1

1

Dinamika materijalne toke

D´Alembertov principZakoni dinamike

Oscilacije

13. dio:

2

Newtonovi aksiomi:

• I. aksiom: Zakon inercije

• II. aksiom: Zakon gibanja

• III. aksiom: Zakon akcije i reakcije

(ponavljanje iz statike)

3

I. Aksiom: Zakon inercije

Materijalno tijelo ili toka bez djelovanja vanjskih sila zadržava stanje mirovanja ili jednolikog pravocrtnog gibanja sve dok ga vanjske sile ne prisile da takvo stanje promijeni.

Gibanje materijalnog tijela bez djelovanja vanjskih sila naziva se gibanje po inerciji. 4

II. Aksiom: Osnovni zakon dinamike

Produkt mase i ubrzanja materijalnog tijela ili toke

kojeg tijelo (toka) dobiva djelovanjem sile jednak je

po intenzitetu toj sili. Pravac i smjer ubrzanja

podudara se s pravcem i smjerom sile.

→→

→

→⋅=⋅=

⋅= am

dtv d

mdt

vm dF

5

III. Aksiom: Zakon akcije i reakcije

Dva materijalna tijela (toke) djeluju jedan na drugi silama istih intenziteta, na istom pravcu djelovanja, ali suprotnog smjera.

6

Zadaci dinamike:

Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne toke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu toku (F=?; D´Alembertov princip)

Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu toku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne toke [s=f(t) =?].

2

7

D’Alembertov principD’Alembert je uveo u mehaniku pojam

sile inercije Fin t.j. sile kojom se tijelo

odupire promjeni gibanja.

8

Sila inercije

jednaka je produktu mase m i ubrzanja

i usmjerena je u suprotnom smjeru od

smjera ubrzanja a materijalne toke.

)a(mF in→→

−⋅=

inF

→a

9

( ) 0amam

0FF

)a(mF

aksiom) Newtonov (II. amF

in

in

=−⋅+⋅

=+

−⋅=

⋅=

→→

→→

→→

→→

10

D’Alembertov princip

• Dodamo li nekom sustavu sila i silu inerciju, sustav e biti u ravnoteži.

• Time zadatak dinamike možemo rješavati pomou statikih uvjeta ravnoteže.

11

D’Alembertov principSlobodna toka:

• Vanjske sile koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silom inercije.

Neslobodna toka:

• Vanjske sile (aktivne i reaktivne-sile veza ) koje djeluju na materijalnu toku u ravnoteži su sa silama inercije.

0FF in =+→→

0FRF inreakakc =++

12

Opi zakoni dinamike materijalne toke:

• Zakon o promjeni koliine gibanja

• Zakon o promjeni kinetike energije

• Zakon o ouvanju mehanike energije

• Zakon o promjeni momenta koliine gibanja

3

13

Opi zakoni dinamike materijalne toke:

1. Zakon o promjeni koliine gibanja

Promjena koliine gibanja jednaka jeimpulsu sile.

tFIvmvm 01 ⋅==⋅−⋅→→→→

14

Izvod:

? vmvm

? vmvm

01

01

=⋅−⋅

+⋅=⋅→→

→→

15

=⋅−⋅ ⋅=

⋅=⋅−⋅⋅=

⋅ =−==⋅

⋅ ==⋅

=⋅

→→→→→

→→→→→

→→→→→→

→→→→

→→

i01

t

0i

1

0

t

0i01i

t

0i0

1i

t

0i

10i

i

Ivmvm dtFKd

dtFvmvm dtFKd

dtFKK FdtKd

dt)vm( d

dtF K Fdt

vdm

Fam

16

Opi zakoni dinamike materijalne toke:

2. Zakon o promjeni kinetike energije

Promjena kinetike energije jednaka je radu sila.

