Teste de Progresso 2013 · • Os três últimos candidatos sairão da sala de prova em ... Time em 2005 e 2006 entre as ... UNIFESO - Teste de Progresso 2013 LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

UNIFESO - Centro Universitário Serra dos Órgãos CCT – Centro de Ciências e Tecnologia

Teste de Progresso 2013

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Teresópolis outubro de 2013

Prezado Aluno Você está realizando o Teste de Progresso. Este não objetiva aprovar, selecionar ou classificar, procura dimensionar o seu ganho de conhecimento cognitivo e constatar sua evolução individual no processo de construção de sua aprendizagem. Por isso, ao participar do teste está fazendo o acompanhamento de seu crescimento ao longo do curso. Dependendo do período em que se encontra, muitas destas questões poderão ser desconhecidas. Mesmo assim, esforce-se para respondê-las.

O resultado do teste será entregue individualmente, aos alunos que participaram.

Boa sorte!

Comissão de Avaliação

I N S T R U Ç Õ E S :

• Assine o cartão de respostas com caneta azul ou preta conforme assinatura no documento de identidade apresentado.

• Marque o cartão de respostas preenchendo TODO O ESPAÇO sobre a letra correta (�) em tinta azul ou preta.

• NÃO serão permitidas rasuras no cartão de respostas. As questões rasuradas serão consideradas erradas.

• Somente entregue o cartão de respostas. O caderno de questões poderá ser levado para a conferência do gabarito, desde que tenha decorrido uma hora do início da prova.

• NÃO é permitido manter telefone celular, ou quaisquer dispositivos eletrônicos ligados na sala de prova.

• Fica proibido qualquer tipo de consulta. • Os professores responsáveis pela aplicação do teste NÃO poderão esclarecer dúvidas. O

entendimento dos enunciados faz parte da avaliação. • A prova contém 60 (sessenta) questões numeradas, de múltipla escolha, com cinco opções cada,

onde há somente única resposta correta e um questionário contendo 10 questões de percepção do teste de progresso.

• A duração da prova é de três horas improrrogáveis, incluído o tempo para a marcação do cartão de respostas. Ao final deste tempo, os cartões serão recolhidos.

• Os três últimos candidatos sairão da sala de prova em conjunto. • O(a) estudante somente poderá retirar-se da sala, depois de decorrida a primeira hora a

partir do início do teste.

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1. O conclave consiste numa reunião com a finalidade de eleger um Papa, cujo ritual permanece inalterado por cerca de oito séculos. Em 2013, foi eleito o novo Pontífice, Jorge Mario Bergoglio, de origem latino-americana, substituindo o anterior pelo seguinte motivo:

(A) Morte de Bento XVI

(B) Excomunhão de Bento XVI

(C) Impugnação de mandato de Bento XVI

(D) Licença não remunerada de Bento XVI (E) Renúncia de Bento XVI

Justificativa: O Papa Bento XVI abdicou ao papado em fevereiro de 2013, fato inédito na Igreja. Argumentou que, por conta da idade avançada, não tinha mais forças para liderar a Igreja Católica, após 8 anos de um mandato que, segundo ele próprio, teve “águas agitadas”, como o escândalo do VatiLeaks e as investigações de casos de pedofilia envolvendo o clero em vários países. Referências: http://g1.globo.com/mundo/renuncia-sucessao-papa-bento-xvi/noticia/2013/02/com-renuncia-de-bento-xvi-comeca-oficialmente-o-periodo-de-se-vacante.html e http://pt.wikipedia.org.wiki/Conclave-de-2013 Dificuldade: Fácil Categoria: Política e Cidadania Subcategoria: Politica Internacional, Religião

2. No Brasil, mais de 48,6 milhões de pessoas têm planos de saúde com cobertura de assistência médica. Atualmente, 8.791 processos de reclamações de consumidores sobre o atendimento dos planos de saúde estão em tramitação na Agência Nacional de Saúde Suplementar (ANS). O Ministério da Saúde, por meio da ANS, tem adotado uma série de medidas inéditas, a partir de 2012, para tornar mais rígido o monitoramento das operadoras de planos de saúde com objetivo de melhorar o atendimento do cidadão aos serviços contratados, tais como: a suspensão temporária da venda de 396 planos de 56 operadoras que não atenderam os seus clientes dentro dos prazos máximos previstos para marcação de exames, consultas e cirurgias; a aplicação de multas às operadoras nos valores entre R$80.000,00 e R$100.000,00; e medidas administrativas como a decretação do regime especial de direção técnica, inclusive com o afastamento dos dirigentes. Entre os motivos que levaram às queixas dos usuários, há uma que NÃO SE APLICA:

(A) A negativa de cobertura do plano

(B) O atraso sistemático dos médicos no atendimento aos pacientes em seus consultórios

(C) Os reajustes de mensalidades

(D) A mudança de operadora

(E) A negativa de autorização para algum procedimento médico, sem justificativa por escrito, em até 48 horas

Justificativa: A negativa de cobertura do plano, os reajustes de mensalidades, a mudança de operadora inclusive a negativa de autorização, por escrito, em até 48 horas, para algum procedimento médico, foram as queixas mais registradas por clientes de planos de saúde. Referência: http://portalsaude.saude.gov.br/portalsaude/noticia/9935/162/ans-define-medidas-%3Cbr%3Epara-acelerar-processos.html Dificuldade: Difícil Categoria: Ética Subcategoria: Medicina e saúde

3. A Presidente Dilma Rousseff aprovou, em maio de 2012, a comissão que será responsável pelas investigações das violações dos direitos humanos que ocorreram durante a Ditadura Militar no Brasil. Este grupo, composto por sete pessoas, terá um prazo de dois anos para investigar os casos e emitir um relatório que mostrará os responsáveis pelas torturas e desaparecimentos de presos políticos no Brasil entre 1946 e 1988. Como foi denominada esta comissão?

(A) Comissão Parlamentar de Inquérito

(B) Comissão de Conciliação Prévia

(C) Comissão Nacional da Verdade (D) Comissão Mista Permanente

(E) Comissão de Legislação Participativa

Justificativa: Os integrantes da Comissão Nacional da Verdade poderão acessar arquivos oficiais e deverão convocar pessoas para depor (em caráter opcional). A decisão foi realizada após forte pressão nacional e internacional dos familiares dos mortos no período da Ditadura Militar e de entidades ligadas aos Direitos Humanos. Referência: http://www.okconcursos.com.br/apostilas/apostila-gratis/113-atualidades-para-concursos/1244-comissao-da-verdade#.UUy-_TfAmeo e http://pt.wikipedia.org/wiki/Comiss%C3%A3o_Nacional_da_Verdade) Dificuldade: Difícil Categoria: Política e Cidadania Subcategoria: Direitos Humanos

4. Qual dos presidentes latino americanos listados abaixo é considerado(a) pelo povo de seu país como o maior líder político da América Latina nos últimos dez anos por: suas políticas de inclusão social, transferência de renda, decisões controversas e impactantes, além de ser reconhecido(a) crítico(a) do neoliberalismo e das políticas externas dos Estados Unidos, e defensor(a) da doutrina Bolivarianista, acreditando promover o que denominou de “socialismo do século XXI”?

(A) Hugo Chávez

(B) Cristina Kirchner

(C) Rafael Correa

(D) Luis Inácio Lula da Silva

(E) Michelle Bachelet

Justificativa: Com suas políticas de inclusão social e transferência de renda, Hugo Chávez advogava a doutrina Bolivarianista (que se baseia nas idéias de Simon Bolivar e cuja filosofia se apoia na promoção da educação pública gratuita e obrigatória e o repúdio à intromissão estrangeira nas nações americanas e à dominação econômica), promovendo o que denominava de socialismo do século XXI. Criticos a este sistema, incluem o ex-presidente espanhol José María Aznar, que afirmou que o socialismo do século XXI assume características autoritárias e totalitárias, tornando-se uma arma populista nas mãos de Chavez. Chávez foi também um crítico do neoliberalismo e da política externa dos Estados Unidos, promovendo internacionalmente o antiamericanismo e o anticapitalismo. Apoiou a autossuficiência econômica nacional com estranhas políticas macro-econômicas e defendeu a cooperação entre as nações pobres do mundo, especialmente às da América Latina. Sua atuação na região incluiu a criação da ALBA e o apoio financeiro e logístico a países aliados, sendo considerado pelo governo Bush como uma ameaça à democracia na América Latina. Vários observadores internacionais criticaram seu autoritarismo e o amplo espectro de políticas que minaram os direitos humanos e a iniciativa privada na Venezuela, durante o seu governo. Apesar de suas controversas idéias, amado pelo povo pobre de seu país, Chávez foi incluído pela revista Time em 2005 e 2006 entre as 100 pessoas mais influentes do mundo.


Referências: http://pt.wikipedia.org/wiki/Hugo_Ch%C3%A1vez e http://pt.wikipedia.org/wiki/Socialismo_do_s%C3%A9culo_XXI Dificuldade: Normal Categoria: Política e Cidadania Subcategoria: Politica Internacional, América latina

5. A primeira onda de protestos democráticos do mundo árabe no século XXI ficou conhecida como a Primavera Árabe. Na Síria, estas manifestações que foram exibidas na televisão mundial teve como causas os seguintes fatores:

(A) Insatisfação pela predominância dos hábitos ocidentais em meio a população em detrimento dos valores fundamentais dos princípios muçulmanos

(B) Insatisfação pela deposição do ditador Ali Abdullah Saleh e pelo asilo político concedido pelo governo do Chile

(C) Insatisfação pela queda do poder aquisitivo da população em decorrência da diminuição das importações do Iraque

(D) Insatisfação com as más condições de vida, ausência de liberdade de imprensa e de direitos humanos

(E) Insatisfação com a possível associação do governo sírio em apoio às ações dos Estados Unidos no Iraque e Afeganistão

Justificativa: A Primavera Árabe é uma onda revolucionária de manifestações e protestos ocorridas no Oriente Médio e no Norte da África. A raiz dos protestos foi o agravamento da situação dos países, provocado pela crise econômica, ausência de liberdade de imprensa e pela falta de respeito aos direitos humanos e democráticos, oriundos da situação de emergência imposta ao país desde 1962, pelo seu ditador Bashar al-Assad. Referência: http://pt.wikipedia.org/wiki/Primavera_%C3%81rabe, http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/atualidades/primavera-arabe-resumo-679427.shtml e http://www.brasilescola.com/geografia/primavera-Arabe.htm Dificuldade: Difícil Categoria: Política e Cidadania

6. Em março de 2013, foi votada a Proposta de Emenda à Constituição (PEC) do trabalhador doméstico com o intuito de garantir direitos já estendidos aos demais trabalhadores urbanos e rurais que atuam sob o regime da CLT. No entanto, alguns itens ainda necessitavam de regulamentação, ou seja, não foram garantidos instantaneamente à aprovação da PEC:

Por Amarildo para A Gazeta cedido ao Humor Político

I - Salário nunca inferior ao mínimo vigente. II - Fundo de Garantia por Tempo de Serviço (FGTS). III - Indenização em caso de demissão sem justa causa. IV - Jornada de até 8 horas diárias e 44 semanais.

