· Web viewBất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 Bất đẳng thức-Bất phương trình Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Công Phá Toán - Lớp

Chủ đề 4: Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com

BẤT ĐẲNG THỨCBất đẳng thức là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, đòi hỏi mức độ tư

duy, sự sáng tạo của người học. Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức nhưng trong khuôn khổ chủ đề này, tác giả chỉ giới thiệu một số phương pháp thường gặp như biến đổi tương đương, sử dụng các bất đẳng thức kinh điển (Cô-si, Bunhi-a-cốp-xki), sử dụng tính chất hình học, sử dụng phản chứng, sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình hoặc miền giá trị của hàm số, sử dụng tính chất của hàm số,…

Mỗi phương pháp được đề cập đều có những ví dụ điển hình và những lời bàn để bạn đọc hiểu sâu sắc hơn về phương pháp, kỹ thuật được sử dụng trong lời giải của ví dụ đó. Bên cạnh đó, có những ví dụ tác giả còn đề xuất thêm những câu hỏi trắc nghiệm khách quan ở các mức độ khác nhau giúp cho các em học sinh có cái nhìn tổng quát hơn trước mỗi câu hỏi trắc nghiệm. Từ đó, các em có thể tự mình đề xuất, phát triển hoặc sáng tạo các câu hỏi trắc nghiệm từ một câu hỏi tự luận hoặc câu hỏi trắc nghiệm khách quan khác.

A. Lý thuyết

I. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT

1. Bất đẳng thức

Giả sử a và b là hai số thực. Các mệnh đề “ ”, “ ”, “ ”, “ ” được gọi là những bất đẳng thức.

Một bất đẳng thức có thể đúng hoặc sai. Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng.

2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến), và biến số thỏa mãn điều kiện T.

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thúc f, viết là , nếu:

(1) M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.

LOVEBOOK.VN | 1

Chủ đề 4

Vấn đề cần nắm:

1. Bất đẳng thức và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

2. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

3. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

STUDY TIP

Đặc biệt, nếu hàm số

đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký

hiệu hoặc

; nếu hàm

số đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D thì

ta ký hiệu

hoặc .

y f x

maxD

M f x

maxx D

M f x

y f x

minD

m f x

minx D

m f x

a b a b a b a b

maxM f

f

Bất đẳng thức-Bất phương trình www.thuvienhoclieu.com

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f, viết là , nếu:

(1) với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T.

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho

Như vậy: Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f, ta có thể trình bày lời giải như sau:

- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T đều xảy

ra bất đẳng thức , trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f.

- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất thiết

phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho .

- Bước 3: Kết luận .

II. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA BẤT ĐẲNG THỨC

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thúc chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

1. và .

2. .

3. Nếu thì .

4. Nếu thì .

5. và .

6. và .

7. và .

8. .

9. .

LOVEBOOK.VN | 2

f M

minm f

f m

f m

f M

f M

max f M

a b b c a c

a b a c b c

0c a b ac bc

0c a b ac bc

a b c d a c b d

0a b 0c d ac bd

0a b * n nn a b

0a b a b

3 3a b a b


10. và .

11. .

12. . Đẳng thức xảy ra khi .

13. , với mọi .

14. Với thì .

15. Với thì hoặc .

16. Với mọi , ta có .

Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi .

III. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG GẶP

1. Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết

a. Nội dung phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

- Cách 1: Lập hiệu . Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản

của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra .

- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,

chúng ta đánh giá vế trái để được .

- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức,

chúng ta đánh giá vế phải để được .

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài sử dụng các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau:

(1): .

LOVEBOOK.VN | 3

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của

0, 0a b a b a b 3 3 3a b a b

1 10a ba b

2 0,a a 0a

a a a a

0a x a a x a

0a x a x a x a

,a b 1 2

a b a b a b

0ab 0ab

A B

A B

0A B

A B

B A

; 0x a b a x b x a x b


(2): với mọi x sao cho xác định.

Đặc biệt, .

(3): , với mọi a, b, c.

b. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn .

b) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

.

Lời giải

a) Ta có . ĐKXĐ:

Với mọi , ta có: .

Do đó .

Ta có .

Vậy và .

b) Với thì .

Ta có .

Với mọi x thuộc đoạn thì

LOVEBOOK.VN | 4

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức. Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia. Đó là, phương pháp sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết; sử dụng bất đẳng thức Cô-si; sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; sử dụng kiến thức hình học; sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của

20,f x f x

2 2 2 22 ; 2a b ab a b ab

2 2 2 23 3ab bc ca a b c a b c

3 12

xf xx

1;3

2

22 1xg x

x

1;2

3 2 7 732 2

xf x

x x

2x

1;3x 7 8 7 7 71 2 5 71 2 5 2 5

xx x

84 , 1;35

f x x

84 1 1;3 ; 3 1;35

f x x f x x

1;3max 1 4f x f

1;3

8min 35

f x f

1;2x 2 0;4x

22

2 2 2

2 1 11 1 1 1. .2 1 2 2 1 2 2 2 1

xxx x x

1;22

2

1 11 2 1 9 12 1 9

xx


.

Do đó , .

Mặt khác .

Vậy và ./.

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Lời giải

Điều kiện: .

Ta có , suy ra .

, suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.

LOVEBOOK.VN | 5

2 2

1 1 1 1 1 41 0 .2 1 9 2 2 2 1 9x x

203

g x 1;2x

20 0 1;2 ; 2 1;23

g x x g x x

1;2

2max 23

g x g

1;2

min 0 0g x g

2 24 21 3 10y x x x x

2

2

4 21 02 5

3 10 0

x xx

x x

2 24 21 3 10 11 0x x x x x 0y

2 22 7 31 2 3 7 2 5y x x x x x x

2

3 5 2 7 2 2x x x x 2y

13 5 2 73

x x x x x

213

x


Ví dụ 3: a) Chứng minh rằng với mọi thì .

b) Cho là ba số không nhỏ hơn và có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:

.

Lời giải

a) Ta có .

Suy ra .

Dấu bằng xảy ra khi hoặc .

b) Từ giả thiết, ta có .

Tương tự, ta cũng có và .

Suy ra a, b, c đều thuộc đoạn .

Áp dụng kết quả ở ý a), ta có:

.

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta được

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ./.

Nhận xét: Để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a). Nếu không có ý a)

LOVEBOOK.VN | 6

STUDY TIP

Khi học về đạo hàm, chúng ta có thể tìm ra biểu thức

một cách đơn giản bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào? Chúng ta dự đoán

được . Với

thì . Sau đó, chúng ta viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

tại điểm

. Tiếp tuyến đó có

phương trình là .

3 5;4 2

x 2

18 31 25 50

x xx

, ,a b c34

2 2 2

91 1 1 10

a b ca b c

2

2 2

3 1 4 318 3 3 50, ;1 25 50 4 250 1

x xx x xx x

18 325 50

a

13

a b c

13

a 2

3101

aa

2 1xf x

x

1 3;3 10

M

18 325 50

y x

2

18 3 3 5, ;1 25 50 4 2

x x xx

13

x 34

x

3 3 514 4 2

a b c a a

52

b 52

c

3 5;4 2

2 2 2

18 3 18 3 18 3; ;1 25 50 1 25 50 1 25 50

a b ca b ca b c

2 2 2

18 9 91 1 1 25 50 10

a b c a b ca b c

13

a b c


chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Chúng ta có thể tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách sau đây:

Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.

Thứ hai, giả thiết của bài toán là (các biến số a, b, c có bậc một,

độc lập với nhau) nên cần đánh giá , trong đó m, n là các hằng số phải đi tìm.

Thứ ba, từ giả thiết và bất đẳng thức cần chứng minh, chúng ta dự đoán được

đẳng thức xảy ra khi . Khi thì , do đó ta cần đánh

giá . Lúc này, chúng ta cần tìm m để bất đẳng thức trên xảy ra.

Xét

Lúc này, ta cần chọn m để nhận làm nghiệm (mục

tiêu là xuất hiện ). Giải điều kiện đó ta tìm được . Khi đó ta có

(do ).

2. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

(Augustin-Louis Cauchy, 1789 - 1857, nhà toán học người Pháp)


(1) Với hai số không âm a, b bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức xảy ra

khi .

LOVEBOOK.VN | 7

1a b c

2 1a ma n

a

13

a b c 13

a 2

31 10

aa

2

3 3 11 10

a m aa

2

2 2

3 1 3 10 13 3 11 10 10 1

a a m aa m aa a

23 10 1 0a m a 13

a

23 1a 625

m

2

2 2

3 1 4 33 6 3 1 01 10 25 50 1

a aa aa a

34

a

2a b ab

a b


- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

1. .

2. .

- Hệ quả:

+) Nếu là các số không âm và không đổi thì ab đạt giá trị lớn nhất

bằng khi và chỉ khi .

+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị nhỏ

nhất bằng khi và chỉ khi .

+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .

(2) Với ba số không âm a, b, c bất kỳ, ta luôn có: . Đẳng thức

xảy ra khi .

- Các hình thức khác của bất đẳng thức này là:

1. 2. .

- Hệ quả:

+) Nếu a, b, c là các số không âm và không đổi thì abc đạt giá trị

lớn nhất bằng khi và chỉ khi .

+) Nếu là các số không âm và không đổi thì đạt giá trị

nhỏ nhất bằng khi .

+) Với thì . Đẳng thức xảy ra khi .

LOVEBOOK.VN | 8

2 2

2a b ab

2

4a b

ab

,a b a b S

214

S 12

a b S

,a b ab P a b

2 P a b P

0, 0a b 1 1 4a b a b

a b

3

3a b c abc

a b c

3 3 3

3a b c abc

3

27a b c

abc

a b c S

3127

S 13

a b c S

, ,a b c abc P a b c

33 P 3a b c P

0, 0, 0a b c 1 1 1 9a b c a b c

a b c



Ví dụ 4: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của với .

Lời giải

a) Do nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn điều kiện ).

Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

b) Do nên ta có .

Đẳng thức xảy ra khi (thỏa mãn).

c) Ta có .

Do nên ta có

.


LOVEBOOK.VN | 9

3f x xx

0x

31

g x xx

1x

32 1

h x xx

12

x

34 7

p x xx

2x

0x 3 32 . 2 3f x x x

x x

3 3x xx

0x

f x 2 3 3x

1x 3 31 1 2 1 . 1 2 3 1

1 1g x x x

x x

31 1 31

x xx

3 6 62 2 2 1 12 1 2 1 2 1

h x x h x x xx x x

12

x 62 2 2 1 . 1 2 6 12 1

h x xx

2 6 12

h x

6 6 12 12 1 2

x xx


Vậy, đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi .

d)

.

Từ giả thiết ta có . Do đó

.


Vậy đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ./.

Nhận xét: Về hình thức thì các biểu thức tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất. Cụ thể cả bốn

biểu thức cần phải tìm cách đánh giá .

- Việc đánh giá thì chúng ta dễ dàng làm được khi áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà không cần có sự điều chỉnh gì về hình thức của biểu thức

.

- Việc đánh giá thì chúng ta không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si, do nếu áp dụng thì vế phải vẫn còn biến số. Vì vậy chúng ta cần

điều chỉnh hình thức của biểu thức thành

, còn thành (nhằm khi đánh giá thì

LOVEBOOK.VN | 10

STUDY TIP

Ngoài lời giải trình bày ở bên, chúng ta có thể sử dụng một cách chung nhất để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất đối với hàm số, đó là sử dụng đạo hàm. Về kiến thức này sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12 và bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

h x2 6 1

2 6 1

2x

34 7

p x xx

124 44 7

p x xx

4 12 714 4 7 4 7 775 4 7 75

p x x xx

4 7 15x

4 12 71 44 114 2 4 7 . .15 775 4 7 75 5 5

p x x p xx

4 124 7275 4 7

2

xxx

x

p x115 2x

, , ,f x g x h x p x

1 2 3 4; ; ;f x m g x m h x m p x m

1f x m

f x

2 3;g x m h x m

31

g x xx

31 11

g x xx

32 1

h x xx

62 2 1 12 1

h x xx


về phải không còn biến số).

- Việc đánh giá chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức

Cô-si được mà cần có sự điều chỉnh về hình thức của để đạt được mục

tiêu. Ngay cả khi viết thì chúng ta cũng không thể áp

dụng luôn bất đẳng thức Cô-si .

Vì lúc này đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,

trong khi điều kiện của biến là . Một câu hỏi đặt ra là tại sao lại viết

thành

?

Và số được tìm ra như thế nào? Có thể lý giải điều này như sau:

Chúng ta để ý khi thì và , trong khi chúng ta đang

cần đánh giá nên ta phải tìm cách ghép , với

để áp dụng bất đẳng thức Cô-si nhằm triệt tiêu ở mẫu thức nhưng

cũng phải chú ý đến điều kiện đẳng thức xảy ra. Vì vậy, ta cần tìm m để khi

thì . Dễ dàng tìm được và chúng ta có lời giải như trên.

LOVEBOOK.VN | 11

4p x m

p x

124 4 7 74 7

p x xx

124 2 4 7 . 4 3 74 7

p x xx

12 2 3 74 7 24 7 4

x xx

2x

4 p x

4 12 714 4 7 4 7 775 4 7 45

p x x xx

475

2x 3 1

4 7 5x

12 4

4 7 5x

4p x m 124 74 7

m xx

0m 4 7x

2x

124 74 7

m xx

475

m


Ví dụ 5: a) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

.

b) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng

.

Lời giải

Ta có .

a) Khi thì .

Đẳng thức xảy ra khi .

b) Khi thì .

Đẳng thức xảy ra khi ./.

3. Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 - 1889, nhà toán học người Nga)


(1) Với bốn số thực a, b, x, y tùy ý, ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).

- Hình thức khác của bất đẳng thức này là: .

LOVEBOOK.VN | 12

5x y

16 1 814 20x y

16 1 814 20x y

5x y

16 1 65 16 65 16 65 812 . 44 4 4 4 4 4 4

y x y xx yx y x y x y

5x y 16 1 81

4 20x y

2 2

5 40 5; ;9 964

x yx y

x y

16 1 814 20x y

5x y

2 2

5 40 5; ;9 964

x yx y

x y

2 2 2 2 2ax by a b x y

ay bxa bx y

0xy

2 2 2 2ax by a b x y


Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể

trong mặt phẳng tọa độ Oxy, nếu hai vectơ và thì do ta luôn

có nên .

(2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có

Dấu bằng xảy ra khi hoặc (nếu ).

- Hình thức khác của bất đẳng thức này là

.

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học. Cụ thể

trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, nếu xét hai vectơ và

thì do ta luôn có nên

.


Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có:

.

.

LOVEBOOK.VN | 13

STUDY TIP

Liên quan đến Phương pháp tọa độ trong không gian bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn Công phá Toán 3.

;u a b

;v x y

. .u v u v

2 2 2 2ax by a b x y

2 2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z

ay bxaz cx

a b cx y z

0xyz

2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z

; ;u a b c

; ;v x y z

. .u v u v

2 2 2 2 2 2ax by cz a b c x y z

2

3 1

3

xAx

2

22 2 2 22

1 1 283 1 3. . 3 3 3 . 333 3

x x x x

2

2

2 21 3 1 2 213 1 . 33 33

xx xx


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

Ví dụ 7: a) Chứng minh rằng .

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , với .

Lời giải

a) Đặt , với .

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).

Với mọi , ta luôn có .

Có .

Dấu bằng xảy ra khi .

Vậy, .

Cách 2: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si).

Ta có .


Vậy, .

Cách 3: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).

Ta có .

LOVEBOOK.VN | 14

3 93 1x x

2 213 9x

3 5 4, 3;5x x x

2 5 4 3A x x 5 4;2 3

x

3 5F x x 3;5x

3;5x 0F

2 8 2 3 5 8 3 5 16 4F x x x x F

3 5 1 3;5x x x

4, 3;5F x

4 3 4 52 2 3 2 5 8 42 2

x xF x x F

3 21 3;5

5 2

xx

x

4, 3;5F x

2 21. 3 1. 5 1 1 . 3 5 2. 8 4F x x x x



Vậy, .

b) (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki).

Ta có .


Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

Nhận xét:

1. Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki để giải thì trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là điều kiện để dấu bằng xảy ra). Tuy

nhiên, nếu để nguyên biểu thức và áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x. Do đó, chúng ta cần biết đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau. Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm nhân tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó, ví dụ

.

2. Từ bất đẳng thức, người ta có thể đề xuất một số phương trình hoặc hệ phương trình giải được bằng cách sử dụng các bất đẳng thức. Chẳng hạn, từ kết quả của ý a) và lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra, chúng ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:

Bài 1. Giải phương trình .

Bài 2. Giải phương trình .

LOVEBOOK.VN | 15

STUDY TIP

Ngoài các cách trình bày ở bên, ví dụ này còn có thể giải theo cách lập bảng biến thiên của hàm số (có sử dụng công cụ đạo hàm - sử dụng kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn sách Công phá Toán 3.

3 5 1 3;51 1

x x x

4, 3;5F x

2 25 4 5 4 1152. 3. 2 3 .2 3 2 3 6

A x x x x

452932302 3

xxx

1156

2930

x

2 5 4 3A x x

1 1. 6 15 . 8 63 2

A x x

3 5 4x x

23 5 2 5x x x x


Bài 3. Giải hệ phương trình .




Ví dụ 8: a) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất và

giá trị lớn nhất của biểu thức .

b) Cho các số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức .

Lời giải

a) Ta có

.

Dấu bằng xảy ra khi

LOVEBOOK.VN | 16

3 5 4

3 5 4

x y

y x

2

2

3 5 2 5

3 5 2 5

x y x y

y x y x

3 5 4

3 5 4

3 5 4

x y

y z

z x

2

2

2

3 5 2 5

3 5 2 5

3 5 2 5

x y z z

y z x x

z x y y

2 2

125 16x y

3 4S x y

2 2 5 0x y z

2 2 2 2 4 6 11P x y z x y z

2 2 2

2 224 5. 12. 5 12 1695 4 25 16x y x yS

4 13 9 17S S

22 22 2

12. 5.12. 5. 5 45 412 251525 16

x yx y

x y x x


hoặc .

Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi ; đạt giá trị lớn nhất

bằng 17 khi .

b) Ta có .

.

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.


Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi ./.

4. Sử dụng kiến thức hình học


Để chứng minh một bất đẳng thức theo cách này, chúng ta phải phát hiện được bản chất hình học của bất đẳng thức cần chứng minh. Sau đó dựa vào tính chất hình học, các bất đẳng thức đã biết và các mối liên hệ hình học để rút ra kết luận.

Một số kết quả hình học thường dùng để chứng minh bất đẳng thức.

- Kết quả 1: Với ba điểm tùy ý M, A, B, ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng AB (viết là ).

LOVEBOOK.VN | 17

25 48; ;13 13

x y

25 48; ;13 13

x y

9 25 48; ;

13 13x y

25 48; ;13 13

x y

2 2 23 1 2 3P x y z

2 2 5 0 1 2 2 2 3 6x y z x y z

22 2 2 2 22 26 1 2 2 2 3 1 2 2 1 2 3x y z x y z

36 9. 3 1P P

1 2 3

1 2 5; ; ; ;1 2 23 3 32 2 5 0

x y zx y z

x y z

1 2 5; ; ; ;3 3 3

x y z

MA MB AB

M AB


- Kết quả 2: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cùng phương .

- Kết quả 3: Với hai vectơ tùy ý , ta luôn có

.

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi ngược hướng

hoặc .

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi cùng hướng

hoặc .

- Kết quả 4: Cho đường tròn và điểm A nằm ngoài . Gọi M là điểm

tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với

đường tròn , trong đó M thuộc đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ thức

.

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M là giao điểm của đường thẳng IA với

đường tròn , trong đó M nằm ngoài đoạn IA, tức là M được xác định bởi hệ

thức .

- Kết quả 5: Cho hai đường tròn và ngoài nhau (tức là

). Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc và .

LOVEBOOK.VN | 18

1 2 1 2; , ;a a a b b b

. .a b a b

,a b

1 2 2 1a b a b

1 2 1 2; , ;a a a b b b

1 2

a b a b a b

,a b

1 2 2 1

1 1 0a b a ba b

1 2 2 1

2 2 0a b a ba b

,a b

1 2 2 1

1 1 0a b a ba b

1 2 2 1

2 2 0a b a ba b

;I R ;I R

;I R 1 2

IA R MA IA R

;I R

.RIM IAIA

;I R

.RIM IAIA

1 1;I R 2 2;I R

1 2 1 2I I R R 1 1;I R 2 2;I R


Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra ở (1) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng

với hai đường tròn và , trong đó M, N thuộc đoạn , tức

là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ thức

.

Dấu bằng xảy ra ở (2) khi và chỉ khi M, N lần lượt là giao điểm của đường thẳng

với hai đường tròn và , trong đó M, N nằm ngoài đoạn ,

tức là M được xác định bởi hệ thức và N được xác định bởi hệ

thức .

- Kết quả 6: Cho đường tròn và đường thẳng không cắt đường tròn.

Gọi M, N là hai điểm tùy ý lần lượt thuộc đường tròn và đường thẳng .

Khi đó ta luôn có: .

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi N là hình chiếu vuông góc của I trên đường thẳng

và M là giao điểm của đoạn IN với đường tròn , tức là M thỏa mãn hệ

thức .

* Chú ý: Trong thực hành giải toán bằng phương pháp này, chúng ta cần lưu ý đến việc chuyển đổi ngôn ngữ cho các biểu thức đại số sang ngôn ngữ hình học để vận dụng phương pháp hoặc kỹ thuật giải cho phù hợp. Chẳng hạn:

Biểu thức đại số Ngôn ngữ hình học

Phương trình đường thẳng .

LOVEBOOK.VN | 19

STUDY TIP

Khi sử dụng một kết quả nào đó trong các kết quả nên trên vào việc tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất chúng ta lưu ý đến điều kiện để đẳng thức xảy ra để có sự điều chỉnh hình thức tọa độ của điểm, tọa độ của vectơ một cách phù hợp.

1 2

1 2 1 2 1 2 1 2I I R R MN I I R R

1 2I I 1 1;I R 2 2;I R 1 2I I

11 1 2

1 2

.RI M I II I

22 2 1

1 2

.RI N I II I

1 2I I 1 1;I R 2 2;I R 1 2I I

11 1 2

1 2

.RI M I II I

22 2 1

1 2

.RI N I II I

;I R

;I R

,MN d I R

;I R

.

,RIM IN

d I

0ax by c : 0ax by c


Phương trình đường tròn có tâm và bán kính

( ).

Độ dài vectơ hoặc khoảng cách giữa

hai điểm và .


Ví dụ 9: a) Chứng minh rằng với mọi , ta có

.

b) Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, ta luôn có

.

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Lời giải

a) Ta có .

Xét hai vectơ và . Khi đó

và .

Mặt khác, ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng .

b) Cách 1: Xét hai vectơ và .

Suy ra và .

Ta có .

LOVEBOOK.VN | 20

2 2 2x a y b R ;I a b

R 0R

2 2x a y b ;u x a y b

;M x y ;A a b

x

2 24 13 10 41 7 2x x x x

2 2 2 24 6 13 10 8 41 7 2x y x x x y x y

2 24 4 5 4 12 25M x x x x

2 22 2 2 24 13 10 41 2 3 5 4A x x x x x x

2 ;3a x

5 ;4b x

A a b

2 27 7 7 2a b

a b a b

7 2A

,a b 2 5 1

3 4x x x

2 ; 3u x y

5;4v x y

7;7u v 2 27 7 7 2u v

2 2 2 24 6 13 10 8 41B x y x x x y x y u v



Dấu bằng xảy ra khi cùng hướng

.

Cách 2: Xét ba điểm .

Khi đó và đường thẳng EF có phương trình là .

Ta có .

Vì ta luôn có nên .

Dấu bằng xảy ra khi M thuộc đoạn EF hay .

c) Xét hai vectơ và .

Suy ra và .

Ta có .


Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ngược hướng .

Vậy, M đạt giá trị lớn nhất bằng khi ./.

LOVEBOOK.VN | 21

u v u v

7 2B

,u v

2 4 5 3 1 0

5 22 5 0

x y x y x yxx x

; , 2; 3 , 5;4M x y E F

7 2EF 1 0x y

2 2 2 24 6 13 10 8 41B x y x x x y x y ME MF

ME MF EF 7 2B

1 05 2

x yx

1 2 ;2u x

2 3; 4v x

4; 2u v 224 2 2 5u v

2 2 221 2 2 2 3 4M x x u v

u v u v

2 5M

,u v 1 2 2 5

2 3 4 2x x

x

2 552

x


Ví dụ 10: Cho a, b, c, d là các số thực thỏa mãn các điều kiện

và

Chứng minh rằng .

