TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11 H C KÌ 1 I S & GI I

VietJack.com Facebook: Học Cùng VietJack

Học trực tuyến: khoahoc.vietjack.com Youtube: VietJack TV Official

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11

HỌC KÌ 1

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH

CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Hàm số y = sinx

- TXĐ: D =R và 1 sinx 1, x− R

- Là hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2

- Hàm số đồng biến trên k2 ; k22 2

− + +

- Hàm số nghịch biến trên 3

k2 ; k22 2

+ +

2. Hàm số cos=y x

- TXĐ: D =R và 1 cosx 1, x− R

- Hàm số chẵn

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là 2

- Hàm số đồng biến trên ( )k2 ;k2−+

- Hàm số nghịch biến trên ( )k2 ; k2 +



3. Hàm số tan=y x

- TXĐ: D \ k ,k2

= +

R Z

- Hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là

- Hàm số đồng biến trên k ; k2 2

− + +

- Có các đường tiệm cận x k2

= +

4. Hàm số cot=y x

- TXĐ: D \ k ,k= R Z

- Hàm số lẻ

- Là hàm số tuần hoàn chu kì là

- Hàm số nghịch biến trong ( )k ; k +



- Có các đường tiệm cận x k=

II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

+) Công thức lượng giác cơ bản:

tan = sin

cos

;

coscot

sin

=

2 2sin cos 1 + =

2

2

11 tan , k ,k

cos 2

+ = +

2

2

11 cot , k , k

sin+ =

ktan .cot 1, ,k .

2

=

+) Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt.

- Cung đối nhau: và -

cos(- ) = cos

sin(- ) = -sin

tan(- ) = -tan

cot(- ) = -cot .

- Cung bù nhau: và −

sin(− ) = sin



cos(− ) = -cos

tan(− ) = -tan

cot(− ) = -cot .

- Cung hơn kém : và ( ) +

sin( ) + = -sin

cos( ) + = -cos

tan( ) + = tan

cot( ) + = cot

- Cung phụ nhau: và 2

−

sin2

−

= cos

cos2

−

= sin

tan2

−

= cot

cot2

−

= tan .

⎯⎯→ cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém tan và cot.

+) Hai cung hơn kém 2

: và

2

+

sin2

+

= cos

cos 2

+

= -sin



tan2

+

= -cot

cot2

+

= -tan

3. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

+) Công thức cộng

cos(a - b) = cosa cosb + sina sinb

cos(a + b) = cosa cosb - sina sinb

sin(a - b) = sina cosb - cosa sinb

sin(a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan(a - b) = tan a tan b

1 tan a tan b

−

+

tan(a + b) = tan a tan b

1 tan a tan b

+

−

+) Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos2a - sin2a = 2cos2a - 1 = 1 - 2sin2a

tan2a = 2

2tana

1 tan a−

+) Công thức nhân ba

sin3a = 3sina - 4sin3a

cos3a = 4cos3a - 3cosa

tan3a = 3

2

tan a 3tana

3tan a 1

−

−



cot3a = 3

2

cot a 3cot a

3cot a 1

−

−

+) Công thức hạ bậc

2 1 cos2acos a

2

+=

2 1 cos2asin a

2

−=

2 1 cos2atan a

1 cos2a

−=

+

sin3a = 3sina sin3a

4

−

sin3a = 3cosa cos3a

4

+

+) Các hệ quả

sina cosa = 1

2sin2a

1 + coska = 2cos2ka

2

1 - coska = 2sin2ka

2

1 + sinka =

2ka ka

sin cos2 2

+

1 - sinka =

2ka ka

sin cos2 2

−

1 + sin2a = ( )2

sina cosa+

1 - sin2a = ( )2

sina cosa−

+) Công thức biến đổi tích thành tổng



sina.cosb = ( ) ( )1

sin a b sin a b2

+ + −

cosa.sinb = ( ) ( )1

sin a b sin a b2

+ − −

cosa.cosb = ( ) ( )1

cos a b cos a b2

+ + −

sina.sinb = ( ) ( )1

cos a b cos a b2

− + − −

+) Công thức biến đổi tổng thành tích:

sina + sinb = a b a b

2sin cos2 2

+ −

sina - sinb = a b a b

2cos sin2 2

+ −

cosa + cosb = a b a b

2cos cos2 2

+ −

cosa - cosb = a b a b

2sin sin2 2

+ −−

+) Đặc biệt khi a = b =

sin + cos = 2 sin4

+

sin - cos = 2 sin4

−

cos + sin = 2cos4

−

cos - sin = 2 cos4

+

.

