1

Dinamika

- osnovni zakoni gibanja

(Newtonovi aksiomi)

- gibanja duž ravne podloge i kosine

- sila trenja

- vrste sila

Sir Isaac Newton (1642. – 1727.) bySir Godfrey Kneller, painted in 1689.

Osnovni zakoni gibanja: Newtonovi aksiomi

2

Prvi Newtonov aksiom:

Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja dužpravca sve dok ga neka vanjska sila ne prisili da to stanje promijeni.

- Svojstvo tijela po kojem ono ustraje biti u stanju u kojem je zatečeno (stanje mirovanja ili gibanja) je tromost, ustrajnost ili inercija. Ovaj zakon stoga nazivamo i zakonom inercije ili tromosti.

- napomena: ovaj zakon ne definira mjeru tromosti.

v = konstantav = 0, tijelo miruje

Primjer 1: može li pas sa stola povući tortu, a da torta ostane na stolu?

Primjer 2: što se događa s putnicima koji nisu vezani pojasom kad auto naglo zakoči?

Inercija tijela u svakodnevnom životu...

...tko (ili što) u ovim slučajevima želi ostati u stanju mirovanja ili jednolikog gibanja duž pravca?

3

FN

G

0=∑i

iFr

0=+= Nuk FGFrrr

U slučaju na slici tijelo je u stanju mirovanja, budući da je suma sila na tijelo jednaka nuli; naglasimo da u ovom zakonu još nije definirana sila.

Iz iskustva znamo da tijelo miruje na nepomičnoj podlozi (stolu), budući da na njega istodobno djeluju težina, G, i otpor podloge, FN, koje su jednake i suprotnog su smjera te se međusobno se poništavaju.

Drugi Newtonov zakonU drugom Newtonovom aksiomu definiraju se uvjeti u kojima se mijenja stanje mirovanja ili jednolikog gibanja duž pravca.

Promjena brzine tijela tijekom vremena, Δv/ Δt (akceleracija),uzrokovana je djelovanjem sile, F, na tijelo. Ako je promjena brzine konstantna, tada je i sila djelovanja konstantna. Može se pokazati, da su sila i akceleracija proporcionalne veličine:

ili

faktor proporcionalnosti je masa, te se gornji izraz može prikazati jednadžbom:

Masa u ovom izrazu je troma masa; ona predstavlja svojstvo tijela po kojem se ono (tijelo) odupire gibanju. Troma masa, mtr, može se mjeriti pomoću sile djelovanja i pripadne akceleracije.

aF ∝tvF

ΔΔ

∝

amF tr ⋅=

4

mjerenje mase i težine:

masa: - mjerenjem tromosti Poznatom silom djelujemo na tijelo i mjerimo akceleraciju. Tada ćemo masu izmjeriti kao mjeru tromosti tijela iz II Newtonovog aksioma: mtroma=F/a

- vagom Na vagi se uspoređuju težine tijela uz uvjet istih gravitacija jednog i

drugog tijela, što je uvjetovano krakovima male udaljenosti, te je:G1 = G2 ⇒ m1 · g = m2 · g ⇒ m1 = m2

težina: - dinamometromSjetimo se zakona o djelovanju sile na oprugu: F = k·Δx, ili G = k·Δx

TROMA I TEŠKA MASA, mtr i mgr

Drugi Newtonov zakon dakle, definira tromu masu kao mjeru tromosti tijela, prikazujući je u općem obliku jednadžbe sile,

F = m ⋅aNaglasimo: masa je jedno od osnovnih svojstava tvari i jedan od glavnih pojmova u klasičnoj fizici i mehanici.

U poglavlju o osnovnim vrstama sila definirana je i teška masa u objašnjenju gravitacijske sile. U izrazu za gravitacijsku silu teška masa predstavlja ono svojstvo koje je uzrokom gravitacijskog privlačenja ili gravitacijskog polja. Zato se teška masa naziva igravitacijskom masom, odnosno “gravitacijskim nabojem”.

Eksperimenti pokazuju, da je omjer teške i trome mase uvijek isti, te se te dvije mase po veličini ne mogu razlikovati. Radi toga ćemo i jednu i drugu masu obilježavati s istim znakom, m.

