1

Račun pogrešaka

Vrste pogrešaka:

Slučajne:(osciliraju oko neke vrijednosti, ljudski vid, pravac očitavanja; uvijek prisutne, podliježu statističkoj obradi)

2

Vrste pogrešaka:

Grube:(nepažnja u očitavanju, pogrešno očitana vrijednost; veliko odstupanje od ostalih mjerenih vrijednosti; uočljive i lako se odbacuju)

Vrste pogrešaka:

Sistematske:(mjerni uređaj netočan; podjela skale, nultočka, promjena uređaja ili metode; ne otkrivaju se jednostavno)

3

Osnovne fizikalne veličine u mjerenju:

x: prava vrijednost fizikalne veličine

xi: mjerena vrijednost u nizu mjerenja x1,...xi,...xn

: aritmetička sredina (srednja vrijednost)x

Rezultati mjerenja mogu se prikazati pomoću:

a) linearnih pogrešakab) kvadratičnih pogrešaka

4

a) linearne pogreške

* srednja vrijednost

* ∆xmax maksimalna apsolutna pogreška

* rp relativna pogreška

x

b) kvadratične pogreške

Teoriju kvadratičnih pogrešaka uveo je Johann Carl Friedrich Gauss, (1777–1855),

1809. godine.

5

Teorija kvadratičnih pogrešaka odnosi se na prave pogreške:

i daje vezu s prividnim pogreškama,

∑∑==

Δ−

=n

ii

n

ii xnn

1

2

1

2

1ε

ii xxx −=Δ

ii xx −=ε

Definiramo: Srednje kvadratično odstupanje jednog mjerenja, xi, u odnosu na pravu vrijednost, x, naziva se standardna devijacija jednog mjerenja, s, koja je definirana relacijom:

Pogreška s koristi se u relaciji za relativnu pogrešku, rp:

2

11

22 )(11 ∑∑==

−==n

ii

n

ii xx

nns ε

%100×=Xsrp

6

Definiramo:Kvadratično odstupanje aritmetičke sredine, , u odnosu na pravu vrijednost, x, naziva se: standardna devijacija aritmetičke sredine, σ, koja definirana je izrazom:

i koristi se za prikaz područja mjerene veličine:

X = ± σ

x

22 )( xx −=σ

x

Konačne vrijednosti za s i σ, nakon uvrštavanja veze između εi i Δxi jesu:

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−= ∑

=

n

iixx

ns

1

2

11

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= ∑

=

n

iixx

nn 1

2

)1(1σ

ns

=σ

7

Prikaz rezultata mjerenja

Mjerenu vrijednost x nalazimo u području:x

xnx1 xi

- σ + σ

%100×=xsrp

x2

relativna pogreška:

σ±= xx

Način na koji mjerimo fizikalne veličine može biti:

A direktno mjerene fizikalne veličine

B indirektno mjerene fizikalne veličine

C fizikalne veličine mjerene u nizu

8

samo za one veličine koje direktno(neposredno) mjerimo, računamo:

, σ i ste prikazujemo rezultate mjerenja na opisan način.

x

A... direktno mjerene veličine

A... direktno mjerene veličine

( - x10)2- x10X10

--------

( - x i)2- xixi

------

( - x1)2- x1x1

∆x2∆xxx

x

x

x

x

x

9

B...indirektno mjerene veličine, F = f(x,y)

Važno:x i y su direktno mjerene veličine(n mjerenja); x1,..xi..xn ; y1,..yi,..yn

Za x i y računamo , σx , sx , , σy isy , kao za slučaj A

x y

B...F = f(x, y)...nastavak

Srednja vrijednost: = f ( , ),

pri čemu simbol f opisuje jednadžbu za zavisno mjerenu veličinu.

Na primjer, volumen kvadra ovisan je o mjerenju veličina a, b i c na način:

V = a · b · cpa je srednja volumena jednaka:

F x y

cbaV ⋅⋅=

10

B...F(x, y)...nastavak

Pogrešku indirektno mjerene veličine, σF ,prikazujemo kao funkciju pogrešaka direktno mjerenih veličina, σF = f(σx , σy ) na slijedeći način:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=22

yxF yF

xF σσσ

B...F(x, y)...nastavak

*Izrazi:

su parcijalne (djelomične) derivacije zavisne veličine F(x, y) po x ili po y, što znači da u prvom članu deriviramo po x a u drugom po y; nezavisnim varijablama (parametrima)* Prikaz rezultata mjerenja je analogan prikazu direktno mjerenih veličina:

yFi

xF

∂∂

∂∂

FFF σ±= %100×=Fs

r Fp

11

C...Račun pogrešaka za fizikalne veličine mjerene u nizu

1. niz x1,1,.. x1,i, .. x1,n ⇒ , σ1, s1

j. niz xj,1,.. xj,i,.. xj,n ⇒ , σj, sj

n. niz xn,1,.. xn,i,.. xn,n ⇒ , σn, sn

Iz gornjih relacija uočavamo: račun pogrešaka izrađuje se za svaki niz posebno. Iz načina mjerenja zaključujemo o tome da li pogreške za nizove računamo direktno ili indirektno.

1x

nxjx

Opća srednja vrijednost (svih nizova) računa se pomoću faktora težine, pi :

Faktore težine pi za neki niz definiramo pomoću najveće standardne devijacije σmax= K i za zadani niz σi na slijedeći način:

pri čemu moramo uočiti da je faktor težine nekog niza pi to veći što je pogreška mjerenja σi tog niza manja.

ni

nniiuk ppp

xpxpxpX

............