Assinale a alternativa correta.

(A) I, II (B) I, III

(C) II, III

(D) II, IV

(E) III, IV

Justificativa: Dentre os direitos citados, garantidos sem a necessidade de regulamentação, estão o salário nunca inferior ao mínimo e a jornada de até 8 horas diárias e 44 semanais. O FGTS e a indenização em caso de demissão sem justa causa dependiam ainda de regulamentação por projeto de lei complementar até março de 2013. Referências: http://agenciabrasil.ebc.com.br/noticia/2013-03-26/senado-aprova-pec-das-domesticas-e-amplia-direitos-das-trabalhadoras http://noticias.uol.com.br/empregos/ultimas-noticias/2013/03/26/pec-das-domesticas-podera-ser-votada-hoje-saiba-quais-sao-os-novos-direitos.jhtm http://www.humorpolitico.com.br/#ixzz2Om86B4IO Dificuldade: Fácil Categoria: Política e cidadania Subcategoria: Política Salarial

7. O que é possível dizer em 140 caracteres? Sucesso do Twitter no Brasil é oportunidade única de compreender a importância da concisão dos gêneros de escrita A máxima “menos é mais” nunca fez tanto sentido como no caso do microblog Twitter, cuja premissa é dizer algo – não importa o quê – em 140 caracteres. Desde que o serviço foi criado, em 2006, o número de usuários da ferramenta é cada vez maior, assim como a diversidade de usos que se faz dela. Do estilo “querido diário” à literatura concisa, passando por aforismos, citações, jornalismo, fofoca, humor etc., tudo ganha o espaço de um tweet (“pio” em inglês), e entender seu sucesso pode indicar um caminho para o aprimoramento de um recurso vital à escrita: a concisão. O Twitter se presta a diversas finalidades, entre elas, à comunicação concisa, por isso essa rede social:

(A) Estimula a produção de frases com clareza e objetividade, fatores que potencializam a comunicação interativa

(B) Constitui recurso próprio para a aquisição da modalidade escrita da língua

(C) É restrita à divulgação de textos curtos e pouco significativos e, portanto,é pouco útil

(D) É um recurso elitizado, cujo público precisa dominar a língua padrão

(E) Interfere negativamente no processo de escrita e acaba por revelar uma cultura pouco reflexiva

Justificativa: O limite de 140 caracteres constitui um desafio para quem quer informar ou comunicar com objetividade, propiciando a concisão, que consiste na qualidade de quem fala ou escreve com clareza e de modo breve. Referência: Exame Nacional do Ensino Médio, caderno 5, pág. 19, 2011. Dificuldade: Normal Categoria: Educação

8. O cuidado com o planeta em que vivemos vem recebendo mais atenção, nas últimas décadas, devido ao ritmo de degradação do ambiente natural. Um exemplo dessa atenção foi a assinatura do Protocolo de Kyoto, por vários países, com o objetivo de preservar a Terra. O Protocolo de Kyoto tem como tema principal a(o):

(A) A vegetação


(B) O solo

(C) A hidrografia (D) O clima

(E) O relevo

Justificativa: O Protocolo de Kyoto constitui-se num tratado internacional com compromissos mais rígidos para a redução da emissão dos gases que agravam o efeito estufa, considerados, de acordo com a maioria das investigações científicas, como causa antropogênica do aquecimento global. Referências: http://www.questoesdeconcursos.com.br/pesquisar/disciplina/conhecimentos-gerais/assunto/meio-ambiente-e-sociedade-questoes-atuais-aspectos-nacionais-e-globais e http://pt.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_Quioto Dificuldade: Fácil Categoria: Meio Ambiente Subcategoria: Ecologia

9. A Proposta de Emenda Constitucional nº 37 pretende tirar o poder de investigação criminal dos Ministérios Públicos Estadual e Federal. Na prática, a emenda praticamente inviabiliza investigações contra o crime organizado, desvio de verbas, corrupção, abusos cometidos por agentes do Estado e violações de direitos humanos. Em todo o mundo, apenas três países vedam a investigação do MP: Quênia, Indonésia e Uganda. Em oposição à PEC 37, há uma campanha em defesa do poder investigatório do Ministério Público e de outras instituições, conhecida como:

(A) Brasil Contra a Impunidade

(B) Assembleia Popular

(C) Plataforma Brasileira de Ação Global

(D) Movimento de Economia Solidária

(E) Plataforma pela Reforma do Sistema Político

Justificativa: A PEC 37 atenta contra o regime democrático, a cidadania e o Estado de Direito e pode impedir também que outros órgãos realizem investigações, como a Receita Federal, a COAF (Conselho de Controle de Atividades Financeiras, o TCU (Tribunal de Contas da União, as CPIs (Comissões Parlamentares de Inquérito), entre outros Referência: http://www.mp.pr.gov.br/modules/conteudo/conteudo.php?conteudo=4889 Dificuldade: Fácil Categoria: Política e Cidadania Subcategoria: Corrupção

10. Joaquim Benedito Barbosa Gomes é advogado, professor, jurista e magistrado brasileiro. Sua Atuação como relator do processo do “mensalão” no Supremo Tribunal Federal foi polêmica e a defesa de seu voto, contundente, influenciando fortemente na condenação dos acusados. Esta ação denominada “Ação Penal 470” deflagrou a maior crise política sofrida pelo governo do Presidente Luís Inácio Lula da Silva (PT) em 2005/2006. O “mensalão” se refere:

(A) Ao desvio de verbas do BNDES

(B) Ao esquema de compra de votos de parlamentares

(C) Ao superfaturamento em obras da transposição do Rio de São Francisco

(D) Ao reajuste dos valores de auxílio-moradia aos parlamentares

(E) Ao envolvimento em negociações ilícitas entre membros do judiciário e criminosos

Justificativa: O “mensalão” foi o codinome da “Ação Penal 470” que julgou o envolvimento no esquema de compra de votos de parlamentares Referência: http://pt.wikipedia.org/wiki/Esc%C3%A2ndalo_do_Mensal%C3%A3o

Dificuldade: Difícil Categoria: Política e Cidadania Subcategoria: Corrupção


11. Seja f : �� →→→→ �� uma função contínua. Em relação ao gráfico de f, o gráfico da função g(x) = f (x – 1) + 2 é o gráfico de f transladado

(A) Uma unidade para a direita e duas unidades para cima.

(B) Uma unidade para a esquerda e duas unidades para cima.

(C) Uma unidade para a direita e duas unidades para baixo.

(D) Uma unidade para a esquerda e duas unidades para baixo.

(E) Duas unidades para a direita e uma unidade para baixo.

Justificativa: Em x = 0, g(0) = f (–1) + 2, logo o valor da função f em –1 foi colocado acima de x = 0 (transladado para a direita) e a ele foi somado o valor 2 (aumentando o valor de y, ou seja, subindo duas unidades). Isso vai ocorrer em todos os valores de x, de modo que o resultado final será a translação do gráfico de f uma unidade para a direita e duas unidades para cima. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 1, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. I, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 1, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

12. Seja f (x) = x ln(x) e considere as seguintes afirmações:

I - O domínio desta função é a reta inteira.

II - O domínio desta função é o intervalo (0, ∞∞∞∞), mas ela pode ser definida em x = 0 de modo a se tornar uma função contínua em [0, ∞∞∞∞). III - Esta função é crescente em todo seu domínio. IV - Esta função tem um ponto de máximo local. V - Esta função tem um ponto de mínimo local. VI - O gráfico desta função é convexo em todo seu domínio.

As afirmações que são verdadeiras são:

(A) I, III, VI.

(B) I, V.

(C)II, IV.

(D) II, IV, VI.

(E) II, V, VI.

Justificativa: O logaritmo só está definido para x > 0, de modo que (I) é falsa. Usando a regra de L’Hôpital, temos:

( )( )

( )20 0 0 0

ln 1lim ln lim lim lim 0

1 1x x x x

x xx x x

x x→ → → → = = = − =

−

. Portanto, se definirmos f (0) = 0, a função se tornará contínua em [0, ∞). Logo (II) é verdadeira. Derivando, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1f x x x x x′ = + = + .

Então a derivada não é sempre positiva, logo a função não é sempre crescente e (III) é falsa. A derivada se anula em x = e−1 = 1/e; para verificar se este é um ponto de máximo ou de mínimo local, vamos analisar o sinal da derivada segunda. Derivando novamente, obtemos

( )1

0f xx

′′ = >,

já que o domínio é o conjunto dos x > 0. Isto significa que o gráfico da função é convexo e que a função tem um mínimo

local (que é global, de fato), em x = 1/e, de modo que (IV) é falsa, (V) é verdadeira e (VI) é verdadeira. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 1, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. I, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 1, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

13. Em um jogo de futebol, um jogador irá bater uma falta diretamente para o gol. A falta é batida do ponto P, localizado a 12 metros da barreira. Suponha que a trajetória da bola é uma parábola com ponto máximo Q exatamente acima da barreira, como na figura abaixo. Sabendo-se que o gol está a 8 m da barreira, se o jogador quer que a bola entre no gol a uma altura de 5/3 m, qual deve ser a altura da bola ao passar por cima da barreira (o valor de h na figura abaixo)?

