Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta

I. Sistemas de coordenadas

II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

III.La línea recta

IV.Ecuación de la circunferencia

V.Transformación de coordenadas

VI.La parábola

VII.La elipse

VIII.La hipérbola

Geometría Analítica Plana

Geometría Analítica PlanaIII. La línea recta

Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma

normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo


Geometría Analítica PlanaLa línea recta

Introducción

Introducción

Hemos llegado a un punto en que debemos dar

un giro a nuestro estudio de la Geometría Analítica.

Hasta aquí hemos deducido algunas relaciones

fundamentales y considerado metodos generales

para la construcción de curvas y la obtención de la

ecuación de un lugar geométrico.

Introducción

Pero todavía no hemos hecho ningún intento

sistemático de identificar las ecuaciones y sus

lugares geométricos de una manera específica.

Más aun, hasta este momento, no hemos

establecido ninguna de las propiedades

particulares que puede poseer una curva.

Introducción

Ahora haremos un estudio detallado de la

línea recta y de algunas de las curvas que son

de máxima importancia en la Geometría

Analítica y sus aplicaciones. Naturalmente

comenzaremos con el estudio de la línea recta

debido a que su ecuación es la más sencilla.


Definición de la línea recta


Nuestro primer objetivo en este capítulo es la

obtención de la ecuación de la línea recta.

Ya dijimos en el artículo 23, que la ecuación

de un lugar geometrico se obtiene a partir de

un número suficiente de las propiedades

únicas que lo definen

Definición de la línea rectaExisten varias definiciones elementales de la

línea recta, siendo la más común la que se

expresa diciendo que una recta es la distancia

más corta entre dos puntos.

Pero esta definición se apoya en el significado

del término distancia . Si tratamos ahora de

definir la distancia entre dos puntos, veremos

que cualquier explicación nos devuelve al

punto de partida.


Por esta razón, los tratados superiores de

Geometría, construídos sobre bases

axiomáticas , admiten la existencia de la

línea recta como un postulado.

Nosotros admitiremos la siguiente

definición de línea recta basada en el

concepto de pendiente dado en el

artículo 8.

1 1 1 2 2 2

1 2

Es el lugar geométrico de los puntos tales que

tomados dos puntos diferentes cualesquiera

( , ) y ( , )

del lugar gométrico, el valor de la pendiente

calculado por medio de la fórmula:

P x y P x y

m

y ym

x

1 2

1 2

con

resulta siempre constante.

x xx



Ecuación de una recta que pasa por

un punto y tiene una pendiente dada

Geométricamente, una recta queda perfectamente

determinada por uno de sus puntos y su dirección.

Analiticamente, la ecuación de una recta puede

estar perfectamente determinada si se conocen

las coordenadas de uno de sus puntos y su ángulo

de inclinación (y, por tanto, su pendiente).

Ecuación de una línea recta que pasapor un punto y tiene una pendiente dada

1 1

1 1

1

Una recta que pasa por el punto

,

y tiene una pendiente tiene

por ecuación

P x

y y m

y

x

m

x


1 1

1 1

1


,


por ecuación

P x

y y m

y

x

m

x


1 1 1

1 1

Una recta que pasa por el punto , y tiene una

pendiente tiene por ecuación

P x y

m y y m x x


1 1 1

Demostración: De acuerdo con el método dado en el artículo 23,

sea , un punto cualquiera de la recta, diferente del punto

dado ( , ). Por la definición de recta que acabamos de dar,

las coordenada

P x y

P x y

1

1

1 1

s del punto

, satisfacen la ecuación

tan

de la cual, quitando los

denominadores obtenemos

inmediatamente la ecuación

P x y

y ym

x x

y y m x x


2 2 2 1 1

2 1

2 1

1 1 1

Reciprocamente, si las coordenadas de cualquier otro

punto ( , ) satisfacen tenemos

que es la expresión analítica

de la definición de la recta,

aplicada a los dos puntos

( , )

P x y y y m x x

y ym

x x

P x y

2 2 2

2 2 2

y ( , ). Por

tanto, ( , ) está sobre

la recta.

