Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamikemafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2011_2012/Seminar_-_koncna_verzija.pdf · dveh algoritmov. Po prvem algoritmu, oz. algoritmu

Seminar – 4. letnik

Sklopitev molekulske dinamike in

kontinuumske hidrodinamike

Avtor: Jurij Sablić

Mentor: doc. dr. Matej Praprotnik

Ljubljana, Marec 2012

Povzetek:

Tekočine na makroskopski skali opišemo s kontinuumsko hidrodinamiko, ki gibanje tekočine

opiše z Navier-Stokesovo enačbo. Včasih na posameznih domenah kontinuuma potrebujemo

mikroskopski opis, ki ga izvedemo s simulacijo molekulske dinamike. Mikroskopski in

makroskopski opis je potrebno primerno sklopiti, da je celotna tekočina opisana konsistentno.

V tem seminarju bomo predstavili, kako to storimo pri večskalnih simulacijah molekularnih

tekočin.

2 SABLIĆ, Jurij. Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamike. Seminar. Ljubljana, FMF, 29. 3. 2012

Kazalo:

1. UVOD ............................................................................................................................................... 3

2. SIMULACIJA MOLEKULSKE DINAMIKE ............................................................................................. 4

3. KONTINUUMSKA HIDRODINAMIKA IN METODA KONČNEGA VOLUMNA ....................................... 7

4. SKLOPITEV MOLEKULSKE DINAMIKE IN KONTINUUMSKE HIDRODINAMIKE ................................. 9

5. ZAKLJUČEK ..................................................................................................................................... 14

6. LITERATURA ................................................................................................................................... 15


1. UVOD

Fizikalne pojave opišemo z enačbami. Ti pojavi so velikokrat komplicirani in

zahtevajo opis s kompleksnim sistemom enačb. Te enačbe so lahko algebraične, velikokrat pa

imamo opravka z diferencialnimi in parcialnimi diferencialnimi enačbami. Sistemi

diferencialnih in parcialnih diferencialnih enačb ponavadi niso analitično rešljivi. Njihove

rešitve poiščemo numerično in jih potem na razne načine karseda pregledno predstavimo.

Kadar imamo opravka z enačbami, ki opisujejo dinamiko nekega sistema, njihovo rešitev

najbolj nazorno predstavimo kar s simulacijo časovnega poteka pojava, ki ga opisujemo.

Simulacije so zlasti primerne za ponazarjanje dinamike velikega števila delcev ali pa za

ponazarjanje stacionarnih in nestacionarnih hidrodinamskih pojavov.

Hidrodinamske pojave opišemo z Navier-Stokesovo enačbo, ki nam poda dober opis

dinamike kontinuuma na makroskopski skali. Vendar tak opis ne zadošča vedno. Kadar

želimo opisati npr. tok okoli raznih nanodelcev, rast kristalov v fluidu, nihanje proteinov v

tekočini ali pa transport nanodelcev v tekočini, kontinuumski opis tekočine ne zadošča [1, 2].

Želimo namreč vedeti, kaj se dogaja tik ob nanodelcu, kristalu ali proteinu, in za to

potrebujemo mikroskopski opis v bližini omenjenih struktur. V teh primerih bi bilo najbolje,

da kar celotno tekočino opišemo mikroskopsko. V tak delčni opis najlažje vklopimo omenjene

strukture, saj so interakcije med njimi ponavadi znane. Vendar pa je celoten opis kontinuuma

z delci računsko zelo potraten, in zato neprimeren za simulacijo kakršnegakoli realnega

kontinuuma, saj ta vsebuje preveliko število delcev. Zato v zadnjem času razvijajo razne

hibridne metode, pri katerih uporabijo delčni opis le v bližini zgoraj omenjenih struktur,

kontinuumskega pa povsod drugje. Oba opisa morata biti na medsebojni meji primerno

sklopljena, tako da je zagotovljena zveznost gostote in hitrosti oz. gostote gibalne količine.

V tem seminarju bomo najprej predstavili delčni opis sistema s simulacijo molekulske

dinamike in kontinuumski opis sistema s kontinuumsko hidrodinamiko. Nato pa bomo opisali

sklopitev obeh opisov.