→→⋅==⋅−⋅

sFA2vm

2vm 2

021

17

Izvod: Pravac sile F i puta s se podudaraju

→→

=⋅ iFam

1 cos 0 =α→=α

18

dsFvdvm

Fvdsdv

m

sFvm21

vm21

Fdtds

dsdv

m

sF2v

m Fdtvd

m

dsFdvvm Fam

i

i

20

21i

si

vv

2

i

s

0i

v

vi

0

1

0

1

0

⋅=⋅⋅

=⋅⋅

⋅=⋅−⋅=⋅⋅

⋅=⋅=⋅

⋅ =⋅⋅=⋅

→→

→→

4

19

sFEEE AE 0k1kkk ⋅=−=∆=∆

sRsFEEE t0k1kk ⋅−⋅=−=∆20

Opi zakoni dinamike materijalne toke:

3. Zakon o ouvanju mehanike energije

Suma kinetike i potencijalne energije pri gibanjumaterijalne toke pod djelovanje konzervativnih sila

(bez trenja) je konstantna.

konstantan E E pk =+

0

20

1

21 hgm

2vm

hgm 2vm ⋅⋅+⋅=⋅⋅+⋅

21

2

vm

2

vm0EEE

22

kp00 ⋅

=⋅

+=+=

vm 21

0 hgmEEE 20kp ⋅=+⋅⋅=+=

2vm

2vm

sgmEEE20

2s

kp⋅=⋅+⋅⋅=+=

Iz kinematike vertikalan hitac: g

vh

⋅=

2

20

22

Opi zakoni dinamike materijalne toke:

4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja

Promjena momenta koliine gibanja u vremenu

obzirom na neku toku jednaka je statikom

momentu sile obzirom na tu istu toku.

→→

→→

→→

×=

⋅×= Fr

dt

vmr d M

dtLd

OO

23

→→→⋅×= vmrLO

24

4. Zakon o promjeni momenta koliine gibanja

Primjer 1: Gibanje planeta oko Sunca i sila kojom Sunce privlai planete

• Putanja planeta je elipsa a Sunce se nalazi u fokusu elipse – to je gibanje pod djelovanjem centralne sile kod koje pravac sile za cijelo vrijeme gibanja prolazi kroz jednu te istu toku O.

5

25Keplerov zakon 26

.konstvdvdvd.konstvd

.konstmvd

.konstsinmvrL

.konstvmrL

0dt

vmrd

dtLd

0FrM

BBAA

0

0

O

O

=⋅=⋅=⋅=⋅

=⋅=α⋅⋅=

=⋅×=

=

⋅×=

=×=

→→→

→→→

→→→

Toka O – Sunce

Toka M – Zemlja

masa Zemlje m = konstanta

27

Površine moraju biti jednake !

brzina najveav

brzina najmanja- v

N

A

−

.konstvd =⋅

28

Primjer 2: Prandtlov stolac

• Piruete kod klizanja.konstL

dtLd O ==

→→

0

konst. v mrL =⋅=

konst. v r =⋅

29

Primjer 3:

• Kuglica Mprivezana na nit koja se namotava na tanki vertikalni štap.

100 mvr mvr 1 ⋅=⋅

30

Primjer 4: Matematiko njihalo

lg

0lg

sin kut mali za 0sinlg

mgsin l dtd

l m

dinamike)zakon (4. MdtLd

mgsin l mgd Mdtd

l mdtd

lmlL

dtd

lr v;lr

Fr M vmrL

2

22

OO

O

2O

OO

=ω→=ϕ⋅+ϕ

ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ

⋅ϕ−=ϕ

=

⋅ϕ−=⋅−=

ϕ=ϕ⋅=

ϕ=ω⋅==

×=×=

••

••

→→

→→→→→→

6

31

Diferencijalna jednadžba (oscilacijskog) gibanja matematikog njihala:

0 2 =ϕ⋅ω+ϕ••

ti tr2

titr1

21

22

rtrt2rt2

2

rt2

ee ee

i r ir :Rješenja 0r

e:/ 0eer

0

er

21 ⋅ω−⋅ω

••

••

==ϕ==ϕ

⋅ω−=⋅ω==ω+

=⋅ω+⋅

=ϕ⋅ω+ϕ

⋅=ϕ

Rješenje u obliku:rte=ϕ

32

Ope rješenje diferencijalne jednadžbe sastoji se od zbrojapojedinanih rješenja pomnoženih konstantama:

Pošto je

te uz

Dobivamo ope rješenje diferencijalne jednadžbe matematikognjihala:

Konstante A i B odreujemo iz poetnih uvjeta gibanja.

ti 2

ti12211 eCeCCC ⋅ω−⋅ω ⋅+⋅=ϕ⋅+ϕ⋅=ϕ

tsintcose ti ω±ω=⋅ω±

tcosBtsinA ω⋅+ω⋅=ϕ

2121 CCB i CCA +=−=

33

Gibanje materijalne toke

a) Krivocrtno gibanje

b) Pravocrtno gibanje

c) Oscilacijsko gibanje

34

Harmonijsko gibanje:

Kulisni mehanizamKinematika:

Poluga OA vezana je zaosovinu u toci O i rotirakonstantnom kutnombrzinom ω.

Toka B mehanizmakulise kree se gore -izmeu toaka D-O-C

35

Harmonijsko gibanje:

( )tsinrx +⋅⋅=α = 0

36

OscilacijeOsciliranje ili titranje je esta pojava u prirodi.

areometar

7

37

Oscilacijska gibanja materijalne toke okopoložaja stabilne ravnoteže spadaju upravocrtna i periodina gibanja.

Razlikujemo:1. Slobodne oscilacije2. Prigušene oscilacije3. Prisilne oscilacije sa i bez otpora

38

Diferencijalna jednadžba oscilacija:

( )−−⋅−⋅

−⋅

Ω

•

••

tFx k xb

xm

( )tFxkxbxm Ω

•••=⋅+⋅+⋅

sila inercije

sila prigušenja

elastina sila opruge (restitucijska)

sila prisile – poremeajna sila

39

Harmonijske oscilacije

• Tijelo mase m vezano je pomou opruge konstantne krutosti k, pomaknuto iz položaja statike ravnoteže i zatim osloboeno, giba se oscilatorno.

• Harmonijske oscilacije prouzrokuje restitucijska sila elastinog pera Fr koja vraa tijelo u ravnotežni položaj.

40

Slobodne harmonijske oscilacije

• Restitucijska sila elastinog pera Fr

Fr = k . x

k – krutost opruge (N/m)

Krutost opruge jednaka je sili koja uzrokuje jedinini pomak.

za jedinini pomak x = 1 k = Fr

41 42

Σ Fx = 0

G – Fr = 0

m.g – k.xst = 0

m.g = k.xst

Fr = k . xst

= m . g

kgm

xst⋅=

x st

x

0

k k

G

Ravnoteža - statika

8

43

D ´Alembertov princip

x st

x

0

k k k

G

G

FR Restitucijska sila:

Fr = k .(xst + x)

dtxd

mamF2

in ⋅=⋅=

a

Sila inercije:

Fr

x

44

( )xxkgmdt

xdm

FGF

0FFG

0F

st2

2

rin

inr

x

+−⋅=⋅

−==−−

=

45

0xx

0xmk

dtxd

xkgmxkdt

xdm

2

2

2

st2

2

=⋅ω−

=⋅−

⋅−⋅=⋅−⋅

••

kgm

xst⋅=

46

Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:

0xx 2 =⋅ω−⋅⋅

mk2 =ω

• Rješenje diferencijalne jednadžbe:

t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=

Kružna frekvencija slobodnih oscilacija:

47

Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:

0xx 2 =⋅ω−⋅⋅

• Rješenje diferencijalne jednadžbe:

cosRA ⋅= sinRB ⋅=

t cos Bt sinAx ω⋅+ω⋅=

st

st

xg

mx

gm

mk =

⋅

==ω

48

Diferencijalna jednadžba slobodnih oscilacija:

0xx 2 =⋅ω−⋅⋅

• Rješenje diferencijalne jednadžbe:

( )α+ω⋅= t sinRx

stxg

mk ==ω

9

49

Slobodne oscilacije

( )α+ω⋅= t sinRx

50

Za poetne uvjete t =0 - poetni pomak x0 i - poetnu brzinu v0

• Amplituda slobodnih oscilacija:

• Poetna faza slobodnih oscilacija:

2

202

0

vxR +=

0

0

vx

tg⋅=

51

• Period slobodnih oscilacija:

• Broj slobodnih oscilacija u jednoj sekundi - frekvencija:

[ ]

[ ]s g

x2T

s

2T

st⋅π⋅=

π⋅=

[ ]Hzs1 2

T1

f =π

ω==

52

Karakteristike slobodnih harmonijskih oscilacija

a) amplituda R i poetna faza oscilacija ααααzavise od poetnih uvjeta gibanja

b) frekvencija oscilacija f i period oscilacija Tne zavise od poetnih uvjeta gibanja.

• Najznaajnija karakteristika oscilacijskog gibanja je kružna frekvencija ωωωω – vlastita frekvencija.

53

Paralelni spoj Serijski spoj

Ekvivalentna veza:

54

Mehaniki oscilator

može imati jedan ili više stupnjeva slobode.

• Broj stupnjeva slobode oznaava broj meusobno neovisnih koordinata mase mikoje su potrebne za opisivanje gibanja.

10

55

Mehaniki oscilatori- s jednim - s dva

stupnjem slobode: stupnja slobode:

56

Vibrograf

• Ureaj za mjerenje vertikalnih oscilacija

57

Geigerov vibrograf• Instrument za mjerenje vertikalnih i

horizontalnih oscilacija

58

ϕ≅ϕϕ=ϕ⋅+ϕ

⋅ϕ−=ϕ

=

⋅ϕ−=⋅−=

ϕ=ϕ⋅=

ϕ=ω⋅==

×=×=

••

→→

→→→→→→

sin kut mali za 0sinlg

mgsin l dtd

l m

dinamike)zakon (4. MdtLd

mgsin l mgd Mdtd

l mdtd

lmlL

dtd

lr v;lr

Fr M vmrL

2

22

OO

O

2O

OO

Matematiko njihalo

59

Matematiko njihalo

lg

21

T1

f

gl

22

T

0

lg

0lg

2

π==

π=ωπ=

=ϕ⋅ω+ϕ

=ω→=ϕ⋅+ϕ

••

••

60

Prigušene oscilacije

Slobodne oscilacije

11

61

Prigušene oscilacije

62

Prigušene oscilacije

• Sila otpora:

• Diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija

xbvbFw

⋅−=⋅−=

0xx2x 2 =⋅+⋅⋅+

mb

2 =⋅

63

Prigušene oscilacije

( )1t

t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−

<

>

slabo prigušenja

jako prigušenja

mb

2 =⋅

Rješenje:

64

Prigušene oscilacije

22

~ −=

( )1t

t~sineRx +⋅⋅⋅= ⋅−

Rješenje:

Period:22

2~

2T~

−π⋅=π⋅=

Kružna frekvencija:

Prigušenje poveava period oscilacija TT~ >

65

Prigušene oscilacije[ ]mx

[ ]st 0

R

R-

T~

t-eRx ⋅⋅=

t-eRx ⋅⋅−=

01 =( ) t~sineRx 1

t- +⋅⋅⋅= ⋅

22

~ −=

66

Vrlo jako prigušenje: δ >> ω

- Gibanje nema karakter oscilacija

12

67

Prigušene oscilacije• Viskozni prigušiva - amortizer

68

Prisilne oscilacije

- bez otpora- s otporom

• Sila prisile:

t sinFF 0⋅=

69

Prisilne oscilacije bez otpora

• Sila prisile

• Diferencijalna jednadžba (nehomogena):

t sinFF 0⋅=

tsinhxx 2 ⋅=⋅+

mF

h 0=70

Prisilne oscilacije bez otpora

• Rješenje:

( ) tsin

htsinRx

xxx

22

.parthom.

⋅−

++⋅⋅=

+=

slobodne oscilacije prisilne oscilacije

71

Amplituda prisilnih oscilacija

• Rezonanca:

1

x

hC

2

2st

22−

=−

=

ω≅Ω72

Prisilne oscilacije bez otpora

[ ]m s

[ ]st 0

x [m]

t [s]

13

73

• Ako se sustav sa sposobnošu osciliranja – oscilatoruje frekvencijom ΩΩΩΩ koja odgovara vlastitoj frekvenciji oscilatora ωωωω, javljaju se velike amplitude koje dovode do razaranja oscilatora (prisilne oscilacije, pojava rezonance – Tacoma bridge).