(A) 4 m.

(B) 3,5 m.

(C) 3 m.

(D) 2,5 m.

(E) 2 m.

Justificativa: Colocando o eixo dos y no eixo de simetria da parábola e o eixo dos x coincidindo com a linha do chão, a parábola será o gráfico de uma função da forma f (x) = −ax 2 + h com a > 0. As raízes são ± 12, de modo que −144a + h = 0, a = h/144 e f (x) = h(−x 2/144 + 1). Como f (−8) = 5/3, temos: h(−64/144 + 1) = 5/3 ⇒ h (1 – 4/9) = 5/3 ⇒ h(5/9) = 5/3 ⇒ h = 3. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 1, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. I, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 1, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

14. Seja R a região limitada superiormente pela curva y = cos(x), inferiormente pela reta que contém os pontos (0,0)

e (ππππ/4, 2 2 ) e à esquerda pelo eixo dos y. Então a área

de R é igual a

(A) 2

2.


(B) 2

12 8

π +

.

(C) 2

12 8

π −

(D) 2

2 8

π.

(E) 28

π.

Justificativa: O ponto (π/4, 2 2 ) pertence à curva y =

cos(x), logo a região é a região sombreada na figura a seguir.

Como a área do triângulo abaixo da região é igual a

1 2 2

2 4 2 2 8

π π= , a área da região R é igual a

( ) ( )4

4

00

2 2 2 2 2cos sen 1

2 8 2 8 2 2 8 2 8x dx x

πππ π π π

− = − = − = −

∫

. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 1, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. I, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 1, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

15. Considere as seguintes afirmações sobre as séries

1n

n

a∞

=∑ e

1n

n

b∞

=∑ :

I - Se an →→→→ 0, então a série 1n

n

a∞

=∑ converge.

II - Se 0 < an < bn e a série 1n

n

b∞

=∑ converge, então a série

1n

n

a∞

=∑ também converge.

III - Se an = 1/np, então a série converge para todo p < 1.

IV - Se an > 0 para todo n e se 1lim 0n

n n

a

aρ+

→∞= > ,

então a série 1n

n

a∞

=∑ converge.

V - A série ( )1

1n

nn

a∞

=

−∑ converge se e somente se an →→→→

0 quando n →→→→ ∞∞∞∞.

VI - Se lim 0n

n n

a

bρ

→∞= > , então ambas as séries

1n

n

a∞

=∑ e

1n

n

b∞

=∑ convergem ou ambas divergem.


(A) I, III, IV.

(B) II, V, VI.

(C) II, III, IV, V, VI.

(D) I, II, IV, V, VI.

(E) I, II, III, V, VI.

Justificativa: A série harmônica, 1

1

n n

∞

=∑ , diverge, embora 1/n

→ 0, logo (I) é falsa. A afirmação (II) é verdadeira pelo Teste da Comparação. (III) é falsa: pelo Teste da Integral, a série converge se e somente se p > 1. (IV) é falsa: pelo Teste da Razão, a série diverge se 0 < ρ < 1. (V) é verdadeira pelo Teste para Séries Alternadas e (VI) é verdadeira pelo Teste da Comparação dos Limites. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

16. A solução geral da equação diferencial 6y" −−−− 5y' + y = 0 é

(A) y = c1 exp(t/5) + c 2 exp(t).

(B) y = c1 sen(t/2) + c 2 cos(t/3).

(C) y = c1 sen(t/5) + c 2 cos(t).

(D) y = c1 exp(t) + c 2 t exp(t).

(E) y = c1 exp(t/2) + c 2 exp(t/3).

Justificativa: A equação algébrica associada é 6x 2 – 5x + 1 = 0, cujas raízes são 1/2 e 1/3, logo a solução geral é y = c1

exp(t/2) + c 2 exp(t/3). Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas:


STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

17. A equação do plano tangente à superfície z = exp(xy – x

2 + x 2y – 1) no ponto (1, 1, 1) é

(A) z = x + y – 1.

(B) z = 2x + y – 2.

(C) z = x – y + 1.

(D) z = x + 2y – 2.

(E) z = x – 2y + 2.

Justificativa: A equação do plano tangente ao gráfico de uma função de duas variáveis f (x, y) no ponto (x0, y0, z0) = (x0, y0, f (x0, y0)) é dada por

( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0 0 0 0, ,f f

z z x y x x x y y yx y

∂ ∂− = − + −

∂ ∂.

Calculando as derivadas parciais, obtemos:

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22 2 exp 1 , exp 1f f

y x xy xy x x y x x xy x x yx y

∂ ∂= − + − + − = + − + −

∂ ∂

. Aplicando no ponto (x0, y0, z0) = (1, 1, 1), vemos que

( ) ( )1,1 1, 1,1 2f f

x y

∂ ∂= =

∂ ∂

e a equação do plano é z – 1 = x – 1 + 2(y – 1) , ou seja, z = x + 2y – 2. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

18. As curvas de nível de uma função f (x, y) de duas variáveis estão na figura abaixo. Analisando a figura, marque a resposta correta.

(A) A origem é um ponto de sela e a função tem um

mínimo local em (1, 1). (B) A origem é um ponto de sela e a função tem um

máximo local em (1, 1).

(C) O único ponto crítico é (1, 1), que é um máximo local.

(D) O único ponto crítico é (1, 1), que é um mínimo local.

(E) Esta função pode não ter pontos críticos.

Justificativa: As equações das curvas de nível são da forma f (x, y) = c; os valores ao lado de cada curva na figura são os valores de c. Pela figura, qualquer ponto próximo da origem no 1° ou no 3° quadrante terá um valor menor ou igual a f (0, 0) = 4, enquanto que qualquer ponto próximo da origem no 2° ou no 4° quadrante terá um valor maior ou igual a f (0, 0) = 4, o que mostra que a origem é um ponto de sela. Analogamente, ao nos aproximarmos do ponto (1, 1), vemos que os valores da função vão diminuindo, logo (1, 1) é um ponto de mínimo local. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

19. Os valores mínimo e máximo, respectivamente, da função f (x, y) = x 2 + y 2 restrita à curva x 4 + y 4 = 1 são:

(A) 0; não há máximo.

(B) 1; 2 .

(C) 0; 1.

(D) 142

; 1.

(E) 0; 2 .

Justificativa: Seja g(x, y) = x4 + y4. Então, pelo método dos multiplicadores de Lagrange,

= λ =

= λ ∇ = λ∇

⇒ = λ ⇒ = λ = + =

+ = + =

23

3

24 4

4 4

4 4

10 ou

22 41

2 4 0 ou 21

11

xxx x

f gy y y

yx yx y

x y

Se x = 0, então y4 = 1, logo y = ±1. Se x ≠ 0, então λ = 1/(2x2) e y = 0 ou λ = (1/2y2): quando y = 0, x4 = 1, logo x = ±1; quando λ = (1/2y2), (1/2x2) = (1/2y2) ⇒ x

2 = y2 ⇒ x

4 = y4 ⇒ 1

= x4 + y4 = 2 x4 ⇒ x = ± 14

2. Temos então oito pontos

possíveis para o máximo e o mínimo: (0, 1), (0, −1), (1, 0), (−1,

0), ( 142

, 142

), ( 142

, − 142

), (− 142

, 142

) e (− 142

, − 142

). A

função tem o mesmo valor 1 nos quatro primeiros pontos e o

mesmo valor 2 nos quatro últimos.

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.


20. Seja �� a elipse 2 2

19 4

x y+ = orientada no sentido

trigonométrico. O valor da integral

( ) ( )( )2

2arctan ln 12

yx dx xy y dy

+ + + +

∫C

é:

(A) 6π.

(B) −1. (C) 1.

(D) 0.

(E) π/6.

Justificativa: Seja R a região limitada pela curva. Pelo Teorema de Green,

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )

22

22

arctan ln 12

ln 1 arctan2

0.

R

R

yx dx xy y dy

yxy y x dxdy

x y

y y dxdy

+ + + +

∂ ∂= + + − +

∂ ∂

= − =

∫

∫∫

∫∫

C

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, vol. II, 3ª ed. São Paulo: Harbra, 1994. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

21. Um pequeno lago contém, inicialmente, 1.000.000 de litros de água e uma quantidade desconhecida de um produto químico indesejável. O lago recebe água contendo 0,01 gramas dessa substância por litro a uma taxa de 300 litros por hora. A mistura sai à mesma taxa, de modo que a quantidade de água no lago permanece constante. Suponha que o produto químico esteja distribuído uniformemente no lago. Denotando por q a quantidade, em gramas, do produto químico no instante t medido em horas, a equação diferencial que modela a quantidade de produto químico no lago em um instante t qualquer é:

(A) ( )300 0,01dq

qdt

= − .

(B) 3dq

dt= .

(C) 1.000.000 300dq

qdt

= − .

(D) ( )6300 0,01 10dq

qdt

−= − .

(E) 3dq

qdt

= .

Justificativa: Como estão entrando 300 litros por hora e em cada litro está entrando 0,01 g do produto químico, estão entrando 300 × 0,01 = 3 g da substância por hora. Por outro lado, como q é a quantidade total no lago, que tem 1.000.000 de litros de água, e o produto está uniformemente distribuído no lago, cada litro terá q/1.000.000 = q10−6 g, de modo que está saindo 300 × q10−6 g por hora. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática

Referências Bibliográficas: STEWART, J. Cálculo, vol. 2, 4ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005. BOYCE, W. e DIPRIMA, R., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 6ª edição revista. Rio de Janeiro: LTC, 2010. ANTON, H., Cálculo: um novo horizonte, vol. 2, 6ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2000.

22. Seja X ⊂⊂⊂⊂ �� um conjunto compacto. Considere as seguintes afirmações:

I - X é um conjunto fechado e limitado. II - Toda cobertura aberta de X tem uma subcobertura finita. III - Toda sequência em X tem uma subsequência que converge para um ponto em X. IV - Toda função contínua definida em X assume um valor máximo e um valor mínimo em X.