Esto completa la demostración.

P x y

P x y

1 1 1

1 1



P x y

m y y m x x


1 1 1

La ecuación de una línea recta está

totalmente determinada si se conoce

su inclinación ó la pendiente y un

punto de esta línea , .

m

P x y


1 1

NOTAS.

I . Como la ecuación está

dada en función de un punto y la pendiente,

se llama, a veces, de la forma de punto y

pendiente.

y y m x x


1 1

2. Una recta que coincide o es paralela a1 eje

no tiene pendiente (Art. 8 ) .

Por tanto, la ecuacion no

puede representar a una recta de tal naturaleza,

ni nuestra definicion de recta puede a

Y

y y m x x

plicarse

a ella. Para este caso. se ha demostrado en el

artículo 18 que la ecuaci6n de la recta es de la

forma , en donde es cualquier numero real.x k k

Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada. Ejemplo

1

Encontrar la ecuación de una línea recta pasa

por el punto 3, 2 y tiene un ángulo de

inclinación de 60 grados.

P

60


1

Encontrar la ecuación de

una línea recta pasa por

el punto 3, 2 y

tiene un ángulo de

inclinación de 60 grados.

P

3, 2


1

Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto

3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P

Solución: La pendiente de la línea recta es

tan 60 3

Por tanto, usando el teorema

m

1 1 1

1 1



P x y

m y y m x x


1

Encontrar la ecuación de una línea recta pasa por el punto

3, 2 y tiene un ángulo de inclinación de 60 grados.P

tenemos

2 3 3

ó sea

2 3 3 3

que finalmente escribimos com

3 3 3 2 0

o

y x

x

y x

y

Ecuación de una línea recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada

PUNTO Y PENDIENTE

23 21x x 23 21x x

1 1

1 1

1


,


por ecuación

P x

y y m

y

x

m

x



Otras formas de la ecuación de la

línea recta

PUNTO Y PENDIENTEOtras formas de la ecuación de la línea recta

Una recta es o no paralela a1 eje .Y

Si es paralela a1 eje

su ecuación es de la

forma

donde es la distancia

al eje .

Y

x k

k

Y

2


Una recta es o no paralela a1 eje .Y

Si la línea recta no es paralela al eje ,

su pendiente está definida y su

ecuación está dada por el teorema:

Y

1 1 1

1 1



P x y

m y y m x x


Como todas las rectas caen bajo una de estas

dos clasificaciones, cualquiera otra forma de

la ecuación de una línea recta debe reducirse,

necesariamente , a una de estas dos formas.

Para algunos tipos de problemas, sin embargo,

son más convenientes otras formas; a

continuación consideramos algunas de ellas.

ECUACION DE LA RECTA DADA SU PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN

La recta cuya pendiente es

y cuya ordenada al origen

es , tiene por ecuación

y

m

b

mx b

PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGENECUACION DE LA RECTA DADA SU

PENDIENTE Y SU ORDENADA AL ORIGEN

y mx b

Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b

denominada ordenada al origen, se tiene:

1 1 1

1 1

En este caso la recta tiene pendiente y pasa por el

punto 0, , ya que corta al eje (que es

Sabemos que una recta que pasa por el punto ,

y tiene una pendiente tiene por ecuac

0

ión

P x y

m

y y m x

m

b Y

x

x

) a

una distancia del origen.

Por tanto, la ecuación es

0 ó

que se reduce a la que estamos buscando.

b

y b m x y mx b

La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen


m

b y mx b

Desarrollando la ecuación y definiendo el parámetro b

denominada ordenada al origen, se tiene:

NOTA.

Una recta paralela a1 eje no tiene ordenada

en el origen.

En este caso no puede usarse la forma de la

ecuación que acabamos de obtener. Como ya

dijimos la ecuación de una recta tal es

Y

x k

La recta cuya pendiente es y cuya ordenada en el origen


m

b y mx b

Geométricamente, una recta queda

perfectamente determinada por dos

cualesquiera de sus puntos.

