ПРВИ РАЗРЕД – МАТЕМАТИЧКА ЛОГИКА И СКУПОВИ 30.09.2009. Марина Антић, проф. Зорица Маринковић, проф. 1. Дати су искази: p: Земунска гимназија је основана 1858. године. q: Библиотека Земунске гимназије је укључена у мрежу електронских библиотека. r: Давид Албахари је био ђак Земунске гимназије. s: Пре Давида Албахарија, ђак Земунске гимназије био је и Сава Шумановић, наш чувени сликар. Одреди истинитосну вредност формуле: а) ( ) ( ) qsrqp ∧∨⇒¬∧¬ б) ( ) ( ) ( )sprpsrp ∧∨∧⇔∨∧ . 2. Одреди истинитосну вредност формуле rqpF ⇒∧: ако је:

3

1051

41:

31

21: =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −p

6

3751

41:

31

21: −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−q

751

41:

31

21: =−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −r .

3. Дати су искази: ( ) 32233 33: babbaabap −+−=− ( ) ( )2233: babababaq ++⋅−=− ( ) 222: babar +=+ Одреди истинитосну вредност формуле: а) ( )( ) rqrqp ∧⇔⇒∨¬¬ б) ( )( ) prqp ⇔⇒⇒¬ . 4. Израчунај: а) ( ) ( )( )( )⇒⊥Τ∧Τ∧Τ∧⊥∧Τ б) ( ) ( )⊥∨Τ∧Τ⇒⊥∧Τ¬ в) ( )( ) Τ∨Τ⇔Τ⇒⊥∧Τ¬ 5. Ако је: ∧⊥:p aa⇔ ∧⊥:q ⇔⊥a :r aa⇔ ( )⇒⊥as : a¬⇔ одреди истинитосну вредност формуле:

( ) ( ) spsrqp ¬∧⇒∨∧∨¬

6. Ако је: 21

614

922

1691: −=−++p

( )Nxq ∈∃: )( 2 xx = ( ) 94532: 22 +=+− xxxr одреди истинитосну вредност формуле: ( ) ( )( )pqrqp ¬⇔∨⇒¬∧ . 7. Испитај тачност формула: а) ( ) ( )qpqp ¬∧⇔∨¬¬ б) ( ) ( ) ( )qpqpqp ¬∨∧∨¬⇔⇔ в) ( ) ( ) ( )rpqprqp ∨∧∨⇔∧∨ г) ( ) ( )( ) ( )qprqqp ∨¬⇒⇒∧⇒ . 8. Провери да ли је таутологија: а) ( ) ( ) ( )rpqprqp ∨∧∨⇔∧∨ б) ( ) ( )( ) ( )qprqqp ∨¬⇒⇒∧⇒ в) ( ) ( )rqrpqp ∧⇒∧⇒⇒ 9. Методом свођења на апсурд или дискусијом по слову доказати да је дата формула таутологија: а) ( ) ( )rqrpqp ∧⇒∧⇒⇒ б) ( ) ppqp ⇒∨∧ в) ( )qpqp ∧¬¬⇒¬∨ г) ( )( )( ) ( )tsqrqpp ∨⇒⇒∧¬⇔∧ 10. Испитај тачност следећих реченица ( )Nx∈ : а) ( )x∃ ( )5<x б) ( )x∀ ( )11 =⋅x в) ( )x∃ ( )15 =−x г) ( )x∃¬ ( )2≥x д) ( )x∃ ( )105 >∧< xx ђ) ( )x∀¬ ( )105 >∧< xx 11. Напиши негацију реченице: а) ( )x∃ ( )05 >+∧∈ xZx

б) ( )x∀ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ >∨< 3

23 xx

12. Дат је скуп { }5,4,3,2,1=A . Одреди истинитосну вредност тврђења: а) ( )Ax∈∃ ( )103 =+x б) ( )Ax∈∀ ( )83 <+x . 13. Ако су [ ]ba, , [ ),ba , ]ba,( и ( )ba, уобичајене ознаке за интервале на реалној бројној оси израчунај а) [ ] ]3,2(5,0 ∩ б) ( ] [ ]( ) ( )3,35,12, −∪∞− I в) ( ] [ ]1,1\2,6 −− г) ( ] ( )1,1\2,6 −− д) ( ] [ )( ) ( )2,2\,35, −∞−∞− I . 14. Дат је скуп { }12,10,8,6,4,2,0=S . Одреди скупове :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −∧∈= SxxSxxA

232 ,

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

∈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+∧∈= NyySyyB 1

4

2

,

{ }cccNccC 2126 ∧≤∧≥∧∈= , а затим израчунај: ( ) CBA UI ) ; ( ) ( )CBCA \\ I , P (B) , AB× .

15. Ako je { }2,1,0=A , { }1,1−=B и ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

∈∧∈= BqApqpC одреди :

а) ( ) ( )BCAC \\ I , б) ( )BAC UU , в) ( )BAC U\ . 16. Провери тачност: а) DBCADCBA UU ⊂⇒⊂∧⊂ б) ( ) ''' BABA IU = в) ( ) ( ) ( )CBACABA IUU \\ = г) ( ) ( ) '''' BBABA =UIU

д) ( ) AA =''

ђ) ABABA =⇔⊂ I е) BBABA =⇔⊂ U 17. Ako je { }2,1=A , { }3,2=B и { }4,2=C формирај скупове: а) ( )CBA I×

б) ( ) ( )CABA ×× U 18. Ако је { }),(),,(),,(),,(),,(),,( cbbbabcabaaaBA =× израчунај: а) BA \ б) AB \ в) ( ) ( )ABBA \\ I г) ( ) ( ) ( )BAABBA IUU \\ д) ( )AP . 19. Провери једнакости: а) ( ) ( ) ( )CABACBA ××=× II б) ( ) ( ) ( )CBCACBA ××=× UU