2. SIMULACIJA MOLEKULSKE DINAMIKE

Simulacija molekulske dinamike (MD) je način, kako numerično simuliramo

dinamiko sistema z mnogo delci [3]. Od tod lahko izračunamo neke makroskopsko merljive

količine in jih primerjamo z eksperimentalno izmerjenimi. Tako lažje razumemo, kaj se

dogaja v ozadju oz. na mikroskopski skali mnogih makroskopskih procesov. Dinamiko

mikroskopskih delcev opišemo z drugim Newtonovim zakonom [3]:

, (1)

kjer so sila na i-ti delec, masa i-tega delca in krajevni vektor i-tega delca. Z uvedbo

gibalne količine lahko zgornjo enačbo zapišemo kot [3]:

in . (2)

Vsak algoritem, ki naj kvalitetno opiše tak sistema, mora enako dobro veljati tako za kratke

časovne intervale kot tudi za dolge. Poleg tega mora biti algoritem ekonomičen. V enačbah

(2) sila zaradi zakona o vzajemnem učinku nastopa v parih. To pomeni, da moramo pri

njenem izračunu upoštevati še dinamiko vseh ostalih delcev, ki interagirajo z i-tim delcem. To

je z vidika numerične simulacije izredno neekonomično, zato mora algoritem vsebovati

karseda majhno število izračunov sile.

Numerična rešitev sistema enačb št. (2) se izračuna s pomočjo Verletovega hitrostnega

algoritma [3]:

(

) ( )

( )

( ) ( )

(

)

( ) (

)

( )

(3)

Enačbe opisujejo časovno propagacijo krajevnega vektorja in gibalne količine i-tega delca v

časovnem intervalu , oz. čez en algoritemski korak. Prva enačba opisuje izračun vrednosti

gibalne količine na polovici časovnega intervala in za to uporabi silo, ki je bila izračunana že

vektorja ob koncu tega časovnega intervala in tretja vrednost gibalne količine ob koncu istega


intervala. Za propagacijo gibalne količine potrebujemo vrednost sile ob koncu intervala, ki jo

izračunamo med drugim in tretjim delom. Ta izračun je računsko najbolj potraten del koraka.

Sila deluje ponavadi med dvema delcema, tako da sistem z delci zahteva ⁄ izračunov

sile. Tako definiran hitrostni Verletov algoritem je časovno reverzibilen in drugega reda v

času. Zaradi tega je primeren za dolge in kratke časovne intervale. Poleg tega je maksimalno

ekonomičen, saj v vsakem koraku vsebuje zgolj en računsko potraten izračun.

Ponavadi simuliramo dinamiko omejenega števila delcev, ki se zato nahajajo v

omejenem prostoru, npr. plin v škatli [3]. Potek simulacije za delce opisujejo enačbe (3),

vendar pa bi zaradi omejenosti prostora, kjer se naši delci nahajajo, načeloma dobili robne

efekte ob stenah našega omejenega sistema. Temu se izognemo tako, da vpeljemo periodične

robne pogoje (Slika1). To lahko storimo za sile dolgega in kratkega dosega. Pri tem pa ne

zajamemo fluktuacij, ki imajo daljšo valovno dolžino od roba naše simulacijske škatle. Na ta

način delec, ki bi sicer v nekem trenutku interagiral z robom in se npr. od njega odbil, preide v

naslednjo celico. Istočasno pa v prvotno celico vstopi delec z enako gibalno količino iz neke

druge sosednje celice. Tako zagotovimo, da je število delcev v prvotni celici ves čas

konstantno in da se skupni gibalna količina in energija prvotnega sistema ohranjata.

Slika 1: Periodični robni pogoj [4]. Delci, katerih dinamiko simuliramo so v kocki z odebeljenimi

stranicami. Ostale kocke so posledica periodičnih robnih pogojev in so zrcalna slika prvotne.


Kadar v sistemu, katerega dinamiko opisujemo, ni zunanjih sil, vse notranje sile

delujejo v parih [3]. Te sile so običajno konservativne, zato lahko interakcijo med delci

opišemo tudi s potencialom. Zaradi velikega števila delcev pride do senčitev potencialov

različnih delcev. Zato ima interakcija med dvema delcema pogosto kratek doseg in jo

opišemo s potencialom [3]:

( ) { ( )

. (4)