Podemos afirmar que:

(A) Todas as afirmações são falsas.

(B) Exatamente três dessas afirmações são falsas.

(C) Exatamente duas dessas afirmações são falsas.

(D) Uma única dessas afirmações é falsa.

(E) Todas as afirmações são verdadeiras.

Justificativa: (I) é usado, muitas vezes, como a definição de compactos na reta (veja o livro de Elon Lages Lima abaixo); nesse caso, (II) é o teorema de Heine-Borel. (III) é uma consequência do teorema de Bolzano-Weierstrass junto com o fato de que X é fechado. (IV) é o teorema de Weierstrass para funções contínuas em compactos. Grau de Dificuldade: Difícil. Categoria: Análise Matemática Referência Bibliográfica: LIMA, Elon Lages. Análise Real, vol. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1993.

23. Considere as seguintes afirmações sobre sequências de números reais.

I - Toda sequência monótona é convergente. II - Toda sequência limitada possui uma subsequência convergente. III - Toda sequência limitada é convergente. IV - Toda sequência monótona limitada é convergente.


(A) Todas. (B) II, IV.

(C) Só a (IV).

(D) I, II, IV.

(E) II, III, IV.

Justificativa: A sequência { }1n

n∞

= é monótona, mas

divergente, logo a afirmação (I) é falsa. A afirmação (II) é o

Teorema de Bolzano-Weierstrass. A sequência ( ){ }1

1n

n

∞

=−

é limitada, mas não é convergente, logo (III) é falsa. A afirmação (IV) é um teorema bem conhecido (Teorema 4 do Cap. 3 do livro de Elon Lages Lima citado abaixo). Logo as afirmações verdadeiras são (II) e (IV). Grau de Dificuldade: Difícil. Categoria: Análise Matemática Referência Bibliográfica: LIMA, Elon Lages. Análise Real, vol. 1. Coleção Matemática Universitária. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 1993.


24. Considere as seguintes afirmações sobre equações diferenciais ordinárias:

I - A transformada de Laplace transforma uma equação algébrica em uma equação diferencial ordinária. II - A transformada de Laplace é particularmente útil para resolver equações não homogêneas onde o termo não homogêneo é descontínuo. III - Uma equação diferencial ordinária linear homogênea pode não ter solução. IV - O conjunto de soluções de uma equação linear não homogênea de segunda ordem é um espaço vetorial de dimensão 2. V - Uma consequência do teorema de existência e unicidade é que toda equação diferencial ordinária linear de segunda ordem com coeficientes contínuos tem uma infinidade de soluções. VI - Se y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem, então o wronskiano de y1 e y2 é identicamente nulo.

Então as afirmações verdadeiras são:

(A) I, III, IV, V.

(B) I, II, VI. (C) II, V.

(D) III, V, VI.

(E) II, IV, VI.

Justificativa: (I) é falsa: a transformada de Laplace transforma uma equação diferencial ordinária em uma equação algébrica e não o contrário. (II) é verdadeira, já que a transformada de Laplace está definida para funções seccionalmente contínuas. (III) é falsa, já que a função identicamente nula é sempre solução de uma equação linear homogênea. O conjunto de soluções de uma equação linear homogênea de segunda ordem é que é um espaço vetorial de dimensão 2; o conjunto solução de uma equação não homogênea não é um espaço vetorial, já que a função nula não é solução, logo (IV) é falsa. (V) é verdadeira: o teorema de existência e unicidade garante a existência de uma única solução para cada problema de valor inicial; como existe uma infinidade de valores iniciais possíveis, vai existir uma infinidade de soluções. (VI) é falsa: se y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções de uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem, então o wronskiano de y1 e y2 não se anula. Portanto as únicas afirmações verdadeiras são (II) e (V). Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Análise Matemática Referência Bibliográfica: BOYCE, W. e DIPRIMA, R., Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 6ª edição revista. Rio de Janeiro: LTC, 2010.

25. Seja �� o conjunto dos números inteiros positivos. Nas

proposições lógicas a seguir, �� é o conjunto universo, P(x) significa que x é par, I(x) significa que x é ímpar, M(x) significa que x é maior do que 10 e N(x) significa que x é menor ou igual a 10.

I - (∀∀∀∀x) (∀∀∀∀y)[I(x) →→→→ P(xy)].

II - (∀∀∀∀x) (∃∃∃∃y)[P(x) →→→→ I(xy)].

III - (∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)[ M(x) ∧∧∧∧ I(y) →→→→ N(x + y)].

IV - (∀∀∀∀x)(∃∃∃∃y)[ N(x) →→→→ M(x + y)]. Então podemos afirmar que:

(A) (I) e (III) são falsas, mas (II) e (IV) são verdadeiras.

(B) (I), (II) e (III) são falsas, mas (IV) é verdadeira.

(C) (I), (II) e (IV) são falsas, mas (III) é verdadeira.

(D) (I) e (II) são falsas, mas (III) e (IV) são verdadeiras.

(E) (II) e (IV) são falsas, mas (I) e (III) são verdadeiras.

Justificativa: O condicional só é falso quando o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso. Em palavras, (I) afirma que, dados dois inteiros positivos quaisquer, se um deles for ímpar, o produto dos dois terá que ser par, o que é evidentemente falso: dado qualquer x ímpar, basta escolher y ímpar para que xy seja ímpar, logo o antecedente é verdadeiro e o consequente é falso, o que implica que o condicional é falso e, portanto, a proposição é falsa. A afirmação (II) diz que para qualquer número par x existe um número y tal que xy é ímpar, o que é falso: se x for par, xy será necessariamente par para qualquer y e o condicional é falso. A afirmação (III) diz que dado qualquer inteiro x > 10, existe um inteiro positivo y ímpar tal que x + y ≤ 10, o que é impossível, pois y > 0 ⇒ x + y > x > 10. A única proposição verdadeira é a (IV): como o conjunto universo é o conjunto dos inteiros positivos, x > 0, logo basta escolher y = 10 para obter que x + y = x + 10 > 10. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Álgebra. Referência Bibliográfica: GERSTING Judith L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação, Rio de Janeiro, LTC, 2001.

26. Considere as afirmações a seguir, onde a negação da proposição P é representada por P’:

I - O princípio do terceiro excluído diz que existem apenas dois valores lógicos possíveis para cada proposição da lógica matemática. II - O princípio da não contradição diz que uma proposição da lógica matemática não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.

III - A negação da proposição P →→→→ Q é P’ →→→→ Q’.

IV - A proposição P →→→→ Q é equivalente à proposição Q →→→→ P. V - Uma tautologia é uma proposição lógica que pode ser verdadeira ou falsa. VI - Uma contradição é uma proposição lógica que é sempre falsa.

Então as afirmações verdadeiras são:

(A) I, II, VI.

(B) I, II, V.

(C) I, II, II, IV, VI. (D) II, III, IV.

(E) II, IV, VI.

Justificativa: As afirmações (I) e (II) são verdadeiras e são os princípios básicos da lógica matemática. A afirmação (III) é falsa: a negação de P → Q é P ∧ Q’. A afirmação (IV) é falsa: o condicional P → Q é equivalente à sua contrapositiva, ou seja, a Q’ → P’. A afirmação (V) também é falsa: uma tautologia é uma proposição lógica que é sempre verdadeira. A afirmação (VI) é a definição de uma contradição. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Álgebra. Referência Bibliográfica: GERSTING Judith L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação, Rio de Janeiro, LTC, 2001.

27. Você está viajando em um país onde existem apenas dois grupos distintos de habitantes: os que são mentirosos e só falam mentiras, e os que nunca são capazes de mentir e sempre dizem a verdade. Você encontra dois habitantes desse país, João e Manuel. João diz para você: “Se Manuel é mentiroso, então eu também sou.” O que você pode concluir do discurso de João?

(A) Que João e Manuel sempre dizem a verdade.

(B) Que João diz a verdade, mas Manuel é mentiroso.

(C) Que João e Manuel são mentirosos.


(D) Que João é mentiroso, mas Manuel sempre diz a verdade.

(E) Somente que João é mentiroso. Não podemos concluir nada sobre Manuel, que permaneceu calado.

Justificativa: Se usarmos a letra de proposição P para simbolizar que Manuel é mentiroso e a letra Q para simbolizar que João é mentiroso, então o discurso de João é simbolizado por P → Q. Se João fosse mentiroso, seu discurso seria falso, logo P teria que ser verdadeiro e Q seria falso, uma contradição, pois Q falso significa que João não é mentiroso. Então João está falando a verdade e o condicional P → Q é verdadeiro. Mas Q tem que ser falso, já que João não é mentiroso, logo P também tem que ser falso para que o condicional seja verdadeiro, o que significa que Manuel não é mentiroso. Portanto, João e Manuel sempre dizem a verdade. Grau de Dificuldade: Difícil. Categoria: Álgebra. Referência Bibliográfica: GERSTING Judith L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação, Rio de Janeiro, LTC, 2001.

28. Considere as seguintes afirmações:

I - O conjunto de todas as matrizes reais n ×××× n forma um espaço vetorial real de dimensão n. II - Uma base para um espaço vetorial é um conjunto S de vetores linearmente independentes tal que qualquer vetor do espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em S. III - Todo espaço vetorial tem uma base com um número finito de elementos. IV - Todas as bases em um espaço vetorial têm o mesmo número de elementos.

V - Qualquer plano em ��3 forma um subespaço vetorial de dimensão 2.

VI - O conjunto {(3, 1, −−−−1), (6, 2, 1), (1, −−−−1, 1)} é uma base

para ��3. As afirmações verdadeiras são:

(A) Todas.

(B) I, II, III, IV, V.

(C) I, II, IV, VI.

(D) II, III, IV, VI.

(E) II, IV, VI.