III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1. Phương trình lượng giác cơ bản



a) ( )u v k2

cosu cosv ku v k2

= + =

= − + Z

b) ( )u v k2

sin u sin v ku v k2

= + =

= − + Z

c) ( )tan u tan v u v k k= = + Z

d) ( )cot u cot v u v k k= = + Z

Đặc biệt:

sinu 0 u k= =

sin u 1 u k22

= = +

sinu 1 u k22

= − = − +

sinu 1 u k2

= = +

cosu 0 u k2

= = +

cosu 1 u k2= =

cosu 1 u k2= − = +

cosu 1 u k= =

2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Dạng Đặt Điều kiện

asin2x + bsinx + c = 0 t = sinx 1 t 1−

acos2x + bcosx + c = 0 t = cosx 1 t 1−

atan2x + btanx + c = 0 t = tanx x k

2

+ ( )k



acot2x + bcotx + c = 0 t = cotx x ( )k k

Giải lấy nghiệm t thích hợp sau đó áp dụng phương trình cơ bản

Chú ý: 2 2 2 2cos2x 2cos x 1 1 2sin x cos x sin x= − = − = −

2 2sin x 1 cos x= −

2 2cos x 1 sin x= −

3. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

- Dạng phương trình: asinx + bcosx = c

- Điều kiện có nghiệm: 2 2 2a b c+

- Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho 2 2a b+ , sau đó áp dụng công

thức cộng để đưa về dạng phương trình cơ bản.

4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinu và cosu

Dạng 2 2. .cos+ + =asin u bsinu cosu c u d

Cách giải

+ Kiểm tra xem cosu = 0 có thỏa mãn phương trình hay không?

Xét cosu 0 u k2

= = +

Thay cosu 0= vào pt (nhớ 2sin u 1= )

+ Xétcosu 0 u k2

= +

Chia 2 vế pt cho 2cos u , giải pt theo tanu .

Ghi chú: Có thể giải bằng cách dùng công thức hạ bậc đưa về dạng

asin2u bcos2u c+ = .

5. Phương trình đối xứng, phản đối xứng

- Dạng phương trình chứa sinu cosu và .sinu cosu

- Cách giải



Đặt t sin u cosu 2 sin u4

= =

với t 2; 2 −

2t 1

sin u.cosu2

− =

Thay vào phương trình đã cho ta được phương trình bậc hai theo t.

Chú ý:

cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

+ = − = +

cosx sin x 2 cos x 2 sin x4 4

− = + = − −

CHƯƠNG II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT

I. Đại số tổ hợp

1. Quy tắc cộng

Công việc chia làm 2 trường hợp:

- Trường hợp 1: có m cách.

- Trường hợp 2: có n cách.

Khi đó, tổng số cách thực hiện là m n+ .

2. Quy tắc nhân

Sự vật 1 có m cách. Ứng với 1 cách chọn trên ta có n cách chọn sự vật 2.

Khi đó, tất cả số cách chọn liên tiếp 2 sự vật là mn .

3. Giai thừa

( )n! 1.2.3 n 1 n= −

Qui ước: 0! 1=

Lưu ý:



( )n! n 1 !n= − ( ) ( )n 2 ! n 1 n= − − =

4. Hoán vị

n vật sắp xếp vào n chỗ, số cách xếp là: nP n!=

5. Chỉnh hợp

n vật, lấy ra k ( )k ,0 k vật rồi sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:

( )

k

n

n!A

n k !=

−

6. Tổ hợp

n vật, lấy ra k ( )k ,0 k vật nhưng không sắp xếp thứ tự, số cách xếp là:

( )

k

n

n!C

k! n k !=

−

7. Một số kiến thức cần nhớ

Số chia hết cho 2 : tận cùng là 0;2;4;6;8

Số chia hết cho 5 : tận cùng là 0;5

Số chia hết cho 10 : tận cùng là 0

Số chia hết cho 100 khi tận cùng là 00;25;50;75

Số chia hết cho 3 : tổng các chữ số chia hết cho 3 .

Số chia hết cho 9 : tổng các chữ số chia hết cho 9 .

