1] = sin(angle); m[2][2] = cos(angle);m[3][3] = 1;


void tglRotateY (POINT3D point, double angle) {

MATRIX4X4 m;

tglClearMatrix(m);

m[0][0] = cos(angle); m[0][2] = sin(angle);m[2][0] = -sin(angle); m[2][2] = cos(angle);m[1][1] = 1; m[3][3] = 1;



Rotacija koordinatnog sustava

~x = (1, 0, 0)

~y = (0, 1, 0)

~z = (0, 0, 1)

~u = (ux , uy , uz )

~v = (vx , vy , vz )

~n = (nx , ny , nz )


Rotacija koordinatnog sustava

Teorem: Matrica

R =

ux uy uzvx vy vznx ny nz

rotira koordinatni sustav UVN u koordinatni sustav XYZ tako dapostane ~u = ~x , ~v = ~y , ~n = ~z.Dokaz:

R ~uT =ux uy uzvx vy vznx ny nz

uxuyuz

==

u2x + u2v + u2zvx ux + vy uy + vz uznx ux + ny uy + nz uz

=~u ~u~u ~v~u ~n

=10

0

= ~xT


Sloene transformacije

Rotirati elimo tjelo oko proizvoljno odabrane tacke P.



1. Najprije transliramo (pomjeramo) tjelo tako da tacka P dode u koordinatni pocetak : P= T(P) P



2. Sada smijemo rotirati tjelo : P

= R() P



3. Na kraju pomaknemo tjelo tako da se tacka P vrati u pocetni poloaj: P

= T(P) P



Sloene geometrijske transformacije sastavljamo iz elementarnihdrugim rijecima: sloena transformacija se dekomponuje naelementarnesloenu transformaciju opisuje matrica koju dobivamo mnoenjemelementarnih matrica: kompozitna matricaredosljed elementarnih transformacija u sloenoj je bitan jermnoenje matrica nije komutativno!!!


Rotacija oko proizvoljno odabrane osi

1. Os rotacije definiramo kao pravac koji prolazi kroz tacke T1(x1, y1) i T2(x2, y2).



2. Definiramo jedinicni vektor~n usmjeren od tacke T1 do tacke T2:

~n =(x2 x1, y2 y1, z2 z1)|(x2 x1, y2 y1, z2 z1)|



3. Pomocu vektora ~1y = (0, 1, 0) i~n definiramo jedinicne vektore~u i~v koji sa vektorom~n tvore desnosucni koordinatnisustav UVN:

~u =~1y ~n|~1y ~n|

~v =~n ~u|~n ~u|



4. Sve tacke objekta kojeg rotiramo (u naem primjeru je to tacka P) transliramo tako da tacka T1 sjedne u koordinatnipocetak. Sa tom transformacijom ujedno potegnemo koordinatni sustav UVN iz tacke T1 u koordinatni pocetak:

T(T1) =

1 0 0 x10 1 0 y10 0 1 z10 0 0 1



5. Sve tacke objekta kojeg rotiramo (u naem primjeru je to tacka P) rotiramo tako da koordinatni sustav UVN legne ukoordinatni sustav XYZ (prisjetimo se transformacije koordinatnog sustava):

R =

ux uy uz 0vx vy vz 0nx ny nz 00 0 0 1



6. Sve tacke objekta kojeg rotiramo (u naem primjeru je to tacka P) sada rotiramo u eljenom smjeru za zadani kut okokoordinatne osi Z koja se sada poklapa sa zadanom osi rotacije:

Rz() =

cos sin 0 0sin cos 0 0

0 0 1 00 0 0 1



7. Sve tacke objekta kojeg rotiramo (u naem primjeru je ta tocka P) rotiramo tako da se koordinatni sustav vrati u osnovnuorjentaciju. To cinimo inverzom matrice R kojeg dobijamo tronsponiranjem, poto je matrica R ortogonalna:

R1 =

ux vx nx 0uy vy ny 0uz vz nz 00 0 0 1



8. Sve tacke objekta kojeg rotiramo (u naem primjeru je to tacka P) transliramo tako da tacku T1 vratimo u pocetnupoziciju. Sa tom transformacijom ujedno vratimo koordinatni sustav UVN iz koordinatnog pocetka u tacku T1:

T(T1) =

1 0 0 x10 1 0 y10 0 1 z10 0 0 1



Konacna geometrijska transformacija koja opisuje rotaciju tacke P za kut oko proizvoljno odabrane osi rotacije je:

P= T(T1) R1 Rz() R T(T1) P


Zakljucak

Transformacije (tj. operacije koje transformacija izvodi) susadrane u koeficijentima matrica i ne u instrukcijama ilimatematickim operacijamaPrilikom izvodjenja bilo koje geometrijkse transformacijeupotrebljavamo iste operacije: mnoenje matrice reda 4x4 ivektora reda 4x1Kod upotrebe vie uzastopnih transformacija moramo paziti naredosljed transformacija tj. na redosljed mnoenja matrica potomnoenje matrica nije komutativnoTransformacije tvrdih tijela (rigid body transformations): translacijai rotacija. Te transformacije cuvaju kuteve i duineOrtogonalne transformacije : translacija, rotacija i transliranje. Tetransformacije cuvaju kuteve. Opiemo ih ortogonalnimmatricama; jednostavna operacija inverza


2D Geometrijske transformacije2D Translacija2D Rotacija2D Skaliranje

2D Geometrijske transformacije u homogenim koordinatamaHomogene koordinate2D Translacija u homogenim koordinatama2D rotacija u homogenim koordinatama2D skaliranje u homogenim koordinatama

3D geometrijske transformacije3D translacija u homogenim koordinatama3D rotacija u homogenim koordinatama

Programski kodRotacija koordinatnog sustavaSloene transformacijeRotacija oko proizvoljno odabrane osi Zakljucak

Documents

geometrijske transformacije