Lời giải

Ta có .

Xét điểm và điểm thì M và N lần lượt thuộc đường tròn

và đường thẳng .

Đường tròn có tâm và bán kính .

Ta có .

Mặt khác với mọi điểm thì . Do đó .

Ta lại có .

Vậy, hay ./.

5. Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình


Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình trong chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, chúng ta thường sử dụng các kết quả sau đây:

(1) Phương trình , có nghiệm khi và chỉ khi .

(2) Điều kiện để tồn tại hai số u, v sao cho là .

(3) Điều kiện để tồn tại hai số không âm u, v sao cho là

LOVEBOOK.VN | 22

STUDY TIP

Chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất theo cách này chúng ta không cần phải chỉ ra giá trị cụ thể của x để đẳng thức xảy ra nữa (vì chúng ta đã có điều kiện tồn tại x để đẳng thức xảy ra rồi).

2 2 2 4 4 0a b a b 3 4 9 0c d

2 2 2 21 2 ac bd a b c d

2 22 2 2 4 4 0 1 2 9a b a b a b

;M a b ;N c d

2 2: 1 2 9C x y : 3 4 9 0d x y

C 1; 2I 3R

22

3.1 4. 2 9, 4 3

3 4d I d R

,X C Y d ,XY d I d R 1MN

2 22 2 2 2 2 2MN a c b d a b c d ac bd

2 2 2 2 2 1a b c d ac bd 2 2 2 21 2 ac bd a b c d

2 0ax bx c 0a 0

u v Suv P

2 4 0S P

u v Suv P


.

Chú ý: Để tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của hàm số theo cách này, chúng ta có thể tiến hành như sau:

- Bước 1: Gọi là một giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số. Khi đó

phương trình có nghiệm.

- Bước 2: Biến đổi đưa phương trình về dạng . Sau đó tìm điều kiện để phương trình này có nghiệm (điều kiện này dẫn đến giải bất

phương trình ẩn ).

- Bước 3: Từ kết quả của bước 2, chúng ta kết luận về giá trị lớn nhất hoặc giá trị

nhỏ nhất của hàm số .


Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Lời giải

Vì với mọi nên hàm số xác định trên .

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số đã cho. Khi đó phương trình

có nghiệm

có nghiệm

(1) có nghiệm.

Trường hợp 1: .

LOVEBOOK.VN | 23

2

00

4 0

SP

S P

y f x

0y

0f x y

0f x y 2 0ax bx c

0y

y f x

2

2 14

xyx x

22 1 154 0

2 4x x x

x

0y

0 2

2 14

xyx x

20 4 2 1y x x x

20 0 02 4 1 0y x y x y

0 0y


Khi đó (1) trở thành .

Trường hợp 2: .

Khi đó phương trình (1) có nghiệm

.

Kết hợp hai trường hợp ta có

Với ta tìm được .

Với ta tìm được .

Vậy, và ./.

Nhận xét:

1. Qua cách làm của ví dụ này, bạn đọc có thể tự mình đưa ra hướng giải cho bài

toán tổng quát: Tìm giá trị lớn nhất và gnn của hàm số , trong

đó và .

2. Từ kết quả của ví dụ này, chúng ta có thể phát biểu lại bài toán dưới hình thức khác như sau:

a) Trong các cặp số (x; y) thỏa mãn phương trình , hãy tìm cặp số sao cho y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

b) Hàm số nhận giá trị nguyên khi nào?

LOVEBOOK.VN | 24

STUDY TIP

Ngoài cách giải này, chúng ta có thể sử dụng công cụ đạo hàm để tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (đây là cách làm có tư tưởng rõ ràng, dễ hiểu đối với mọi đối tượng học sinh) mà chúng ta sẽ được nghiên cứu ở chương trình Giải tích 12.

12 1 02

x x

0 0y

2 20 0 0 0 02 4 4 1 0 15 8 4 0y y y y y

04 2 19 4 2 19

15 15y

04 2 19 4 2 19

15 15y

014 2 19

15y

01

01

22

yx

y

024 2 19

15y

02

02

22

yx

y

4 2 19max15

y

4 2 19min15

y

21 1 1

22 2 2

a x b x cya x b x c

2 0a 22 2 24 0b a c

2 2 4 1 0x y xy x y

2

2 14

xyx x


Ví dụ 12: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng

minh rằng .

Lời giải

Hệ điều kiện đã cho được viết lại là (*).

Do tồn tại a, b đã cho nên hệ phương trình (*) có nghiệm, a, b hay

.

Vai trò của a, b, c trong hệ điều kiện đã cho là như nhau nên chứng minh tương

tự ta cũng có . Vậy, ./.

Nhận xét:

1. Trong ví dụ này vai trò của a, b, c là như nhau nên ta có cùng kết quả đánh

giá . Cũng có những trường hợp vai trò của các biến là không tương đương, ta cần thực hiện phép biến đổi đưa về dạng vai trò của các biến là tương đương. Hãy nghiên cứu vấn đề thông qua bài tập dưới đây:

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn hệ điều kiện . Chứng minh rằng

.

2. Nội dung ví dụ này có thể diễn đạt bằng hình thức khác như: Trong các bộ số

thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho c đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

3. Nếu kết hợp với tính chất hàm số, chúng ta có thể đề xuất bài toán sau: Trong

LOVEBOOK.VN | 25

44

a b cab bc ca

80 , ,3

a b c

2

4 44 4 4

a b c a b cab c a b ab c c

2 24 4 4 4 0c c c 2 83 8 0 0

3c c c

8 80 ,03 3

a b 80 , ,3

a b c

8 8 80 ,0 ,03 3 3

a b c

2 3 42 6 3 4x y z

xy yz zx

8 4 80 ,0 ,03 3 9

x y z

; ;a b c4

4a b cab bc ca


các bộ số thỏa mãn điều kiện , hãy tìm bộ số sao cho

đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.

4. Từ hằng đẳng thức và từ giả thiết

của ví dụ này, ta có . Do đó ta có thể đề xuất các bài toán sau đây:

a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh

rằng .

b) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện . Chứng minh

rằng .

6. Sử dụng tính chất của hàm số


Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, chúng ta cần biết một số kiến thức sau đây:

(1) Bảng biến thiên của hàm số bậc hai .

Trường hợp Trường hợp

(2) Xét hàm số bậc nhất trên đoạn . Khi đó,

LOVEBOOK.VN | 26

STUDY TIP

Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử

; ;a b c4

4a b cab bc ca

P ab

22 2 2 2a b c a b c ab bc ca

2 2 2 8a b c

2 2 2

4

8

a b c

a b c

80 , ,3

a b c

2 2 2

4

8

ab bc ca

a b c

8 8, ,3 3

a b c

2y ax bx c

x 2ba

x 2ba

y

y4a

4a

0a 0a

y ax b ;


và .

Đặc biệt: - Nếu thì .

- Nếu thì .

(3) Xét hàm số bậc hai trên đoạn .

Tính . Khi đó

- Nếu thì

- Nếu thì

(4) Xét hàm số xác định trên đoạn .

Khi đó, .

(5) Xét hàm số , trong đó với

. Khi đó .

Đặc biệt, với thì .


Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

a) , với .

b) , với .

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 27

STUDY TIP

Ngoài cách dựa vào các kết quả nêu trên, khi sử dụng tính chất của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, người ta còn sử

;max max ;y y y

;

min min ;y y y

0a

;;max ;miny y y y

0a

;;max ;miny y y y

2f x ax bx c ;

1 2 3, ;2by f y f y fa

;2ba

1 3 1 3;;max max ; ;min min ;f x y y f x y y

;2ba

1 2 3 1 2 3;;max max ; ; ;min min ; ;f x y y y f x y y y

, 0; 0ax bf x c ad bccx d

;

;;max max ; ;min min ;f x f f f x f f

1 1 2 2 ... n nf x a x b a x b a x b 0ia

1,2,...,i n 1 2

1

min min ; ;...;2

n

n

bb bf x f f fa al a

0a 1 2 1 2ax b ax b b b

1 9f x x x 3 6x

2 1 9 1 9g x x x x x 3 6x


a) Với thì .

Ta có .

Xét hàm số trên đoạn . Ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

3 5 6

1216

15

Từ bảng biến thiên, ta có

.

Vậy, và .

Chú ý: Chúng ta cũng có thể tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn bằng cách đơn giản như nêu ở phần lý thuyết. Cụ thể:

Ta có và nên

và .

b) Đặt (ĐK: ). Suy ra .

Do đó .

Với thì theo ý a) ta có .

Xét hàm số trên đoạn .

Ta có và .

LOVEBOOK.VN | 28

3;6x 0f x

2 28 2 1 9 8 2 10 9f x x x x x

2 10 9h x x x 3;6

x

h x

28 2 12 8 2 16, 3;6f x x

8 4 3 4, 3;6 2 6 4, 3;6f x x f x x

3;6max 5 4f x f

3;6min 3 2 6f x f

h x 3;6

5 3;62ba

3 12; 5 16; 6 15h h h

3;6min 12h x

3;6max 16h x

1 9t x x 0t

2 81 92

tx x

2

28 12 4 82 2

tg x t t t

3;6x 2 6;4t

2 4 8k t t t 2 6;4

2 2 6;42ba

2 6 4 3 2 6 ; 4 8k k


Do đó .

Suy ra .

Vậy, và ./.

Ví dụ 14: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải

Ta luôn có và .

Do đó, kết hợp với giả thiết ta có .

Đặt thì và .

Suy ra, .


Ta có và .

Do vậy .

+) hoặc .

+) (hệ có nghiệm .

LOVEBOOK.VN | 29

4 3 2 6 8, 2 6;4k t t

4 2 2 6 3 , 3;6g x x

3;6max 2 2 6 3g x

3;6min 4g x

2 2 3x xy y

4 4 2 23 4A x y x y xy

2 2 2x y xy 2 2 2x y xy

3 23 1

3 2xy xy

xyxy xy

t xy 2 2 3x y t 24 4 2 2 2 2 22 6 9x y x y x y t t

22 2 9A t t

22 2 9f t t t 3;1

1 3;12 2ba

1 173 33; ; 1 92 2

f f f

17 332

A

2 2

3 333

3 3

xy xA

x xy y y

3

3

x

y

2 2

117

22 3

xyA

x xy y

14 6 14 6; ;4 4

x y


Vậy, A đạt giá trị lớn nhất bằng 33 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng ./.

7. Sử dụng dồn biến


Kỹ thuật dồn biến trong chứng minh bất đẳng thức là một kỹ thuật làm giảm số biến trong bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi biến,… Trong các kỳ thi Trung học phổ thông chúng ta thường chỉ gặp các bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với những kỹ thuật dồn biến khá là cơ bản như đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; …

Một số đánh giá thường sử dụng thì đã được nêu ở các phần trên, ngoài ra còn

cần chú ý đến một vài đánh giá như: Với thì

(1)

(2) , với

Một số cách đổi biến thường gặp là hoặc hoặc hoặc

; hoặc Bên cạnh việc đổi biến số, chúng ta thường sử dụng các bất đẳng thức cơ bản hoặc kinh điển để tìm tập giá trị của biến mới.


Ví dụ 15: Cho x, y là các số thực khác không. Chứng minh rằng

.

Lời giải

Đặt thì hoặc .

LOVEBOOK.VN | 30

172

0, 0a b

2 32 2 3 3; ;...a b a b a b a b

c a c b c c a b 0;...c

t x y t xy 2 2t x y

x yty x

t a b c ;...t ab bc ca

2 2

2 23 8 10 0x y x yy x y x

x yty x

2 2x yt ty x

2t


Từ cách đặt, ta có .

Do hoặc nên hoặc

.

Vậy, . Đẳng thức xảy ra khi ./.

Ví dụ 16: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

Lời giải

Vì nên

.

Đặt (ĐK: ), ta được .

Lại có nên .


Ta có và .

Suy ra, .

LOVEBOOK.VN | 31

2 2

22 23 8 10 3 8 4 2 3 2x y x y t t t t

y x y x

22 3 2 03

t t t 2t 2 3 2 0, 2t t t

2t

2 2

2 23 8 10 0x y x yy x y x

0x y

1x y

2 24 3 4 3 25S x y y x xy

1x y 2 2 3 316 12 34S x y x y xy

3 22 216 12 3 34 16 2 12x y x y xy x y xy xy xy

t xy 0t 216 2 12S t t

2 102 4

x yxy

10;4

t

216 2 12f t t t 10;4

1 10;2 16 4ba

1 191 1 250 12; ;

16 16 4 2f f f

11 0;0;44

1 25 1 191max ;min4 2 16 16

f t f f t f


Vậy, Giá trị lớn nhất của S bằng ; khi .

Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi

hoặc ./.

Ví dụ 17: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức .

Lời giải

Ta có và .

.

Đặt thì và .

Xét hàm số trên nửa khoảng . Bảng biến thiên của hàm số

là:

0 4

7

Do đó .

Vậy, P đạt giá trị lớn nhất bằng 7; khi ./.

LOVEBOOK.VN | 32

252

1

1 1; ;1 2 24

x yx y

xy

19116

11

16

x y

xy

2 3 2 3; ;4 4

x y

2 3 2 3; ;4 4

x y

2 2 8x y

2 22 2 13P x y xy x y

0x y 2 2 22 16 4x y x y x y

2 22 2 13 5P x y x y x y x y x y

t x y 0;4t 2 5P t t

2 5f t t t 0;4

f t

t 12

f t 5

214

7, 0;4f t t

2 2 8

; 2;24

x yx y

x y


8. Sử dụng dấu tam thức bậc hai


- Định lý (về dấu tam thức bậc hai):

Cho tam thức bậc hai .

+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .

+ Nếu thì cùng dấu với hệ số a với mọi .

+ Nếu thì có hai nghiệm và ( ). Khi đó, trái dấu

với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (tức là với ) và

cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn (tức là với hoặc

).

- Hệ quả: Từ định lý về dấu tam thức bậc hai ta rút ra các hệ quả sau đây:

.

(2) .

(3) Nếu tồn tại số α sao cho thì .


Ví dụ 18: Chứng minh rằng với mọi số thực x, y, z ta luôn có

.

Lời giải

Cách 1: (Biến đổi tương đương)

Ta có

LOVEBOOK.VN | 33

2 , 0f x ax bx c a

0 f x x

0 f x 2bxa

0 f x 1x 2x 1 2x x f x

1 2;x x 1 2x x x f x

1 2;x x 1x x

2x x

2 01 , 0

0 a

x ax bx c

2 0, 0

0a

x ax bx c

0af 2 4 0b ac

2 2 219 6 8 12 4 0x y z xy yz zx


.

Cách 2: (Sử dụng dấu tam thức bậc hai)

Xét .

Có

.

Suy ra, .

Vậy, ./.

Ví dụ 19: Cho dãy số trong đó các số hạng thuộc đoạn . Chứng

minh rằng .

Lời giải

Xét tam thức bậc hai .

Ta có .

Vì nên . Do đó .

Mặt khác hệ số của bằng nên

./.

9. Sử dụng phản chứng


Để chứng minh một mệnh đề là đúng theo phương pháp phản chứng thì chúng ta có thể tiến hành như sau:

LOVEBOOK.VN | 34

22 2 2 2 2 219 6 8 12 4 2 4 2 4 2 3 4 2x y z xy yz zx x x y z y z y yz z

2 224 2 2 0, , ,x y z y y z x y z

2 2 22 4 2 19 6 12f x x y z x y z yz

2 2 2 2 2' 4 2 19 6 12 3 4 2y z y z yz y yz z

22 2 0, ,y y z y z

0, , ,f x x y z

2 2 219 6 8 12 4 0, , ,x y z xy yz zx x y z

1 2, ,..., na a a 0;1

2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ...n na a a a a a

2 2 2 21 2 1 21 .. ...n nf x x a a a x a a a

2 2 21 1 2 21 ... n nf a a a a a a

0 1, 1, 2,...,ka k n 2 0, 1,2,...,k ka a k n 1 0f

2x 1 0 0f

2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ... 0n na a a a a a

2 2 2 21 2 1 21 ... 4 ...n na a a a a a


- Bước 1: Giả sử mệnh đề đó là sai (lúc này kết quả đó được dùng làm giả thiết, gọi là giả thiết phản chứng).

- Bước 2: Bằng lập luận lôgic, và những kiến thức đã biết, kết hợp với kết quả ở bước 1 để chỉ ra điều mâu thuẫn với điều giả sử hoặc mâu thuẫn với kết quả đúng đã biết.

- Bước 3: Khẳng định mệnh đề đã cho là đúng.


Ví dụ 20: Cho a, b, c là các số thực thuộc khoảng . Chứng minh rằng ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:

.

Lời giải

Giả sử cả ba bất đẳng thức trên đều sia. Khi đó .

Nhân vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được

(*).

Mặt khác, với thì nên

.

Điều này mâu thuẫn với (*). Suy ra điều giả sử là sai hay có ít nhất một bất đẳng thức trong các bất đẳng thức đã cho là đúng./.

B. Các dạng toán điển hình

Trong phần này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ điển hình minh họa cho từng phương pháp nêu trên.

LOVEBOOK.VN | 35

Dạng 1

1;5

1 5 4; 1 5 4; 1 5 4a b b c c a

1 5 4

1 5 4

1 5 4

a b

b c

c a

31 5 1 5 1 5 4a a b b c c

1;5x 21 50 1 5 4

2x xx x

31 5 1 5 1 5 4a a b b c c


Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn

.

A. B. C. D.

Lời giải

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.

Xét phương trình

.

Vậy .

Cách 2: (Biến đổi tương đương, đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

Ta có .

Do nên . Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .

Đáp án C.

Bài tập rèn luyện kĩ năng:

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

LOVEBOOK.VN | 36

STUDY TIP

Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn bất kỳ.

3 27 11 2y x x x

0;2

11m 0m 2m 3m

3 2 3 27 11 2 2 7 11 0x x x x x x

2 7 11 0 0 0;2x x x x

2m

3 27 10 2 2 5 2y x x x x x x x x

0;2x 2 5 0; 2 2x x x x 2y

0 0;2x 2m

3 22 2f x x x x 0;2

0;2max 2f x

0;2

50max27

f x

0;2max 1f x

0;2max 0f x

3 22 4 1y x x x 1;3

1;3

67max27

y 1;3

max 2y


C. D.

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Ví dụ 2: Cho hàm số . Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng:

A. B. C. 9 D. 0

Lời giải

Điều kiện: .


- Kiểm tra phương án B:


(điều này không thể xảy ra

vì ).

- Kiểm tra phương án A:


Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì . Thay vào phương trình thấy thỏa

mãn. Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .

Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

LOVEBOOK.VN | 37

STUDY TIP

Ngoài hai cách giải như bên, ví dụ này còn có thể giải được nhờ công cụ đạo hàm mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong Giải tích 12. Cách giải dựa vào đạo hàm không chỉ giúp ta tìm được giá trị nhỏ nhất mà còn tìm được cả giá trị lớn nhất của hàm số không

những trên đoạn mà còn cả trên một đoạn

bất kỳ thuộc .

1;3max 7y

1;3max 4y

3 23 9 2y x x x 0;4

0;4min 18y

0;4min 2y

0;4min 25y

0;4min 34y

22 3 9y x x

6 9

3 3x

2 22 3 9 9 3 9 9 2x x x x

22

22

99 2 02

9 9 9 2 9 9 9 2

x x

x x x x

3 3x

2 22 3 9 6 3 9 6 2x x x x

3;3

3;3

2 22 2

6 2 0 3

9 9 6 2 9 9 2 6

x x

x x x x

3x

6


Với mọi , ta có .


Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng .

Đáp án A.

Nhận xét:

1. Chúng ta cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất của hàm số dựa vào bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki. Cụ thể như sau:

Ta có

.

Vậy .

2. Bằng kỹ thuật tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất nói trên, bạn đọc cũng có thể tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:

.

Ví dụ 3: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. 2 B. 0 C. 1 D. 18

Lời giải

Ta có .

Đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi .

LOVEBOOK.VN | 38

3;3x 22 3 9 2 2. 3 6y x x x

2

33

9 0

xx

x

6

2

2 2 2 2 2 22. 3. 9 2 3 9 9.13 3 13 3 13y x x x x y

29 6 133 132 3 13x xy x

3;3

6 13max13

y

2 22 3 9 ; 3 5 16y x x y x x

3 23 2y x x 2;2

3 23 2 0,x x x

1 2;2x


Vậy, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng 0.

Đáp án B.

Ví dụ 4: Biết rằng biểu thức đạt giá trị

nhỏ nhất khi và chỉ khi . Giá trị của bằng:

A. 11 B. 29 C. 40 D. 49

Lời giải

Với thì và

nên biểu thức M xác định khi .

Ta có .

.

Vậy, biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi và chỉ khi .

Do đó .

Đáp án D.

Ví dụ 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi M và

m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có:

LOVEBOOK.VN | 39

3 23 2y x x 2;2

3 2 4 6 4 5M x x x x

;x a b 2 3a b

4x 23 2 4 4 1x x x 2

6 4 5 4 3x x x

4x

2 24 1 4 3 4 1 3 4 2M x x x x

2 4 1 3 4 0 1 4 3 5 13M x x x x

5;13x

5; 13 2 3 49a b a b

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 3 2A x y z

3 18m M 3 18m M

4132

m M 3532

m M


.

.

Vì x, y, z không âm nên và .

và .

Vậy và .

Đáp án A.


Câu 1: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng

biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi . Tính giá

trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Câu 2: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số nguyên

của biểu thức là:

A. 0 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 3: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Số giá trị

nguyên của biểu thức là:

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

LOVEBOOK.VN | 40

2 3 4 2 4 3 2 33 4 3 6 3 4 6 3 3

x y z x y z x zx y z x y z y z

4A z

203

z 14 24 , 0;3 3

A z

4 ; ; 2;0;0A x y z 14 2; ; 0;2;3 3

A x y z

143

M 4m

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 3 2A x y z 0 0 0; ; ; ;x y z x y z

0 0 024 6 2019S x y z

48S 1390S 1358S 66S

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 3 2A x y z

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 2 2 3 3E x y x y z


Câu 4: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Gọi S là tập

hợp các giá trị nguyên của biểu thức . Tính tổng bình phương các phần tử của tập hợp S.

A. 415 B. 451 C. 366 D. 2025

Câu 5: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn . Biết rằng

biểu thức nhận giá trị là số nguyên tố p khi

hoặc . Giá trị của biểu thức

thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Ví dụ 6: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó p, q là

các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng

A. B. 286 C. 1606 D.

Lời giải

Ta có . Đẳng thức xảy ra (tức là ) khi và chỉ khi hệ

phương trình có nghiệm .

Nhưng do F đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương nên .

Khi thì .


LOVEBOOK.VN | 41

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 2 2 3 3E x y x y z

2 3 43 4 3 6

x y zx y z

2 2 2 3 3E x y x y z

1 1 1; ; ; ;x y z x y z 2 2 2; ; ; ;x y z x y z

1 2 1 2 1 2T p x x y y z z

9;10 10;11 11;12 8;9

2 22 1 2 5F x y x my pq

pq 2 2p q pqm

74 194

0, ,F x y 0F

2 1 02 5 0x y

x my

4m

4m

4m

22 2 11 9 92 1 2 4 5 5 2

5 5 5F x y x y x y

112 0 5 10 11 05

x y x y


Vậy, với thì . Suy ra và .

Do đó .

Đáp án A.


Câu 1: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Tìm giá trị của m để

giá trị nhỏ nhất của biểu thức là một số dương.

A. B. C. D.

Câu 2: Cho x, y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất là số dương khi x, y thỏa

mãn điều kiện . Tỷ số nhận giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.


đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x, y

thỏa mãn điều kiện . Giá trị của bằng:

A. 12 B. 30 C. 36 D. 52


đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .

LOVEBOOK.VN | 42

Dạng 2

STUDY TIP

1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp mà cụ thể là dựa vào điều kiện

4m 9min5

F 9p 5q

2 2 2 29 5 9.5. 4 74p q pqm

2 22 1 2 5F x y x my

4m 10m 4m 10m

2 22 1 2 5F x y x my

0ax by c a b

c

1;2 1;0 0;1 2; 1

2 22 1 2 5F x y x my

10 0x ay b 2 3P a b m

2 1 2 5E x y x my 0E

0 0;1E 0 1;2E 0 2;3E 0 3;4E

2 2y xx

1 ;22


A. B. C. D.

Lời giải

Cách 1: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Đẳng thức xảy ra khi . Vậy .


Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước.

Ta có .

Đáp án D.

Nhận xét:

1. Trong ví dụ này nếu thay giả thiết thành giả thiết thì

cách giải cũng không có gì thay đổi vì điểm rơi vẫn thuộc khoảng .

2. Nếu thay giả thiết thành hoặc chẳng hạn thì kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cô-si cũng cần điều chỉnh (do điểm rơi thay đổi).

- Nếu thì và . Do đó ta cần biết đổi như sau:

.

LOVEBOOK.VN | 43

STUDY TIP

1. Cách 2 trong lời giải ở bên dựa vào định nghĩa giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập hợp mà cụ thể là dựa vào điều kiện

3m

174

m 5m 10m 17

4m

10m 5m 3m

2 231 1 1 13 . . 3y x xx x x x

2 1 11 ;22

x xx

3m

3m

22 32 13 3 2 0 1 2 0 1 ;22

x x x x x xx

1 ;22

x 1 ;22

x

1x 1 ;22

1 ;22

x 1 4;5 5

x 2;6x

1 4;5 5

x 2 1 16;

25 25x

2 5 ;102x

2 2364 64 122 64 64 122 1573 . .

125 125 125 125 125 125 50y x x

x x x x x x



- Nếu thì và . Do đó ta cần biến đổi như sau:

.



Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng là:

A. 4 B. C. D.

Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 3. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:

A. B. C. D.

Câu 4. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn là:

A. B. C. D.

Câu 5. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn khi:

A. B. C. D.

LOVEBOOK.VN | 44

45

x

2;6x 2 4;36x 2 1 ;1

3x

2 2 2 237 1 1 1 7 1 1 1.2 3 . . 58 8 8 8

y x x xx x x x

2x

2f x xx

0;

22 2 2 2

2 32f x xx

1 ;12

2 633 36

2 33 3 33 18

2 83f x xx

1;3

1x 3x 3

23

x 3

26

x

2

341

f x xx

0;2

4 3 33 6 33 6 4 4 3 4

2

232 1

f x xx

0; 3

0x

3

3

2 32 3

x

3 3

3

4 32 3

x

3x


Ví dụ 2: Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng .

A. B.

C. D.

Lời giải

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.


Vậy .

Đáp án A.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

A. B.

C. D.

Lời giải

Hàm số xác định trên đoạn .

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Cô-si)

Ta có .

LOVEBOOK.VN | 45

2

43y xx

0;

3

0;min 3 9y

3

0;min 2 9y

0;

33min5

y

0;min 7y

332 2 2

4 3 3 4 3 3 43 3 . . 3 92 2 2 2x x x xy x

x x x

32

3 4 8 0;2 3x x

x

3

0;min 3 9y

2 31

xyx

2;4

2;4

19min3

y 2;4min 2y

2;4min 3y

2;4min 6y

2;4

2 1 4 4 41 1 21 1 1

xy x xx x x


Với thì nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Suy ra .

Vậy .


Nhận thấy với thì nên loại ngay phương án B và C.

Kiểm tra phương án D trước (vì ).

Ta có . Vậy .

Đáp án D.

Ví dụ 4: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức .

A. B.

C. D.

Lời giải

Từ giả thiết ta có . Do nên suy ra .

Với thì .

Do đó .

Vì nên . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

LOVEBOOK.VN | 46

2;4x 1 0x

4 41 2 1 . 41 1

x xx x

46, 2;4 ; 6 1 3 2;41

y x y x xx

2;4min 3 6y y

2;4x2 3 0

1xyx

1963

2

23 6 6 9 0 3 2;41

x x x xx

2;4min 6y

2xy x y

min P P x y

min 6P min 2 2 3P

min 2 3 2P min 17 3P

21y x x 0, 0x y 1x

1x

221

1xy x x y

x

2 2 1 1 1 12 1 2 1 31 1 1 1

x xP x x x xx x x x

1x 1 0x


Suy ra .


Vậy .

Đáp án B.


1. Qua kết quả trên đây, chúng ta có thể đề xuất một số câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức là:

A. một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5 B. một số vô tỷ lớn hơn 5

C. một số hữu tỷ lớn hơn 5 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 5

Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b là các số thực dương. Giá trị của

bằng:

A. 7 B. 13 C. 17 D. 22


đạt giá trị nhỏ nhất khi . Giá trị của là:

A. một số nguyên dương B. một số hữu tỷ dương

C. một số vô tỷ lớn hơn 1 D. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 1

2. Khi học về hàm số lôgarit (Giải thích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu dưới một hình thức khác nhưng bản chất giải quyết vấn đề thì không có gì thay đổi. Chẳng hạn:

LOVEBOOK.VN | 47

1 12 1 2 2 1 . 2 21 1

x xx x

2 2 3P

2

12 1 2 2 4 3 21 ; ;2 21

xx x y

y x x

min 2 2 3P

2xy x y

P x y

2xy x y P x y

a b

a b

2xy x y P x y

0 0; ;x y x y 0 03x y


Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức .

A. B.

C. D.

Ví dụ 5: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất của của .

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có . Do nên

. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.


Vậy khi .

Đáp án D.


LOVEBOOK.VN | 48

STUDY TIP

Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với có thể dựa vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn

2ln ln lnx y x y

min P P x y

min 6P min 2 2 3P

min 2 3 2P min 17 3P

2 3 3x y xy

minP P x y

min9 11 19

9P

min9 11 19

9P

min18 11 29

21P

min2 11 3

3P

3 2 3 22 3 31 3 1 3

y yx y xy x P yy y

0, 0x y

302

y

9 6 11 2 11 33 3 3 1 3 2 11 31 3 1 3 3

yP y y Py y

113 13 1 11 2 11 1; ;

3 2 3 31 3

yy

x yyxy

3 21 3

yf y yy

30;2

y

min2 11 3

3P

11 2 11 1; ;3 3

x y


Câu 1: Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng . Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu

thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng , trong đó a, b, c là các số

nguyên dương. Gọi S là tập hợp các giá trị của , tính tổng bình phương các phần tử của S.

A. 932 B. 2560 C. 1764 D. 4096

Câu 3: Cho các số thực dương x, y thỏa mãn . Biết rằng biểu

thức đạt giá trị nhỏ nhất khi , tính .

A. B. C. D.

Khi học về hàm số mũ, hàm số lôgarit (Giải tích 12) chúng ta có thể gặp bài toán này dưới hình thức khác. Chẳng hạn như câu 47, mã đề thi 101, THPTQG 2017:

Xét các số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị

nhỏ nhất của .

A. B.

C. D.

Ví dụ 6: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức .

LOVEBOOK.VN | 49

STUDY TIP

Việc tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

với có thể dựa vào đạo hàm (kiến thức lớp 12). Bạn đọc có thể tham khảo trong cuốn

30;2

23 33 1

x xf xx

0;1 1;2 2;3 3;4

2 3 3x y xy

P x y 3a b c

M a b c

2 3 3x y xy

P x y 0 0; ;x y x y 0 03 6S x y

3 11 6 3 11 4 9 11 18 3 11 3

31log 3 2 4

2xy xy x y

x y

minP P x y

min9 11 19

9P

min9 11 19

9P

min18 11 29

21P

min2 11 3

3P

2 2 7ab bc ca

min Q 2 2 2

11 11 128 56 8 56 4 7

a b cQa b c


A. B.

C. D.

Lời giải

Từ giả thiết, ta có

.


.

Tương tự, ta cũng có .

Lại có .


.

Suy ra

.


Vậy khi .

Đáp án C.

Nhận xét: Khi đánh giá biểu thức bằng bất đẳng thức Cô-si

LOVEBOOK.VN | 50

STUDY TIP

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức có dạng

, với , chúng ta có thể tiến hành theo một trong ba cách sau đây: Một là, đánh giá

, với ; hai

là, đánh giá , với

; ba là, đánh giá

và ,

với , , .

34min4 6 3

Q

22min9

Q

min 2Q min 1Q

AfB

0, 0A B

.B k A 0k

.A k B

0k

1.A k C 2 .B k C

0C 1 0k 2 0k

2 2 28 56 8 7 8 2 2 8 2a a a ab bc ca a b a c

28 56 2 2 2 2 2 3 2 2a a b a c a b a c a b c

28 56 2 3 2b a b c

2 24 7 4 2 2 2 2c c ab bc ca a c b c

2 2 2 44 7 2 22 2

a c b c a b cc a c b c

2 2 2 11 11 12 11 11 128 56 8 56 4 7 211 11 122

2

a b c a b ca b c Qa b c

2 2

2 2 3; ; 1;1;22 2

2 2 7

a b a c

a b b ca b c

a c b cab bc ca

min 2Q 3; ; 1;1;

2a b c

2 2 2a b a c


theo chiều nhỏ hơn hoặc bằng, chúng ta có 2 cách đánh giá. Đó là,

và .

Nếu đánh giá theo cách thứ nhất thì chúng ta có lời giải như trên, còn nếu đánh giá theo cách thứ hai thì ta có:

.

Việc đánh giá biểu thức Q chưa đạt được mục đích và dấu đẳng thức xảy ra khi

(vô lý).


Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Giá trị nhỏ

nhất m của biểu thức thỏa mãn điều kiện nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn .

Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 3: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng

biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi

. Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.

LOVEBOOK.VN | 51

2 2 2 2 2 3 2 2a b a c a b a c a b c

2 2 2 2 2 3 4a b a c a b a c a b c

2 2 2 9 9 208 56 8 56 4 72

a b ca b c

0c

2 2 7ab bc ca

2 2 2

11 11 12

8 56 8 56 4 7

a b cQa b c

302

m 3 22

m 522

m 5 32

m

2 2 7ab bc ca

2 2 2

27 27 60

8 56 8 56 4 7

a b cEa b c

5 6m 6 7m 7 8m 4 5m

2 2 7ab bc ca

2 2 2

11 11 12

8 56 8 56 4 7

a b cQa b c

; ; ; ;a b c m n p 2 9 1945P p n m

1957P 1954 7P 1956 35

5P

58572

P


Câu 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Biết rằng

khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì

, trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối giản. Tính giá

trị của biểu thức .

A. B. C. D.

Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki

Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

. Khi đó, giá trị của bằng

A. 4 B. C. D.

Lời giải

Điều kiện

+) Với mọi , ta có (TMĐK) .

+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi (TMĐK).

Do đó . Vậy .

Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 52

Dạng 3

2 2 7ab bc ca

2 2 2

11 11 12

8 56 8 56 4 7

a b cQa b c

ma cn

mn

2 5S m n

19S 16S 7S 12S

24y x x M m

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2x

2;2x 2; 2 2y x y x 2m

2

2 2 2 2 2 21. 1. 4 1 1 4 8y x x x x

2 2y

2

2

04 21 1 2

xx x xx

2 2M 2 2 2M m


Ví dụ 2: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

. Tổng bình phương của M và m bằng

A. B. C. D.

Lời giải

- Điều kiện: . Với điều kiện này thì .

- Với mọi , ta có

.

Suy ra (TMĐK).

- Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra (TMĐK).

Vậy và . Suy ra .

Đáp án B.

Nhận xét: Khi tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây:

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm.

LOVEBOOK.VN | 53

3 2 3 2y x x

253

356

256

353

2 33 2

x 0y

2 3;3 2

x

2 1 5 51 2 3 2 3 2 3 2 2 3 2 3 23 3 3

y x x x x x x

5 15 15 2; 3 2 03 3 3 3

y y x x

2

2 3 4 3 4 25. 2 1. 3 2 1 2 3 22 3 2 3 6

y x x x x

4225 5 6 5 6 3 2 7 2 33; ;36 6 6 1 6 3 22

x xy y x

5 66

M 153

m 2 2 356

M m

3 2 3 2y x x

3 2 3 2x x m


2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

có nghiệm.

3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

nghiệm đúng với mọi .

c

Ví dụ 3: Cho x, y là các số thực thay đổi và thỏa mãn . Giá trị

nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của biểu thức là

A. và B. và

C. và D. và

Lời giải

Cách 1: (Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki)

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Do đó .

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy, .

Cách 2: (Sử dụng kiến thức hình học)

Đặt . Từ giả thiết suy ra .

Từ cách đặt và , ta có .

LOVEBOOK.VN | 54

3 2 3 2x x m

3 2 3 2x x m 2 3;3 2

x

2 236 16 9x y

2 5P y x

5516

m 10516

M 154

m 254

M

54

m 454

M 54

m 354

M

2

2 2 21 1 1 1 252 .6 .4 . 36 163 4 9 16 16

x y x y x y

5 5 5 15 252 2 2 54 4 4 4 4

x y x y x y

2 2

1 1.6 .4 2 9 2 9; ; ; ;4 35 20 5 2036 16 9

x yx y

x y

15 25;4 4

m M

6 ; 4X x Y y 2 2 9X Y

2 5P y x 4 3 12 60 0X Y P


Xét trong hệ trục tọa độ OXY, thì phương trình là phương trình

đường tròn có tâm , bán kính , còn là

phương trình đường thẳng .

Do tồn tại x, y nên cũng tồn tại X, Y. Suy ra và phải có điểm chung

.

Vậy, .

Cách 3: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình)

Ta có .

Thay vào giả thiết, ta được

.

Do tồn tại x, y nên phương trình trên phải có nghiệm

.

Vậy, .

Ví dụ 4: Xét các số thực x, y, z thỏa mãn hệ thức

. Gọi S là tập giá trị của biểu thức

. Tập hợp S có bao nhiêu số nguyên dương?

A. 0 B. 23 C. 25 D. 9

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 55

2 2 9X Y

C 0;0O 3R 4 3 12 60 0X Y P

C

12 60 15 25, 35 4 4

Pd O R P

15 25;4 4

m M

2 5 2 5P y x y x P

2 5y x P 2236 16 2 5 9x x P

22100 64 5 16 5 9 0x P x P

2 22' 32 . 5 100. 16 5 9 0P P

2 25 5 5 15 255 516 4 4 4 4

P P P

15 25;4 4

m M

2 2 22 3 4 16x y z

2 2 4F x y z


Ta có . Do vậy áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

.

Suy ra

.


hoặc .

Suy ra và S có 25 số nguyên dương.

Đáp án C.

Sử dụng kiến thức hình học

Ví dụ 1: Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng

A. B. C. 9 D. 7

Lời giải

Ta có nên hàm số xác định trên .

Xét hai vectơ và thì và .

Do nên .

LOVEBOOK.VN | 56

Dạng 4

STUDY TIP

Khi học về phương trình, chúng ta cũng có thể gặp một hình thức khác của dạng toán này. Đó là, giải phương trình:

2 2 3 2 4 2 2 9x y z x y z

2 2 2 22 22 2 9 2 1 2 . 2 3 4 12x y z x y z

12 2 2 9 12 25 2 2 4 1x y z x y z

1 2 2 25 1 25x y z F

2 2 2

2 3 42 1 2

2 3 4 16

x y z

x y z

2 13; ; ; ;3 3 3

x y z

14 5 20; ; ; ;3 3 3

x y z

1;25S

2 26 13 14 58f x x x x x

17 41

2 23 2f x x 2 27 3x

2 6 13x x

2 14 58 41x x

3;2a x

7 ;3b x f x a b

41a b

a b a b

41f x


Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi cùng hướng

.

Vậy .

Đáp án B.


Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là:

A. một số hữu tỷ nhỏ hơn 8 B. một số vô tỷ lớn hơn 6

C. một số vô tỷ nhỏ hơn 5 D. một số nguyên lớn hơn 8

Câu 2. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm:

A. thuộc khoảng B. thuộc khoảng

C. thuộc khoảng D. thuộc khoảng

Câu 3. Biết rằng hàm số đạt giá trị nhỏ

nhất tại điểm , trong đó m, n là các số nguyên dương và phân số tối

giản. Giá trị của bằng:

A. 1 B. 9 C. 21 D.

Cũng từ bài toán trên cùng với cách giải của nó, chúng ta có thể phát triển bài toán thành các bài toán sau đây:

Câu 1. Cho hai số thực bất kỳ x, y. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. B. C. 9 D. 7

LOVEBOOK.VN | 57

,a b

3 3 2 7 23

53 7 0

x xx

x x

min 41f x

2 26 13 14 58f x x x x x

2 26 13 14 58f x x x x x

1;3 3;5

5;7 0;1

2 26 13 14 58f x x x x x

mxn

mn

2 5m n

3

2 2 2 2, 6 4 13 14 6 58f x y x y x y x y x y

17 41


Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. 5 B. 7 C. D.

Câu 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. 5 B. D. D.

Câu 4. Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A. B. C. D.

Ví dụ 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn

nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .

A. và B. và

C. và D. và

Lời giải

Ta có (*).

Xét trong mặt phẳng tọa độ Oxy, thì (*) là phương trình đường tròn có tâm

, bán kính .

Gọi là điểm tùy ý thuộc đường tròn . Khi đó .

Ta có nên O nằm ngoài .

Với mọi điểm , ta có .

LOVEBOOK.VN | 58

STUDY TIP

Trong lời giải này, chúng ta không cần phải chỉ ra tọa độ của điểm P để đẳng thức xảy ra vì ở phần kiến thức cần biết chúng ta đã chỉ ra sự tồn tại và cách xác định điểm P rồi. Nêu câu hỏi có liên quan đến điều kiện để đẳng thức xảy ra thì chúng ta cần phải chỉ ra tọa độ của P. Ta có:

;

.

Đến đây thì bạn đọc có thể tự đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F và điều kiện để đạt được giá trị đó.

2 2 2 2, 3 4f x y x y x y

17 14

2 2, 2 3f x y x y x y

13 10 2 3

225

OP OP OI

8 6;5 5

P

885

OP OP OI

32 24;5 5

P

3 0x y

2 2 2 210 4 29 20 2 101K x y x y x y x y

41 82 2 41 34

2 2 8 6 16 0x y x y

2 2F x y

8M 2m 2 2M 2m

64M 4m 16M 4m

2 22 2 8 6 16 0 4 3 9x y x y x y

C

4; 3I 3R

;P x y C 2F OP

224 3 5 3OI R C

P C 2 8OI R OP OI R OP


Suy ra và .

Đáp án C.

Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp bài toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lại về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây:

Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của

là:

A. 3 B. 4 C. 5 D. 8

Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn . Môđun lớn nhất của số phức z là:

A. B.

C. D.

Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn . Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của . Tính .

A. B. C. D.

Ví dụ 3: Gọi là nghiệm của hệ phương trình , với m là

tham số. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức , khi m thay đổi.

A. B. C. D.

Lời giải

Cách 1: (Lời giải đại số)

LOVEBOOK.VN | 59

28 64M 22 4m

4 3 3z i

z

1 2 3z i

14 6 5 15 14 6 5

5

15 14 6 5

5

14 6 5

1 2 4z i

2z i 2 2S M m

34S 82S 68S 36S

;x y2 43 1

x my mmx y m

2 2 2L x y x

29 852

11 85 10 85

29 852


Ta có và

.

Sử dụng phương pháp miền giá trị, ta có: .

. Do đó, giá trị lớn nhất của là .

Cách 2: (Lời giải hình học)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét hai đường thẳng

và .

Nhận thấy luôn đi qua điểm cố định luôn đi qua điểm cố định

và vuông góc với nhau.

Điểm là giao điểm của và thì M thuộc đường tròn đường

kính AB có tâm , bán kính .

, với . Có nên J nằm ngoài

.

Với mọi thì

.

Do đó, giá trị lớn nhất của L là .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 60

2 21 1L x y

1 1 42 43 1 1 2 1

x my mx my mmx y m m x y m

2 2 2 21 1 1 4 2 1x my m x y m m

2 22 2

2 2 94 181 20 191 1

mmx y Lm m

2

9 85 2 9 9 852 1 2

mm

10 85 10 85L L 10 85

1 : 2 4d x my m 2 : 3 1d mx y m

1d 22;4 ,A d

3;1B 1 2,d d

;M x y 1d 2d C

5 5;2 2

I

1 102 2

R AB

2 2 21 1 1L x y JM 1;0J342

IJ R

C

M C34 10 34 10

2 2IJ R JM IJ R JM

2 211 85 11 85 10 85 1 10 85JM JM

10 85


Ví dụ 4: Xét các số thực x, y thỏa mãn

.

Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

. Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

(*).

Xét hai vectơ và .

Ta có .

Do vậy, (*) trở thành .

Điều này xảy ra khi và chỉ khi cùng hướng

.

Khi thì .


Ta có và .

Suy ra .

LOVEBOOK.VN | 61

STUDY TIP

Nếu chúng ta chỉ tập trung biến đổi đại số điều kiện đã cho thì bài toán trở nên dài dòng và phức tạp. Dấu hiệu để chúng ta có thể nhận dạng sử dụng hình học để giải là biểu thức dưới căn bậc hai viết được dưới dạng tổng bình phương của hai số. Qua lời giải bên, bạn đọc tự đề xuất những câu hỏi trắc nghiệm liên quan đến giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và điều kiện để đạt được các giá trị đó.

2 2 2 24 2 5 8 14 65 6 2x y x y x y x y

2 2 2 2 2T x y x y P m M

86M 171

2P

123P 123

2P

2 2 2 24 2 5 8 14 65 6 2x y x y x y x y

2 2 2 22 1 4 7 6 2x y x y

2; 1u x y

4 ;7v x y

2 26;6 6 6 6 2u v u v

u v u v

,u v

2 7 1 4 32 42 4 0

x y y x y xxx x

3y x 2 2 22 2 2 2 6 17x y x y x x

22 6 17f x x x 2;4

6 3 2;42.2 2

3 252 13; ; 4 732 2

f f f

2;4 2;4

25min ;max 732

f x f x


Do đó và .

Đáp án B.

Nhận xét: Khi học về Số phức (Giải tích 12), chúng ta có thể bắt gặp dạng toán này dưới một hình thức khác. Khi đó đòi hỏi chúng ta phải hiểu được bản chất của vấn đề và biết quy lạ về quen để giải quyết vấn đề một cách nhanh gọn. Chẳng hạn như những câu hỏi dưới đây.

Câu 1: Xét các số phức z thỏa mãn . Gọi m, M lần

lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của . Tính .

A. B.

C. D.

Câu 2: Xét các số phức z thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ

nhất m của biểu thức .

A. B. C. D.

Ví dụ 5: Cho các số thực x, y thay đổi và luôn thỏa mãn hệ thức

.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

A. B. 34 C. 40 D. 17

Lời giải

Hệ thức đã cho được viết lại thành .

LOVEBOOK.VN | 62

25 ; 732

m M 171

2m M

2 4 7 6 2z i z i

1z i P m M

13 73P 5 2 2 73

2P

5 2 73P 5 2 73

2P

2 1 13z i z i

2z i

1m 2 13

13m

1313

m 1

13m

2 2 2 22 1 6 8 25 10x y x x y x y

2 21 2P x y

172

2 2 221 3 4 10x y x y


Xét các điểm và . Khi đó, hệ thức đã cho trở

thành , còn biểu thức .

Dễ thấy I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Do đó

.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (khi đó MAB là tam giác cân tại M

và có có nghĩa là tồn tại M).

Đáp án D.

Sử dụng miền giá trị hoặc điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình

Ví dụ 1: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là:

A. 1 và B. và C. và D. và

Lời giải

Cách 1: (Lời giải tự luận)

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .

Khi đó phương trình (*) có nghiệm.

- Trường hợp 1: .

(*) trở thành .


LOVEBOOK.VN | 63

Dạng 5

STUDY TIP

Lời giải tự luận trong ví dụ này ngoài cách được trình bày theo miền giá trị của hàm số thì chúng ta còn có thể sử dụng bảng biến thiên của hàm số (dựa vào công cụ đạo hàm trong chương trình Giải tích 12).

; , 1;0 , 3;4M x y A B 1;2I

10MA MB 2P IM

2 2 22

2 4MA MB ABIM

22 8 17 17

2MA MBIM P

5MA MB

4 2AB

2

2

8 71

x xyx

9 9 192

12

132

32

0y2

2

8 71

x xyx

2

20 0 02

8 7 1 8 7 01

x x y y x x yx

0 01 0 1y y

38 6 04

x x

0 01 0 1y y


(*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp hai trường hợp, ta có và .


- Kiểm tra phương án A.

Ta có .

Đến đây, chúng ta không đánh giá được , tức là nên giá trị lớn nhất của hàm số không phải là 1. Do đó, loại phương án A.