Khi gặp bài tập số tự nhiên mà trong đó có liên quan số 0 nên chia trường hợp.

+) Tính chất

0 n

n nC C 1= = 1 n 1

n nC C n−= = k n k

n nC C −= k 1 k k

n n n 1C C C−

++ =

II. Nhị thức Newton

1. Khai triển nhị thức Newton



( )n

n k n k k

n

0

a b C a b−+ = 0 n 1 n 1 2 n 2 2 n n

n n n nC a C a b C a b C b− −= + + ++

2. Một số công thức nên nhớ

( )n 0 1 2 2 n n

n n n n1 x C C x C x C x+ = + + ++

( ) ( )n n0 1 2 2 n n

n n n n1 x C C x C x 1 C x− = − + −+ −

0 1 2 n n

n n n nC C C C 2+ + ++ =

3. Tam giác Pacal (cho biết giá trị của k

nC )

III. Xác suất

Không gian mẫu:

Số phần tử của không gian mẫu: ( )n

1. Xác suất của biến cố A: P(A) = ( )( )

n A

n

Lưu ý: 0 P(A) 1

2. A1; A2; …; Ak là các biến cố đôi một xung khắc thì

( ) ( ) ( ) ( )1 2 k 1 2 kP A A ... A P A P A ... P A = + + +

3. A1; A2; …; Ak là các biến cố độc lập thì

( ) ( ) ( ) ( )1 2 k 1 2 kP A A ...A P A P A ...P A=



4. A là biến cố đối của biến cố A thì: ( ) ( )P A 1 P A= −

Hay ta có: ( ) ( )P A P A 1+ =

5. X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1; x2;…;xn}

a) Kỳ vọng của X là E(X) = n

i i

i 1

x p=

với pi = P(X = xi), i = 1,2,3,…,n

b) Phương sai của X là V(X) = ( )n

2

i i

i 1

x p=

− hay ( )n

2 2

i

i 1

V X x p=

= − trong đó

( )i ip P X x ,i 1,2,3,...,n= = = và ( )E X =

c) Độ lệch chuẩn: ( ) ( )X E X =

CHƯƠNG III. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

1. Phương pháp quy nạp toán học

Có nhiều cách để chứng minh một biểu thức ( )P n đúng. Một trong những cách

chính là qui nạp toán học:

Bước 1. Kiểm tra với ( )n 1: P 1= đúng hay không.

Bước 2. Giả sử với ( )n k : P k= đúng.

Với n k 1= + , ta chứng minh ( )P k 1+ đúng.

2. Dãy số

Dãy số ( )nu là hàm số đi từ *N đến R . Có 3 cách xác định dãy số: cho số hạng

tổng quát; mô tả; cho hệ thức truy hồi.

3. Dãy số tăng - dãy số giảm

+) ( )nu là dãy số tăng *

n 1 nu u 0, n+ − N

Khi un > 0, ta có thể dùng

*n 1

n

u 1, nu

+ N



+) ( )nu là dãy số tăng *

n 1 nu u 0, n+ − N

Khi un > 0, ta có thể dùng

*n 1

n

u1, n

u

+ N

4. Dãy số bị chặn

+) ( )nu bị chặn trên *

nM : u M, n N

+) ( )nu bị chặn dưới *

nm: u m, n N

( )nu bị chặn ( )nu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới *

nM : u M, n N

5. Cấp số cộng

Dãy ( )nu được gọi là CSC nếu thỏa n n 1u u d−= + với d không đổi là công sai.

Ta có:

( )n 11) u u n 1 d= + −

( )n 2) u là CSC n n 1 n 12u u u− + = +

( )n 1 2 n 1 n

n3) S u u u u u

2= + ++ = + ( )1

nu n 1 d

2= + −

6. Cấp số nhân

Dãy ( )nu được gọi là CSN nếu thỏa n n 1u u .q−= với q không đổi là công bội.

Ta có:

n 1

n 1.1) u u q −=

( )n2) u là CSN 2

n n 1 n 1u u .u− + =

n

n 1 2 n 1

1 q3) S u u u u . khi q 1

1 q

−= + ++ =

−

n 1 4) S n.u= khi q 1=



HÌNH HỌC

CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT

PHẲNG

1. Đại cương về phép biến hình

PBH htaoan anh

F: M M' (biến M thành duy nhất một điểm M), kí hiệu ( )M F M =

- Hình ( ) ( ) H F H H M F M | M H = ==

- ( )O F O O= là điểm bất động.