Analiticamente , la ecuación de una

recta también queda perfectamente

determinada conociendo las

coordenadas de dos cualesquiera de

sus puntos .

ECUACION DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS

1 1 1 2 2 2

1 21

1 2

11 2

La recta que pasa por dos puntos dados

( , ) y ( , ) tiene por ecuación :

siempre que

y yy y x x

x

P x y P x y

x x

x


CARTESIANA

1 1 1 2 2 2

1 21 1 1 2

1 2

La recta que pasa por dos puntos dados ( , ) y ( , ) tiene

por ecuación : siempre que

P x y P x y

y yy y x x x x

x x

CARTESIANA

1 1 1 2 2 2

1 21 1 1 2

1 2



P x y P x y

y yy y x x x x

x x

1 2

1 2

Como se conocen

dos puntos, la

pendiente de la

recta es

y ym

x x

CARTESIANA

1 1 1 2 2 2

1 21 1 1 2

1 2



P x y P x y

y yy y x x x x

x x

1 1 1Por tanto, con esta pendiente y el punto ( , ) el problema

se reduce a hallar la ecuación de una recta que pasa por un

punto y tiene una pendiente dada.

En consecuencia, sustituyendo este valor de la

P x y

1 21 1

1

1

2

1

pendiente en la

ecuación , obtenemos la forma

tal como

se queria demostrar .

y y m

y yy y x x

x

x x

x

CARTESIANA

1 1 1 2 2 2

1 21 1 1 2

1 2



P x y P x y

y yy y x x x x

x x

1 21 2 1 1

1 2

1

NOTA 1.

Si , la ecuación

no puede usarse.

En este caso, la recta es paralela a1 eje ,

y su ecuación es

y yx x y y x x

x x

Y

x x

CARTESIANA

1 1 1 2 2 2

1 21 1 1 2

1 2



P x y P x y

y yy y x x x x

x x

1 21 1

1 2

1 2

1 2 2 1 2 2 1 1

1 1

2 2

NOTA 2.

Si en la ecuación multiplicamos

por obtenemos despues de desarrollar

0

que puede escribirse como el determinante

1

1 0

1

y yy y x x

x x

x x

x y x y y x x y y x x y

x y

x y

x y

La recta cuyas intersecciones con los

ejes y

son 0 y 0 respectivamente,

tiene por ecuación :

1x y

a b

X Y

a b

ECUACION SIMETRICA DE LA RECTA

La recta cuyas intersecciones con los ejes y son 0

y 0 respectivamente, tiene por ecuación: 1

X Y a

x yb

a b

1 1 1 2 2 2

1 21

1 2

11 2

La recta que pasa por dos puntos dados

( , ) y ( , ) tiene por ecuación :

siempre que

y yy y x x

x

P x y P x y

x x

x




X Y a

x yb

a b

La recta que tenemos pasa por dos puntos,

los puntos ,0 y 0, ; por lo tanto,

usando el teorema anterior tenemos que

la ecuación de la recta es

00

0

a b

by x a

a



X Y a

x yb

a b

Haciendo el álgebra, tenemos

0

1

00

b b by x a x a

a a ab

y x b

by x

abx

aa

y b

y

a

ax

b

Dividiendo esta última expresión por el producto ab

La forma

1

es conocida también como

la forma reducida

o abscisa y ordenada al origen

x y

a b



NOTAS.

1. Si 0, entonces también 0,

y la forma simétrica no puede usarse.

En este caso, solamente se conoce un

punto, el origen, y no es suficiente

para determinar una recta.

a b


2. Como una recta queda perfectamente

determinada por dos cualesquiera de

sus puntos, la manera más conveniente

de trazar una recta a partir de su ecuacion

es deterrninar las dos intersecciones con

los ejes. Si la recta pasa por el origen,

basta determinar otro punto cuyas

coordenadas satisfagan la ecuación.


La forma general de la ecuación de

una recta

La forma general de la ecuación de una recta

En los artículos precedentes hemos visto que la

ecuación de una recta cualquiera , en el plano

coordenado, es de la forma lineal

0

en donde ya sea o debe ser diferente de

cero y puede o no se

Ax By C

A B

C

La ecuación 0 se llama la forma

general de la

r

ecuación de una rect

igual a cero.

a.