- Kiểm tra phương án B.

+) .

+) .

Do vậy, phương án đúng là B (lúc này không cần kiểm tra các phương án còn lại nữa vì trong hai phương án còn lại giá trị lớn nhất nhỏ hơn 9).

Cách 3: (Sử dụng cách loại trừ)

Ta có nên .

Do đó, các phương án A, C và D không phù hợp.

Đáp án B.

Nhận xét: Từ lời giải tự luận của ví dụ này, với chú ý rằng và

, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

Câu 1: Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

. Tính trung bình cộng của M và m.

LOVEBOOK.VN | 64

0 0' 16 1 7 0y y

20 0 08 9 0 1 9y y y

max 9y min 1y

2 22

2 2 2

8 7 18 7 8 611 1 1

x x xx x xx x x

2

8 6 0,1

x xx

1y

22 2

2 2

8 7 9 1 2 2 1 19 0, ; 91 1 2

x x x xy x y x

x x

22

2 2

2 22 8 81 0, ; 1 21 1

xx xy x y xx x

0 7y max 0 7y y

192

M x

1m 2x

2

2

8 71

x xyx


A. 8 B. 4 C. D. 2

Câu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của hàm số . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

A. 11 B. 10 C. 9 D. 5

Câu 3: Biết rằng hàm số đạt giá trị lớn nhất khi và đạt giá

trị nhỏ nhất khi . Tính giá trị của biểu thức .

A. B. C. D.


trên đoạn . Tính tổng bình phương của M và m.

A. 82 B. 80 C. 64 D. 100

Câu 5: Biết rằng tồn tại các số thực c, d để hàm số đạt giá trị lớn

nhất bằng 9 và giá trị nhỏ nhất bằng . Mệnh đề nào dưới đây sai?

A. B.

C. D.

Câu 6: Trong các cặp số thỏa mãn thì là

cặp số mà y đạt giá trị lớn nhất. Trung bình nhân của và bằng

A. B. C. D.

Câu 7: Cho x, y là các số thực không đồng thời bằng không. Gọi M và m lần lượt

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính

.

A. B. C. D.

LOVEBOOK.VN | 65

4

2

2

8 71

x xyx

2

2

8 71

x xyx

x a

x b 4 5F a b

8F 16F 16F 8F

2

2

8 71

x xyx

3;2

2

2 1x cx dy

x

1

27 8 9c d 2285 32 290c d

12 17c d 15 2 22c d

;x y 2 2 8 7 0x yx x y 0 0;x y

0x 0y

292

194

9 22

2 2

2 2

8 7x xy yFx y

P M m

8P 8P 4P 4P


Câu 8: Xét các số thực x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn và biểu

thức . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của S. Kí hiệu là số nguyên lớn nhất không vượt quá p, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Ví dụ 2: Cho a là số thực khác 0. Tìm giá trị nhỏ nhất m và giá trị lớn nhất M của

hàm số theo a.

A. và

B. và

C. và

D. và

Lời giải

Gọi là một giá trị thuộc miền giá trị của hàm số .

Khi đó phương trình có nghiệm

(*) có nghiệm.


(*) trở thành .


LOVEBOOK.VN | 66

2 2 3x y

2 28 7S x xy y

p

14M m 2 30M m

2 12M m 17M m

2

1236

x x ax

212 36m a 212 36M a

26 2 36m a 26 2 36M a

212 2 36m a 212 2 36M a

26 36m a 26 36M a

0y

2

1236

x x ay

x

02

1236

x x ay

x

0 012 12 36 0y x ax y

0 012 0 12y y

3612 12.36 0ax xa

0 012 0 12y y


(*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp cả hai trường hợp, ta có và .

Đáp án D.


Câu 1: Cho a là số thực khác 0. Gọi m và M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị

lớn nhất của hàm số theo a. Tính tổng bình phương của m và M.

A. 144 B. C. D.

Câu 2: Gọi T là tập hợp các giá trị của tham số a để hàm số đạt

giá trị lớn nhất bằng . Tính tổng các phần tử của tập hợp T.

A. 0 B. C. D.

Câu 3: Cho a là số thực thỏa mãn . Số giá trị của a để giá trị nhỏ

nhất của hàm số đạt giá trị lớn nhất là

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

Câu 4: Cho a là số thực dương. Biết rằng tập giá trị của hàm số

là đoạn và tồn tại a để . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 5: Gọi S là tập hợp các số nguyên a sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số đều là các số nguyên. Tập hợp S gồm bao nhiêu phần tử?

LOVEBOOK.VN | 67

20 0' 36 36 12 0a y y

2 2 2 20 0 012 0 6 36 6 36y y a a y a

26 36m a 26 36M a

2

1236

x x ay

x

2144 2a 2360 2a 2576 8a

2

1236

x x ay

x

6 7 2

144 248 144

10 7a a

2

1236

x x ay

x

2

1236

x x ay

x

;m M 2 3 4 4 0M M m

1 3a 3 4a 6 8a 12 14a

2

1236

x x ay

x


A. 4 B. 2 C. 3 D. 8

Ví dụ 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Tìm giá

trị lớn nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .

A. B.

C. D.

Lời giải

Từ giả thiết, ta có .

- Nếu thì từ giả thiết ta có . Suy ra .

- Nếu thì , trong đó .

Ta có (*).

+) Với thì (*) trở thành .

+) Với thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi

.

Kết hợp hai trường hợp, ta có và .

Đáp án A.

Nhận xét: Từ lời giải ở trên, với chú ý rằng thì và thì

, chúng ta có thể đề xuất các câu hỏi trắc nghiệm sau đây:

LOVEBOOK.VN | 68

STUDY TIP

1. Lời giải bên cũng là một ví dụ cho cách dồn biến thông

qua đổi biến . Ngoài lời giải trên thì ví dụ này còn được giải dựa vào điều kiện tồn tại nghiệm của phương trình lượng giác thông qua việc đổi biến (một cách dồn biến khác)

như ; . Bạn đọc có thể tìm hiểu về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác trong cuốn sách Công phá Toán 2.

2. Ví dụ này được chuyển sang dạng trắc nghiệm khách quan dựa trên câu IV.2 đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2018.

2 2 1x y

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

3; 6M m 6; 3M m

6; 12M m 12; 6M m

2

2 2

2 6

2 3

x xyP

x xy y

0y 2 1x 2P

0y 2

2

2 6

2 3

t tP

t t

xty

xty

sinx t cosy t

2

22

2 62 2 6 3 0

2 3

t tP P t P t P

t t

2P 38 6 04

t t

2P 2' 6 3 2 0P P P

2 3 18 0 6 3P P P

3M 6m

3M 3t 6m

32

t


Câu 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Gọi

là giá trị lớn nhất của biểu thức thì thuộc khoảng nào dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 2: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức là:

A. một số nguyên dương B. một số nguyên âm

C. một số vô tỷ dương D. một số vô tỷ âm

Câu 3: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng

khi biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất thì , trong đó m, n

là các số nguyên dương và phân số tối giản. Giá trị của bằng:

A. 53 B. 67 C. 34 D. 62

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn hệ thức . Biểu thức

đạt giá trị lớn nhất khi , tính giá trị của

.

A. B. C. D.

Câu 5: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức . Biết rằng

biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi .

Tính giá trị của biểu thức .

LOVEBOOK.VN | 69

2 2 1x y max P

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

max P

2;5 0;2 7; 4 4;0

2 2 1x y

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

2 2 1x y

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

my xn

mn 19 5m n

2 2 1x y

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

0 0; ;x y x y

2 20 0 0 0S x x y y

1310

713

710

1913

2 2 1x y

2

2

2 6

1 2 2

x xyP

xy y

0 0; ;x y x y

20 0130L m x y


A. 96 B. C. 48 D.

Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn

nhất của biểu thức là

A. B. C. D.

Lời giải

- Nếu thì từ điều kiện suy ra . Do đó, .

- Nếu thì , với .

Suy ra (*).

+) thì (*) trở thành .

+) thì (*) có nghiệm khi và chỉ khi

. Suy ra .

Kết hợp hai trường hợp, ta luôn có . Vậy, .

Đáp án B.


Câu 1: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn

nhất của biểu thức là

A. một số nguyên dương B. một số vô tỷ dương

C. một số nguyên tố D. một số chính phương

Câu 2: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi S là tập

giá trị của biểu thức . Hỏi tập hợp S có bao nhiêu số nguyên tố?

A. 5 B. 6 C. 7 D. 12

LOVEBOOK.VN | 70

24 30

2 22 3 4x xy y

max P 2P x y

max 8P max 12P max 16P max 4P

0y 2 4x 4P

0y 2 2

2 2 2

2 14 2 3 2 3

x yP t tQx xy y t t

xty

21 2 1 3 1 0Q t Q t Q

1Q 14 2 02

t t

1Q 2' 1 1 3 1 0Q Q Q

2 3 0 0 3Q Q Q 0 3 0 124P P

0 12P max 12P

2 22 3 4x xy y

2P x y

2 22 3 4x xy y

2 2 2P x y xy


Câu 3: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Biết rằng giá

trị lớn nhất của biểu thức là một số nguyên m. Gọi S là tập hợp các ước số dương của m. Tổng các phần tử thuộc S bằng

A. 28 B. 27 C. 15 D. 16

Câu 4: Xét hệ phương trình , với a là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để hệ phương trình có nghiệm.

A. 13 B. 12 C. 4 D. 5

Ví dụ 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Tìm giá trị lớn

nhất M và giá trị nhỏ nhất m của biểu thức .

A. và B. và

C. và D. và

Lời giải

Điều kiện: và .

Từ giả thiết, ta có .

Cách 1: (Sử dụng bất đẳng thức Cô-si)

Từ điều kiện đã cho ta có .

.

+) Do nên

.

LOVEBOOK.VN | 71

2 22 3 4x xy y

2 2 2P x y xy

2 2

2 2

2 3 4

2

x xy y

x xy y a

3 1 3 2x x y y

K x y

9 3 15M 9 3 15m 9 3 15M 0m

9 3 15M 9 3 21

2m

3 15M 3 21

2m

1x 2y

1 2x y x y

0x y

23 1 2 9 3 18 1 2x y x y x y x y x y

1 0; 2 0x y 2 9 3x y x y

2 9 3 219 27 02

x y x y x y


Đẳng thức xảy ra khi hoặc .

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Do đó ta có

.


Vậy và .

Cách 2: (Sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm)

Đặt và , với .

Từ điều kiện ban đầu, ta có .

Điều kiện tồn tại các số a, b không âm thỏa mãn là

.

Lại do nên .

Vậy và .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 72

STUDY TIP

Ví dụ này được chuyển sang câu hỏi trắc nghiệm khách quan dựa vào câu 1, đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm 2005 (VMO 2005).

1 2 0 1

11 3 219 3 2122

x y x

yx y

13 3 212

2

x

y

2 1 2 3x y x y

2 9 3 9 3 18 54x y x y x y x y

2 18 54 0 9 3 15x y x y x y

1 2 10 3 5 8 3 5; ;

2 29 3 15

x yx y

x y

9 3 15M 9 3 21

2m

1; 2a x b y m a b 0, 0a b

2

2 2 3 33 32

m ma b a b ab

21 3 32

a b m

ab m m

2

2 2

03 213 3 0 3 15

22 3 3 0

m

m m m

m m m

3 3x y a b m 9 3 21 9 3 15

2x y

9 3 15M 9 3 21

2m



Câu 1: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị lớn nhất

của biểu thức là

A. một số nguyên dương nhỏ hơn 7 B. một số vô tỷ dương nhỏ hơn 7

C. một số nguyên dương lớn hơn 20 D. một số vô tỷ lớn hơn 20

Câu 2: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức có dạng , trong đó a, b, c là các số nguyên

dương. Giá trị lớn nhất của là

A. 25 B. 73 C. 75 D. 199

Câu 3: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Biết rằng khi

biểu thức đạt giá trị lớn nhất thì x có dạng , trong đó p, q là

các số nguyên dương. Giá trị của bằng

A. 25 B. 36 C. 55 D. 66

Câu 4: Cho hai số thực x, y thỏa mãn . Gọi S là tập giá

trị của biểu thức . Có bao nhiêu số nguyên thuộc tập hợp S?

A. 3 B. 9 C. 10 D. 12

Câu 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm

.

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 73

3 1 3 2x x y y

F x y

3 1 3 2x x y y

F x y .

2a b c

a b c

3 1 3 2x x y y

F x y 2p q

p q

3 1 3 2x x y y

F x y

1 23

x y mx y m

9 3 15;9 3 15 0;9 3 15

3 21 ;3 152

9 3 21 ;9 3 152


Câu 6: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn .

Tập giá trị của biểu thức là

A. B. C. D.

Câu 7: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn

. Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá

trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính tổng bình phương của M và m.

A. B. 10 C. 17 D. 16

Câu 8: Cho các số thực x, y thỏa mãn . Giá trị nhỏ

nhất m của biểu thức là

A. B. C. D.

Sử dụng tính chất của hàm số

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn .

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt . Do nên .

Hàm số đã cho trở thành .

Ta có và nên .

Đáp án D.


Câu 1: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn .

LOVEBOOK.VN | 74

Dạng 6

STUDY TIP

Qua lời giải trên chúng ta tìm được

.

1 2 2 3x y x y

T x y

7;7 1;7 1 3;7 3;7

2 9 4 1 2x y x y

F x y

172

2 3 3x y x y

2 24 15P x y xy

80m 91m 83m 63m

0; 3min 1 2y y

4 22 3y x x 0; 3

9M 8 3M 1M 6M

2t x 0; 3x 0;3t

2 2 3y t t

1 0;32ba

0 3; 1 2; 3 6y y y 6M

4 2 13y x x 2;3


A. B. C. D.

Câu 2: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. 50 B. 5 C. 1 D. 122

Câu 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

lần lượt là:

A. 5 và B. và C. và D. và

Câu 4: Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn

bằng 1.

A. B. C. D.

Ví dụ 2: Cho hàm số (m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định trên đoạn và .

Cách 1: Vì và nên

.

Cách 2: Xét hiệu .

LOVEBOOK.VN | 75

STUDY TIP

Trong cách 1 thì chúng ta không biết được hàm số sẽ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất tại điểm nào. Còn trong cách 2 lời giải tuy hơi dài nhưng chúng ta biết được hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu và đạt được khi nào.

514

m 494

m 13m

512

m

4 24 5f x x x 2;3

4 22 3y x x

2;2

4 3 4 5 3 1 1

4 2 22 1y x m x m

0;1

3m 11;2

m m 1m 2m

1x myx

2;4

min 3y

1m 3 4m 4m 1 3m

2;4 42 2; 43

my m y

2;min min 2 ; 4

yy y y

2;min 3

yy

2 3

4 3

y

y

2 35

4 9m

mm

2 142 4 23 3

mmy y m


- Nếu thì (loại).

- Nếu thì (nhận).

- Nếu thì . Do đó không thể xảy ra .

Vậy .

Đáp án C.


Câu 1: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn lần lượt là:

A. 1 và 3 B. 0 và C. 0 và 1 D. và 0


trên đoạn . Giá trị của biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 3: Cho hàm số (m là tham số thực) thỏa mãn . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B. C. D.

Câu 4: Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn bằng khi m nhận giá trị bằng:

A. B. 1 C. 0 D.

Câu 5: Tìm m để hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 5 trên đoạn .

LOVEBOOK.VN | 76

1m

2;2 4 min 2 2 3 1

yy y y y m m

1m

2;2 4 min 4 4 9 5

yy y y y m m

1m 1 1, 2;4

1xy xx

2;4

min 3y

5m

12 1xyx

1;3

27

27

2

21

xyx

0;1 4 4P M m

4P 8P 1P 16P

1x myx

1;2 1;2

16min max3

y y

0m 4m 0 2m 2 4m

2 1mxf xm x

2;313

5 2

4mxyx m

2;6


A. B. C. D.

Ví dụ 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như sau:

0 2

Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn là một số nguyên dương M. Gọi S là tập hợp các ước nguyên dương của M. Tập hợp S có bao nhiêu phần tử?

A. 8 B. 4 C. 6 D. 10

Lời giải

Ta có . Suy ra, bảng biến thiên của hàm số

trên đoạn là

0 2 4

14

Do đó, với mọi thì . Suy ra .

Vậy, nên . Khi đó, S có 8 phần tử.

Đáp án A.

Ví dụ 4: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều kiện và .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

LOVEBOOK.VN | 77

13

m 45

m 34

m 67

m

3 23 2f x x x

x

f x 2

6

y f x 3;4

3 56; 4 14f f y f x

3;4

x 3

f x 2

56 6

3;4x 56 14f x 0 56f x

56M 1;2;4;7;8;14;28;56S

2 12x x y 0y

min M3 2 29M xy x y


A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có .

+) .

+) .


Ta có và .

Suy ra hay , đạt được khi .

Đáp án A.

Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định của hàm số.

A. B. .

C. D.

Lời giải

Điều kiện: .

Đặt . Ta có .

+) Do nên hoặc .

LOVEBOOK.VN | 78

STUDY TIP

Qua lời giải bên, chúng ta

tìm được .

10min3

M 10min9

M

min 2M 34min3

M

max 93M

2 212 12x x y y x x

20 12 0 4 3y x x x

2 3 2 212 2 12 29 3 10 5M x x x x x x x x

23 10 5f x x x 4;3

10 5 4;32.3 3

5 104 93; ; 3 23 3

f f f

4;3

10min3

f x

10min3

M 5 50; ;3 9

x y

1 3 1 3y x x x x

1;3min 2 2 1y

1;3min 2 2 2

1;3

8min10

y

1;3

9min10

y

1 3x

1 3 , 0t x x t 2 4 2 1 3t x x

1 3 0x x 2 4 2; 2 1t t t x 3x


+) Lại do nên .


Từ cách đặt, ta có , với .


Ta có và nên

.

Suy ra .

Đáp án B.

Sử dụng kỹ thuật dồn biến

Ví dụ 1: Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn . Giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. và B. và

C. và D. và .

Lời giải

Ta có

Đặt . Do nên .

LOVEBOOK.VN | 79

Dạng 7

2 1 3 1 3 4x x x x 2 8 2 2t t

1 3 1x x x

224 1 2

2 2ty t t t

2 2 2t

21 22

f t t t 2;2 2

1 2;2 22ba

2 2; 2 2 2 2 2f f

2;2 2min 2 2 2f t

1;3min 2 2 2y

2 2 2x y

max P min P 3 3 1P x y xy x y x y

min 3P max 1P min 3P max 2P

min 3P 3max2

P min 3P

5max3

P

3 33 1 2 1P x y xy x y xy x y x y x y xy x y x y

t x y 22 2 2 2 2x y x y xy 2 22

txy


Suy ra .

Do nên .


Ta có và nên và

. Do đó và .

Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho x, y, z là ba số thực thuộc đoạn và . Giá trị nhỏ

nhất của biểu thức bằng:

A. B. C. D.

Lời giải

Với a và b dương, , ta luôn có (*).

Thật vậy, (*)

, luôn đúng với

a và b dương, .

Đẳng thức xảy ra, khi và chỉ khi hoặc .

Với x và y thuộc đoạn và (tức ), ta có

LOVEBOOK.VN | 80

2

3 22 12 1 12 2

tP t t t t t

2 4x y xy

22 224. 4 2 2

2tt t t

21 12

f t t t 2;2

1 2;22ba

32 3; 1 ; 2 12

f f f

2;2

3max2

f t

2;2min 3f t

min 3P

3max2

P

1;4 ,x y x z

2 3x y zP

x y y z z x

4742

1433

3433

65

1ab 1 1 2

1 1 1a b ab

2 1 2 1 1a b ab a b

22 2 1 0a b ab ab a b ab ab a b

1ab

1ab a b

1;4 x y1. 1xy


.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hoặc .

Đặt thì . Khi đó .

Ta có và . Ta sẽ chỉ ra .

Thật vậy,

hay .

Đẳng thức xảy ra khi (khi đó ).

Suy ra . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi và .

Vậy, giá trị nhỏ nhất của P bằng .

Đáp án C.

Sử dụng dấu tam thức bậc hai

Ví dụ 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để biểu thức

luôn dương với mọi x, y, z không đồng thời bằng 0. Đếm số giá trị nguyên của tham số m trong tập hợp S.

A. 27 B. 9 C. 26 D. 13

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 81

Dạng 8

1 1 1 22 3 1 1 2 3. 1

xPz x yx y xy z x y

z xy z

1xy

xty

1;2t 2

2

22 3 1

tP f tt t

615

f 34233

f 2f t f

2

2

34 4 2 233 2 3 11 1 3

tf tt t

2

2

2 35 27 480, 1;2

33 1 2 3

t t tt

t t

34 , 1;233

f t t

2t 4 4, 1x x y

y

3433

P 4, 1x y 2z

3433

2 2 29 20 4 12 6x y z xy myz zx


Đặt

.

- Nếu thì với mọi x, z không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì với mọi x, y không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì

.

.

Kết hợp các trường hợp, ta có .

Do đó, trong tập hợp S có 27 số nguyên.

Đáp án A.

Sử dụng phản chứng

Ví dụ 1: Cho a, b, c là ba số thực tùy ý thuộc . Xét các bất đẳng thức:

(I): (II): ; (III): .

Khẳng định nào dưới đây luôn đúng?

A. Có đúng một bất đẳng thức là sai.

B. Cả ba bất đẳng thức đều sai.

C. Có ít nhất là một bất đẳng thức là sai.

D. Có ít nhất hai bất đẳng thức là sai.

LOVEBOOK.VN | 82

Dạng 9

2 2 29 20 4 12 6F x y z xy myz zx

2 2 29 6 2 20 4x y z x y z myz

0y 22 2 29 6 4 3 3 0F x zx z x z z

0z 22 2 29 12 20 3 2 16 0F x xy y x y y

0yz 2 2 29 6 2 20 4 0, , ,F x y z x y z myz x y z

2/ 2 29 2 9 20 4 0, , 0x y z y z myz y z

2 216 4 3 0, , 0y m yz z y z

2 2 24 4.16.3 0, 0y m z z z

24 64.3 4 8 3 4 8 3m m

4 8 3; 4 8 3S

3;6

3 6 3;a b 3 6 3b c 3 6 3c a


Lời giải


Giả sử cả ba bất đẳng thức đã cho đều đúng. Do đó:

.

Với mọi , ta lại có nên

.

Suy ra, điều giả sử là sai hay trong ba bất đẳng thức đã cho có ít nhất một bất đẳng thức là sai.

Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)

Cho thì (I) là đúng, còn (II) và (III) là sai nên loại ngay được các phương án A và B.

Cho thì (I) và (II) là đúng, còn (III) là sai nên loại được phương án D.

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 83

6 3 6 3 6 9a a b b c c

3;6x 3 6 3 6 3x x x x

3 6 3 6 3 6 3 3 3 9a a b b c c

3; 6; 0a b c

3; 0; 6a b c


C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 193

Câu hỏi ở mức độ nhận biết

Câu 1: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B. .

C.

D.

Câu 2: Cho a, b, c, d là các số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho a, b, c, d là các số thực bất kỳ thỏa

mãn . Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 4: Cho a, b là hai số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 5: Bất đẳng thức nào dưới đây KHÔNG

tương đương với bất đẳng thức ?

A.

B.

C.

D.

Câu hỏi ở mức độ thông hiểu

Câu 6: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 7: Nếu và thì bất đẳng thức nào dưới đây là luôn đúng?

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 84

a b ac bc

a ba c b d

c d

1 1c dc d

a bac bd

c d

a ba d c b

c d

a ba c b d

c d

00

a b a bc d c d

00

a b a dc d b c

0; 0a b c d

ad bd 2018 2018c d

ac bd ad bc

a b a b

0a b a b ab

a b a b

0a b a b ab

0a b

2019 2019 0a b

3920 1945 1975a a b

1 10a b

1 1a b

a b a b a b

0ab a b a b

0a b a b a b

2 2a b

4 4b c

a c 2019 2019a c

ab bc 2018 2018c a


Câu 8: Nếu thì bất đẳng thức nào dưới đây là SAI?

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn

. Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. B.

C. D.

Câu 10: Cho x, y, z là độ dài các cạnh của một

tam giác và biểu thức . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho biểu thức

, với ,

. Biểu thức F đạt giá trị lớn nhất nếu

cặp nhận giá trị:

A. B.

C. D.

Câu 12: Hàm số đạt giá trị

nhỏ nhất trên khi x nhận giá trị nào dưới đây?