- PBH mà mọi điểm trong mặt phẳng đều biến thành chính nó được gọi là phép

đồng nhất. Kí hiệue .

- F G

M M M G F: M M (tích hai PBH bằng cách thực hiện liên tiếp

PBH F rồi G )

2. Phép dời hình

PBH F là PDH và ( ) ( )A F A ;B F B= = thì A B AB = (bảo toàn khoảng cách

giữa hai điểm bất kì)

PDH biến

{

3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)

đường thẳng ⟶ đường thẳng; đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng bằng nó;tia ⟶ tia

tam giác ⟶ tam giác bằng nó;góc ⟶ góc bằng nó;đường tròn ⟶ đường tròn bằng nó

3. Phép tịnh tiến theo u , kí hiệu uT

uT : M M MM u =

4. Phép đối xứng trục (ĐXTR) d , kí hiệu dĐ

dĐ :M M M;M đối xứng nhau qua d

5. Phép đối xứng tâm (ĐXT) I , kí hiệu IĐ



( ) ( )I;

IM IMQ : M M

IM;IM

=

=

6. Phép vị tự (PVT) tâm I tỉ số k , kí hiệu ( );I k

V

( )I;k

V : M M IM kIM =

7. Phép đồng dạng (PĐD)

PĐD tỉ số ( )k k 0 là PBH sao cho với hai điểm A;B bất kì và ảnh A ;B của nó

ta có A B kAB =

PĐD biến

{

3 điểm thẳng hàng ⟶ 3 điểm thẳng hàng (bảo toàn thứ tự)

đường thẳng ⟶ đường thẳng;đoạn thẳng ⟶ đoạn thẳng tỉ lệ 𝑘 lần với nó;tia ⟶ tia

tam giác ⟶ tam giác đồng dạng tỉ số 𝑘;góc ⟶ góc bằng nó

đường tròn bán kính 𝑅 ⟶ đường tròn bán kính 𝑘𝑅

8. Biểu thức tọa độ

Giả sử ( ) ( ); ; ; M x y M x y' .

+) PTT theo ( )u a;b= là x ' x a

y y b

− =

− =

+) Phép đối xứng tâm ( )I a;b là x 2a x

y 2b y

= −

= −

+) Phép đối xứng trục 𝑑 khi

{

𝑑 ≡ 𝑂𝑥 là {

𝑥′ = 𝑥𝑦′ = −𝑦

𝑑 ≡ 𝑂𝑦 là {𝑥′ = −𝑥𝑦′ = 𝑦

𝑑 là phân giác thứ nhất {𝑥′ = −𝑥𝑦′ = −𝑦

+) Phép quay tâm ( )I a;b , góc là x x cos ysin

y xsin ycos

= −

= +



Đặc biệt: Tâm quay là ( )O 0;0 thì

0x y

90 :y x

= −

=

=

0x y

90 :y x

=

= −

= −

0x x

180 :y y

= −

= −

=

Phép vị tự tâm ( )I a;b , tỉ số k là ( )

( )

x kx 1 k a

y ky 1 k b

= + −

= + −

9. Ảnh của đường thẳng d qua PTT; phép ĐXT; PQ; PVT

Giả sử F: d d ( F ở đây là ( ) ( )u I I; I;k

T ;Đ ;Q ;V

). Lấy ( )M x;y d . Giả sử

F: M M với ( )M x ;y'

Viết biểu thức tọa độ tương ứng với PBH đề cho x

y

=

=

Ta có M d (thay x;y vào đường thẳng d ) ta được đường thẳng d .

10. Ảnh của đường tròn

Giả sử ( ) ( )F: C C' ( F ở đây là ( ) ( )u I I; I;k

T ;Đ ;Q ;V

)

Xác định tâm I của đường tròn ( )C . Tìm ảnh I của I qua PBH F .

Ta có: ( )tâm I

C' :bán kính R R

= (riêng phép vị tự thì R k R = ). Từ đó ta có phương

trình ( )C' .

11. Tâm vị tự của hai đường tròn

TH1: Nếu I I thì PVT tâm O I, tỉ số R

R

và PVT tâm O I, tỉ số

R

R

− .