Justificativa: O conjunto de todas as matrizes reais n × n forma um espaço vetorial real de dimensão n2, logo (I) é falsa. (II) é a definição de base. (III) é falsa, pois existem espaços de dimensão infinita, como o conjunto de todas as funções contínuas da reta na reta. (IV) é um teorema conhecido (veja qualquer dos livros citados abaixo). (V) é falsa, pois nem todo

plano contém a origem e todo subespaço de �3 tem que conter a origem. (VI) é verdadeira porque os vetores do conjunto dado são linearmente independentes, uma vez que o determinante da matriz tendo esses vetores como linhas é diferente de zero. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999. LAY, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

29. O sistema

3 1

2 6 2 2

5 3 3

x y z

x y z

x y z

+ − =

+ − = − + = (A) Não tem solução.

(B) Tem uma única solução x = 2/3, y = 0, z = −1/3.

(C) Todas as soluções são da forma (2/3, 0, −1/3) + v, onde v é elemento de um espaço vetorial de dimensão 2.

(D)Todas as soluções são da forma (2/3, 0, −1/3) + v, onde v é elemento de um espaço vetorial de dimensão 1.

(E) O conjunto de soluções forma um espaço vetorial de dimensão 1.

Justificativa: A matriz aumentada do sistema é

1 3 1 1

2 6 2 2

5 3 1 3

−

− −

.

Substituindo a segunda linha por ela menos duas vezes a primeira e substituindo a terceira linha por ela mais a primeira, obtemos

1 3 11

0 0 0 0

6 0 0 4

−

.

Dividindo a última linha por 6 e depois trocando a ordem das linhas, temos

1 0 0 2 3

1 3 1 1

0 0 0 0

−

.

Finalmente, substituindo a segunda linha por ela menos a primeira, obtemos

1 0 0 2 3

0 3 11 3

0 0 0 0

−

.

Então x = 2/3 e 3y − z = 1/3. Resolvendo para z, obtemos z = 3y – 1/3. Isso significa que todas as soluções são da forma (2/3, y, 3y – 1/3) = (2/3, 0, −1/3) + (0, 1, 3)y = (2/3, 0 , −1/3) + v, onde v pertence ao espaço de dimensão 1 gerado pelo vetor (0, 1, −1/3). Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999. LAY, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.


30. Considere a matriz

1 2 1

1 0 1

4 4 5

A

−

= − .

Podemos afirmar que:

(A) A é diagonalizável e semelhante à matriz 1 0 0

0 2 0

0 0 3

−

− −

.

(B) A é diagonalizável e semelhante à matriz 1 0 0

0 2 0

0 0 3

− −

.

(C) A é diagonalizável e semelhante à matriz 1 0 0

0 2 0

0 0 3

−

.

(D) A é diagonalizável e semelhante à matriz 1 0 0

0 2 0

0 0 3

.

(E) A não é diagonalizável.

Justificativa: O polinômio característico de A é

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2

3 2

1 2 1

det 1 1

4 4 5

1 5 2 1 4 1 1 4

1 4 1 4 1 2 1 5

6 5 8 4 4 4 4 2 10

6 11 6.

p I A

λ

λ λ λ

λ

λ λ λ

λ λ λ

λ λ λ λ λ λ

λ λ λ

− −

= − = − −

− −

= − − + − − − + −

− − − − − − − − −

= − + − − + + − − +

= − + −

É fácil ver que λ = 1 é raiz deste polinômio. Dividindo p(λ) por (λ − 1), obtemos p(λ) = (λ − 1)(λ2 − 5λ + 6) = (λ − 1)(λ − 2)(λ − 3). Então os autovalores de A são 1, 2, 3, todos distintos, logo os autovetores associados são linearmente independentes, o que implica que A é diagonalizável e semelhante a uma matriz diagonal tendo seus autovalores na diagonal. Portanto, a resposta certa é D. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999. LAY, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

31. Considere a equação 2x2 + 2xy + 2y2 = 9. Esta equação descreve

(A) Um círculo centrado na origem.

(B) Uma hipérbole tendo como assíntotas as retas y = x e y = −x.

(C) Uma elipse com eixos contidos nas retas y = x e y = −x.

(D) Uma elipse com eixos contidos nas retas y = 3x e y = −x/3.

(E) Uma parábola com eixo de simetria contido na reta y = x.

Justificativa: A matriz da forma quadrática associada, 2x2 + 2xy + 2y2, é

A

=

2 1

1 2,

pois

( ) ( )x x

x y x y x y x xy yy y

= + + = + +

2 22 12 2 2 2 2

1 2. Os autovalores da matriz A são as raízes de det(λI − A) = 0:

( )I Aλ

λ λ λλ

λ λ λ λ

− −− = ⇒ = ⇒ − + − =

− −

⇒ − + = ⇒ = =

2

2

2 1det 0 0 4 4 1 0

1 2

4 3 0 3 ou 1. Pelo Teorema dos Eixos Principais, a equação pode ser

colocada na forma x y′ ′+ =2 23 9 , ou seja, x y′ ′

+ =2 2

13 9

.

Então a equação dada descreve uma elipse. Os eixos da elipse são paralelos aos autovetores da matriz A. Temos:

x x x x x y xA x yy y y y x y y

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒ + =

+

22 1

21 2, logo um autovetor é (1, -1). Analogamente,

x x x x x y xA x yy y y y x y y

+ = ⇒ = ⇒ = ⇒

+

3 2 32 13 0

3 2 31 2 e outro autovetor é (1, 1). Portanto, os eixos da elipse são paralelos às retas y = x e y = −x. Como a elipse está centrada na origem, os eixos da elipse estão contidos nas retas y = x e y = −x. Grau de Dificuldade: Difícil. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999. LAY, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

32. Considere as transformações T1, T2: ��2 →→→→ ��2 definidas

por T1(x, y) = (x, −−−−y) e T2(x, y) =

1 3 3 1,

2 2 2 2x y x y

− +

. Podemos afirmar que

(A) T1 é uma rotação em torno da origem e T2 é uma reflexão em torno de um dos eixos.

(B) T1 é uma translação e T2 é uma rotação em torno da origem.

(C) T1 é uma reflexão em torno de um dos eixos e T2 é uma rotação em torno da origem.

(D) T1 preserva a norma dos vetores, mas T2 não.

(E) T1 é uma reflexão em torno de um dos eixos e T2 é uma translação.

Justificativa: Basta considerar o que essas transformações fazem com os vetores da base canônica para ver que T1 é


uma reflexão em relação ao eixo dos x e T2 é uma rotação de 60° no sentido trigonométrico em torno da origem. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: ANTON, H. & RORRES, C. Álgebra Linear com Aplicações. Porto Alegre: Bookman, 2001. KOLMAN, B. Introdução à Álgebra Linear com Aplicações, 6ª ed. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora, 1999. LAY, D. C. Álgebra Linear e suas Aplicações. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., 1999.

33. Em uma cidade de 5000 habitantes, alguém resolve espalhar um boato. Supondo que todas as pessoas que ouvem o boato contam para o máximo de pessoas que puderem e considerando que, a cada 10 minutos, uma pessoa é capaz de contar o caso para 3 pessoas desinformadas, em quanto tempo toda a cidade fica conhecendo o boato?

(A) Entre 30 e 40 minutos.

(B) Entre 40 e 50 minutos. (C) Entre 50 e 60 minutos.

(D) Entre 60 e 70 minutos.

(E) Entre 70 e 80 minutos.

Justificativa: Podemos modelar a quantidade de pessoas que conhece o boato por uma progressão geométrica. No instante t = 0, apenas uma pessoa, a que vai espalhá-lo, conhece o boato: a0 = 1. Dez minutos depois, essa pessoa já contou para mais 3, de modo que agora 1 + 3 = 4 pessoas conhecem o boato: a1 = 4. Dez minutos depois, cada uma dessas pessoas contou para três pessoas, de modo que agora 4 + 3 × 4 = 16 pessoas conhecem o boato: a2 = 16 = 42. Procedendo dessa forma, vemos que depois de n intervalos de dez minutos, an = 4n pessoas conhecem o boato. Como 46 = 212 = 4096 e 47 = 16.384, entre 60 e 70 minutos toda a cidade conhecerá o boato. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, 1999. HEFEZ, A. Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro: SBM, Textos Universitários, 2006.

34. Sejam a e m inteiros positivos tais que MDC{a, m} = 1. Considere as afirmações a seguir.

I - Existem inteiros r e s tais que ar + bs = 1.

II - A equação ax ≡≡≡≡ b (mod m) pode não ter solução inteira.

III - A relação de congruência x 2 ≡≡≡≡ 35 (mod 100) tem solução inteira. IV - Existe um número inteiro que satisfaz simultaneamente as congruências x ≡≡≡≡ 2 (mod 5) e 3x ≡≡≡≡ 1 (mod 8).

As afirmações verdadeiras são:

(A) II, III.

(B) I, IV.

(C) I, III.

(D) II, IV.

(E) I, II.

Justificativa: Pelo teorema de existência de MDC nos inteiros (veja o livro do Adilson Gonçalves citado abaixo), existem inteiros r e s tais que ar + bs = MDC{a, b}; como MDC{a, b} = 1, a afirmação (I) é verdadeira. A afirmação (II) é verdadeira:

com r e s como em (I), x = rb ∈ � é solução: de fato, ar = 1 − bs ⇒ ax – b = arb – b = (1 – sm)b – b = b – smb – b = −sbm ⇒ ax ≡ b (mod m). A afirmação (III) é falsa: suponha, por

absurdo, que existe tal x inteiro; então (∃n∈�)[x 2 – 35 = 100n]

⇒ (∃n∈�)[x 2 = 100n + 35] ⇒ 5 divide x 2 ⇒ (pois 5 é primo) 5 divide x ⇒ 25 divide x 2 = 100n + 35 ⇒ 25 divide 35, uma contradição. (IV) é verdade: a solução geral da primeira

congruência é x = 2 + 5k, k∈�; como 3 é claramente solução da segunda, a solução geral da segunda congruência é x = 3

+ 8n, n∈�; então para existir solução inteira, é preciso que 2 + 5k = 3 + 8n, ou seja, 5k = 1 + 8n; é fácil ver que, para k = 5 e n = 3, x = 27 é um solução inteira para ambas as congruências. Portanto, as afirmações verdadeiras são (I) e (IV). Grau de Dificuldade: Difícil. Categoria: Álgebra. Referência Bibliográfica: GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, 1999.