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2

Câu 13: Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi x nhận giá trị nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 14: Hàm số đạt

giá trị lớn nhất trên đoạn khi:

A. B.

C. D.

Câu 15: Cho các số thực x, y thỏa mãn hệ:

.

Biểu thức đạt giá trị bé nhất khi cặp

nhận giá trị:

A. B.

C. D.

Câu 16: Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 3 C. D.

LOVEBOOK.VN | 85

0 1a

1 aa

2

1 aa

3 2a a 3a a

0 1ab

0 a b 0b a

2a ab 2 2b a

x y zTy z z x x y

0 1T 1 2T

2 3T 3 4T

3 4 2 3F x y x y 0 3x

0 4y

;x y

3;4 0;2

0;4 3;0

22 3 3

1x xf x

x

0;3

2 4 8f x x x

4x 8x

245

x 365

x

3 28 16 9f x x x x

1;3

1x 3x

43

x 53

x

2 22

5 4

x yx yx y

2F y x

;x y

2;6 0;2

1 7;3 3

4 2;3 3

2 4 7f x x x

3 2 7


Câu 17: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 3 B. 4 C. 3 D. 7

Câu 18: Hàm số đạt:

A. giá trị lớn nhất bằng 15

B. giá trị nhỏ nhất bằng 6

C. giá trị lớn nhất bằng 6

D. giá trị nhỏ nhất bằng 15

Câu 19: Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn là:

A. B. 1 C. 3 D. 9

Câu 20: Cho các số thực dương a, b, c thỏa

mãn điều kiện và xét các bất đẳng thức:

(I): ; (II): ; (III): .

Mệnh đề nfao dưới đây đúng?

A. Chỉ (I) đúng B. Chỉ (II) đúng

C. (I) và (II) đúng D. (II) và (III) đúng

Câu 21: Cho a, b là hai số thực dương thỏa

mãn và xét các bất đẳng thức:

(I): ; (II): ;

(III): .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Chỉ (I) đúng

B. Chỉ (II) đúng

C. (I) và (II) đúng

D. (I), (II) và (III) đúng

Câu 22: Cho x, y, z là các số thực dương và xét

các bất đẳng thức: ;

(II): ;

(III): .

Số bất đẳng thức đúng trong các bất đẳng thức trên là:

A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Câu 23: Cho x, y là các số thực khác 0 và thỏa

mãn . Xét các bất đẳng thức sau:

(I): (II):

(III): ; (IV):


A. 2 B. 3 C. 4 D. 1

Câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao

Câu 24: Tập giá trị của biểu thức

là:

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 86

2

2

3 4 4x xf xx

2 6 15f x x x

3 3 1f x x x 0;2

1

a b c

a c b cb a b a

ab acb bc a

2a b

2 2 2a b 1 1 2a b

2 2

1 1 32ab a b

: 3x y zIy z x

8x y y z z x xyz

1 1 1 9x y z x y z

2 2 4x y

2 2x y 2 2xy

2 2

1 1 1x y

4 4 8x y

7 9y x x

4;4 2 0;4 2

0;4 4;8 2


Câu 25: Cho a, b là hai số thực không âm thỏa

mãn . Tập giá trị T của là:

A. B.

C. D.

Câu 26: Giá trị lớn nhất của hàm số

trên đoạn bằng:

A. 54 B. 201 C. 9 D. 2

Câu 27: Tìm giá trị lớn nhất M và giá trị nhỏ

nhất m của hàm số trên đoạn .

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 28: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn bằng . Số phần tử của tập hợp S là:

A. 2 B. 4 C. 1 D. 3

Câu 29: Biết rằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số trên đoạn

đạt được lần lượt tại và .

Giá trị của bằng:

A. 49 B. 19 C. 39 D. 109


. Tính giá trị của biểu

thức .

A. B.

C. D.

Câu 31: Tập giá trị của hàm số:

có bao nhiêu giá trị nguyên?

A. 2 B. 1 C. 3 D. 4

Câu 32: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của hàm số .

Tổng bằng:

A. 27 B. 24 C. 18 D. 36

Câu 33: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

.

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 87

2 2 9a b f a b

3 2;3 2T 0;3 2T

3;6T 3;3 2T

4 24 9y x x 2;3

3 22

xyx

0;3

1M 13

m

1M 75

m

75

M 1m

13

M 1m

4 2

1x m mf x

x

0;1 2

2

2 11

xf xx

1 ;32

x p x q

2 24 12p q

7 2 3 4f x x x

2 26 12T M m

261T 319T

338T 667T

2 21 44

f x x x x x

29f x x x

2 2M m

3 2 4 3 5 4f x x x x

min 1f x

3min5

f x

1min2

f x

1min4

f x


Câu 34: Cho các số thực x, y thỏa mãn các điều

kiện và . Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức .

A. 2 B. C. D.

Câu 35: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn

hệ thức . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

bằng:

A. 53 B. 56 C. D.

Câu 36: Xét các tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và chu vi bằng 2. Biểu thức

đạt giá trị

nhỏ nhất khi . Giá trị của

bằng:

A. 19 B. 4 C. 14 D. 11

Câu 37: Xét các số thực x, y thỏa mãn và

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là:

A. một số hữu tỉ lớn hơn 3

B. một số vô tỉ lớn hơn 3

C. một số vô tỉ nhỏ hơn 3

D. một số nguyên nhỏ hơn 3

Câu 38: Xét các số thực x, y thỏa mãn và

. Biểu thức đạt giá

trị nhỏ nhất khi . Giá trị của

bằng:

A. B.

C. 70 D.

Câu 39: Xét các số thực x, y thỏa mãn

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là:

A. B.

C. 3 D. 4

Câu 40: Cho hai tập hợp bằng nhau:

.

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức . Tổng của M và m bằng

A. 7210 B. 6076

C. 6350 D. 7574

Câu 41: Xét các số thực x, y, z thuộc đoạn

và có tổng bằng 5. Số giá trị của bộ số

khi biểu thức đạt giá trị lớn nhất là

A. 1 B. 3 C. 6 D. Vô số

LOVEBOOK.VN | 88

2 0x y 2 24 4x y

Q x y

3 3 2

2 3 2x y

2 2

4 94 9

Ax y xy

68552

3685

4 9a b cSb c a c a b a b c

; ; ; ;a b c m n p

18 15 12m n p

x y

1xy

2 2x yPx y

x y

3xy

2 28 2 132

x yPx y

; ;x y p q

2 24 p q

175 3 6494

352

175 3 649

0x y

2

41

M xx y y

33 4 1 33 4 1

, , , 2,9,19,45x y z t

2 2A x y z t

0;2

; ;x y z 2 2 2x y z xyz


Câu 42: Xét các số thực x, y, z, t thỏa mãn điều

kiện . Giá trị lớn nhất của bằng

A. 4 B. 5 C. 7 D. 6

Câu 43: Cho a, b là hai số thực không âm, còn

c là số thực bất kỳ thỏa mãn .

Tập giá trị của biểu thức có bao nhiêu số nguyên dương?

A. 15 B. 11 C. 10 D. 13

Câu 44: Biết rằng tồn tại các giá trị của a và b

sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 và giá trị lớn nhất bằng 3. Tính

.

A. 8 B. 3 C. 7 D. 22

Câu 45: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b

sao cho hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất đều là các số nguyên. Tính

giá trị của , biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên

A. 36 B. 34 C. 41 D. 25

Câu 46: Cho hai số thực không âm x, y thỏa

mãn điều kiện . Biểu thức

đạt giá trị lớn nhất bằng

khi , trong đó a, b là các số nguyên dương, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

là

A. 19 B. 382 C. 46 D. 43

Câu 47: Cho p, q là hai số cho trước và khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:

.

A.

B.

C.

D. .

Câu 48: Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn

và với mọi

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

A. B.

C. D.

Câu 49: Cho x, y là hai số thực thỏa mãn

và . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

LOVEBOOK.VN | 89

2 2

2 2

9

1612

x y

z txt yz

x z

3 5 4 232 6 4

a b ca b c

2 3 6T a b c

2

2

21

x ax byx

3T a b

2 1ax byx

2 22a b

103

5 4 35

x yx yx y

; 5 6P x y x y ab

0 0; ;x y x y

0 0a b x y

2 2 2 22 2 2 2y x px p x qx q

2 p q

2 22 p q

2. p q

2 22 p q pq pq

0, 0a b 2 0f x ax bx c

x minF

4a cFb

min 1F min 2F

min 3F min 5F

1 1x 3 5y


.

Tính trung bình cộng của M và m.

A. 40 B. 80 C. D.

Câu 50: Cho a, b, c là ba số thực có tổng bằng

2019 và thỏa mãn , , . Biết

rằng biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

khi . Tính

.

A. 107070 B. 3676938

C. 3795203 D. 80974

LOVEBOOK.VN | 90

2 23 4 6 5 4P x y xy x y

494

498

2a 9b 1945c 2 2 2a b c

0 0 0; ; ; ;a b c a b c

0 0 019 5 1890T c b a


BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ IV


Câu 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây là SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Cho còn c là số thực tùy ý. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D. , .

Câu 3: Cho x là số thực tùy ý. Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho hàm số . Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. đạt giá trị nhỏ nhất khi

LOVEBOOK.VN | 91

1a a a cb b b c

1a a a cb b b c

3a b cb c a

3 3 3

3 1abca b c

a b

2 2a b 3 3a c b c

1 1a b

a bc c

0c

3 4 7x x

2 5 7x x

2 1 3 2 2x x

3 1 5 3 6x x

23f x x x

f x 3x

Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book

B. có giá trị nhỏ nhất bằng

C. có giá trị lớn nhất bằng

D. đạt giá trị lớn nhất khi

Câu 5: Cho a và b là hai số thực dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI?

A.

B.

C.

D.

Câu 6: Cho hàm số với . Hàm số đạt giá trị lớn nhất khi:

A. B. C. D.

Câu 7: Với thì biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 2 C. D. 6

Câu 8: Cho x, y là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 92

f x94

f x94

f x 3x

1 1 4a b a b

1 1 43 3a b b a a b

1 4a b ab ab

3 3a b ab a b

3 5f x x x 3 5x f x

3x 1x 5x 2x

0x 3f x x

x

2 3 3

3

2

x yP

xy

2x y 2y x

3x y 3y x



đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 10: Cho x, y, z là các số thực dương và xét biểu thức

.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho a, b là các số thực dương. Biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 3 B. 1 C. D.

Câu 12: Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng:

A. 8 B. 64 C. 16 D. 36

Câu 13: Cho . Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 14: Hàm số đạt:

LOVEBOOK.VN | 93

2 2

1 1 12x y

A x y

2x y 2x y

1x y 4x y

x y z x y y z z xPy z z x x y z x y

0 3P 3 5P

5 7P 7P

2 2

2 2

a ab bSa ab b

13

72

216f x x x

0x 32f x x

x

2 6x 3

2x

62

x 6

3x

2

20199 6 4

f xx x


A. giá trị lớn nhất bằng 673

B. giá trị nhỏ nhất bằng 673

C. giá trị lớn nhất bằng 2019

D. giá trị nhỏ nhất bằng 2019

Câu 15: Cho . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là:

A. 4 B. 3 C. 6 D.

Câu 16: Cho hàm số . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 17: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. B. 3 C. 4 D. 2

Câu 18: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 19: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:

A. B. hoặc

C. D.

Câu 20: Biểu thức đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi:

LOVEBOOK.VN | 94

0x 2

24P xx

4 2

3 51

xf xx

0;1min 5f x

0;1min 3f x

0;1min 4f x

0;1min 1f x

2

2

12 11

S xx

2 2

2 2 3x xy y

1 3xy 3xy

3 1xy 3xy

2 22 1 6 9F a a a a

3a 3a 1a

3 1a 1a

2 22 4 2 10 3F x xy y x y


A. và B. và

C. và D. và

Câu 21: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị

nhỏ nhất của là:

A. 4 B. 2 C. 1 D.

Câu 22: Cho a, b, c là các số thực dương và xét các bất đẳng thức sau: (I):

;

(II): ;

(III): .


A. 0 B. 3 C. 1 D. 2

Câu 23: Cho x, y, z là ba số thực dương có tích bằng 8. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 24: Cho a là số thực thay đổi, luôn thuộc đoạn và xét biểu thức

. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 95

3x 2y 3x 2y

1x 2y 1x 2y

a b ab

a b

14

1 1 1 9a b c a b c

1 1 1 8a b c abc

32

a b cb c c a a b

24x y z

3 3 2 24x y z

2 2 2 12x y z

64x y y z z x

2;10

3 32 10K a a

3min 12K min 8K

min 2K min 0K


Câu 25: Biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất bằng:

A. 2 B. 7 C. 3 D.

Câu 26: Cho x, y, z là các số thực dương và thỏa mãn điều kiện . Giá

trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:

A. B. 1 C. 3 D.

Câu 27: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện . Giá trị lớn nhất của ab bằng:

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

Câu 28: Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn hệ thức . Biểu thức

đạt giá trị lớn nhất thì trường hợp nào dưới đây xảy ra?

A. B.

C. D.

Câu 29: Cho a, b là hai số nguyên dương thay đổi và thỏa mãn . Khi tích ab đạt giá trị lớn nhất thì xảy ra trường hợp nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Câu 30: Cho hai số dương x, y thay đổi nhưng luôn thỏa mãn . Giá trị của xy là lớn nhất khi và chỉ khi

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 96

4 5 2A x x

2

3x y z

1 1 12 2 2

Fx y y z z x

49

43

4a b

6a b c 2 2 2Z a b c

2a b c 6; 0a b c

4; 2; 0a b c 3; 0a b c

2019a b

1009; 1010a b 1002; 1017a b

1009,5a b 1011; 1008a b

2 6x y

2x y 4; 1x y

33;2

x y 23;3

x y


Câu 31: Biết rằng tồn tại các số nguyên a, b sao cho giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của hàm số là các số nguyên. Biết rằng tập giá trị của hàm số đã cho có đúng 11 số nguyên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 32: Biết rằng hàm số:

đạt giá trị nhỏ nhất tại mọi . Giá trị của bằng:

A. B. C. 8 D. 7

Câu 33: Cho m là tham số, còn x, y là các biến số thay đổi. Biểu thức

đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi

. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 34: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn bằng:

A. B. 68 C. 0 D.

Câu 35: Biết rằng là đa thức thỏa mãn:

.

Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên

đoạn . Giá trị của bằng

A. 147 B. 119 C. 151 D. 123

Câu 36: Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số:

LOVEBOOK.VN | 97

2

2 1x ax by

x

22 1 100a b 22 1 100a b

22 1 10a b 22 1 10a b

2 21 1 4 2f x x x x x

;x a b 3 2a b

7 8

2 1 2 1T x y x my

0 0; ;x y x y

0 02 4 5 0x y 0 02 1 0x y

0 02 4 1 0x y 0 02 2 0x y

3 22 7y x x x 0;4

259 4

f x

22 1 3 2 5,f x f x x x x

f x

4;2 3 4M m


với .

A. B. C. D.

Câu 37: Cho a, b, c là các số thay đổi thuộc . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 38: Cho các số thực x, y thỏa mãn điều kiện . Gọi M và m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Trung bình cộng của M và m bằng:

A. B. C. 11 D. 22

Câu 39: Gọi S là tập giá trị của hàm số

Trong tập hợp S có bao nhiêu số nguyên?

A. 6 B. 3 C. 2 D. 5

Câu 40: Cho x, y, z, t thỏa mãn và . Biết rằng giá trị lớn nhất

của biểu thức bằng , trong đó m, n, p là các số nguyên

dương. Giá trị lớn nhất của bằng

A. 82 B. 20 C. 81 D. 104

LOVEBOOK.VN | 98

3 23 1x xf x

x

0x

94

m 154

m 33 3m 278

m

0;2

min 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a

max 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a

max 2 ; ; 2 2 4a c bc b c

min 2 ; 2 ; 2 0a b b c c a

2 8 02 0

2 4 0

x yx y

x y

2 2S x y

1165

585

2

2

20 10 33 2 1

x xyx x

2 2 1x y 3z t

xz yt zt 4m n p

m n p


Câu 41: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là

A. 25 và B. 625 và

C. 24 và D. 24 và

Câu 42: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn . Tìm giá trị


A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Câu 43: Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức

.

A. 12 và 108 B. 16 và 108

C. 12 và 36 D. 8 và 36

Câu 44: Xét các tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c thỏa mãn

. Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC, tìm giá trị


A. 2018 B. 8072 C. 1009 D. 4036

Câu 45: Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

A. B.

C. D.

Câu 46: Cho các số thực x, y, z có tổng bằng 5 và thỏa mãn điều kiện

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

LOVEBOOK.VN | 99

23 4 25y x x

15 15

15 75

2 2x y xy x y xy

S x y

2 2 2 3 36a b c abc 2 2 2S a b c

1964 15 10 2018a bc ca abc

1974 1979 25Mp a p b p c

2 3 6a b c

3 12 6 18 9 6F a b b c c a

9 2 2 6 15

572 6 3

2 2 2 9x y z P xy


A. B. 4 C. D.

Câu 47: Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện

. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng:

A. B. 10 C. 1 D. 5

Câu 48: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

.

A. B. C. D.

Câu 49: Biết rằng hệ có hai nghiệm là và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

.

A. 4 B. 8 C. 16 D. 64

Câu 50: Cho các số thực x, y thay đổi nhưng thỏa mãn . Mệnh đề nào sau đây đúng đối với giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

?

A. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số nguyên dương

B. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số hữu tỷ dương

C. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của M là các số vô tỷ dương

D. Giá trị lớn nhất và số hữu tỷ dương còn giá trị nhỏ nhất là số nguyên dương

LOVEBOOK.VN | 100

92

74

169

2 3 5 33 4 18 13

x y zx y z

2 2 24T x y z

134

2 210 793 14 292P x x x x

2019 291 1879 151

2 2

2 3

4

mx y m

x y y

1 1;x y 2 2;x y

2 22 1 2 1P x x y y

2 24 17x y

2 24M x xy y


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 4

I. BÀI TẬP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG

Câu 1: Đáp án B.

Câu 2: Đáp án D.




Câu 6: Đáp án C.










Câu 16: Đáp án A.









Điều kiện: . Ta có .

Suy ra

.


+) Ta có

Suy ra

hoặc .

+) Lại có .

Suy ra .

Vậy, .


Đặt .

Do nên .

Xét hàm số .

LOVEBOOK.VN | 101

7 9x 0y

2 16 2 7 9y x x

216 2 64 1x

216 16 2 64 32y

4 4 2y

2 2 2 2 22 9a b a b ab a b

3; 3a b a b

30

ab

03

ab

2 2 22 18a b a b

3 23 2; 3 22

a b a b a b

3;3 2T

2t x

2;3x 0;9t

2 4 9y f t t t


Ta có và .

Suy ra, .


Ta có nên .


Ta có

Do

nên .

Theo giả thiết thì

.


Với thì và .



.

Khi đó, .

Do đó, .

Vậy .


Điều kiện: .

Khi đó, .

+)

Suy ra, .

+)

.

Suy ra, .

Do đó, và .

Vậy .

LOVEBOOK.VN | 102

2 0;92ba

0 9, 2 5, 9 54f f f

2;3max 54y

70 1; 35

y y 71;5

m M

2 2 4 210 ; 1 12

f m m f m m

4 210 1 1 02

f f m m

4 2

0;1min 0f x f m m

4 2 4 22 2 0m m m m

2 2 2m m

1 ;32

x 0f x 0f x 12

x

2 2 22 1 2 1 1 5. 1x x x

1 12 ;32 1 2x x

2

2 1 51

x

x

12,2

p q

2 24 12 19p q

4 73 2

x

0f x

2 11 2 7 2 3 4f x x x x

1 29 293 4 2 7 2 3 43 3 3

x x x

29 29 4,3 3 3

f x f x x

2

2 42. 3.2 3

f x x x

7 4 1452 3 .2 3 6

x x

1456

f x

47

145 47326 2 3 30

xxf x x

1456

M 293

m

2 26 12 261M m



Điều kiện: .

Ta có


hoặc .

Lại có nên

.


Suy ra, tập giá trị của hàm số là . Các số nguyên

thuộc tập giá trị của hàm số là .


Điều kiện: .

+) Có ;

.

+)

.

.

Do đó, nên .


Ta có nên

.


Từ điều kiện đã cho, ta có và . Suy

ra, .

.

Do tồn tại y nên phương trình trên phải có nghiệm

Vậy .


Đặt .

Khi đó, ta có và .

Theo bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Từ giả thiết , ta có .

LOVEBOOK.VN | 103

24 0 0 4x x x

2 21 4 4 4 04

f x x x x x

24 0 0x x x 4x

224 4 2 4x x x

1 4 4 4 34

f x

2x

3;0

3; 2; 1;0

3 3x

3f x x

3 3f x x

2 2 21 1 9 18f x x x

3 2f x

3 23 22

f x x

3; 3 2m M 2 2 27M m

2 3 1 4 31; ;3 4 2 5 5

f f f

1min2

f x

2 0x y 2x y

0Q

Q x y x Q y

2 24 4Q y y

2 23 2 4 0y Q y Q

2 2' 3 4 0Q Q

2 4 2Q Q

2 42 3 4 0 0;3

Q y y y y

min 2Q

2 ; 3a x b y

0; 0; 2a b a b 2 2

4 54Aa b ab

2a b ab

2a b 1ab


Áp dụng bất đẳng thức với ta

được: .

Suy ra

.

.

Khi đó .

Vậy, biểu thức A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 56.


Đặt

Khi đó, và .

Suy ra .

Do đó


.

Do đó, .

.

Với thì .

Suy ra, .


Do nên .


hoặc .

Do đó, .


Ta có

LOVEBOOK.VN | 104

1 1 4x y x y

0; 0x y

22 2

1 1 4 12a b ab a b

2 2

4 4 52 4 52 562

Aa b ab ab

2 2

256 1 1

2

a bA ab a b

a b ab

1 1;2 3

x y

, ,x b c a y c a b z a b c

0, 0, 0x y z 2x y z

; ;2 2 2

y z z x x ya b c

1 4. 9.2

y z z x x ySx y z

1 4 9 4 92

y x z x z yx y x z y z

4 4; 9 6;4 9 12y x z x z yx y x z y z

11S

211 3

2

y xS z x

x y z

1 2; ; ; ;13 3

x y z

1 2; ; ; ;12 3

x y z

5 2 1; ; ; ;6 3 2

a b c

18 15 12 19m n p

x y 0x y

2 2 2 2 2x y xy

P x yx y x y

22 21

x yPxy

6 2 6 2; ;2 2

x y

2 6 2 6; ;2 2

x y

min 2 2 3P

22 2 8 132

x y xyP

x y

112 22

x yx y


Vì nên .

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có .

Suy ra .


Ta có


.

Do đó, .


Ta có

Vì nên

.

.

Suy ra, .


Do x,y, z thuộc đoạn nên , ,

.

Ta có .

và nên

+)

LOVEBOOK.VN | 105

0;x x y 2 0x y

2 22P

112 222 22

3

x yx yP

xy

118 22 118 22; ;8 4

x y

2 2 3542

p q

1 12 2

y yM x y

2

4 11x y y

1 22 2 12 1

x y yM

x y y

1 24 . 1 32 1

x y yx y y

2

1 432 1

yM x yx y y

1 22

11 2

y xx yyy

min 3M

2 2 2 2 2A x y z t xy zt

2 2 2 22 9 19 45 2 xy zt

2471 2 xy zt

, , , 2,9,19,45x y z t xy zt

2.9 19.45;2.19 9.45;2.45 9.19

873;443;261xy zt

2993;3357;4217A

2993, 4217m M

7210m M

0;2 2 0x 2 0y

2 0z

2 2 2T x y z

8 4 2x y z xy yz zx xyz

2 2 2 212 x y z x y z xyz

2 2 213 x y z xyz 0T

2 2 20 13 x y z xyz

2 2 2 13x y z xyz

2 2 2 13x y z xyz


hoặc

hoặc .

Rõ ràng tồn tại vô số giá trị của bộ số để biểu thức đã cho đạt được giá trị lớn nhất.

Chú ý: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho, chúng ta có thể dựa vào bất đẳng thức:

.



.

Theo giả thiết thì,

.

Do đó,

Từ suy ra z, t không đồng thời bằng 0.

- Nếu thì và . Lúc này, ta có

hoặc .

- Nếu thì

Do đó,


.

+)

hoặc .

Khi thì và .

Vậy, .


Ta có: .