Tu je razdalja med i-tim in j-tim delcem in razdalja na kateri dva delca še čutita

medsebojno interakcijo. Ta razdalja je seveda od primera do primera različna, v povprečju pa

za tekočino znaša okoli . Programski izračun takega potenciala lahko naredimo s pomočjo

dveh algoritmov. Po prvem algoritmu, oz. algoritmu »Seznami sosedov«, izračunamo

potencial tako, da okoli i-tega delca narišemo dve sferi, eno z radijem in drugo, večjo, z

radijem (Slika 2). V prvem koraku MD simulacije popišemo vse delce, ki so znotraj večje

sfere. K interakciji seveda prispevajo zgolj tisti, ki so tudi znotraj manjše. V naslednjem

koraku pa, ko računamo interakcijo, pregledamo zgolj tiste delce, ki so bili v prejšnjem

koraku znotraj večje sfere. Za te delce namreč predpostavimo, da so edini, ki lahko v času

enega simulacijskega koraka pridejo v območje interakcijske sfere okoli i-tega delca. Seveda

so nekateri delci, ki so že v prejšnjem koraku interagirali z i-tim delcem, lahko tudi v novem

koraku znotraj manjše sfere, vendar pa lahko vanjo vstopijo tudi novi delci, a zgolj tisti, ki so

se v prejšnjem koraku nahajali med obema sferama. Pomembna predpostavka je, da noben

delec, ki je bil v prejšnjem koraku zunaj sfere z radijem , ne more priti v tem koraku v

sfero z radijem . Tak delec lahko v novem koraku pride zgolj v prostor med obema

sferama, zato moramo seznam delcev znotraj zunanje sfere z radijem pogosto obnavljati.

Pogostost obnavljanja seznama je odvisna od izbrane velikosti zunanje sfere. Večja kot je

sfera manj pogosto je treba obnavljati seznam, saj bodo zunanji delci potrebovali več časa, da

pridejo v bližino interakcijske krogle. Glavna prednost algoritma »Seznami sosedov« je torej

v tem, da pri računu interakcije i-tega delca, ne rabimo preveriti vseh delcev v sistemu, ampak

zgolj tiste, ki se nahajajo znotraj sfere z radijem .

Drugi algoritem, oz. »Algoritem sosednjih celic«, je zlasti primeren za opis interakcije

v velikem sistemu z velikim številom delcev [3]. Našo kubično simulacijsko celico razdelimo

na kubičnih celic. Vsaka taka kocka ima stranice dolžine ⁄ ,


kjer je dolžina stranice kubične simulacijske celice. Dolžina stranice vsake take kocke mora

biti večja kot maksimalni doseg potenciala, t.j. . Pri iskanju delcev, ki interagirajo z i-tim,

je tako potrebno pogledati le v kocko, kjer se i-ti delec nahaja, in v vse sosednje kocke. To je

seveda veliko bolj ekonomično kot iskanje vseh delcev v sistemu.

Slika 2: Slikovni prikaz algoritma »Seznami sosedov« (prilagojeno po sliki iz reference [5]). Z rdečim

delcem interagirajo le zeleni delci znotraj sive krogle. Tisti delci, ki so v modrem območju, so

potencialni kandidati za vstop v sivo kroglo in za interakcijo z rdečim delcem.

3. KONTINUUMSKA HIDRODINAMIKA IN METODA KONČNEGA

VOLUMNA

Kontinuumska hidrodinamika (KH) je teorija, s katero opišemo hidrodinamske

lastnosti snovi. Teorijo opišemo s stohastičnimi parcialnimi diferencialnimi enčbami, ki se v

limiti velikih volumnov reducirajo v Navier-Stokesovo enačbo [6]. Osnova KH so ohranitveni

zakoni, ki se z enačbo zapišejo tako [6]:

. (5)

Tu sta količina, ki se ohranja, in vektor toka količine, ki se ohranja. KH je zelo koristna

pri simulacijah tokov. Te ponavadi naredimo z metodo končnega volumna, pri kateri celoten

volumen razdelimo na več majhnih podvolumnov (npr. kock) [7]. Nato izvrednotimo enačbo

(5) na vsakem od teh podvolumnov. To storimo tako, da najprej enačbo (5) integriramo po

enem takem podvolumnu in nadalje na integralu na desni uporabimo izrek Ostrogradskega in

Gaussa. Tako dobimo naslednjo enačbo [6]:


∫

∮

, (6)

kjer je podvolumen, po katerem integriramo integral na levi, in njegov rob. Če je

podvolumen omejen z večimi ploskvami, lahko desni integral zapišemo kot vsoto integralov

po vsaki mejni ploskvi. Ker so mejne ploskve majhne in je podintegralska funkcija na njih

pohlevna, lahko vsak integral po mejni ploskvi aproksimiramo s produktom vrednosti

integranda nekje na mejni ploskvi in površine mejne ploskve. Tako se enačba (6) zapiše kot