35. O conjunto dos inteiros �� é

(A) Um domínio de integridade.

(B) Um anel com divisores de zero.

(C) Um anel sem unidade.

(D) Um grupo comutativo em relação à multiplicação. (E) Um corpo.

Justificativa: As operações de soma e multiplicação de inteiros satisfazem todas as propriedades de um anel

comutativo com unidade, que é 1; como � não tem divisores de zero, é um domínio de integridade. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, 1999.

36. Dado um inteiro p maior do que 1, seja ��p o conjunto das classes de equivalência da congruência módulo p. Indique a afirmação correta.

(A) �p é um corpo qualquer que seja p.

(B) Se p não for primo, �p terá divisores de zero.

(C) �p sempre tem divisores de zero.

(D) �p só tem divisores de zero se p for primo.

(E) �p é um domínio de integridade.

Justificativa: Se p não for primo, então p = nk, onde n e k são inteiros maiores do que 1 e menores do que p. Mas então n e

k são divisores de zero em �p, pois nk = p ≡ 0 (mod p). Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Álgebra. Referências Bibliográficas: GONÇALVES, A. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro: SBM, Projeto Euclides, 1999.

37. A “zona de desenvolvimento proximal” (também denominada “zona de desenvolvimento potencial”), conceito fundamental na teoria de Vygotsky, foi definida por esse teórico como a distância entre o que uma criança pode realizar

(A) No momento atual e o que poderá realizar quando atingir a maturidade.

(B) Sem estímulos e o que poderá realizar se for adequadamente motivada por seus pais e/ou professores.

(C) Naturalmente e o que poderá realizar se for submetida a um programa específico de recuperação.

(D) Sozinha e o que poderá realizar com o auxílio de um adulto ou de um companheiro mais capaz.


(E) Antes de ingressar na escola e o que poderá realizar após sofrer as influências do processo de escolarização.

Justificativa: Para Vygotsky, Zona de Desenvolvimento Proximal (ZDP) é a distância entre o nível de desenvolvimento real, ou seja, determinado pela capacidade de resolver problemas independentemente, e o nível de desenvolvimento proximal, demarcado pela capacidade de solucionar problemas com ajuda de um parceiro mais experiente. São as aprendizagens que ocorrem na ZDP que fazem com que a criança se desenvolva ainda mais, ou seja, desenvolvimento com aprendizagem na ZDP leva a mais desenvolvimento. Por isso dizemos que, para Vygotsky, tais processos são indissociáveis. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referências Bibliográficas: CANDAU, Vera Maria (cord.). Somos tod@s iguais? Escola, discriminação e educação em direitos humanos. Rio de Janeiro: DP&A, 2003. GÓES, Maria Cecília R.de ; LAPLANE, Adriana Lia F. de. Políticas e Práticas da Educação Inclusiva. Campinas: Autores Associados, 2004. JANNUZZI, Gilberta S. de M. A educação do deficiente no Brasil: dos primórdios ao início do século XXI. Campinas: Autores Associados, 2004.

38. Gardner preconiza a avaliação autêntica, que abrange uma grande variedade de instrumentos, medidas e métodos para avaliar melhor as inteligências múltiplas. A avaliação autêntica se opõe, assim, à testagem padronizada, uma vez que esta:

(A) Lida com "processos" tanto quanto com "produtos".

(B) Considera a avaliação e o ensino como atividades interdependentes.

(C) Dá aos alunos o tempo de que necessitam para realizar a atividade.

(D) Compara os alunos uns com os outros.

(E) Avalia em base contínua.

Justificativa: Para Gardner, na teoria das Inteligências Múltiplas, o professor deve levar em conta as habilidades e competências individuais. Portanto, as avaliações destinadas aos alunos com necessidades especiais não podem ser padronizadas, uma vez que cada indivíduo apresenta características específicas. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referências Bibliográficas: CANDAU, Vera Maria (cord.). Somos tod@s iguais? Escola, discriminação e educação em direitos humanos. Rio de Janeiro: DP&A, 2003. GÓES, Maria Cecília R.de ; LAPLANE, Adriana Lia F. de. Políticas e Práticas da Educação Inclusiva. Campinas: Autores Associados, 2004. JANNUZZI, Gilberta S. de M. A educação do deficiente no Brasil: dos primórdios ao início do século XXI. Campinas: Autores Associados, 2004.

39. Segundo a LDB , no seu capítulo V, artigo 58, podemos afirmar sobre a legislação sobre Educação Especial:

(A) É uma modalidade de educação escolar, oferecida exclusivamente na rede regular de ensino, para educandos portadores de necessidades especiais.

(B) É uma modalidade de ensino alternativo, oferecida preferencialmente na rede regular de ensino, para

educandos portadores de necessidades especiais.

(C) É uma modalidade de ensino escolar, oferecida preferencialmente na rede regular de ensino, para educandos portadores de necessidades especiais.

(D) É uma modalidade de ensino escolar alternativo, oferecida exclusivamente na rede regular de ensino, para educandos portadores de necessidades especiais.

(E) É uma modalidade de ensino escolar, oferecida preferencialmente na rede regular de ensino, para educandos com deficiências físicas e mentais.

Justificativa: O artigo 58 diz exatamente o que está exposto na letra C. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referências Bibliográficas: CANDAU, Vera Maria (cord.). Somos tod@s iguais? Escola, discriminação e educação em direitos humanos. Rio de Janeiro: DP&A, 2003. GÓES, Maria Cecília R.de ; LAPLANE, Adriana Lia F. de. Políticas e Práticas da Educação Inclusiva. Campinas: Autores Associados, 2004. JANNUZZI, Gilberta S. de M. A educação do deficiente no Brasil: dos primórdios ao início do século XXI. Campinas: Autores Associados, 2004.

40. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino da Matemática indicam que os conteúdos estão distribuídos em blocos: Números; Operações; Espaço e forma; Grandezas e medidas; Tratamento da informação. Para cada um dos blocos, os alunos devem desenvolver certas habilidades. No bloco Tratamento da Informação, o aluno deverá desenvolver a habilidade de

(A) Entender a movimentação de pessoas ou objetos, conforme indicações de direção.

(B) Explorar o conceito de número como código na organização das informações, tais como telefones e placas de carros.

(C) Reconhecer cédulas e moedas de real, e possíveis trocas entre elas, em função de seus valores.

(D) Identificar formas geométricas em diferentes situações, utilizando composição e decomposição de figuras.

(E) Aplicar estratégias de quantificação, como a contagem, o pareamento, a estimativa e a correspondência.

Justificativa: No conteúdo Tratamento da Informação, os números devem ser trabalhados de forma significativa para a criança, utilizando-se daqueles que fazem parte do cotidiano infantil. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referência Bibliográfica: BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. ― Brasília: MEC/SEF, 1998.


41. A professora Clara propôs a seus alunos que encontrassem a solução da seguinte equação do segundo grau: x 2 -1 = (2x + 3)(x - 1). João e Maria resolveram o exercício da seguinte maneira. Resolução de João:

x 2 −−−− 1 = (2x + 3)(x −−−− 1)

x 2 −−−− 1 = 2x 2 + x −−−− 3

2 −−−− x = x 2 Como 1 é solução dessa equação, S = {1}.

Resolução de Maria:

x 2 −−−− 1 = (2x + 3)(x −−−− 1)

(x −−−− 1)(x + 1) = (2x + 3)(x −−−− 1) x + 1 = 2x + 3

x = −−−−2

Portanto S = {−−−−2}. João e Maria perguntaram à professora por que encontraram soluções diferentes. A professora notou que outros alunos haviam apresentado soluções parecidas com as deles. Entre as estratégias apresentadas nas opções a seguir, escolha a mais adequada a ser adotada por Clara visando à aprendizagem significativa por parte dos alunos.

(A) Indicar individualmente, para cada aluno que apresentou uma resolução incorreta, onde está o erro e como corrigi-lo, a partir da estratégia inicial escolhida pelo aluno.

(B) Resolver individualmente o exercício para cada aluno, usando a fórmula da resolução da equação do 2.º grau, mostrando que esse é o método que fornece a resposta correta.

(C) Pedir a Pedro e João que apresentem à classe suas soluções para discussão e estimular os alunos a tentarem compreender onde está a falha nas soluções apresentadas e como devem fazer para corrigi-las.

(D) Escrever a solução do exercício no quadro, usando a fórmula da resolução da equação do 2º grau, para que resposta correta.

(E) Pedir que cada um deles diga à classe como resolveu o exercício e, em seguida, explicar no quadro para a turma onde está a falha na resolução de cada um e como eles devem fazer para corrigi-la.

Justificativa: A resposta C segue as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referência Bibliográfica: BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. ― Brasília: MEC/SEF, 1998.

42. A Matemática no ensino médio tem papel formativo — contribui para o desenvolvimento de processos de pensamento e para a aquisição de atitudes — e caráter instrumental — pode ser aplicada às diversas áreas do conhecimento —, mas deve ser vista também como ciência, com suas características estruturais específicas. OCNEM (com adaptações).

Ao planejar o estudo de funções no ensino médio, o(a) professor(a) deve observar que:

(A) O objetivo do estudo de exponenciais é encontrar os zeros dessas funções.

(B) As funções logarítmicas podem ser usadas para transformar soma em produto.

(C) As funções trigonométricas devem ser apresentadas após o estudo das funções exponenciais.

(D) A função quadrática é exemplo típico de comportamento de fenômenos de crescimento populacional.

(E) O estudo de funções polinomiais deve contemplar propriedades de polinômios e de equações algébricas.

Justificativa: A resposta E segue as orientações dos Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referência Bibliográfica: BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Secretaria de Educação Fundamental. ― Brasília: MEC/SEF, 1998.

43. Observe a seguinte atividade de construções geométricas.

• Construir um triângulo ABC qualquer.

• Traçar a bissetriz do ângulo BAC∠ e, em seguida, a

bissetriz do ângulo ABC∠ .

• Marcar o ponto de encontro dessas duas bissetrizes.

• Traçar a bissetriz do ângulo ACB∠ .