Do nên .

Suy ra .

Tập giá trị của T có 11 số nguyên dương là 1; 2; 3; …; 11.


LOVEBOOK.VN | 106

2 2 2 05

x y zx y z

23

xy z

23

yz x

23

zx y

; ;x y z

2 2 2x y z

32 2 2 13 27

x y z

22 2 2 2x y t z xt yz

22 2 2 2x y t z xt yz

22 2 2 2x y t z xt yz xz yt

2 2 16z t

0t 2 16z 20, 9x y

4x z 4x z

0t

22 2 2169

9z zy x x x t xt t

2 2 2 216 16 16 9 1449

z x x z

2x z

2

2 21 1 1 1.4 .3 16 94 3 16 9

x z x z

2 25 5 5x z x z

2

2 2

16 925

16 9 144

x zx z

x z

9 16; ;5 5

x z

9 16; ;5 5

x z

9 16; ;5 5

x z

125

y t 5x z

max 5x z

3 5 4 23 6 22 6 4 2 1

a b c a ca b c b c

9 4T c

0, 0a b 1 32

c

3 11T


+) Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng 1 nên với

mọi x và đẳng thức xảy ra

+) Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 3 nên với mọi x và đẳng thức xảy ra

Giải hệ

ta được . Suy ra .


Bằng cách sử dụng điều kiện tồn tại nghiệm của phương

trình, chúng ta có: Khi thì hàm số chỉ đạt giá trị

lớn nhất (khi ) hoặc chỉ đạt giá trị nhỏ nhất (khi

). Còn khi thì

.

Do đó, và

Vì là các số nguyên nên tập giá trị của hàm số đã cho chỉ có đúng 6 số nguyên khi và chỉ khi

Suy ra, và

Theo giả thiết, thì b là số nguyên lẻ và nên

.

Do đó, .


Biểu diễn miền nghiệm của hệ trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta được miền tam giác ABC, trong đó

, , .

Ta có: ;

Suy ra, khi .

Theo giả thiết, ta có nên nhỏ nhất khi và

chỉ khi .

Lúc đó .


Ta có

Xét hai vectơ

.

LOVEBOOK.VN | 107

1 0y

2

2

1 0,1

x ax b xx

21 4 1 0a b

3 0y

2

2

3 0,1

x ax b xx

22 4 3 0a b

2

2

4 1 0

4 3 0

a b

a b

22

ab

3 8a b

0a

0b

0b 0a

2 2 2 2

2 2b a b b a by

2 2

min2

b a by

2 2

max2

b a by

min ;maxy y

max min 5y y

2 2 2 25 25a b a b

5min2

by

5max2

by

0a 2 216, 9a b

2 22 34a b

103

5 4 350, 0

x yx yx y

x y

47 20;9 9

A 3;0B 7;0C

47 20 355;9 9 9

P

3;0 15; 7;0 35P P

355max ;9ABC

P x y 47 20; ;9 9

x y

3559

ab

a b

355, 9a b

0 0 382a b x y

2 22 2y x p p q x q

; , ;a x p p b q x q


Do nên .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Vậy,


Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

.

.

Vậy, .


.

Với thì .

Đặt .

Ta có: và

;

.

Lại có nên

và .

Dựa vào cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bậc hai trên một đoạn, ta được

và .

Như vậy, với mọi thì

.

và

Do đó, và

.


Đặt .

Ta có:

Lại do

nên

LOVEBOOK.VN | 108

a b a b

22y q p p q

p q q px

p q

22min y q p p q

2 22 p q pq pq

200, 4

0a

f x x ac b

24 2 4 2 2 2a c ac b bFb b b b

2

42 4

4

c aF b c a

b ac

min 2F

2 22 2 3 3 5 4P x y x y y

3;5y 2 3 3;7y

2 22 2 3 3 5 4f x x y x y y

2 3 1;12b ya

211 3 1f y y g y

221 3 9 11f y y g y

1 1 4 2 3 0f f y

1;1min 1f x f

1;1

max 1f x f

2 23;5

min 3 11g y g

1 13;5max 5 69g y g

1;1 , 3;5x y

11 1 1 69f P f

111

3x

Py

169

5x

Py

69M 11m

402

M m

2019k

2 2 2a b c

2 2a b c ab bc ca

2 2 2k ab c k c

2 22 2 2c kc ab k

2 2

2 21 22 2 4

a b k cab c kc k


.

Vì nên .

Suy ra


.

.

II. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 4
































Gọi là giá trị bất kỳ thuộc miền giá trị của hàm số đã

cho. Khi đó, phương trình

có nghiệm

+) Nếu thì phương trình có nghiệm

khi hoặc .

LOVEBOOK.VN | 109

2 2 2 2 23 12 2

a b c c kc k

223 1 1

2 3 3c k k

1945c 1 1945 673 12723

c k

2 2 2 2 23 .1272 673 37857632

a b c

194537

19452019

ca b

a bc

a b c

0 0 019 5 1890 107 070 T c b a

0y

2

02 1x ax b y

x

20 01 0y x ax b y

01 0y 0 1y

0a 0, 1a b


+) Nếu thì phương trình trên có nghiệm khi và chỉ khi

Kết hợp hai trường hợp, ta có tập giá trị của hàm số là

Vì giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là các số nguyên và tập giá trị của hàm số có đúng 11 số nguyên dương nên


Ta có

.

.


Ta có .

có nghiệm .

Với , thì .

Đặt thì .

Xét hàm số trên .

Ta có

nên .

Suy ra T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi và chỉ khi

.


Với thì nên loại ngay được phương án A.

Xét phương án D: Phương trình nhận

làm nghiệm nên .


Từ giả thiết, thay x bởi , ta được

.

Do đó, ta có hệ phương trình

LOVEBOOK.VN | 110

0 1y

20 04 1 0a y b y

2 20 04 4 1 4 0y b y a b

221 12

b a b

22

0

1 12

b a by

2 22 21 1 1 1;

2 2b a b b a b

2 22 21 1 1 110

2 2b a b b a b

2 22 21 10 1 100a b a b

2 21 4 2 1f x x x x x

2 21 4 2 1 4x x x x

2 21 4 04

2 1 0

x xf x

x x

2 1x

0, ,T x y

2 1 00

2 1 0x y

Tx my

4m

4m 2 1 2 4 1T x y x y

2 1t x y 2 3T t t

2 3f t t t

3 30 3;2 2

f f

3 3min2 2

f t f

32

32 1 2 4 1 02

x y x y

0;4x 7 28y x

3 22 7 4x x x

1 0;4x 0;4min 4y

1 x

22 1 3 8 10f x f x x x


.

.

Thử lại, thấy thỏa mãn. Vậy,

.

Ta có và nên

và . Do đó, .


Ta có

Do nên áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Suy ra ,

.



Do a, b, c thuộc

nên .

Theo bất đẳng thức Cô-si thì

.

Tương tự,

.

Suy ra .

Do đó, .

Cách 2: (Lời giải trắc nghiệm)

Do a, b, c thuộc

nên

và nên loại được phương án D.

Cũng từ giả thiết, ta có

và nên loại ngay được phương án C.

Cho thì

Do đó, loại được phương án B.


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét điểm với x, y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho. Khi đó, ta có

. Biểu diễn hình học miền nghiệm của hệ bất

LOVEBOOK.VN | 111

2

2

2 1 3 2 5

2 1 3 8 10

f x f x x x

f x f x x x

2 6 5f x x x

2 6 5f x x x

2 6 5f x x x

3 4;22ba

4 45; 2 3f f

45M 3m 3 4 123M m

2 13f x x xx

2 1 1 138 8 4

x xx x x

0x

2 1 1 3 1; 18 8 4 4

x xx x x

3 1534 4

f x

15 10;4 2

x f x x

0;2

2 0,2 0, 2 0a b c

220 2 1

2a aa a

0 2 1;0 2 1b b c c

2 2 2 1a b b c c a

min 2 ; 2 ; 2 1a b b c c a

0;2

2 0; 2 0a b b c

2 0c a

2 4; 2 2 4a c b c

4bc

3 1; ; 12 2

a b c

max 2 ; 2 ; 2a b b c c a

9 1 1 9max ; ; 14 2 2 4

;P x y

2S OP


phương trình đã cho là miền tam giác ABC, trong đó

, và .

Dựa vào tính chất hình học, ta có

và .


Bằng phương pháp miền giá trị của hàm số, chúng ta có

.

Do đó, S chứa 5 số nguyên.


Ta có:

.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường tròn có

phương trình (tâm , bán kính )

và đường thẳng .

Khi đó, điểm và điểm .

Lại do Δ và không có điểm chung nên

Suy ra

.

Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng .

Với cách viết thì đạt giá trị lớn nhất, và giá trị đó bằng 82.


Điều kiện .

+) Với thì ;

+) Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki, ta có

Lại có

.

Khi thì .

Vậy .


LOVEBOOK.VN | 112

0;4A 2;0B 4;2C

2 16,5

m d O AB

2 2 2max ; ; 20M OA OB OC

5 ;72

S

xz yt zt

2 2 22 212

x y z t x z y t

2 2152

x z y t

C

2 2 1x y 0;0O 1R

: 3x y

;P x y C ;Q z t

C

3 2 2,2

PQ d O R

2

2 2 3 2 2 11 6 22 2

x z y t

xz yy zt

1 11 6 2 9 6 25 .2 2 4

xz yt zt 9 6 2

4

9 6 2 9 1. 724 4

m n p

5 5x

5;5x 3 15y x

2

3 1515 5

25 0

xy x

x

22 23 4 25y x x

2 2 2 23 4 25 625x x

22 25625 3

3 4x xy x

3x 25y

5;55;5max 25;min 15y y


Ta có:

Vì nên .

Do đó,

.



+) Vì không âm nên

.

Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi

.

+) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có

.

Đặt thì từ giả thiết và đánh giá trên, ta có

Suy ra .

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

.

Vậy, đạt giá trị lớn nhất bằng 36 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng 12.


Từ giả thiết, ta có

.

Lại có ;

;

nên .



LOVEBOOK.VN | 113

2 2 3x y xy x y xy

1 1 3x yx y

0, 0x y 1 1 4x y x y

4 3x yx y

2 3 4 0x y x y

4x y

2x y

, ,a b c

2 2 2 36a b c

6, 0a b c

32 2 22 2 2

3a b cabc a b c

2 2 2t a b c

3

36 327tt

3

23

36 036

3 3 36

tt tt t

2

36

12 9 324 0

t

t t t

12 36t

2 2 2 12a b c

2 2 2 3 362

a b c abca b c

a b c

2 2 2a b c

15 10 1964 2018a b c

1 1 1 11964 15Mp a p b p b p c

1 110p c p a

1 1 4 4p a p b p a p b c

1 1 4p b p c a

1 1 4p c p a b

15 10 19644 8072Ma b c

19892018

a b c


Đặt

thì và


;

và

.

Suy ra

hay .

Vậy, F đạt giá trị lớn nhất bằng .


.

Do tồn tại x, y nên hệ trên có nghiệm

.

Xét hàm số

trên đoạn .

Ta có

và .

Suy ra, .


Ta có

.

Vì x, y, z không âm nên .

.


Ta có

và .

LOVEBOOK.VN | 114

; 2 ; 3x a y b z c

6x y z

3 6 3 6 3 6F x y y z z x

18 3 618 3 62x yx y

18 3 618 3 62x yy z

18 3 618 3 62z xz x

54 918. 54

2x y z

F

9 2F

9 2 2F x y z

2; ; 2;1;3

a b c

9 2

2 2 2

5 589

x y z x y zxy yz zxx y z

2

5

5 8

x y z

xy z z

2 25 4 5 8 0z z z

713

z

2 5 8f z z z

71;3

5 71;2 2 3ba

7 161 4;3 9

f f

71;3

16min min9

xy f z

2 3 5 3 3 23 4 18 13 1 3

x y z x zx y z y z

103

z

2 2 23 2 1 3 4T z z z

29 18 10z z

29 18 10f z z z 10;3

11 0;2 3ba

10 10; 53

f f


Vậy, .


Ta có

Xét hai vectơ và .

Khi đó

và .

Lại do nên .

Vậy, P đạt giá trị nhỏ nhất bằng .


Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng d và

đường tròn có phương trình lần lượt là

và .

có tâm và bán kính

Do hệ có hai nghiệm nên d cắt tại hai điểm phân biệt

Với điều kiện trên thì , là hai giao

điểm của d và , đồng thời .

d đi qua I khi và chỉ khi

™.

Với thì d cắt theo dây cung là đường kính

nên P lớn nhất bằng .


Lại có

.

+)

+)

LOVEBOOK.VN | 115

10;3

min min 5T f z

2 22 25 16 3 7 9 3P x x

5 ;16 3a x 7;9 3b x

P a b

2212 25 3 2019a b

a b a b

2019P

2019 9 3 5 16 3 7P x x

6725

x

2019

C

2 3 0mx y m 2 2 4 0x y y

C 0;2I 2R

C

2

3 2, 2

4 1

md I d R

m

3 04

m m

1 1;A x y 2 2;B x y

C 2P AB

22 3 03

m m

23

m C

22 16R

2 2 17 1717 4 44 4

x y xy xy

17 17 85 514 4 4 4

xy M

514

M

2 2

22344 174

x yx y

x y y

854

M

2 2

22344 174

x yx y

x y y


BẤT PHƯƠNG TRÌNH - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bất phương trình là khái niệm mà học sinh đã được làm quen ở cấp THCS. Chủ đề này sẽ hoàn thiện hơn khái niệm bất phương trình, đồng thời cung cấp cho học sinh những kiến thức mới như vấn đề xét dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai. Chúng có nhiều ứng dụng quan trọng trong việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình. Học sinh cần nắm vững các kiến thức đó, đồng thời rèn luyện kĩ năng áp dụng chúng để giải các bài toán trong khuôn khổ của chương trình lớp 10.

§1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

A. Lý thuyết

I. Đại cương về bất phương trình

1. Khái niệm bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa:

Cho hai hàm số và có tập xác định lần lượt là và .

Đặt . Mệnh đề chứa biến “ ” được gọi là bất phương trình một ẩn, x được gọi là ẩn số (hay ẩn) và D được gọi là tập xác định của bất phương trình.

- Số được gọi là một nghiệm của bất phương trình nếu “

” là một mệnh đề đúng.

- Giải bất phương trình là đi tìm tất cả các nghiệm của nó, tức là

tập hợp , S được gọi là tập nghiệm của bất phương

trình. Nếu thì ta nói bất phương trình vô nghiệm.

LOVEBOOK.VN | 116

Chủ đề 3

Vấn đề cần nắm:

1. Bất phương trình, hệ bất phương trình một ẩn

2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn

STUDY TIP

Ta trình bày lý thuyết cho bất phương trình

. Các kết quả này cũng đúng cho các bất phương trình

,

,

.

f x g x

f x g x

f x g x

f x g x

y f x y g x fD gD

f gD D D f x g x

0x D f x g x

0 0f x g x

f x g x

|S x D f x g x

S


Ví dụ 1: Số thuộc tập nghiệm của bất phương trình nào dưới đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có “ ” là một mệnh đề đúng. Vậy thuộc tập

nghiệm của bất phương trình .

(Ta còn nói thỏa mãn bất phương trình ).

Đáp án B.

Lưu ý: Trong thực hành ta không cần viết rõ tập D mà chỉ cần tìm điều kiện của

x để và có nghĩa. Điều kiện đó được gọi là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình.

Ví dụ 2: Điều kiện của bất phương trình là ,

và .

2. Hệ bất phương trình một ẩn

- Định nghĩa:

Hệ bất phương trình một ẩn x gồm một số bất phương trình ẩn x mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng.

- Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

- Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó.

- Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi lấy giao của các tập nghiệm của các bất phương trình đó.

LOVEBOOK.VN | 117

STUDY TIP

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi

xác định và

.

+ Biểu thức xác định khi và chỉ khi

.

+ Biểu thức xác

định khi và chỉ khi

xác định và .

+ Biểu thức

xác định khi và chỉ khi

2

2 1 1x x 22 1 1x x x

1 2 01 x

22 2 0x x

A xB x

,A x B x

0B x

A x

0A x

A x

B x

A x

0B x

A x B x

0A x 0B x

22. 2 1 1 2 2 2

22 1 1x x x

2 22 1 1x x x

f x g x

1 6 32

xxx

2 0x

6 0x 0x


3. Một số phép biến đổi bất phương trình

- Định nghĩa:

Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương.

Nếu bất phương trình tương đương với bất phương trình

thì ta viết .

- Định nghĩa:

Phép biến đổi tương đương và phép biến đổi một bất phương trình thành một bất phương trình tương đương với nó.

Định lí:

Cho bất phương trình có tập xác định là D; là một hàm số xác định trên D. Khi đó trên D, ta có:

+ .

+ nếu .

+ nếu .

+ nếu .

Hệ quả: .

Ví dụ 3: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là:

A. B. C. D.

LOVEBOOK.VN | 118

LƯU Ý

Định nghĩa tương tự cho hệ bất phương trình.

LƯU Ý

có thể là một hằng số.

STUDY TIP

Chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

f x g x

h x k x f x g x h x k x

h x f x g x y h x

f x g x f x h x g x h x

. .f x g x f x h x g x h x 0 h x x D

. .f x g x f x h x g x h x 0 h x x D

2 2f x g x f x g x 0; 0 f x g x x D

f x g x h x f x h x g x

33 2 15

6 3 2 1 22

x x

x x

5 ;2

5;2

7 5;

10 2

7;10


Lời giải

Giải từng bất phương trình ta có:

* (chuyển vế, đổi dấu)

(rút gọn từng vế của bất phương trình)

(chia cả hai vế cho ).

* (nhân cả hai vế với )

(chuyển vế, đổi dấu)

(rút gọn từng vế của bất phương trình)

(chia cả hai vế cho ).

Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình:

Tập nghiệm của bất phương trình (1):

Tập nghiệm của bất phương trình (2):

Giao của hai tập hợp trên là đoạn .

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là đoạn .

Ta viết ngắn gọn như sau:

.

LOVEBOOK.VN | 119

3 33 2 3 25 5

x x x x

725

x

710

x 2 0

6 3 2 1 6 3 4 22

x x x x

2 0

6 4 2 3x

2 5x

52

x 2 0

7 5;10 2

7 5;10 2

3 77 73 2 2 7 55 105 106 3 5 10 26 3 4 2 2 52 1

2 2

x x xx xx

x x x xx x


Đáp án C.

Lưu ý:

- Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì điều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của x thỏa mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới.

- Khi nhân (chia) hai vế của bất phương trình với biểu thức

ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của . Nếu nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình.

- Khi giải bất phương trình mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp.

+ cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình.

+ cùng có giá trị âm, ta viết: rồi bình phương hai vế bất phương trình mới (sau khi bình phương thì bất phương trình đổi chiều).

Ví dụ 4: Bất phương trình (*) tương đương với bao nhiêu bất phương trình cho dưới đây?

(I) (II) ;

(III) ; (IV)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Ta có (*) xác định trên . Mặt khác .

LOVEBOOK.VN | 120

f x g x h x

h x h x

f x g x

,f x g x

,f x g x f x g x f x g x

1 0x

2 2

1 111 1

xx x

1 2 2x x x

1 113 3

xx x

2 2

1 114 4

xx x

1 0 1x x


+ Xét bất phương trình (I):

Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương trình (I). Mà hàm số

xác định trên nên suy ra (*) tương đương với (I).

+ Xét bất phương trình (II): Cộng cả 2 vế của (*) với ta được bất phương

trình (II). Tuy nhiên hàm số xác định trên nên ta chưa thể khẳng định được ngay (*) có tương đương với (II) hay không.

Ta có:

Vậy (*) không tương đương với (II).

+ Xét bất phương trình (III): Tương tự như trên, ta chưa thể khẳng định ngay được là (*) có tương đương với (III) không.

Ta có: .

Vậy (*) tương đương với (III).

+ Xét bất phương trình (IV): Tương tự, ta có:

.

Vậy (*) không tương đương với (IV).

+ Tóm lại (*) tương đương với hai bất phương trình (I) và (III).

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 121

STUDY TIP

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương.

STUDY TIP

Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà làm thay đổi điều kiện của bất phương trình thì ta chưa thể khẳng định ngay là bất phương trình mới thu được có tương đương với bất phương trình đã cho hay không.

2

11x

2

11

yx

2x

2y x 2;

2 0 2 21 2 2 2

1 0 11 2 2 0

x x xx x x x

x xx x x

3 0 31 11 11 0 13 3

x xx x

x xx x

2 2

4 0 41 111 0 14 4

x xx

x xx x


Ví dụ 5: Bất phương trình tương đương với bất phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

- Với đáp án A: và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương

trên nên khi bình phương hai vế, bất phương trình mới thu được không tương đương.

- Với đáp án B: Vì là biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương trên

nên khi nhân cả hai vế của bất phương trình ban đầu với ta được bất phương trình không tương đương.

- Với đáp án C: nên chia cả hai vế của bất phương trình

cho ta được bất phương trình tương đương. Vậy C là đáp án đúng.

- Với đáp án D: Vì và x là các biểu thức nhận cả giá trị âm và giá trị dương

trên nên khi nghịch đảo (dù có cả đổi chiều) ta không thu được bất phương trình tương đương.

Đáp án C.

II. Dấu của nhị thức bậc nhất

Định nghĩa:

Nhị thức bậc nhất đối với x là biểu thức dạng , trong đó a, b là các

hệ số, .

Định lí:

Nhị thức có giá trị:

LOVEBOOK.VN | 122

STUDY TIP

Nếu hai vế của một bất phương trình đều dương trên D thì khi nghịch đảo hai vế và đổi chiều ta được bất phương trình tương đương trên D.

2 1x x

2 22 1x x 2 1 5 5x x x x

2 2

2 13 3

x xx x

1 1

2 1x x

2 1x

5x

5x

2 3 0 x x

2 1x x 2 3x

2 1x

f x ax b

0a

0 f x ax b a


- Cùng dấu với a khi ;

- Trái dấu với a khi .

Bảng tóm tắt về dấu của :

trái dấu với a 0 cùng dấu

với a

Ta có . Ta nói số là nghiệm của nhị thức .

Nghiệm chia trục số thành hai khoảng mà trên đó dấu của nhị thức là trái nhau.

cùng dấu với a

trái dấu với a

Một số kết quả quan trọng:

Xét nhị thức :

+ .

+ .

+ .

LOVEBOOK.VN | 123

STUDY TIP

Cách ghi nhớ: “trái khác, phải cùng”.

STUDY TIP

Dấu của nhị thức bậc nhất

phụ thuộc vào dấu của hệ số a.

bxa

bxa

0 f x ax b a

x ba

f x ax b

0bfa

0

bxa

f x

f x ax b

0bxa

f x

f x ba

x

f x ax b

0 00 ; 0

0 0 a a

f x x f x xb b

0 0

0 ; 00 0

a af x x f x x

f f

0 0

0 ; 00 0

a af x x f x x

f f


+ .

Ví dụ 6: Cho nhị thức , m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để:

a) ; c) ;

b) ; d)

Lời giải

a) .

b) .

c) .

d) .

III. Dấu của tam thức bậc hai. Bất phương trình bậc hai

1. Dấu của tam thức bậc hai

- Định nghĩa:

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng , trong đó a,

b, c là các hệ số; .

- Định lí: Cho .

LOVEBOOK.VN | 124

STUDY TIP

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào dấu của Δ và dấu của hệ số a.

0 00 ; ; 0 ;

0 0 f f

f x x f x xf f

1 3f x m x m

0 f x x 0 1 f x x

0 2 f x x 0 0;5 f x x

1 0 10 1

3 0 3 m m

f x x mm m

1 0 1 1

0 2 12 0 1 0 1

m m mf x x m

f m m

1 0 1 1

0 1 11 0 2 4 0 2

m m mf x x m

f m m

30 0 3 00 0;5 14 2 05 0

2

mf mf x x m

m mf

2f x ax bx c

0a

2 20 , 4 f a ax bx c a b ac


LOVEBOOK.VN | 125


Nếu thì luôn cùng dấu với a, tức là .

cùng dấu với a

+

Nếu thì luôn cùng dấu với a trừ khi , tức là :

(hay , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ).

cùng dấu với a 0 cùng dấu với a

+ 0 +

Nếu thì cùng dấu với a khi hoặc , trái dấu với a khi

, trong đó là hai nghiệm của , tức là:

;

.

cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a

+ 0 0

Lưu ý: Ta có thể dùng thay cho Δ.