74

Prisilne oscilacijes otporom - opi sluaj• Vlastite oscilacije se vrlo brzo

prigušuju pa e nakon nekog vremena preostati samo prisilne oscilacije u užem smislu.

75

Diferencijalna jednadžba oscilacija:

( )−−⋅−⋅

−⋅

Ω

•

••

tFx k xb

xm

( )tFxkxbxm Ω

•••=⋅+⋅+⋅

sila inercije

sila prigušenja

elastina sila opruge (restitucijska)

sila prisile – poremeajna sila 76

Prisilne oscilacije s otporom

t [s]

x [m]

77

Primjer 1: Slobodne oscilacijeOpruga oscilira jer je optereena trenutno silom od 0,12 kN. Odredite zakon slobodnih oscilacija ako krutost opruge iznosi 2000 N/m.

Zadano:G = 0,12 kNk = 2000 N/m.

0x v0t

x x0t

0

st0

===

==•

( )

t sinBt cosAvt cosBt sinAx

t sinRx

ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅=ω⋅+ω⋅=

α+ω⋅=

78

x st

0

k

G

x

( )

Hz 08,249,01

T1

f

s 49,08,12

22T

t 8,12 cos60,0 x

(1/s) 8,12120

9,812000G

gkmk

0A 0B1A0 0x v0t

0,06 B 1B0A 60,0 0,06 x x0t

m 06,0NmN

2000120

kG

x

tsinBtcosAxv

tcosBtsinAx

0

st0

st

===

=π=ωπ=

⋅⋅−=

=⋅=⋅==ω

=→⋅ω⋅−⋅ω⋅====

−=→⋅+⋅=−−===

=

==

ω⋅ω⋅−ω⋅ω⋅==

ω⋅+ω⋅=

•

•

14

79

• Primjer 2:Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 2 sekunde i t = 4 sekunde, ako amplituda oscilacija iznosi 50 cm a period osciliranja je 8 sekundi.Zadano: a = 0

R = 50 cm = 0,5 mT = 8 s

• za t = 4 s x = ?; v = ?; a = ? 80

( )

222

2

m/s 4

5,0 24

sin4

5,0 x

m/s 0 24

cos4

5,0x

m 0,5 24

sin5,0x s 2t

t4

sin4

5,0 x

t4

cos4

5,0x

t4

sin5,0x

48

2T2

2

T tsinRx

π⋅−=

⋅π⋅

π⋅−=

=

⋅π⋅π⋅=

=

⋅π⋅==

⋅π⋅

π⋅−=

⋅π⋅π⋅=

⋅π⋅=

π=π=π=ω→ωπ=α+⋅ω⋅=

••

•

••

•

81

( )

004

5,0 44

sin4

5,0 x

m/s 8

14

5,044

cos4

5,0x

005,044

sin5,0x s 4 t

22

=⋅

π⋅−=

⋅π⋅

π⋅−=

π−=−π⋅=

⋅π⋅π⋅=

=⋅=

⋅π⋅==

••

•

82t

2sin

2xa

t2

cosxv

2 π⋅π−==

π⋅π==

••

•

• Primjer 3:Amplituda slobodnih harmonijskih oscilacija iznosi 2 metra, a period 4 sekunde bez poetne faze. Izraunajte za vrijeme t = 2 sekunde trenutne vrijednosti pomaka, brzine i ubrzanja.( )

t2

sin2x

24

2T

0 4T 2Rt sinRx

π⋅=

π=ω→=ωπ=

=α==α+ω⋅=

0a-πv0x2t

83

Primjer 4: Odredite trenutne vrijednosti pomaka, brzina i ubrzanja slobodnih harmonijskih oscilacija bez poetne faze za t = 1 sekunda, ako amplituda oscilacija iznosi 30 cm a period osciliranja 6 sekundi.