O que você observa? Será que, se você recomeçar a construção a partir de outro triângulo, chegará à mesma observação? O uso de um software de geometria dinâmica na execução dessa atividade e de outras similares:

(A) Pode mostrar que o estudo das construções com régua e compasso é desnecessário.

(B) Dispensa a demonstração dos resultados encontrados pelos alunos.

(C) Prejudica o desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo.

(D) Dificulta o desenvolvimento do pensamento geométrico.

(E) Pode contribuir para a elaboração de conjecturas pelos alunos.

Justificativa: Os softwares de geometria dinâmica são ferramentas que facilitam o trabalho em sala de aula, desenvolvendo o raciocínio lógico-dedutivo e auxiliando o aluno a elaborar conjecturas. De forma alguma sua utilização elimina a necessidade da construção com régua e compasso e de elaboração de demonstração Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referências Bibliográficas: BORBA, Marcelo de Carvalho; PENTEADO, Miriam Godoy. - Informática e Educação Matemática - 2. Ed. - Belo Horizonte: Autêntica, 2002. 104 p. (Coleção Tendências em Educação Matemática) KENSKI, Vani Moreira. Educação e Tecnologias: O novo ritmo da informação. Campinas, SP: Papirus, 2007. MOURA, Carlos A., CARVALHO, Luiz Mariano e CURY, Helena H. História e Tecnologia no Ensino da Matemática - Volume 2. Editora Ciência Moderna.


44. As potencialidades pedagógicas da história no ensino de matemática têm sido bastante discutidas. Entre as justificativas para o uso da história no ensino de matemática, inclui-se o fato de ela suscitar oportunidades para a investigação. Considerando essa justificativa, um professor propôs uma atividade a partir da informação histórica de que o famoso matemático Pierre Fermat [1601-1665], que se interessava por números primos, percebeu algumas relações entre números primos ímpares e quadrados perfeitos. Para que os alunos também descobrissem essa relação, pediu que eles completassem a tabela a seguir, verificando quais números primos ímpares podem ser escritos como soma de dois quadrados perfeitos. Além disso, solicitou que observassem alguma propriedade comum a esses números.

3 5 7 11 13 17 19 23 29 1+4 4+9 1+16 não sim não não sim sim

A partir da atividade de investigação proposta pelo professor, analise as afirmações seguintes.

I - Todo número primo da forma 4n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. II - Todo número primo da forma 4n + 3 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos. III - Todo número primo da forma 2n + 1 pode ser escrito como a soma de dois quadrados perfeitos.

Está correto o que se afirma em

(A) I, apenas. (B) II, apenas.

(C) I e III, apenas.

(D) II e III, apenas.

(E) I, II e III.

Justificativa: Verifica-se que a única afirmação correta é a I por aplicação simples da recorrência nela contida. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Elementos e Projetos para o Ensino da Matemática Referências Bibliográficas: AABOE, A. Episódios da História Antiga da Matemática. 2ª Edição. Rio de Janeiro: SBM, 2002. BOYER, Carl B. História da Matemática. 2ª Ed. São Paulo: Edgard Blucher, 1996. EVES, H. Introdução à História da Matemática. Campinas: Unicamp, 2005.

45. ABCDEF é um hexágono regular. Os pontos M, N e P são pontos médios dos lados AB, CD e EF. Qual é a razão entre a área do triângulo MNP e a área do hexágono?

(A) 3/8.

(B) 1/2.

(C) 3/4. (D) 5/8.

(E) 1/4.

Justificativa: Observe a figura a seguir, onde o hexágono está dividido em 24 triângulos eqüiláteros iguais e o triângulo MNP contém 9 deles. A razão entre a área do triângulo e a do hexágono é 9/24, ou seja, 3/8.

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica: LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

46. A letra “N” na figura abaixo foi construída a partir de um retângulo de base 10 e altura 12. Então a área do “N” é:

(A) 72.

(B) 66.

(C) 60.

(D) 54.

(E) 50.

Justificativa: O modo mais simples é subtrair a área dos dois triângulos em branco da área do retângulo. Observe que os dois triângulos são congruentes, com um dos catetos igual a 6. Vamos chamar o outro cateto de x, como na figura abaixo. Como cada triângulo é semelhante ao triângulo de altura 12 e base 8, temos que

612 8x

= ,

ou seja, x = 9. Portanto a área dos dois triângulos juntos é 6 × 9 = 54 e a área sombreada é 120 – 54 = 66. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica:


LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012. 47. Um helicóptero sai de um ponto P no solo e faz os seguintes movimentos sucessivos: 500 m verticalmente para cima, 900 m horizontalmente na direção norte, 200 m verticalmente para cima, 700 m horizontalmente na direção oeste e 100 m verticalmente para baixo, pousando no ponto M de uma montanha próxima. A distância entre os pontos P e M é:

(A) 2400 m.

(B) 2200 m.

(C) 100 166 ≈ 1288,4 m.

(D) 100 130 ≈ 1140,17 m.

(E) 100 117 ≈ 1081,66 m.

Justificativa: É claro que a ordem dos movimentos não é relevante para a posição do ponto final. Os movimentos foram todos feitos em direções no espaço que são perpendiculares duas a duas. Na direção norte, a distância total percorrida foi de 900 m. Na direção oeste, a distância total percorrida foi de 700 m. Na direção para cima, a distância total percorrida foi de 500 + 200 – 100 = 600 m. Logo, a distância entre os pontos pode ser calculada como a diagonal de um paralelepípedo com arestas 900, 700 e 600. Portanto, a distância procurada é

2 2 2900 700 600 100 81 49 36 100 166d = + + = + + =. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica: LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

48. O lado de um polígono regular de n lados inscrito em um círculo de raio R é:

(A) R cos(180°/n).

(B) R sen(180°/n).

(C) 2R cos(180°/n).

(D) 2R sen(180°/n).

(E) πR/n.

Justificativa: A perpendicular OH traçada do centro do círculo ao lado AB do polígono regular divide ao meio tanto o lado do polígono quanto o ângulo central, que mede 360°/n. No triângulo retângulo OAH, AH = R sen(180°/n). Como AH é metade do lado, o lado do polígono é 2R sen(180°/n). Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica: LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

49. A base do triângulo ABC mede 8 cm e está situada sobre a reta r. O segmento DE, também sobre a reta r, mede 5 cm. Pelos pontos D e E traçamos paralelas a AC e BC respectivamente, as quais se cortam no ponto F, formando o triângulo DEF. A razão entre a área do triângulo ABC e a área do triângulo DEF é:

(A) 1,25.

(B) 1,60.

(C) 2,32.

(D) 2,56.

(E) 3,20.

Justificativa: Seja h1 a altura do triângulo ABC e seja h2 a altura do triângulo DEF. Como os triângulos são semelhantes,

1

2

h AB 8h 5DE

= = .

Portanto, 21

1 221

22

8hárea ABC 81,6 2,56

área DEF 55h∆

= = = = ∆

.

Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica: LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

50. Considere um cone reto tal que as medidas, em centímetros, da altura, do raio da base e da geratriz formam, nessa ordem, uma progressão aritmética de razão 2 cm. O volume desse cone, em centímetros cúbicos é

(A) 32π.

(B) 40 π.

(C) 80 π.

(D) 128 π.

(E) 200 π.

Justificativa: Como o cone é reto, a altura, o raio da base e a geratriz formam um triângulo retângulo como na figura abaixo. Pelo teorema de Pitágoras, (h + 4)2 = h 2 + (h + 2)2 ⇒ h2 +8h + 16 = h2 + h2 + 4h + 4 ⇒ h2 – 4h – 12 = 0 ⇒ h = 6 (pois h > 0 e a outra raiz é −2). Então r = 8 e o volume do cone é πr2h/3 = π(64)(6)/3 = 128π.


Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Geometria Referência Bibliográfica: LIMA, E. L., CARVALHO, P. C. P., WAGNER, E., MORGADO, A. C. Temas e Problemas Elementares, Coleção PROFMAT, 3ª ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.

51. A equação da parábola com foco em (−1,0) e diretriz x = 1 é

(A) y 2 = −4x.

(B) y 2 = 4x.

(C) x 2 = −2y.

(D) x 2 = 4y.

(E) y 2 = −2x.

Justificativa: Como a diretriz é a reta x = 1 e o foco está em (−1, 0), a parábola está deitada com vértice na origem e abertura voltada para a esquerda, logo a equação da parábola é da forma y 2 = −kx, onde k é um número maior do que zero. Como a parábola é o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, o ponto (−1, 2) pertence à parábola, logo k = 4 e a equação é y 2 = −4x.

−3 −2 −1 1 2 3

−3

−2

−1

1

2

3

x

y

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Geometria Referências Bibliográficas: WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008. LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo : Pearson Makron Books, 2000.

52. A equação 4x2 + 4xy + y2 + 4x + 2y + 1 = 0 representa, no plano,

(A) Um ponto.

(B) Uma reta.

(C) Um círculo.

(D) Uma elipse. (E) Uma parábola.

Justificativa: Agrupando os termos, obtemos y

2 + 2y(2x + 1) + 4x 2 + 4x + 1 = 0 ⇒ y2 + 2y(2x + 1) + (2x + 1)2 = 0 ⇒ (y + 2x + 1)2 = 0 ⇒ y + 2x + 1 = 0. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Geometria Referências Bibliográficas: WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Pearson Makron Books, 2008. LIMA, Elon Lages. Geometria Analítica e Álgebra Linear. Sociedade Brasileira de Matemática, 2001. STEINBRUCH, Alfredo e WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica. São Paulo : Pearson Makron Books, 2000.

53. Uma pessoa está dentro de um trem estacionado em uma plataforma quando o trem é atingido por um raio. A pessoa se surpreende pelo fato de ainda estar viva e assustada com o barulho sai do trem para a plataforma. Podemos dizer que:

(A) Dentro do trem, o campo elétrico foi nulo, pois toda corrente escoou por fora do trem.

(B) A pessoa não sofreu dano por pura sorte. (C) Dentro do trem houve uma grande variação na

energia potencial. (D) A pessoa não foi atingida porque deveria estar

com sapatos de borracha. (E) A pessoa só não foi atingida porque o trem não

estava em movimento.