TH2: Nếu I I và R R thì PVT tâm 1O (tâm vị tự ngoài), tỉ số R

R

và PVT tâm

O2 (tâm vị tự trong), tỉ số R

R

− .

TH3: Nếu I I' và R R'= thì PVT tâm O, tỉ số k = R

R

−= -1



CHƯƠNG II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

QUAN HỆ SONG SONG

1. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

( ) ( )d d =

( )d c t

( )d M =

( ) ( )d d d =

2. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

( ) ( ) ( ) ( ) =

( ) ( )

( ) ( ) ( ) =

( ) cắt ( )

( ) ( ) d =

3. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

( )

( )

a

a b b

a b

=

a cắt b

a b O =

a b

a b a =

a;b chéo nhau

a;b không



đồng phẳng.

4. Cách xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng

Cách 1: Tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng.

( )

( )( ) ( )

M a;aM

M b;b

Chú ý: Để tìm điểm chung của hai mặt phẳng ta thường tìm hai đường thẳng đồng

phẳng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng. Giao điểm, nếu có, của hai đường thẳng

này chính là điểm chung cần tìm

Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và phương giao tuyến (tức tìm

trong hai mặt phẳng hai đường thẳng song song với nhau).

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

M

a b Mx

a ;b

=

với Mx a b

5. Cách xác định giao điểm giữa đường thẳng và mặt phẳng

Để tìm giao điểm của d và ( ) , ta tìm trong ( ) một đường thẳng a cắt d tại M .

Khi đó: ( )M d= .



( )

( )M d

M dM

=

Chú ý: Nếu a chưa có sẵn thì ta chọn ( ) qua d và lấy ( ) ( )a = .

6. Thiết diện

Thiết diện của mặt phẳng ( ) với hình chóp là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến

của ( ) với các mặt của hình chóp. Như vậy, để tìm thiết diện ta lần lượt đi tìm

giao tuyến của ( ) với các mặt của hình chóp.

7. Chứng minh đường thẳng song song đường thẳng

Cách 1: Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng rồi áp dụng phương pháp chứng

minh song song trong hình học phẳng (đường trung bình; định lí Tales…)

Cách 2: Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì

song song với nhau.

1 3

1 2

2 3

d dd d

d d

Cách 3: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d và lần lượt chứa hai đường

thẳng song song thì giao tuyến của nó sẽ có 3 trường hợp:

( ) ( )

( )

( )

dd a b

a bd a

ad b

b

=



Như vậy, trong trường hợp này ta chỉ cần chỉ ra d không trùng với a hoặc b thì sẽ

suy ra được d a hoặc d b .

Cách 4: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a nằm trong ( )

và song song với mặt phẳng còn lại thì sẽ song song với giao tuyến.

( ) ( )

( )

( )

d

a a d

a

=

Cách 5: Hai mặt phẳng cắt nhau theo giao tuyến d , đường thẳng a song song với

cả hai mặt phẳng thì sẽ song song với giao tuyến.

( ) ( )

( )

( )

d

a a d

a

=



Cách 6: Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ 3 thì hai giao tuyến đó

song song.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

a a b

b

= =

Cách 7: Ba mặt phẳng cắt nhau theo 3 giao tuyến phân biệt, thì 3 giao tuyến ấy

song song hoặc đồng quy.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

aa b c

ba;b;c đong quy

c

=

= =

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh a;b;c không đồng quy thì sẽ suy ra được a b c .



Cách 8: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song

song với nhau.

( )

( )

a

b a b

a b

⊥

⊥

8. Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Cách 1: Chứng minh đường thẳng d không nằm trong ( ) và song song với

đường thẳng a nằm trong ( ) .

( )

( )

( )

d a

a d

d

Cách 2: Hai mặt phẳng song song với nhau, mọi đường thẳng nằm trong mặt này

sẽ song song với mặt kia.

( ) ( )

( )( )a

a



9. Chứng minh hai mặt phẳng song song

Cách 1: Chứng minh trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau và

song song mặt phẳng thứ hai, khi đó hai mặt phẳng song song với nhau.

( )

( ) ( )

( ) ( )

a;b

a b I

a ;b

=

Cách 2: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song

song với nhau.

( )

( )( ) ( )

d

d

⊥

⊥

Documents

TỔNG HỢP CÔNG THỨC TOÁN HỌC LỚP 11 H C KÌ 1 I S & GI I