[6]:

∫

∑ , (7)

kjer je indeks podvolumna, indeks sosednjega podvolumna, normala mejne ploskve

med obema podvolumnoma, njena površina in

vrednost vektorja toka ohranjene

količine na omenjeni mejni ploskvi. Velikokrat za slednjo vzamemo kar sredinsko vrednost,

včasih pa tudi povprečno vrednost. To je odvisno od natančnosti, ki jo želimo doseči. Integral

na levi strani enačbe (7) naprej aproksimiramo s produktom neke vrednosti ohranjene količine

v -tem podvolumnu in prostornine -tega podvolumna [7].

V nadaljevanju bosta pomembni ohranjeni količini masa in gibalna količina. Zato se

bomo sedaj osredotočili na njiju. Ohranitvena zakona za ti dve količini se po enačbi (5)

zapišeta kot [8]:

in

.

(8)

Tu je gostota in gostota gibalne količine podana z enačbo . Tokova sta definirana

kot [8]:

in

.

(9)

je Navier-Stokesov napetostni tenzor, ki je podan z enačbo ( ) . Prvi del

napetostnega tenzorja je diagonalen, drugi pa brezsleden in simetričen. V prvem delu je

termodinamski tlak, in matrika identiteta. Tlak dobimo preko enačbe stanja

( ), ki je bodisi podana ali pa jo izračunamo preko simulacije MD. Simetrični del


napetostnega tenzorja je v kartezičnih koordinatah definiramo kot (

). Pri tem sta in poljubni kartezični koordinati. Upoštevamo tudi Einsteinovo

konvencijo o sumaciji, tako da izraz dejanjsko predstavlja divergenco vektorja hitrosti.

Parametra in sta prostorninska in strižna viskoznost.

Sedaj enačbi (8) rešimo z metodo končnega volumna in ju zapišemo v obliki enačbe

(7). Dobimo naslednje enačbe za -ti podvolumen ob času [8]:

∑ in

∑ ( ) .

(10)

Tu je ∫ ( )

masa znotraj -tega podvolumna,

∫ ( ) ( )

gibalna količina znotraj -tega podvolumna, ( )( ) ⁄ aproksimacija za

masni tok na mejni ploskvi -tega in -tega podvolumna, ( ) ⁄ aproksimacija

hitrosti na omenjeni mejni ploskvi in [( ) ] ⁄ povprečen napetostni

tenzor. V povprečnem napetostnem tenzorju je termodinamski tlak v -tem podvolumnu,

in pa sta definirana kot [8]:

∑ [

(

)

] in

∑

.

(11)

Tu vsota teče po vseh sosedih -tega podvolumna, vse količine pa so že definirane.

4. SKLOPITEV MOLEKULSKE DINAMIKE IN KONTINUUMSKE

HIDRODINAMIKE

Sklopitev obeh opisov naredimo takrat, ko na nekem območju tekočine potrebujemo

molekulski opis drugje pa zadostuje kontinuumski. Idealno bi bilo seveda celotno tekočino

opisati molekulsko, vendar je to računsko zelo potratno. Zato tak opis uporabimo zgolj tam,

kjer je to neobhodno.

Tekočino razdelimo na podvolumne oz. celice, tako kot to prikazuje Slika 3 [6]. V

podvolumnih levo od hibridne meje, označene s H, opišemo dinamiko tekočine s


kontinuumsko hidrodinamiko, desno od nje pa z molekulsko dinamiko. Podvolumni se med

seboj ne prekrivajo. Podvolumna na vsaki strani meje se imenujeta mejna podvolumna in na

njiju poteka izmenjava podatkov med obema opisoma. Tistega na kontinuumski strani meje

označimo s črko C, tistega na delčni strani pa s P. Celica označena z B se imenuje vmesna

celica ali vmesno območje in deluje kot rezervoar pri delčnem opisu. B moramo torej

upoštevati pri opisu MD, vendar pa ni del našega sistema. Deluje zgolj kot računski

pripomoček, ki v MD simulacijo vnaša robne pogoje za gibalno količino. Sklapljanje

molekulskega dela s kontinuumskim preko hibridne meje H lahko poteka na dva načina. Pri