Justificativa: A carga migra para a parte de fora da superfície. Dentro do trem, o potencial é constante e o campo elétrico é nulo. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RESNICK, HALLIDAY E KRANE. Física, vol. 2, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

54. Duas esferas de massas diferentes são laçadas da mesma altura de uma rampa. Se considerarmos que as esferas descem a rampa rolando sem deslizar, sem atrito com o ar e que são lançadas livremente na direção horizontal, podemos afirmar que:

I - O alcance será o mesmo, pois independe da massa. II - A esfera de maior massa terá maior alcance. III - A esfera de menor massa terá maior alcance.

Estão corretas:

(A) I e II.

(B) I e III.

(C) Somente I. (D) Somente II.

(E) Somente III.

Justificativa: Considerando a energia potencial mgh, a energia cinética 0,5 mv2 e a energia de rotação Iw2, onde I é o momento de inércia de rotação, a velocidade de escape

horizontal é dada por 10

7v gh= , que independe da

massa, logo o alcance é o mesmo. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RESNICK, HALLIDAY E KRANE. Física, vol. 1, 2, 3, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.


55. Em 1905 Einstein postulou que a luz se propagava no vácuo com velocidade c e que a velocidade era um invariante relativístico, ou seja, independia do referencial inercial. São consequências do postulado de Einstein:

I - A dilatação do tempo. II - A contração do espaço. III - A conservação da energia relativística.

Estão corretas:

(A) I e II; (B) II e III;

(C) I, II e III;

(D) Somente I;

(E) Somente II.

Justificativa: Dilatação do tempo: 2

21v

t tc

′∆ = ∆ − . O

tempo medido pelo referencial em movimento, tempo próprio,

é menor por um fator 2

21v

cδ = − . Contração do espaço na

direção do deslocamento: 2

21v

x xc

′∆ = ∆ − .

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RESNICK, HALLIDAY E KRANE. Física, vol. 1, 2, 3, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

56. Se um sistema físico é tal que existe uma função “U” dependente apenas dos estados inicial e final, independente do caminho, podemos afirmar que em um sistema fechado:

I - Existe uma grandeza que se conserva, ou seja, é um invariante; II - Não podemos afirmar que exista uma grandeza que se conserve; III - No caso de um sistema termodinâmico tal grandeza é a energia interna, ou seja, a energia cinética e a energia potencial de interação entre os constituintes do sistema.

Estão corretas:

(A) Somente I;

(B) Somente II; (C) Somente III;

(D) I e III;

(E) II e III.

Justificativa: Da primeira lei da termodinâmica: dU = dQ+dW. dU é a variação na energia interna. dQ é a quantidade de calor cedido ao sistema. dW é o trabalho realizado. A primeira lei da termodinâmica estabelece a conservação da energia interna de um sistema fechado. Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RESNICK, HALLIDAY E KRANE. Física, vol. 1, 2, 3, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

57. Na geometria plana se uma reta R1 é paralela a uma reta R2 e a reta R2 é paralela a R3, então as retas R1 e R3 são paralelas. Na lógica matemática este pensamento pode ser representado por um silogismo hipotético. No campo da Física podemos dizer que esta afirmação é equivalente à:

I - Lei zero da termodinâmica. II - Primeira lei da termodinâmica. III - Segunda lei da termodinâmica.

Estão corretos os itens:

(A) Somente I;

(B) I e II;

(C) Somente II; (D) II e III;

(E) Somente III.

Justificativa: A lei zero da termodinâmica estabelece que dois corpos que estão em equilíbrio térmico com um terceiro estão em equilíbrio térmico entre si. Grau de Dificuldade: Fácil. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RESNICK, HALLIDAY E KRANE. Física, vol. 1, 2, 3, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003.

58. O método de Newton, aplicado ao cálculo de 5 , consiste em tomar uma aproximação inicial x0 > 0 e obter aproximações sucessivas {xn} de modo que xn+1 seja dado por:

(A) nn

xx

+5

.

(B) nn

xx

+

1 52

.

(C) nn

xx

−5

.

(D) nn

xx

−

1 52

.

(E) n

n

x

x+

52

.

Justificativa: O método de Newton é usado para calcular raízes de uma função de uma variável. Aplicando o método à função f (x) = x2 – 5, obtemos

( )( )

.

n nn n n

n n

n n nn

n n n

f x xx x x

f x x

x x xx

x x x

+

−= − = −

′

− + += = = +

2

1

2 2 2

52

2 5 5 1 52 2 2

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: RUGGIERO, Márcia e LOPES, Vera Lúcia, Cálculo Numérico: aspectos teóricos e computacionais, Makron Books, 1996.


59. De quantas maneiras é possível colorir cada um dos círculos da figura abaixo com uma entre três cores, amarelo, azul e vermelho, de modo que dois círculos ligados por um segmento tenham sempre cores diferentes?

(A) 2.

(B) 3.

(C) 4.

(D) 6.

(E) 9.

Justificativa: Começamos a colorir a figura pelo círculo marcado com a letra A. Temos 3 opções de cores para A e, uma vez selecionada a cor de A, temos 2 possibilidades de cores para o círculo B. Para cada escolha de cores para A e B, a cor de C fica unicamente determinada pelas condições do problema. Logo, pelo princípio multiplicativo, temos 3 × 2 ×1= 6 possibilidades diferentes de colorir os círculos A, B e C. Agora notamos que, para qualquer escolha de cores para A, B e C, as cores dos círculos restantes ficam unicamente determinadas. Portanto, temos 6 maneiras diferentes de colorir os círculos da figura de acordo com as condições do enunciado.

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: GERSTING Judith L., Fundamentos Matemáticos para a Ciência de Computação, Rio de Janeiro, LTC, 2001.

60. Pedro vai participar de um programa de prêmios em que há uma urna contendo quatro bolas com valores diferentes e desconhecidos por ele, que serão sorteadas uma a uma até que ele decida ficar com uma delas. Ele observa o valor das duas primeiras bolas sorteadas e as descarta. Se o valor da terceira bola sorteada for maior que os das duas primeiras, ele ficará com ela e, caso contrário, ficará com a bola que restou. Qual é a probabilidade de Pedro ficar com a bola de maior valor?

(A) 1

2.

(B) 5

12.

(C) 3

8.

(D) 1

3.

(E) 1

4.

Justificativa: Pedro tira o prêmio máximo em duas situações: quando a bolinha 4 sai na 3ª posição ou quando ela sai na 4ª posição e a bolinha 3 sai em uma das duas primeiras. A

probabilidade do primeiro evento é 14

e a do segundo é

21 14 3 6

× = . Logo, a probabilidade de ele tirar o prêmio

máximo é 51 14 6 12

+ = .

Grau de Dificuldade: Médio. Categoria: Matemática Aplicada. Referência Bibliográfica: GNEDENKO, B. V. A Teoria da Probabilidade. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2008.

QUESTIONÁRIO DE PERCEPÇÃO DO

TESTE DE PROGRESSO

As próximas questões visam levantar sua opinião sobre a qualidade e a adequação da prova que você acabou de realizar. Marque estas alternativas normalmente no gabarito de respostas. Agradecemos sua colaboração. 61. Os enunciados das questões estavam claros e objetivos?

(A) Sim, todos.

(B) Sim, a maioria. (C) Apenas cerca da metade.

(D) Poucos.

(E) Não, nenhum

62. Qual o grau de dificuldade percebido por você nas 10 primeiras questões de Conhecimento Geral?

(A) Muito fácil. (B) Fácil.

(C) Médio.

(D) Difícil.

(E) Muito difícil.


63. Qual o grau de dificuldade percebido por você nas demais questões de Conhecimento Específico?

(A) Muito fácil.

(B) Fácil.

(C) Médio.

(D) Difícil.

(E) Muito difícil.

64. Considerando a extensão da prova, em relação ao tempo total, você considera que a prova foi

(A) Muito longa.

(B) Longa.

(C) Adequada.

(D) Curta. (E) Muito curta.

65. As informações/Instruções das questões foram suficientes para resolvê-las:

(A) Sim, até excessivas.

(B) Sim, em todas elas.

(C) Sim, na maioria delas. (D) Sim, somente em algumas.

(E) Não, em nenhuma delas

66. Você se deparou com alguma dificuldade em responder à prova. Qual?

(A) Desconhecimento do conteúdo

(B) Forma diferente de abordagem do conteúdo. (C) Espaço insuficiente para anotações pertinentes e

desenvolvimento de cálculos (D) Falta de motivação para fazer a prova.

(E) Não tive qualquer tipo de dificuldade para responder à prova

67. Considerando o conteúdo abordado nas questões da prova, você percebeu que

(A) Não estudou ainda a maioria desses conteúdos.

(B) Estudou alguns desses conteúdos, mas não os aprendeu.

(C) Estudou a maioria desses conteúdos, mas não os aprendeu.

(D) Estudou e aprendeu muitos desses conteúdos. (E) Estudou e aprendeu todos esses conteúdos.

68. A principal motivação para fazer o Teste de Progresso foi?

(A) Saber que este modelo de avaliação não promove punição ou premiação

(B) Identificar fragilidades na minha formação profissional para poder corrigi-las

(C) Contribuir para melhorar o currículo do meu curso

(D) Melhorar minha capacidade em resolver provas similares

(E) Fiz apenas para receber a presença do dia

69. Considerando sua auto-avaliação em relação aos Testes de Progresso já realizados:

(A) Esta é a primeira vez que faço o Teste de Progresso

(B) Me senti capaz de perceber progressos a cada ano realizado

(C) Meu desempenho não tem se alterado em cada teste

(D) Apresentei declínio em relação ao último teste

(E) Não considero importante a auto-avaliação pelo Teste de Progresso

70. Sobre os resultados dos Testes de Progresso anteriores:

(A) Esta é a primeira vez que faço o Teste de Progresso

(B) Recebi o resultado impresso, entregue pela coordenação do meu curso

(C) Retirei o resultado diretamente do site institucional

(D) Não tive interesse em verificar o meu resultado

(E) Não sabia que o resultado do teste era divulgado

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