5

mtr

FN

G

Fv Fva

mtr

mgr,1

mgr,2

r

amF trrr⋅=

22,1,,

rmm

GF grgrg rr ⋅=

Primjere ovog zakona susrećemo u svakodnevnom životu: sudari, reaktivno gibanje (raketa, mlazni avion), djelovanje tijela na podlogu; u sudara možemo prikazati sile akcije i reakcije:

F21

-F12

m1, v1 m2, v2 m2, v´2m1, v´1

tijela prije sudaratijela nakon sudara

sudar

6

Treći Newtonov zakon

Treći Newtonov zakon definira međudjelovanje dvaju tijela. Ako tijelo mase m1 djeluje na tijelo mase m2 silom F12, tada i tijelo mase m2 djeluje na tijelo mase m1 jednakom silom po iznosu, ali suprotnog smjera F21:

2112 FFrr

−=

Treći zakon mehanike Newton je izrazio na način: svakom djelovanju (akciji) uvijek je suprotno protudjelovanje (reakcija). Djelovanja dvaju tijela jednoga na drugo uvijek su jednaka i suprotnog smjera.

slika a slika b

Mjerna jedinica mase je 1 kilogram (kg), koja je ujedno jedna od osnovnih mjernih jedinica. Međunarodno prihvaćen uzorak tijela mase 1 kg zove se etalon (prauteg), koji se čuva u Muzeju utega i mjera u Sevresu pokraj Pariza , slika a.

Osnovni etalon je valjak sačinjen od smjese platine i iridija slika b; kopije etalona nalaze se u Uredima za mjere i utege (standarde) dužčitavog svijeta.

1 kilogram

7

Gibanje duž ravne podloge

Na tijelo djeluju sile: težina, G, i vanjska sila čovjeka, Fv, pod nekim kutom, α, “prema gore”.

Rezultantna sila jednaka je:

FR = Fv, x - FTR.

U ovom primjeru važno je naglasiti da je sila trenja uzrokovana dvjema silama koje su okomite na podlogu; težina tijela, G, i komponenta vanjske sile na tom istom pravcu, Fv, ysuprotnog smjera (slika). Radi toga je sila, FTR, trenja jednaka:

FR

Fv, y

G

αFv, xFTR

yv

n

ii FGF

rrr−=∑

=⊥

1,

yv

n

iiTR FGFF

rrr−=⋅= ∑

=⊥

1,μ

Gibanje duž ravne podloge

G

α

Na tijelo djeluju sile: težina, G, i vanjska sila čovjeka, Fv, pod nekim kutom, α, “prema dolje”.

Rezultantna sila jednaka je:

FR = Fv, x - FTR.

U ovom primjeru važno je naglasiti da je sila trenja uzrokovana dvjema silama koje su okomite na podlogu; težina tijela, G, i komponenta vanjske sile na tom istom pravcu, Fv, y i istog smjera (slika) kao i vektor težine, G. Radi toga je sila, FTR, trenja jednaka:

yv

n

iiTR FGFF

rrr+=⋅= ∑

=⊥

1,μ

8

Kosina…1Na tijelo djeluje samo težina tijela, G.

U smjeru kosine djeluje komponenta težine G|| koja uvjetuje gibanje, te okomito na kosinu druga komponenta sile G⊥ koja je uravnotežena otporom podloge (kosine), FN.

Rezultantna sila koja uvjetuje gibanje tijela jednaka je:FR= G||

gdje je G|| = G⋅sin α i FR=m ⋅ a,

te uvrštavanjem sila u gornju jednadžbu i kraćenjem sa masom tijela, m, dobivamo akceleraciju tijela:aR=g sin α .

Na taj način saznajemo da je gibanje tijela jednoliko ubrzano, što smo i pretpostavili budući da je sila na tijelo konstantna; II Newtonov aksiom.

FN

suk

vuk =?

G||

α

hG⊥

G

Kosina…2Na tijelo djeluje težina tijela, G i sila trenja, FTR.

U smjeru kosine i opet djeluje komponenta težine G|| a suprotno toj sili djeluje sila trenja, FTR.

Sila trenja je proporcionalna okomitoj sili na podlogu (ili silama, ako ih ima više) na način:

FTR= μ⋅G⊥=, μ⋅ G⋅cos α,

gdje je konstanta proporcionalnosti, μ,jednaka koeficijentu trenja.

Rezultantna sila koja uvjetuje gibanje tijela je u ovom slučaju je:

FR= G|| - FTR.

Uvrštavanjem vrijednosti sila u gornju jednadžbu dobivamo izraz: FR= G⋅sin α - μ⋅ G⋅cos α,

iz kojeg opet kraćenjem sa masom tijela, m, dobivamo akceleraciju tijela:aR= g⋅sin α - μ⋅ g⋅cos α=g(sin α -μ⋅ cos α).