* Một số kết quả quan trọng:

LOVEBOOK.VN | 126

STUDY TIP

Quy tắc xét dấu của tam

thức bậc hai khi : “trong trái, ngoài cùng”.

0

0 f x : 0x af x

x

f x

af x

0 f xbxa

bxa

0af x : 0x af x 2bxa

x ba

f x

af x

0 f x 1x x 2x x

1 2x x x 1 2 1 2,x x x x f x

1 20af x x x x

1

2

0x x

af xx x

x 1x 2x

f x

af x

2' 'b ac


+ ;

+ ;

+ ;

+ .

Ví dụ 7: Xét dấu các tam thức bậc hai sau:

a) b)

Lời giải

a) mà . Vậy .

b) có 2 nghiệm là và .

Bảng xét dấu :

1 2

0 + 0

Ví dụ 8: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

xác định với mọi . Hỏi S chứa khoảng nào trong các khoảng sau?

A. B. C. D.

LOVEBOOK.VN | 127

2 00,

0a

ax bx c x

2 00,

0a

ax bx c x

2 00,

0a

ax bx c x

2 00,

0a

ax bx c x

2 1f x x x 2 3 2g x x x

1 4.1.1 3 0 1 0a 0 f x x

g x 1 1x 2 2, 1 0x a

g x

x

g x

2 2 2 1 4y f x mx m x m x

2;0 0;2 2;4 0;4


Lời giải

Hàm số xác định .

- TH1: (Hệ vô nghiệm).

- TH2: .

Vậy . Do đó S chứa khoảng .

Đáp án C.

2. Bất phương trình bậc hai

- Định nghĩa:

Bất phương trình bậc hai ẩn x là bất phương trình dạng (hoặc

, , ) trong đó a, b, c là các hệ số,

.

- Các bước giải bất phương trình bậc hai:

+ Xét dấu biểu thức .

+ Dựa vào kết quả xét dấu để kết luận về nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 9: Tập nghiệm S của bất phương trình là:

A. B.

C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 128

STUDY TIP

Khi xét dấu tam thức bậc hai mà hệ số a chứa tham số, ta lưu ý trường hợp

. 0a

2 2 2 1 4 0 x mx m x m x

00

0 2 2 1 00 4 0

mab mc m

00 0 11' 0 4 1 0 44

ma mm

m m

1 ;4

S 2;4

2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c 2 0ax bx c

0a

2f x ax bx c

22 1 0x x

1; 1;2

S

1; 1;2

S

1 ;12

S

1 ;12

S


có hai nghiệm là 1 và , có .

Bảng xét dấu :

2

+ 0 0 +

Vậy . Do đó .

Đáp án C.

IV. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

1. Xét dấu biểu thức có dạng tích, thương các đa thức

* Xét biểu thức có dạng tích các đa thức:

- Cách 1: Xét dấu bằng phương pháp lập bảng xét dấu (độc giả đọc trong Sách giáo khoa Đại số 10).

- Cách 2: Xét dấu bằng phương pháp khoảng.

+ Bước 1: Giải phương trình được các nghiệm .

+ Bước 2: Đặt các điểm lên trục số. Các điểm này chia trục số thành

khoảng.

+ Bước 3: Xác định dấu của trên một trong các khoảng nói trên (dấu của

trùng với dấu của với a là một điểm tùy ý thuộc khoảng đó).

+ Bước 4: Suy ra dấu của trên các khoảng còn lại theo quy tắc: “qua”

nghiệm bội lẻ thì đổi dấu, “qua” nghiệm bội chẵn thì không đổi dấu.

LOVEBOOK.VN | 129

STUDY TIP

Có thể sử dụng chức năng giải bất phương trình bậc hai của máy tính cầm tay!

STUDY TIP

Ở bước 3, ta thường chọn khoảng chứa số 0 (nếu 0 không phải là một trong

các điểm ) rồi

chọn .

22 1f x x x 12

2 0a

f x

x 12

f x

10 ;12

f x x

1 ;12

S

P x

P x

P x

0P x 1 2 .. nx x x

1 2, ,..., nx x x

0a

1 2, ,..., nx x x

1n

P x

P x P a

P x

P x P x


Ví dụ 10: Xét dấu biểu thức .

Lời giải

hoặc .

Trong đó và là các nghiệm bội lẻ, là nghiệm bội chẵn.

Ta có . Từ đó ta có kết quả xét dấu :

1 2 3

+ 0 0 0 +

* Xét các biểu thức có dạng thương các đa thức: .

Giải phương trình và được các nghiệm . Các

nghiệm này chia trục số thành khoảng.

Ta có một kết quả quan trọng: Dấu của phân thức trùng với dấu của tích

trên các khoảng đó.

Ta tìm hiểu cụ thể qua ví dụ sau:

Ví dụ 11: Xét dấu của biểu thức .

Lời giải

- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2) và

(bội 1).

- Giải phương trình được các nghiệm: (bội 2),

(bội 1) và (bội 1).

LOVEBOOK.VN | 130STUDY TIP

Tại các điểm 2, 3, 4:

không xác định.

2 31 2 3P x x x x

2 30 1 2 3 0 1; 2P x x x x x x 3x

1x 3x 2x

2 30 1 . 2 . 3 0P P x

x

P x

P x

R x

P xS x

0R x 0S x 1 2 ... nx x x

1n

R xS x

.R x S x

2

2 2

1 3 2

2 7 12

x x xP x

x x x

21 3 2 0x x x 1x

2x

P x

2 22 7 12 0x x x 2x

3x 4x


Vậy ta có thể coi là nghiệm bội 2, là “nghiệm” bội 3, và

là các “nghiệm” bội 1 của .

.

Từ đó ta có kết quả xét dấu như sau:

1 2 3 4

0 + +

2. Áp dụng giải bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ 12: Cho phương trình . Số nghiệm nguyên trong

đoạn của bất phương trình là:

A. 1 B. 2018 C. 2019 D. 0

Lời giải

Ta có hoặc .

Kết quả xét dấu của biểu thức :

1/4

+ 0 0 + 0

Vậy .

Do đó các nghiệm nguyên của bất phương trình trong đoạn là 0; 2; 3; …; 2018 Có 2018 số.

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 131

STUDY TIP

Với bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi chưa xác định được dấu của các biểu thức trong bất phương trình.

1x 2x 3x 4x

P x

2

1.20 02 .12

P

P x

x

P x

4 1 2 5 3 0x x x

0;2018

14 1 2 5 3 0 ; 24

x x x x x 53

x

4 1 2 5 3P x x x x

x 2 5 / 3

P x

1 50 2; ;4 3

P x x

0P x 0;2018


Ví dụ 13: Bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. 0 B. 7 C. 6 D. Vô số

Lời giải


Kết quả xét dấu vế trái:

VT + 0 + 0 +

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Suy ra bất phương trình đã cho có 6 nghiệm nguyên âm là .

Đáp án C.

V. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Một số kết quả quan trọng thường sử dụng:

1. ;

2. .

3. Với thì:

+ ;

+ ;

LOVEBOOK.VN | 132

STUDY TIP

Giá trị tuyệt đối của một số là khoảng cách từ số đó đến số 0 trên trục số.

2 5 3 23 2 2 5

x xx x

23

x 52

x

2 22 5 3 2 5 3 72 5 3 2 2 5 3 2 0 0 03 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5 3 2 2 5

x x x xx x x xx x x x x x x x

x 7 2 / 3 3 / 5 5 / 2

2 3 57; ;3 5 2

x

6; 5; 4; 3; 2; 1

0

0

nÕu nÕu

f x f xf x

f x f x

2 2f x f x

0a

f x a a f x a

f x af x a

f x a


4. Cho và là các biểu thức của x:

+ ;

+ ;

+ .

Ví dụ 14: Biết tập nghiệm của bất phương trình là đoạn .

Tính .

A. B. C. 4 D.

Lời giải

.

Vậy .

Đáp án D.

Ví dụ 15: Có bao nhiêu số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương

trình: (1)?

A. 0 B. 2 C. 5 D. Vô số

Lời giải

Lập bảng chia khoảng xét dấu hai biểu thức và :

0 4 5

LOVEBOOK.VN | 133

STUDY TIP

Ta thường sử dụng phương pháp chia khoảng xét dấu khi bất phương trình chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối nhưng không được đưa về dạng cơ bản như trong mục 3, 4 ở trên.

f x g x

2 2 0f x g x f x g x f x g x f x g x

f x g x g x f x g x

f x g xf x g x

f x g x

2 1 2x x ;a b

b a

43

83

103

33 12 1 2 2 2 1 2 313 1 3

3

xxx x x x x x

x x

1 1 10; 3 33 3 3

a b b a

2

2

4 31

5

x x

x x

2 4x x 5x

x


+ 0 0 + +

0 0

- TH1: Với hoặc , bất phương trình (1) trở thành:

(do )

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .

- TH2: Với , bất phương trình (1) trở thành:

.

Vậy trong trường hợp này bất phương trình đã cho có nghiệm là .

- TH3: Với , bất phương trình (1) trở thành:

(do với thì )

(loại).

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .

Do đó 2 số tự nhiên khác 0 thuộc tập nghiệm của bất phương trình đã cho.

Đáp án B.

VI. Bất phương trình chứa căn thức

(Trong chương trình chuẩn không có nội dung bất phương trình chứa căn thức. Vì vậy phần này chỉ mang tính chất tham khảo).

LOVEBOOK.VN | 134

2 4x x

5x

0x 4 5x

22 2

2

4 3 1 4 3 55

x x x x x xx x

2 5 0 x x x

23 23

x x

2;3

x

0 4x

22 2 2

2

4 3 11 4 3 5 2 5 2 0 25 2

x x x x x x x x xx x

1 ;22

x

5x

22 2

2

4 3 1 4 3 55

x x x x x xx x

5x 2 5 0x x

85 85

x x

2 1; ;23 2

x


* Một số kết quả quan trọng:

+ có nghĩa ;

+ ;

+ ;

+ .

Ví dụ 16: Bất phương trình có tập nghiệm là nửa khoảng

. Tính .

A. B. C. D. 6

Lời giải

.

.

LOVEBOOK.VN | 135

A 0A

2 00

nÕu nÕu

A AA A

A A

2

0

0

f x

f x g x g x

f x g x

2

0

0

0

g x

f xf x g x

g x

f x g x

22 6 1 2x x x

;a b 2a b

6 79 7

2

5 7

2 2

22

2 0 12 6 1 2 2 6 1 0 2

2 6 1 2 3

xx x x x x

x x x

1 2x

3 7 3 72 ; ;2 2

x


.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là .

Do đó .

Đáp án A.


Bài tập về phép biến đổi tương đương

Ví dụ 1: Tập nghiệm của bất phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Điều kiện: .

Ta có: .

(Lưu ý: Ta nói là hệ quả của bất phương trình )

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm là .

Đáp án C.

Ví dụ 2: Bất phương trình nào sau đây tương đương với bất phương trình

?

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có: .

LOVEBOOK.VN | 136

STUDY TIP

Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình chứa căn thức.

Dạng 1

STUDY TIP

Trong nhiều trường hợp, giải bất bất phương trình thì mới khẳng định được phép biến đổi có tương đương hay không.

23 2 3 0 1;3x x x

3 7 ;32

S

2 6 7a b

2 2 2x x x

; 2 2 2;2

2 0 2x x

2 2 2 2x x x x

2x 2 2 2x x x

2 2x

3 0x

3 4 0x x 3 1 1x x x

25 3 0x x 2 3 0x x

3 0 3x x


Với A: .

Vậy bất phương trình và bất phương trình có cùng tập nghiệm, do đó tương đương với nhau. A là đáp án đúng.

Giải thích thêm:

* .

Vậy bất phương trình và bất phương trình không có cùng tập nghiệm. Do đó chúng không tương đương với nhau.

* .

Tương tự suy ra C không phải là đáp án đúng.

* .

Do đó D cũng không phải là đáp án đúng.

Đáp án A.

Giải bất phương trình, hệ bất phương trình

Ví dụ 3: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình ?

A. B.

C. D.

Lời giải

Điều kiện: .

Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình đã cho.

LOVEBOOK.VN | 137

Dạng 2

STUDY TIP

Cần lưu ý đến điều kiện xác định khi giải bất phương trình.

4 0 43 4 0 3

3 0 3x x

x x xx x

3 4 0x x 3 0x

1 0 13 1 1 3 1

3 0 3x x

x x x xx x

3 1 1x x x 3 0x

2 5 55 3 0

3 0 3x x

x xx x

2 0 03 0

3 0 3x x

x xx x

2018 2018x x

2018S S

;2018S 2018;S

2018 0 20182018

2018 0 2018x x

xx x

2018x


Vậy .

Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho bất phương trình có tập nghiệm S. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. S có 3 nghiệm nguyên không âm.

B. S có 1 nghiệm duy nhất.

C. Số là phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ nhất của S.

D. S chứa khoảng .

Lời giải

.

Ta có có các nghiệm (bội 1), (bội

3) và (bội 1). Xét dấu vế trái:

1 2

0 + 0 0 +

Vậy . Do đó C là đáp án đúng.

Đáp án C.

Ví dụ 5: Gọi M, m lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất

phương trình . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải


LOVEBOOK.VN | 138

STUDY TIP

Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với

.

STUDY TIP

Không được tùy tiện chia 2 vế của bất phương trình cho một biểu thức khi chưa xác định được dấu của biểu thức đó.

STUDY TIP

Lời giải sai: Bất phương trình tương đương với

S

2 2 21 4 1 4 4 4x x x x x x

0 1x

3;4

2 4 4x x

22 0x 2x

2 2 2 2 21 4 1 4 4 4 1 4 4 4 0x x x x x x x x x x

2 21 4 4 4 0x x x x 1x 2x

2x

x 2

VT

; 2 1;2S

2 210 2 4 6x x x x

2 5 4 0x

4; 1x

2

2

10 22 3

x xx x

M m

5 4 3 2

2 2 3 0 1x x x 3x


.

Bảng xét dấu vế trái:

1

VT + 0 + 0 +

Suy ra nghiệm của bất phương trình là .

Do đó và .

Đáp án B.

Ví dụ 6: Bất phương trình có tập nghiệm (

). Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

.

(2) .

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là .

Do đó .

Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 139

STUDY TIP

Không được tùy tiện quy đồng khử mẫu khi giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu.

2 2 2 2

2 2 2 2

10 10 5 4 5 42 2 0 0 02 3 2 3 2 3 2 3

x x x x x x x xx x x x x x x x

x 4 3 1

4;3 1;1x

0M 4 4m M m

24 4 5 2 1x x x ;S a b

a b 2 2a b

2 2 174

a b 2 2 52

a b 2 2 54

a b 2 2 5a b

22

2

2 1 4 4 5 12 1 4 4 5

2 1 4 4 5 2

x x xx x x

x x x

2 31 4 2 6 0 12

x x x

2 14 6 4 0 22

x x x

3 1;1 2; 2;12 2

S

2 2 5a b


Ví dụ 7: Biết tập nghiệm của bất phương trình là nửa

khoảng . Tìm .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải

.

.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là

.

Từ đó ta có .

Đáp án A.

Ví dụ 8: Hệ bất phương trình có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 140

STUDY TIP

Phần nguyên của một số thực x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x, kí

hiệu . Ví dụ:

.

STUDY TIP

Cho hàm số xác định trên D. Khi đó

.

2 4 5 2 3x x x

;a a

x

2,5 2; 2,5 3

2

2 2

22

3 2 0

4 5 04 5 2 3 4 5 3 2

3 2 0

4 5 3 2

xI

x xx x x x x x

xII

x x x

3

32

2x

I xx

2

332 322

2 3 223 8 4 03

xxII x

xx x

2 3 3 2; ; ;3 2 2 3

S

2 03

a a

y f x

0,f x x D

2

2

7 6 0

4 0

x x

x x


* (*).

* (do )

hoặc , trong hai giá trị này của x

chỉ có giá trị thỏa mãn (*).

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất .

Đáp án B.

Bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất chứa tham số

Ví dụ 9: Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình

nghiệm đúng là:

A. Vô số B. 1 C. 3 D. 4

Lời giải

.

Đặt .

.

Vậy có duy nhất 1 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán, đó là

giá trị .

Đáp án B.

Ví dụ 10: Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

LOVEBOOK.VN | 141

Dạng 3

STUDY TIP

.

STUDY TIP

Hệ bất phương trình trong Ví dụ 10 vô nghiệm

.

2 7 6 0 1 6x x x

2 24 0 4 0x x x x 2 4 0 x x x

2 4 0 4 0 0x x x x x 4x

4x

4x

0

; f x ax b

x

0

0

f

f

2 1 3 0m x x 5;2x

2 2 21 3 0 1 3 0m x x m x m

2 21 3f x m x m

2

2

5 0 6 8 00 5;2

2 0 1 0 f m

f x xf m

2

2

6 8 01 1 1

1

mm m

m

0m

14 55

m

11m

3 6 35 7

2

xx m


A. B. C. D.

Lời giải

* .

* .

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

.

Đáp án D.

Tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai chứa tham số

Ví dụ 11: Cho bất phương trình , trong đó m

là tham số, . Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để bất phương trình vô nghiệm?

A. Vô số B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Bất phương trình vô nghiệm

.

Mà .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 142

Dạng 4

11m 11m 11m 11m

3 6 3 6 1 5x x x

5 147 5 142 5

x m mx m x

14 5 14 25 115

m m m

23 2 2 1 4 0f x x m x m

m

0f x

0 ' 0 f x x

2 114 7 11 0 14

m m m

0;1;2m m


Ví dụ 12: Cho bất phương trình (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị của m để bất phương trình có nghiệm. S chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta tìm điều kiện của m để bất phương trình vô nghiệm.

- TH1: . Khi đó .

Vậy với thì bất phương trình có nghiệm.

- TH2: . Khi đó bất phương trình vô nghiệm

.

Vậy thì bất phương trình vô nghiệm.

Suy ra với thì bất phương trình có nghiệm .

Vậy S chứa khoảng .

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 143

STUDY TIP

Phương pháp “tìm phần bù”: Thay vì tìm m để bất

phương trình có nghiệm, ta tìm m để bất

phương trình vô nghiệm.

2 2 1 1 0f x mx m x m

1;0 0;1 1;2 2;3

0f x

0m 1 0 1f x x x

0f x

0f x

0m 0f x

0m 0f x

0 f x x

00 0 110 1 8 0 88

mm mm

m m

18

m 0f x

18

m 0f x 1;8

S

1;0


Ví dụ 13: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

nghiệm đúng .

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có có , nên .

Do đó .

Bất phương trình nghiệm đúng

nghiệm đúng .

Đáp án B.

Biện luận về nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 14: Cho phương trình . Biết tập hợp các giá

trị của tham số m để phương trình vô nghiệm là khoảng . Tính .

A. B. C. D.

Lời giải

* TH1: . Phương trình đã cho trở thành:

.

* TH2: . Khi đó phương trình đã cho có nghiệm.

.

LOVEBOOK.VN | 144

STUDY TIP

Việc xác định chính xác dấu của tử thức

giúp ta có được lời giải đơn giản cho bài toán này.

Dạng 5

2

2

2 5 01

x xx mx

x

m 2;2m

2;2m ; 2 2;m

2 2 5x x

2 2 5f x x x ' 0 0a 0 f x x

22

2

2 5 0 1 01

x x x mxx mx

2

2

2 5 01

x xx mx

2 1 0x x mx

2 24 0 4 2 2x m m m

22 2 1 4 0m x m x

;a b b a

8b a 6b a 8b a 6b a

2 0m 2m

26 4 03

x x

2 0 2m m

2' 6 7 0 1;7m m m


Vậy với thì phương trình đã cho vô nghiệm.

Do đó .

Đáp án A.

Ví dụ 15: Gọi là giá trị nguyên dương nhỏ nhất của tham số m để phương

trình có hai nghiệm trái dấu. Khi đó số ước

nguyên dương của là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Phương trình đã cho có 2 nghiệm trái dấu

.

Vậy . Do đó có 1 ước nguyên dương.

Đáp án A.

Ví dụ 16: Cho phương trình . Biết tập hợp các giá trị

của tham số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là khoảng .

Tìm độ dài của đoạn trên trục số.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

Lời giải

Phương trình đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt

LOVEBOOK.VN | 145

STUDY TIP

Khi phương trình dạng

có hệ số a chứa tham số ta cần phải chú ý đến trường hợp

.

STUDY TIP

Phương trình

có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ

khi .

STUDY TIP

Độ dài của đoạn

trên trục số là .

1;7m

2 0ax bx c

0a

7 1 8b a

0m

2 22 2 1 5 6 0x m x m m

0m

2 0ax bx c

0ac

22 5 6 0m m

2 5 6 0 ;2 3;m m m

0 1m 0m

2 2 1 4 8 0x m x m

;a b

;a b

;a b

b a' 0

00

SP


.

Vậy đoạn có độ dài là .

Đáp án A.

Lưu ý:

Cho phương trình bậc hai , , , .

+ Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt ;

+ Phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt ;

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu ;

+ Phương trình có 2 nghiệm trái dấu .

LOVEBOOK.VN | 146

2 ; 1 7;6 7 02 1 0 1 2; 1

24 8 0

mm mm m m

mm

;a b 1 2 1

2 0 0 ax bx c a 2 4b ac bS

a

cPa

000

SP

000

SP

00P

0 0P ac




Câu hỏi ở mức độ nhận biết

Câu 1: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để bất

phương trình vô nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 2: Có bao nhiêu số nguyen nhỏ hơn 10 thuộc tập

nghiệm của bất phương trình ?

A. Vô số B. 4 C. 5 D. 6

Câu 3: Nếu thì tập nghiệm của bất phương trình

ẩn x, tham số m: là:

A. B.

C. D.

Câu 4: Cho phương trình:

Gọi a và b lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

của tham số m để phương trình có nghiệm. Tính .

A. B. 4 C. D. 2

Câu 5: Cho hàm số

. Tập hợp các giá trị

của tham số m để hàm số có tập xác định là:

A. B. C. D.

Câu 6: Tập nghiệm của bất phương trình

là:

A.

B.

C.

D.

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình:

là:

A. B.

C. D.

Câu 8: Khẳng định nào sau đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 9: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

hàm số xác định trên khoảng

?

LOVEBOOK.VN | 147

2mx m x

1 12 3 5x x

1m

22 1 1 1m x m x

1;1

mm

1;1

mm

1;1

mm

1;1

mm

22 2 2 3 5 6 0m x m x m

a b

4 2

2 2

2 1

5 4 4 1

xym m x m x

41;3

41;3

1;4

2 29 5 4 0x x x

; 3 3;S

; 3 1 3;S

; 3 1 4;S

; 3 3;4 4;S

2 2 2x x x

2

;2 2;

2 3 3x x x

2

1 0 1 02

x xx

1 0 1 0x x x

1 2 1 2x x x x

1 2 6y m xx m

1;0


A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để

ta luôn có ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


là:

A. B.

C. D.

Câu 12: Gọi M là số dương nhỏ nhất và m là số âm lớn nhất thuộc tập xác định của hàm số:

.

Tính .

A. 4 B. C. 2 D. 0

Câu 13: Cho hệ bất phương trình: .

Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng của tham số m để hệ vô nghiệm?

A. 8 B. 7 C. 10 D. 19

Câu 14: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m

để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 trên trục số. Tổng tất cả các phần tử của tập S bằng:

A. B. 1 C. 5 D. 8

Câu 15: Biết bất phương trình

có tập nghiệm . Tính .

A. B. 3 C. D.

LOVEBOOK.VN | 148

x

2

2

22 32 3 2x x mx x

22 4 4 4x x x

; 2 2;2

2;

2 3 6y x x x

M m

2

24 2 13 2 2 1x m mxx x

10;10

2 2 5 8 0x mx m

5

22 4 9 5 6 7 11 0x x x x

;S a b a b

45 1 1

Chủ đề 5: Bất phương trình - Hệ bất phương trình www.thuvienhoclieu.com

§2. Bất phương trình, hệ bất phương trình hai ẩn

A. Lý thuyết

I. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Định nghĩa:

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là (hoặc

; ), trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

Cặp số sao cho “ ” là mệnh đề đúng được gọi là một nghiệm

của bất phương trình .

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất

phương trình được gọi là miền nghiệm của bất phương trình.

Ví dụ 1: Bất phương trình có một nghiệm là vì “ ” là một mệnh đề đúng.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Quy tắc thực hành biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình .

- Bước 1: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng .

- Bước 2: Lấy một điểm không thuộc Δ (ta thường lấy gốc tọa độ O).