prvem gre za sklapljanje hidrodinamskih spremenljivk, torej gostote in hitrosti [2, 9]. To

pomeni, da morata biti hitrost in gostota na obeh straneh hibridne meje enaki. Drugi način je s

sklapljenjem tokov ohranjenih količin [10, 11]. Masni tok in tok gibalne količine, ki gresta iz

celice C v celico P morata biti nasprotno enaka tokovoma iz celice P v celico C. Ker se pri

taki sklopitvi avtomatsko ohranita tudi masa in gibalna količina, se bomo osredotočili zgolj na

njo. Vrtilne količine pri tem ni potrebno posebej opazovati, razen v primer sklopitve opisov z

različnimi viskoznostmi. Vendar pa se tudi v teh primerih spremljanju vrtilne količine

izognemo z uvedbo termostata [12]. Slednjega ponavadi zaradi nekih drugih razlogov

uvedemo pri slehrni sklopitvi, vendar pa se v podrobnejše razglabljenje o njem v tem

seminarju ne bom spuščal [6].

Slika 3: Simulacijske domene (prilagojeno po sliki iz rererence [6]). Levo od hibridne meje H velja

opis s kontinuumsko hidrodinamiko, desno pa z Molekulsko dinamiko. C in P sta mejni celici, B pa

vmesna celica.


Tok gibalne količine skozi hibridno mejo lahko aproksimiramo z [6]:

. (12)

Tu je normalni vektor hibridne meje, ki po Sliki 3 kaže v smeri MD dela.

je tok gibalne

količine skozi hibridno mejo,

in

pa sta tokova gibalne količine v P in C podvolumnih.

je v kontinuumskem delu tekočine, zato ga izračunamo z enačbo (9). Vendar pa za to po

enačbah (10) in (11) potrebujemo hitrost in gostoto v sosednjih podvolumnih, in desna soseda

celice C je celica P, kjer dinamiko opisujemo z MD. V ta namen maso in gibalno količino v

celici P izračunamo kot vsoto mas in gibalnih količin vseh delcev v celici P, oz. [6]:

∑ in

∑ . (13)

Gostoto in hitrost izračunamo kot ⁄ in ⁄ . Na tak način lahko

izračunamo tudi

, kjer je potrebno aplicirati enako tehniko tudi na celico desno od P, ki je,

tako kot P, del delčnega opisa. Tak način izračuna

, kjer dejansko delčni opis pretvorimo v

kontinuumski, imenujemo mezoskopski izračun.

pa lahko izračunamo tudi po

mikroskopskem izračunu in sicer z uporabo Irving-Kirkwoodove formule [6]. Izkaže se, da je

slednji postopek manj primeren, saj je računsko bolj potraten.

Za ohranitev gibalne količine ob hibridni meji moramo v vsakem časovnem intervalu

sklopitve, ki ga označimo z , v MD del tekočine vnesti gibalno količino [6].

Nasprotno enako gibalno količino pa moramo vnesti v KH del. Vstavitev toka gibalne

količine v kontinuumski opis je dokaj enostavna in opisana z enačbo (13). Njegova vstavitev

v MD opis pa je težja in v ta nemen v naš sistem vpeljemo vmesno območje. Z njim vpeljemo

zunanjo silo na hibridno mejo , s katero zagotovimo vstavljanje želene gibalne količine v

molekulski del. je porazdeljena med vse delce v vmesni celici, in sicer tako, da vsak delec

čuti silo [10]:

( ) ∑ ( ) ⁄ . (14)

je tu porazdelitvena funkcija. Najbolj enostavna porazdelitvena funkcija je kar

Heavisideova funkcija, kar pomeni, da delci v vmesni celici vsi enako prispavajo h končni

sili. Pretok delcev med vmesno celico B in delčnim delom našega sistema je prost, vendar,


takoj ko delec preide v vmesno območje začne čutiti omenjeno silo . Vsak delec v B

deluje torej kot nosilec gibalne količine v MD. Ker želimo karseda prosto prehajanje delcev iz

B v MD, je dobro, da vsak delec čuti čim manjšo silo. Zato mora biti v B veliko število

delcev. To število ne sme biti preveliko, saj je potem sistem podvržen prevelikim fluktuacijam

in je zaradi tega nestabilen. Fluktuacije je tako potrebno regulirati z naslednjim algoritmom

[1]:

(⟨ ⟩ ) ⁄ . (15)

Tu je trenutno število delcev v B, karakteristični čas za delce v B in ⟨ ⟩

povprečno število delcev v B, ki si ga izberemo tako, da je sorazmerno številu delcev v

kontunuumski celici C. mora biti čim bližje 0. Gostota delcev v bližini hibridne meje je

zvezna, na drugem robu celice B pa delčna gostota pade na nič zaradi zunanjega

kontinuumskega tlaka. Delce, ki med simulacijo zaidejo tja preprosto izbrišemo iz sistema. Če

pa se zgodi, da število delcev v B pade pod povprečno vrednost, potem v celico vstavimo

nove delce s hitrostmi porazdeljenimi po Maxwellovi porazdelitvi. Vstavljanje in brisanje

delcev moramo upoštevati pri celotni bilanci gibalne količine za MD. Recimo, da pri enem

koraku MD simulacije vstavimo v molekulski del gibalno količino . Gibalna

količina delcev, ki so v tem časovnem intervalu vstavljeni v B, je , delcev, ki so izbrisani

pa . Celotna bilanca je torej [6]:

. (16)

Na levi strani je torej gibalna količina, ki jo v enem koraku MD dodamo delčnemu sistemu, s

tem ko na delce v vmesnem območju deluje skupna sila . Enakost med njima ni direktna,

ker delce iz B po potrebi brišemo in jih nazaj vstavljamo. Na tak način v časovnem intervalu

sklopitve pride do izmenjave gibalne količine med kontinuumsko in delčno

domeno.

Pri tovrstni sklopitvi kontinuumskega in delčnega opisa ni potrebno posebej zahtevati

sklopitve masnega toka skozi hibridno mejo [6]. Slednji namreč ni neodvisna količina, ampak

je po enačbi (8) povezan s tokom gibalne količine. Zato je dovolj, da sklopitev masnega toka

med simulacijo zgolj kontroliramo z naslednjim algoritmom [6]:


(

). (17)

Enačba opisuje pritok mase v mejno celico C skozi hibridno mejo v časovnem intervalu

sklopitve. Načeloma bi moral biti pritok mase, zaradi zagotavljanja zveznosti masne gostote,

enak odtoku mase iz celice skozi H, , ki ga izračunamo s KH. Hkrati pa bi moral biti

enak tudi odtoku mase iz celice P v C, ki ga izračunamo z MD in označimo z . Drugi

člen v enačbi (17) torej uravnoteži MD in KH izračun masnega pritoka v C skozi hibridno

mejo. je nek karakteristični čas, ki je sorazmeren s številom izračunov KH v enem

časovnem intervalu sklopitve.

Sklopitev toka gibalne količine implicira zveznost gradienta hitrost na hibridni meji.

Ker želimo, da je tudi hitrost na meji zvezna, to dosežemo tako, da hitrost na kontinuumski

strani meje uravnotežimo z razliko povprečnih hitrosti, izračunanih po MD in KH [6].

Sklopitveni interval je načeloma različen od časa ene MD simulacije ( ) in tudi

od časa ene KH simulacije ( ) [6]. Velja torej , kjer sta in

števili MD in KH korakov v sklopitvenem intervalu. Časovni protokol sklapljanja poteka v

štirih korakih. Začetna pogoja vsakega koraka sta tok gibalne količine ( ) in hitrost ( )

na hibridni meji ob koncu prejšnjega intervala oz. ob začetku novega. Časovno propagacijo

teh dveh količin za sklopitveni interval ( ) izvedemo v naslednjih korakih:

Na MD sistemu izvedemo korakov in ga tako premaknemo iz časa v . Hkrati

vklopimo zunanjo silo na delce v vmesnem območju.

Izračunamo tok gibalne količine in masni tok ter povprečno hitrost ob novem času (t.j.

( ),

( ) in ⟨ ( )⟩) za MD del.

Na KH sistemu izvedemo korakov in ga tako premaknemo iz časa v . Pri tem

mu postavimo začetni robni pogoj toka gibalne količine na hibridni meji ( ( ) ) in

skozi H potisnemo v C maso ( ).

Izračunamo kontinuumski tok gibalne količine ob novem času, ( ), in hitrost na

kontinuumski strani hibridne meje, ki jo povprečimo v ⟨ ( )⟩.