1

11

++⋅+⋅+⋅

=

2

2

2

2max

iii

Kpσσ

σ==

C...Račun pogrešaka za fizikalne veličine mjerene u nizu

12

C...račun pogrešaka uz faktore težine, pi

Opću standardnu devijaciju definiramo pomoću faktora težine pi i najveće standardne devijacije, σmax:

Konačni prikaz rezultata mjerenja:

( )niuk ppp ......1

max

++=

σσ

ukXX σ±= %100×=Xsruk

Primjeri za račun pogrešaka(A, B, C)

13

Laboratorijske vježbe

1.Dinamometar i fizikalno njihalo

A) baždarenje dinamometra i određivanje nepoznate mase, F= k⋅Δx- iz nagiba pravca F= k ⋅Δx odrediti konstantu elastičnosti k, k = tg α- ne mjerimo pogreške

1.Dinamometar i fizikalno njihalo B) određivanje volumena tijela nepravilnog oblika (uzgon),-težine tijela u zraku GZr i u tekućini Gtekjednake su:

-razlike težina jednake su uzgonu, Vč ⋅ρtek⋅g, pa je traženi volumen čvrstog tijela jednak:

zrzr xkG Δ⋅= tektek xkG Δ⋅=

( )gxxkV

tek

tekzrč ⋅

Δ−Δ=

ρ

14

1.Dinamometar i fizikalno njihalo B) određivanje volumena tijela nepravilnog oblika (uzgon)

- za svaku tekućinu vršimo jedno mjerenje, pa na taj način dobivamo nezavisne vrijednosti za volumen tijela, mjerenje pogrešaka: A.

1.Dinamometar i fizikalno njihalo

C) Određivanje ubrzanja slobodnog pada, g, fizikalnim njihalom

Računamo pogreške za gj mjerene u nizovima j = 1...n, n=5;- način mjerenja pogrešaka, C: mjerenje fizikalnih veličina u nizu, pri čemu svaki niz ima svoj faktor težine, pj

15

Vježba 1C)...

Izraz za gj bilo kojeg niza dobijemo iz relacije zaperiodu njihala svakog niza:

Iz svakog niz j računamo srednju vrijednost za gj i standardnu devijaciju za taj niz:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

j

jj g

lT π2 22

2

2

44 −⋅⋅=

⋅= jj

j

jj Tl

Tl

g ππ

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

= Tjj

jgj T

gσσ2

24

j

jj T

lg

⋅=

π

Vježba 1C)...

Standardnu devijaciju za gj računamo pomoću derivacije po Tj:

sređeno:

3

28

ii

i

Tl

Tg ⋅

−=∂∂ π

2

24

j

jj T

lg

⋅=

π ( )32 24 −⋅−⋅=∂∂

jjj

j TlTg

π

16

Vježba 1C)...

izraz uvrštavamo u standardnu devijacije za g: :

i dobivamo:

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∂∂

= Tii

igi T

gσσ

Tii

igi T

lσ

πσ ⋅

⋅= 3

28

Vježba 1C)...

Konačne vrijednosti za svaki niz prikazujemo:

gjjj gg σ±=

j

gjgj g

sr =

17

Podsjetimo se: duljina li njihala je konstantna za svaki niz pojedinačno.

Prikazani proračun pogrešaka izrađujemo za svaki niz i na kraju prikazujemo opći rezultat pomoću faktora težine.

2.Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina

A) određivanje gustoće tekućine; jedno mjerenje za svaku tekućinu.

- ne mjerimo pogreške;Gustoća tekućine je dana izrazom:

t

tt VM

=ρ

v

tvt MM

⋅= ρρ:slijediVVradi vt =

18

2. Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina; B) određivanje gustoće krutih tijela

Nakon parcijalnih derivacija, σV možemo prikazati izrazom:

cbaV ⋅⋅=

,222

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∂∂

= cbaV cV

bV

aV σσσσ

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

222

cbaV cba

Vσσσ

σ

2. Određivanje gustoće krutih tijela i tekućina

B) određivanje gustoće krutih tijela- srednja vrijednost gustoće:

- standardna devijacija gustoće:

Vm

=ρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∂∂

=2

VVσρσ ρ 2

1VV

−=∂∂ρ, gdje je

pa je:2VVσσρ =

19

3.Određivanje specifičnog toplinskog kapaciteta metala

U gornjem izrazu su mm, mv, cv i tm konstante.Mjerimo samo tv (početnu temperaturu vode) i temperaturu smjese. Vršimo 5 neovisnih mjerenja i računamo pripadne pogreške.

)()(

TtmtTcmc

mm

vvvm −⋅

−⋅=

5A) Određivanje kinematičkog koeficijenta viskoznosti

Jednadžba za kinematički koeficijent viskoznosti:

-direktno mjerimo vrijeme istjecanja tekućine, t, i računamo , σt, st, rp

1261057067,4 −⋅−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= sm

ttυ

t

20

5A) Određivanje kinematičkog koeficijenta viskoznosti

-pogreška συ= f(σt):

- i konačni izraz za συ je:

62

2

1057067,4, −⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅∂∂

=tt

jegdjet t

σσυσυ

1262 1057067,4 −− ⋅⋅⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += sm

t tσσυ

6. Određivanje konstante površinske napetosti

Jednadžba za kontantu površinske napetosti:

- a1, ρ1 i ρ2 su konstante, a direktno mjerimo n1 i n2 , pa je pogreška za veličinu a2 ovisna o pogreškama σn1 i σn2 .Izvedite pogrešku

mN

nnaa

21

1212 ⋅

⋅⋅=ρρ

2aσ

21

Vrste kvadratičnih pogrešaka u pojedinim vježbama

Ba) Ab) B

AAa) -b) B

a) -b) Ac) C

654321

- ne mjerimo pogreškeA direktno mjerene fizikalne veličineB indirektno mjerene fizikalne veličineC fizikalne veličine mjerene u n - nizova