FRsuk

vuk =?

G||

α

hG⊥

G

9

Kosina..nastavak

U oba slučaja, kosina…1 i kosina…2 tijelo vrši jednoliko ubrzano gibanje duž pravca kosine.

Kada će se tijelo u slučaju kosina..2 gibati a) jednoliko duž kosineb) mirovati ?

Tijelo mora biti u ravnoteži (stanju mirovanja ili jednolikog gibanja duž pravca kosine; II Newtonov aksiom) što znači da zbroj sila mora biti jednak nuli. Ravnoteža je moguća samo u slučaju kosina…2.

Zadaci iz kosine; provjera znanja o kosini.

osnovne vrste sila

(fundamental forces)

10

1. gravitacijska sila2. elektromagnetska sila

- ove dvije sile djeluju na velikim udaljenostima i njihove zakonitosti su utemeljene već tokom 17-tog i 18-tog stoljeća.

- do početka 20-tog stoljeća jedine poznate osnovne sile.

3. sila jakih interakcija 4. sila slabih interakcija

- sile koje se najčešće javljaju u jezgri atoma i opisuju međudjelovanje nukleona (protona i neutrona i njihove raspade), te se nazivaju i nuklearnim silama.

1. gravitacijska sila

Sila koja je uzrokovana masom (teškom, gravitacijskom); djeluje između dva tijela mase m1 i m2 koja se nalaze na udaljenosti r; obrnuto je proporcionalna s kvadratom međusobne udaljenosti. Ova sila djeluje duž pravca koji spaja centre masa obiju masa.

Gravitacijska sila je najslabija od četiri osnovne sile i uvijek je privlačna. Iako je ova sila najslabija, ona je dominantna sila u svemiru.

Konstanta G u izrazu za gravitacijsku silu je opća gravitacijska konstanta koja iznosi: G = 6,67·10-11N m2 kg-2

221

rmmGFg⋅

=

11

Isaac Newton

(1643. – 1727.)

Prvu kvantitativnu teoriju gravitacijske sile I. Newton je prikazao na temelju opažanja i ispitivanja u svojoj knjizi Principia, 1687. godine.

gravitacija…

ubrzanje uzrokovano gravitacijskim djelovanjem Zemlje iznosi 9,81 m/s2…..u kojim uvjetima?

Ubrzanja (gravitacije) raznih tijela u svemiru između sebe se jako razlikuju.

12

2. elektromagnetska sila

Sila koja djeluje između tijela nabijenih električnim nabojima, Q1 i Q2 , koja se nalaze na udaljenosti r. Ovisnost o međusobnoj udaljenosti je ista kao i kod gravitacijske sile; sila je obrnuto proporcionalna s kvadratom udaljenosti.

Ova sila može biti privlačna i odbojna, ovisno o vrsti naboja (pozitivnih ili negativnih).

k je kulonska konstanta koja iznosi: k = 9·10 9 N m2 C -2

221

rQQkFg⋅

±=

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806)Kvantitativna ispitivanja sila između električki nabijenih tijela vršena su između 1777-1785. godine na torzionoj vagi, te je 1785. godineprikazan konačan oblik zakona.

James Clerk Maxwell(1831-1879)ujedinio je koncept elektriciteta i magnetizmau teoriji elektromagnetizma, 1865. godine, po kojoj je medij prijenosa električne i magnetske sile elektromagnetsko polje.

13

3. Nuklearna sila jakih interakcija (strong nuclear force)

• najjača osnovna sila

• sila između nukleona, (protona i neutrona); p-p, n-n, p-n

• djelovanje na kratkim udaljenostima, r ≈10-15 - 10-14 m, što je veličina jezgre atoma

4. Nuklearna sila slabih interakcija (weak nuclear force)

υ++→ −+ 10

11

01 epn

υ++→ ++ 10

01

11 enp

• sila koja uzrokuje raspad protona ili neutrona u jezgri atoma

• 10-13 puta je slabija od elektromagnetske sile

• djeluje na udaljenostima 10-18 - 10-16 m• tokom raspada iz jezgre izlaze pozitroni

(e-)ili elektroni (e+)

• raspadom protona oslobađa se energija u obliku neutrina , υ, dok se raspadom neutrona oslobađa antineutrino, .υ

14

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/forces/funfor.html#c1