( ) izračunamo po

enačbi (13), ( ) pa dobimo tako, da izračunano kontinuumsko hitrost uravnotežimo z

razliko ⟨ ( )⟩ ⟨

( )⟩. Časovno povprečje lahko izračunamo kar čez sklopitveni

interval.


Opisana sklopitev hidrodinamskega in delčnega opisa je bila že velikokrat

uporabljena. Slika 4 prikazuje hitrostni in gostotni profil, ki so ju dobili s tovrstno večskalno

simulacijo ravnovesnega Couettejevega toka vode [11]. Couettejev tok je drugo ime za

laminarni tok viskozne tekočine med dvema valjema ali dvema vzporednima ploščama, ki se

premikata ena glede na drugo [13]. Simulacijo so naredili za delce s premerom

[11]. MD domena je bila skupaj z vmesnim območjem velika , sam

MD del pa je vseboval 865 molekul vode in je bil velik .

Slika 4: Ravnovesni Couettejev tok skozi MD domeno, ujeto med dvema kontinuumskima domenama

[11]. Črna neprekinjena črta predstavlja gostotni profil čez celotno območje, rdeči kvadratki pa

ponazarjajo hitrostno porazdelitev po celotnem območju. Črtkana črta je pričakovani linearni hitrostni

profil v MD domeni.

5. ZAKLJUČEK

V seminarju smo predstavili idejno zasnovo simulacij molekulske dinamike,

kontinuumske hidrodinamike in njuno sklapljanje pri kombiniranem opisu. Kombiniran opis

uvedemo zaradi časovne ekonomičnosti, saj bi v nasprotnem primeru morali celoten

kontinuum opisati delčno. Prihranek pri tem je odvisen od tega, kolikšen del kontinuuma

opišemo delčno, njegova vrednost pa je v povrprečju reda 10. Metode kombiniranega opisa in

sklopitve so v zadnjih letih doživele velik razcvet in tudi veliko sprememb. Način, ki smo ga

predstavili je eden izmed načinov sklapljanja, ki je aktualen v tem trenutku. Verjetno pa bo


opisani način doživel še veliko popravkov in sprememb, dokler ne bo maksimalno optimiziran

in primeren za opis najrazličnejših realnih tokov, npr. krvi v žilah.

6. LITERATURA

[1] G. De Fabritiis, R. Delgado-Buscalioni in P. V. Coveney, Phys. Rev. Lett. 97, 134501

(2006)

[2] J. H. Walther, M. Praprotnik, E. M. Kotsalis in P. Koumoutsakos, J. Comput. Phys. 231,

2677 (2012)

[3] M. P. Allen, Comp. Soft Matter: From Synth. Polym. to Prot. 23, 1 (2004)

[4] http://isaacs.sourceforge.net/phys/pbc.html (5. 3. 2012)

[5] http://www.eng.buffalo.edu/~kofke/ce530/Lectures/Lecture25/sld005.htm (5. 3. 2012)

[6] R. Delgado-Buscalioni in G. De Fabritiis, Phys. Rev. Lett. 76, 036709 (2007)

[7] J. H. Ferziger in M. Perić, Computational Methods for Fluid Dynamics (Springer-Verlag,

Berlin, 1996)

[8] G. De Fabritiis, M. Serrano, R. Delgado-Buscalioni in P. V. Coveney, Phys. Rev. E 75,

026307 (2007)

[9] K. M. Mohamed in A. A. Mohamed, Microfluid Nanofluid 8, 283 (2010)

[10] R. Delgado-Buscalioni, K. Kremer in M. Praprotnik, J. Chem. Phys. 128, 114110 (2008)

[11] R. Delgado-Buscalioni, K. Kremer in M. Praprotnik, J. Chem. Phys. 131, 244107 (2009)

[12] C. Junghans, M. Praprotnik in K. Kremer, Soft Matter 4, 156 (2008)

[13] L. D. Landau in E. M. Lifshitz, Fluid Mechanics (Pergamon Press Ltd, Oxford, 1987)

http://isaacs.sourceforge.net/phys/pbc.html%20(5

http://www.eng.buffalo.edu/~kofke/ce530/Lectures/Lecture25/sld005.htm%20(5

Documents

Sklopitev molekulske dinamike in kontinuumske hidrodinamikemafija.fmf.uni-lj.si/seminar/files/2011_2012/Seminar_-_koncna_verzija.pdf · dveh algoritmov. Po prvem algoritmu, oz. algoritmu