Ax By C


Ahora consideraremos el problema inverso,

a saber, la ecuac

¿representa siempre una línea rect

ión linea

?

l 0,

a

Ax By C


Para contestar a esta pregunta examinaremos las

dos formas posibles de la ecuación 0

con respecto a1 coeficiente de , es decir , las

formas para 0 y 0.

Ax By C

y

B B

Ahora consideraremos el problema inverso, a saber,

la ecuación lineal 0, ¿representa

siempre una línea recta?

Ax By C


CASO I. 0.

Si 0 , entonces 0, y la ecuación

0

se reduce a la forma

es decir, de la forma , que anteriormente se demostró

que es la ecuación de una recta paralela a1 eje .

B

B A

Ax By C

Cx

Ax k

Y


CASO II. 0.

Si 0, podemos dividir la ecuación

0

por , y por transposición se reduce a la forma

es decir, en la forma y se trata entonces

de la ecuación de una recta cuya pendie

B

B

Ax By C

B

A Cy x

B By mx b

nte es

y cuya ordenada al origen es .A C

m bB B


Una ecuación lineal en las variables

e representa una línea recta y,

reciprocamente, toda línea recta

está representada por una ecuación

lineal en las variables e .

x y

x y


0Ax By C


0Ax By C

A Cy x

B B


Discusión de la forma general de la

ecuación de una recta

Discusión de la forma general de la ecuación de una recta


0 (1)Ax By C



0 (1)Ax By C


0 (1)Ax By C


0 (1)Ax By C


0 (1)Ax By C


0 (1)Ax By C





Posiciones relativas de dos

rectas

Posiciones relativas de dos rectas


0 (1)

' ' ' 0 (2)

Ax By C

A x B y C


0 (1)

' ' ' 0 (2)

a) ¿Cuáles son las condiciones para

que dos rectas sean paralelas?

Ax By C

A x B y C

Posiciones relativas de dos rectas0 (1)

' ' ' 0 (2)

Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)

Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)

b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas sean perpendiculares?

Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)

b) ¿Cuáles son las condiciones para que dos rectas coincidan?

Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)


Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)


Ax By C

A x B y C


' ' ' 0 (2)

b) ¿Cuáles son las condiciones para que

dos rectas se corten en un solo punto?

Ax By C

A x B y C


Posiciones relativas de dos rectasEjemplo



Encontrar la ecuación de una línea recta

que tiene como abscisa al origen 2 y

una inclinacion de 150 grados.

En un laboratorio de análisis clínico

se mide que a las 9 de la mañana hay

5,600 bacterias en un cultivo. Si a la

hora de cerrar el laboratorio a las 5

de la tarde había 17,800 bacterias,

¿Cuáles la taza

sup

o r

oni

azón d

endo q

e crecimient

ue dicho

crec

o

de las

imiento

bacterias,

es lineal?

El movimiento rectilinio uniforme


Forma normal de la ecuación

de la recta

1 1

Tenemos entonces que la recta

pasa por el punto de coordenadas

cos sin (2)

y tiene pendiente

coscot (3)

sin

l

x p y p

m

1 1

1 1

1


,


por ecuación

P x

y y m

y

x

m

x


1 1

1 1

Como

cos sin (2)

coscot (3)

sin

la ecuación de la recta es

cossin cos

sin

y y m x x

x p y p

m

l

y p x p

cossin cos

siny p x p

Forma normal de la ecuación de la recta


Forma normal de la ecuación de la recta. Ejemplo 1

Encontrar la ecuación de una línea recta en

la formal normal, siendo =60 y 6.p




La forma normal de la línea recta es

cos sin 0

Así, que en este caso tenemos,

cos60 sin 60 6 0

x y p

x y

2

1

3

60

3sin 60

2

1cos60

2

tan 60 3

Las funciones trigonométricas de 60 grados




Encontramos que la forma normal de la recta es

cos60 sin 60 6 0

1 3Pero cos60 y sin 60

2 2así que finalmente

1 36 0

2 2

x

x y

y


1 36 0

2 2x y

606



Reducción de la forma general de

una recta a la forma normal

Reducción de la forma general de una recta a la forma normal


0 (1)

cos sin 0 (2)

cos (3)

sin (4)

