NjihalaNjihala 11

Torziono, matematičko i fizičko njihalo

1.Torziono njihalo

2.Matematičko njihalo (rješenje za male kutove)

3.Fizičko njihalo (rješenje za male kutove)

4.Centar udara

NjihalaNjihala 22

• Torziono njihalo

M

rF1F2

D

IT

ttI

D

dt

dDIM

l

GrD

M

MM

FFrM

TT

E

E

E

2

)sin()(

,0

,

2

0

2

2

2

4

21

Ploča polumjera r obješena na žicu duljine l. Kada se ploča zakrene za kut , javlja se torzija žice. ME je suprotnog predznaka i proporcionalan kutu zakreta.

Torzija žice (r od žice)!

NjihalaNjihala 33

• Matematičko njihalo

m

G

N

l

0

g

lT

tl

g

dt

d

l

g

mgldt

dmlIM

mglM

2

)sin(

0

0sin

sin

sin

0

2

2

2

22

Ft

Ft=-mgsin

Za male vrijedi: sin

Sastoji se od nerastezljive niti duljine l, koja je pričvršćena na jednom kraju, a na drugom je obješena materijalna točka m. Pomaknemo za kut , i pustimo da se njiše u polju sile teže.

Nelinearna dif. jednadžba

NjihalaNjihala 44

• Egzaktno rješenje jednadžbe matematičkog njihala (račun eliptičkog integrala)

2sin4

112

642

531

42

31

2

11

2)2/,(

)2/,(4

0sin

02

62

42

22

g

lT

kkkkF

kFg

lT

l

g

NjihalaNjihala 55

• Fizičko njihalo

T

G

0

b

mgb

IT

tI

bmg

I

mgb

mgbdt

dII

mgbM

2

)sin(

0

sin

0sin

sin

sin

0

2

2

Kruto tijelo koje se može njihati u vertikalnoj ravnini oko horizontalne osi koja ne prolazi njegovim težištem.

NjihalaNjihala 66

Promatrajmo fizičko njihalo u obliku štapa koje se

njiše oko osi koja prolazi jednim krajem štapa.

Iz Steinerovog poučka slijedi da je:

I=ICM+m(l/2)2=(ml2)/3,

pa je:

T=2(2l/3g)1/2.

NjihalaNjihala 77

Usporedba izraza za titrajno vrijeme T takvog

fizičkog njihala i matematičkog njihala

(T=2(l/g)1/2) pokazuje da za duljinu njihala

lM=2lF/3

titrajna vremena postaju jednaka. Time se definira

reducirana duljina fizičkog njihala

lr=I/mb

kao ona duljina matematičkog njihala koje ima isto

titrajno vrijeme kao i fizičko njihalo.

NjihalaNjihala 88

Centar udara

Na udaljenosti lr od osi titranja na fizičkom njihalu

nalazi se karakteristična točka tzv. centar udara.

Kada je fizičko njihalo pogođeno u toj točki, onda je

preneseni impuls sile na os titranja jednak nuli. To

znači da npr. pri udarcu teniske loptice reketom u

centar udara, tenisačeva ruka najmanje osjeća udarac.

Problem proučavanja centra udara svodi se na

proučavanje gibanja krutog tijela na koje djeluje u

kratkom vremenskom intervalu impulsna sila.

Primjer: fizičko njihalo u obliku štapa obješeno na jednom

kraju!

NjihalaNjihala 99

1

2R

h

A

Pitanje: gdje treba pogoditi horizontalno namještenim bilijarskim štapom bilijarsku kuglu, da bi ona nakon udarca samo kotrljala bez klizanja (uvjet kotrljanja v=r)?

m

Rh

mRmR

IRbmb

Ilh r

75

2,, 2

2

A – trenutni centar rotacije