- Bước 3: Tính và so sánh với c.

- Bước 4: Kết luận.

+ Nếu thì nửa mặt phẳng bờ Δ chứa là miền nghiệm của bất

phương trình .

LOVEBOOK.VN | 149

STUDY TIP

Ta trình bày lí thuyết cho bất phương trình dạng

. Hoàn toàn tương tự cho các dạng

; ;

.

STUDY TIP

Các bước vẽ đường thẳng

( ):

- Cho thì .

Ta được điểm . Vẽ điểm A trên mặt phẳng

.

- Cho thì .

Ta được điểm . Vẽ điểm B trên mặt phẳng

.

- Vẽ đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Đó chính là đường thẳng Δ.

ax by c

ax by c ax by c

ax by c

ax by c

ax by c ;ax by c ax by c

0 0;x y 0 0ax by c

ax by c

: ax by c , 0a b

0x /y c b

0; /A c b

Oxy A Oy

0y /x c a

/ ;0B c a

Oxy B Ox

ax by c

2 3x y 1;1 2.1 1 3

ax by c

: ax by c

0 0 0;M x y

0 0ax by 0 0ax by

0 0ax by c 0M

ax by c

Bất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com

+ Nếu thì nửa mặt phẳng bờ Δ không chứa là miền nghiệm của

bất phương trình .

Ví dụ 2: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình .

Lời giải

- Vẽ đường thẳng Δ có phương trình .

- Lấy gốc tọa độ , ta thấy .

- Ta có: .

Vậy nửa mặt phẳng bờ Δ chứa gốc O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị gạch bỏ trong hình).

LOVEBOOK.VN | 150

STUDY TIP

Miền nghiệm của bất

phương trình bỏ đi đường thẳng

là miền nghiệm của bất phương

trình

0 0ax by c 0M

ax by c

ax by c

ax by c

ax by c

2 3x y

2 3x y

0;0 O

2.0 0 3


II. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

* Định nghĩa:

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ 3: là một nghiệm của hệ bất phương trình .

* Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

- Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ miền còn lại.

- Miền còn lại không bị gạch chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ví dụ 4: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình hai ẩn .

Lời giải

- Vẽ các đường thẳng và

.

- Lấy điểm . Ta thấy tọa độ của

thỏa mãn cả bốn bất phương trình trong hệ.

LOVEBOOK.VN | 151

STUDY TIP

- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Oy.

- Đường thẳng là đường thẳng chứa trục Ox.

1;11

3 5x yx y

0x

0y

3 64

00

x yx yxy

1 : 3 6d x y

2 : 4d x y

0 1;1M

0M


- Miền không bị gạch (miền tứ giác OAIC, kể cả bốn cạnh của nó, với ,

và , chứa điểm ) là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

* Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng

, trong đó x, y nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn đã cho.

- Vẽ miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Miền nghiệm nhận được thường là một miền đa giác.

- Tính giá trị của F ứng với là tọa độ các đỉnh của miền đa giác nói trên rồi so sánh các kết quả, từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.

Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức trong đó là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho ở Ví dụ 4.

Lời giải

Lập bảng:

Đỉnh

0 4 6,8 6,4

LOVEBOOK.VN | 152

2;0A

1;3I 0;4C 0M

F ax by

;x y

2 1,6F x y ;x y

0;0O 2;0A 1;3I 0;4C

2 1,6F x y



Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Ví dụ 1: Miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) trong hình bên dưới là miền nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Đường thẳng d trong hình có phương trình: .

Lấy điểm ta có và .

Từ đó suy ra miền không bị gạch bỏ (không tính đường thẳng d) là miền nghiệm

của bất phương trình .

Đáp án B.

Ví dụ 2: Miền biểu diễn nghiệm của hệ bất phương trình là một miền đa giác. Tính diện tích S của đa giác đó.

A. B. C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 153

Dạng 1

STUDY TIP

Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn:

Đường thẳng đi qua 2

điểm và

với có phương trình là

.

;0A a 0;B b

0ab

1x ya b

4 0x y 2 4 0x y

2 4 0x y 4 0x y

1 2 4 04 2x y x y

0;0O O d 0 2.0 4 0

2 4 0x y

22

2 8

yx

x y

25S 4S 9S 18S


Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh AB, BC, CA, trong đó

và . Dễ thấy

vuông tại A. Do đó ta có:

.

Đáp án C.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức dạng F = ax + by. Áp dụng vào bài toán tối ưu trong thực tế

Ví dụ 3: Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình . Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. và B. và

C. và D. và

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 154

STUDY TIP

- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Oy, cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng a.

- Đường thẳng là đường thẳng song song với trục Ox, cắt trục Oy tại điểm có tung độ bằng b.

x a

y b

2; 2 , 5; 2A B 2;4C

ABC

1 1. .3.6 92 2ABCS S AB AC


Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác ABC kể cả các cạnh

AB, BC, CA với ; và

.

Lập bảng:

Đỉnh

2

Vậy và .

Đáp án A.

Ví dụ 4: Có ba nhóm máy A, B, C dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau:

Nhóm Số máy trong mỗi nhóm

Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm

Loại I Loại II

A 10 2 2

B 4 0 2

C 12 2 4

Mỗi đơn vị sản phẩm I lãi 3.000 đồng, mỗi đơn vị sản phẩm II lãi 5.000 đồng. Để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất thì cần dùng đến mấy máy thuộc nhóm A?

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

LOVEBOOK.VN | 155


Lời giải

Gọi x và y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất (

). Khi đó số lãi thu được là

(nghìn đồng).

Theo giả thiết thì x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền đa giác OABCD, kể cả các cạnh của nó. Lập bảng:

Đỉnh

0 15 17 16 10

Vậy cần sản xuất 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II để số lãi thu được cao

nhất. Khi đó cần dùng đến máy thuộc nhóm A.

Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 156




Câu 1: Miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) trong hình dưới đây là miền nghiệm của bất phương trình nào?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Cho hệ bất phương trình: . Miền nghiệm của hệ bất phương trình là:

A. Một nửa mặt phẳng.

B. Một miền tam giác

C. Một miền tứ giác

D. Một miền ngũ giác

Câu 3: Cho biểu thức với x và

y thỏa mãn hệ bất phương trình:

. Biết T đạt giá trị nhỏ nhất khi và

. Tính .

A. 5 B. 41 C. 26 D. 0

Câu 4: Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị pro-tein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kg thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kg thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6 kg thịt bò và 1,1 kg thịt lợn, giá tiền mỗi kg thịt bò là 250.000 đồng, giá tiền mỗi kg thịt lợn là 85.000 đồng. Hỏi chi phí ít nhất để mua thịt mỗi ngày của gia đình đó là bao nhiêu?

A. 226.000 đồng B. 209.500 đồng

C. 167.000 đồng D. 168.500 đồng

LOVEBOOK.VN | 157


BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ V


Câu 1: Bất phương trình nào sau đây không

tương đương với bất phương trình ?

A.

B.

C.

D.

Câu 2: Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Cho bất phương trình . Một học sinh giải như sau:

.

Hỏi học sinh giải sai từ bước nào?

A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV)

Câu 4: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình:

.

A.

B.

C.

D.


chứa khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. B. C. D.

Câu 6: Tập nghiệm của hệ bất phương trình:

chứa bao nhiêu số nguyên?

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Câu 7: Cặp bất phương trình nào sau đây không tương đương?

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 8: Điều kiện của bất phương trình:

LOVEBOOK.VN | 158


là:

A. B.

C. và D. và

Câu 9: Bất phương trình có tập nghiệm là:

A.

B. .

C.

D.

Câu 10: Gọi a và b lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của hệ bất

phương trình . Tính .

A. 3 B. 2 C. 6 D. 10

Câu 11: Bất phương trình

có tập nghiệm là:

A. B.

C. D.

Câu 12: Khẳng định nào sau đây sai?

A. Bất phương trình luôn có nghiệm

.

B. Bất phương trình vô nghiệm khi

và

C. Bất phương trình có tập nghiệm

là khi và

D. Bất phương trình có nghiệm khi

Câu 13: Có bao nhiêu số nguyên không thuộc tập nghiệm của bất phương trình

?

A. 6 B. 8 C. 4 D. 2

Câu 14: Cho bất phương trình . Nghiệm lớn nhất của bất phương trình gần với số nào nhất trong các số sau?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 15: Cho hệ bất phương trình

. Xét các khẳng định sau:

(I) Khi thì hệ bất phương trình đã cho vô nghiệm.

(II) Khi thì hệ bất phương trình đã cho

có tập nghiệm là .

(III) Khi thì hệ bất phương trình đã cho


(IV) thì hệ bất phương trình đã cho có

nghiệm là .

LOVEBOOK.VN | 159


Trong các khẳng định trên có bao nhiêu khẳng định đúng?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 16: Giá trị lớn nhất của tham số m để hệ

bất phương trình vô nghiệm là:

A. B. C. D.


là:

A.

B.

C.

D.

Câu 18: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình

có 2 nghiệm dương phân biệt?

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 19: Cho hệ bất phương trình

. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 20: Bất phương trình: có bao nhiêu nghiệm nguyên âm?

A. Vô số B. 23 C. 22 D. 21

Câu 21: Cho hệ bất phương trình:

. Gọi là tập nghiệm của bất

phương trình (1), là tập nghiệm của bất phương trình (2) còn S là tập nghiệm của hệ bất phương trình. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 22: Biết hệ bất phương trình:

có miền nghiệm là một miền đa giác (kể cả các cạnh của nó). Tính diện tích đa giác đó.

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

Câu 23: Miền nghiệm của hệ bất phương trình

là:

A. Một nửa mặt phẳng B. Một miền tam giác

C. Một miền tứ giác D. Một miền ngũ giác

LOVEBOOK.VN | 160


Câu 24: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

, với x và y thỏa mãn hệ bất phương

trình là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 25: Cho hệ bất phương trình . Biết miền nghiệm của hệ bất phương trình là một đa giác. Diện tích của đa giác đó gần với số nào nhất trong các số dưới đây?

A. 6 B. 6,5 C. 7 D. 5,5


là:

A. B.

C. D.

Câu 27: Phương trình

có nghiệm khi và chỉ khi:

A. B.

C. D.

Câu 28: Có bao nhiêu số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 10 thuộc tập nghiệm của bất

phương trình ?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

Câu 29: Tập xác định của hàm số

là:

A.

B.

C.

D.

Câu 30: Cho bất phương trình:

.

Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất

phương trình vô nghiệm là đoạn . Tính độ

dài đoạn trên trục số.

A. 6 B. C. 4 D.


là:

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 161


Câu 32: Gọi a và b lần lượt là nghiệm nhỏ nhất và nghiệm lớn nhất của hệ bất phương trình:

.

Tính .

A. B. C. D.

Câu 33: Tập xác định của hàm số

có dạng là một đoạn

(với ) khi và chỉ khi:

A. B. C. D.


là:

A. B.

C. D.


là:

A. B.

C. D.

Câu 36: Tập nghiệm của phương trình:

là:

A. B.

C. D.


là:

A. B.

C. D.

Câu 38: Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 39: Biết phương trình có

tập nghiệm là nửa khoảng , a gần với số nào nhất trong các số sau?

A. B. 0 C. 1 D. 2

Câu 40: Bất phương trình tương đương với bất phương trình nào dưới đây?

A. B.

LOVEBOOK.VN | 162


C. D.

Câu 41: Biết tập nghiệm của bất phương trình

có dạng

(với ). Tính .

A. B.

C. D.

Câu 42: Giá trị nhỏ nhất của tham số m để bất

phương trình

có tập nghiệm bằng gần với số nào nhất trong các số sau đây?

A. 4,5 B. 5 C. 5,5 D. 6

Câu 43: Gọi lần lượt là tập nghiệm của

các bất phương trình và

. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 44: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để

bất phương trình có tập nghiệm

bằng ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 45: Có bao nhiêu giá trị thuộc khoảng

của tham số m để hàm số

xác định khi ?

A. 0 B. 1 C. 2 D.Vô số

Câu 46: Cho bất phương trình:

.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 47: Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để bất phương trình

có nghiệm?

A. 7 B. 8 C. 9 D. Vô số

Câu 48: Biết tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình

nghiệm đúng

là nửa khoảng , trong đó a là một số nguyên dương. Tính số ước nguyên dương của a.

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 49: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình

LOVEBOOK.VN | 163


có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 trên trục số?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 50: Bác Thùy dự định trồng đậu và cà trên

diện tích ( ). Nếu trồng đậu thì cần 20 công và thu lãi 3.000.000 đồng trên mỗi a, nếu trồng cà thì cần 30 công và thu lãi 4.000.000 đồng trên mỗi a. Biết tổng số công cần dùng không được vượt quá 180. Tính số tiền lãi lớn nhất thu được.

A. 24 (triệu đồng) B. 25 (triệu đồng)

C. 26 (triệu đồng) D. 27 (triệu đồng)

LOVEBOOK.VN | 164


HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 5

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN


Ta có:

(*).

Bất phương trình (*) vô nghiệm

.


Điều kiện:

Ta có:

Bảng xét dấu vế trái:

5

VT + 0 +

Suy ra bất phương trình có tập nghiệm

.

Vậy có 6 số nguyên nhỏ hơn 10 thuộc S, đó là

các số .


(*).

Vì nên .

Do đó (*)

Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là

.


* .

Phương trình trở thành:

.

* . Khi đó phương trình đã

cho có nghiệm

* Vậy với thì phương trình đã cho có nghiệm.

Do đó .


Hàm số có tập xác định

LOVEBOOK.VN | 165


.

* TH1:

hoặc .

- Với :

;

.

- Với :

.

Vậy hoặc không thỏa mãn hàm số

có tập xác định .

* TH2: .

Khi đó

.

* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn ycbt.


Điều kiện:

.

* Với hoặc :

Vậy là các nghiệm của bất phương trình.

* Với thì

.

Vậy trường hợp này bất phương trình có

nghiệm là .

* Vậy .


Điều kiện: (1).

Ta có:

(2).

Từ (1) và (2) suy ra .


Cách 1: * Giải bất phương trình:

(1).

Điều kiện: .

- Với thì . Do đó không là nghiệm của bất phương trình (1).

- Với :

LOVEBOOK.VN | 166


.

Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm

.

* Giải bất phương trình (2). Dễ thấy bất phương trình (2) có tập nghiệm

.

* Ta thấy .

Vậy .

Cách 2: Ta có .

Với thì . Do đó nhân hai vế

của bất phương trình với ta được bất phương trình tương đương. Vậy C đúng.


Điều kiện: .

Để hàm số xác định trên khoảng thì ta phải có

.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu

cầu bài toán. Đó là các giá trị .


Ta có (do có

và ).

Do đó

Để bất phương trình đã cho thỏa mãn

thì (1) và (2) phải nghiệm đúng

.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu

cầu bài toán, đó là các giá trị .


.

Ta có

.

Vậy bất phương trình

LOVEBOOK.VN | 167


vô nghiệm.

Do đó .


Điều kiện xác định của hàm số:

(do )

.

Vậy .

Do đó và .

Suy ra .


* .

*

(*)

- TH1: .

(*) trở thành .

Vậy hệ bất phương trình đã cho có nghiệm

.

- TH2: .

Khi đó (*) .

Để hệ bất phương trình vô nghiệm thì ta phải có

.

- TH3: .

Khi đó (*) .

Suy ra hệ bất phương trình đã cho có nghiệm.

* Tóm lại hệ bất phương trình đã cho vô

nghiệm .


Đặt .

Có .

- Nếu thì .

Khi đó bất phương trình vô nghiệm.

- Nếu thì ; .

Khi đó bất phương trình có 1 nghiệm duy nhất .

- Nếu thì có 2 nghiệm phân

biệt . Khi đó bất phương trình


LOVEBOOK.VN | 168


Vậy để bất phương trình có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 4 thì ta phải

có:

.

Vậy . Do đó tổng các phần tử của S bằng 5.

Lưu ý: Ta có thể giải như sau:

.

Sau đó áp dụng định lí Vi-et để tìm m.


Điều kiện:

Khi đó ta có:

(*)

Với thì

LOVEBOOK.VN | 169


Do đó (*)

.

Kết hợp với điều kiện ta có

.

Do đó .

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH

- HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN


Phương trình đường thẳng d:

.

Lấy điểm , ta có và

.

Vậy miền không bị gạch bỏ (bao gồm cả đường thẳng d) là miền nghiệm của bất phương trình

.


Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền

tứ giác ABOC với , và

.



tam giác ABC với và

. Lập bảng:

Đỉnh

3

LOVEBOOK.VN | 170


Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi

và . Do đó và

.


Gọi x và y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua mỗi ngày. Khi đó x và y phải thỏa mãn hệ bất phương trình:

.

Lượng tiền để mua thịt là

(nghìn đồng).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là

miền tứ giác ABCD với ,

, và .

Lập bảng:

Đỉnh

Đỉnh

Vậy chi phí mua thịt ít nhất là 168.500 đồng.

III. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 5


Xét bất phương trình:

(*)

Điều kiện: .

* Dễ thấy thỏa mãn bất phương trình (*).

* Với :

Vậy trong trường hợp này bất phương trình (*)

có nghiệm .

* Vậy (*) có tập nghiệm

.

Mặt khác xét bất phương trình . Bất phương trình này có tập nghiệm

.

Vậy . Do đó bất phương trình

không tương đương với bất phương trình

.


LOVEBOOK.VN | 171


* Xét bất phương trình

(*)

Điều kiện: .

+ không thỏa mãn bất phương trình (*).

+ : (*) .

Vậy trong trường hợp này bất phương trình có

nghiệm .

Vậy tập nghiệm của (*) là .

* Xét bất phương trình: có tập nghiệm

.

Ta thấy .

Do đó .


Học sinh giải sai từ bước (II), vì

chỉ đúng khi .


vì .


.

Phương trình có nghiệm

duy nhất (nghiệm bội 1).

Xét dấu vế trái:

2

VT 0 +

Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là

.


Hệ bất phương trình đã cho tương đương với

.

Vậy tập nghiệm của hệ bất phương trình chứa 2

số nguyên là và 0.


* Xét bất phương trình . Dễ thấy bất

phương trình có tập nghiệm .


(*).

+ Dễ thấy không thỏa mãn bất phương trình (*).

+ Với thì . Khi đó:

.

Vậy trong trường hợp này (*) có nghiệm

.

+ Vậy (*) có tập nghiệm

LOVEBOOK.VN | 172


.

* Ta thấy . Do đó và

không tương đương với nhau.


Điều kiện của bất phương trình đã cho là:

.


vì ta luôn có

.


.

Vậy và .


Ta có: .

Xét có

và .

Do đó .

Suy ra .

.


Chẳng hạn với thì bất phương trình

là vô nghiệm.

LOVEBOOK.VN | 173



Bảng xét dấu các nhị thức và :

4

0 + +

0 +

* :

Bất phương trình trở thành:

.


nghiệm .

* : Bất phương trình trở thành:

(vô lí).

Vậy trong trường hợp này bất phương trình vô nghiệm.

* : bất phương trình trở thành:

.


nghiệm .

* Tóm lại, bất phương trình có nghiệm là

.

Vậy có 8 số nguyen không thuộc tập nghiệm

của bất phương trình, đó là các số .


Điều kiện: .

*

.

Ta có:

.

* Bảng xét dấu

:

0

+ 0 0 + 0


.

Suy ra nghiệm lớn nhất của bất phương trình đã

cho là .


LOVEBOOK.VN | 174


* .

* .

+ : Hệ bất phương trình vô nghiệm.

+ : trở thành (vô lý) Hệ bất phương trình vô nghiệm.

+ : Hệ bất

phương trình có nghiệm .

* Vậy và là các khẳng định đúng.


.

Hệ trên vô nghiệm .


Điều kiện: .

* Trường hợp 1:


.


.


Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

.

Vậy có 3 giá trị nguyên dương của m thỏa mãn ycbt.


* .


LOVEBOOK.VN | 175


(*).

+ : (*) trở thành

thỏa mãn . Vậy với

hệ bất phương trình đã cho có tập

nghiệm là . Do đó không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

+ :

(*) .

Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy

nhất thì ta phải có

.

Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+ :

.

Để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm duy

nhất thì ta phải có

.

Vậy trường hợp này không có m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* Tóm lại không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Với thì . Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

(do )

.

Vậy bất phương trình đã cho có 22 nghiệm nguyên âm.


Ta có:

hay .

Vậy .


Hai đường thẳng và

giao nhau tại điểm .

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC (kể cả các cạnh AB, AC, BC) với

; và .

.

LOVEBOOK.VN | 176



Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC, với

.


Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tam giác ABC (kể cả các cạnh của nó), trong đó

, , .

Lập bảng:

Đỉnh

F 2 1 3

Vậy giá trị nhỏ nhất của F là 1, đạt được khi

và .


Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là

tứ giác OABC với .

.

LOVEBOOK.VN | 177



Điều kiện: .

Ta có .

Ta có: .


Do đó

.


.


.

Phương trình có nghiệm

.


Điều kiện:

.

* Dễ thấy và thỏa mãn bất phương trình.

* Với thì . Khi đó:

* Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho

là .


Hàm số xác định

.

Vậy .



.

Khi đó bất phương trình đã cho trở thành:

.

* Trường hợp 2: .

Khi đó bất phương trình đã cho vô nghiệm

LOVEBOOK.VN | 178


.

Vậy đoạn có độ dài là

.


.


Vậy và .


Điều kiện của hàm số:

.

Do đó để tập xác định của hàm số có dạng là

một đoạn (với ) thì ta phải có

.


.

Dấu bằng xảy ra khi

.

Tức là

.


.


Ta có:

Vậy

.


LOVEBOOK.VN | 179


Điều kiện: .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là

.


Điều kiện: .

.

Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm

.


Điều kiện: .

.

Phương trình đã cho có nghiệm

.


.



(1)

Điều kiện: .

Với thì .

Do đó .

LOVEBOOK.VN | 180



.

* Xét bất phương trình:

Điều kiện: .

Với thì .

Do đó .


.

* Ta có . Suy ra bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình (2).




.

* Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm

và

.


* TH1: . Khi đó bất phương trình trở thành

.

Vậy không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: . Bất phương trình đã cho có

tập nghiệm bằng .

.


*

.

*

.

LOVEBOOK.VN | 181


* Vậy .


Ta có .

Do đó

Để bất phương trình đã cho có tập nghiệm bằng

thì ta phải có .


Ta có .

Do đó hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi

.

* TH1: :

.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH2: :

.

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

* TH3: :

.

Để hàm số đã cho xác định khi thì ta

phải có .

* Vậy các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài

toán là .


Bất phương trình đã cho tương đương với

.

Ta có:

.

Do đó để bất phương trình đã cho có nghiệm thì ta phải có

.


LOVEBOOK.VN | 182


(vì ).

Đặt .

Đặt thì

Vì nên .

Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

.

Vậy .


Do đó điều kiện để bất phương trình đã cho có

nghiệm là .


Điều kiện:

.

Ta có:

k

Đặt .

Ta có với thì .

Bất phương trình đã cho trở thành

(*)

Bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi

(*) thỏa mãn với mọi

.

Ta có thì

.

Vậy ta phải có có 2 ước nguyên dương là 1 và 5.

Chú ý: Xem lại chủ đề Hàm số.


* .

* Tam thức có 2

nghiệm và (do có ).

- Nếu thì Bất

phương trình có nghiệm duy nhất

không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Nếu thì

.

LOVEBOOK.VN | 183


Do đó hệ bất phương trình đã cho có nghiệm

duy nhất không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

- Nếu thì

.

Do đó để hệ bất phương trình đã cho có tập nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 1 thì ta phải

có .

* Vậy là giá trị duy nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.


Gọi và lần lượt là diện tích trồng đậu và trồng cà.


Số công cần dùng là

.

Số tiền lãi thu được là (triệu đồng).

Ta tìm giá trị lớn nhất của với x, y

thỏa mãn hệ bất phương trình .


tứ giác OABC với , và

.

Lập bảng:

Đỉnh

T 0 24

Đỉnh

T 26 24

Vậy số lãi lớn nhất thu được là 26 (triệu đồng), đạt được khi trồng 6a đậu và 2a cà.

LOVEBOOK.VN | 184

Chủ đề 4: Bất đẳng thức The Best or Nothing

LOVEBOOK.VN | 185

Documents

· Web viewBất đẳng thức-Bất phương trình - Lớp 10 Bất đẳng thức-Bất phương trình Công Phá Toán - Lớp 10 More than a book Công Phá Toán - Lớp