Ax By C

x y p

kA

kB

p kC

2 2

2 2

(5)

1, 0 (6)k A B

A B

0 (1)

cos sin 0 (2)

cos (3)

sin (4)

Ax By C

x y p

kA

kB

p kC

2 2

2 2

(5)

1, 0 (6)k A B

A B

0 (1)Ax By C



2 2

2 2

1, 0 (6)k A B

A B


2 2

2 2

(5)

1, 0 (6)

p kC

k A BA B


2 2

2 2

0 (1)

cos sin 0 (2)

(5)

1, 0 (6)

Ax By C

x y p

p kC

k A BA B


2 2

2 2

sin (4)

(5)

1, 0 (6)

kB

p kC

k A BA B


0 (1)

cos sin 0 (2)

cos (3)

sin (4)

Ax By C

x y p

kA

kB




Aplicaciones de la forma

normal

Aplicaciones de la forma normala) Cálculo de la distancia de una un recta a un punto dado

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado

1 1 1

1 1 1

Sea la recta dada y , el punto.

Designaremos como la distancia del

punto ( , ) a la recta .

l P x y

d

P x y l

l 1 1 1( , )P x y

d


l 1 1 1( , )P x y

d



1 1 1

1 1

2 2

Teorema 10. La distancia dirigida de la recta dada

0

al punto dado ( , ) se obtiene por la fórmula

en donde el signo del radical se elige de acuerdo

con el teorema 8 del art

d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

ículo 32.

1 1 1

1 1

2 2


0


en donde el signo del radical se elige de acuerdo con el teorema 8 del ar

d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

tículo 32.

1 1 1

1 1 1

Si la recta dada no pasa por el origen:

es positiva si el punto ( , ) y el

origen están en lados opuestos de la recta.

es negativa si el punto ( , ) y el

origen están del mismo lado

d P x y

d P x y

1 1 1

1 1 1

de la recta.

Si la recta dada pasa por el origen:

es positiva si el punto ( , ) está arriba de la recta

es negativa si el punto ( , ) está abajo de la recta

d P x y

d P x y


1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

( , )

O l P x y

O P x y l

l O P x y

l P x y O

P x y O l

P x y l O




a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (a)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��

' 0 ya que 'AB p p p p ��


La ecuación de la recta ' es entonces

cos sin ' 0

l

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1

Como ( , ) está sobre la línea recta ',

tenemos

' cos sin

pero ya sabíamos que

'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (b)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��




cos sin ' 0

l

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1


tenemos

' cos sin


'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (c)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��

' 0AB p p ��



cos sin ' 0

que con las relaciones trigonométricas

nos da

cos sin ' 0

l

x y p

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1


tenemos

' cos sin


'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (d)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��

' 0, ya que 'AB p p p p ��



cos sin ' 0

l

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1


tenemos

' cos sin


'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (e)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��

' 0AB p p ��



cos sin ' 0

que con las relaciones trigonométricas

nos da

cos sin ' 0

l

x y p

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1


tenemos

' cos sin


'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)

a) Cálculo de la distancia de una recta a un punto dado. Análisis del caso (f)

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��




cos sin ' 0

l

x y p


cos sin ' 0

l

x y p

1 1 1

1 1

1 1

1 1


tenemos

' cos sin


'

así que

cos sin

y finalmente

cos sin

P x y l

p x y

AB p p

AB x y p

d AB x y p

��

��

��

' (3)

(4)

OA p OB p

AB OA OB

��

��


1 1 1

1 1

En resumen, vemos que en todos los

casos posibles la distancia del punto

( , ) a la recta esta dada por

cos sin

P x y l

d AB x y p ��

l 1 1 1( , )P x y

d

1 1

Comparando la ecuación normal de la línea recta

cos sin 0 (1)

con la fórmula

cos sin (11)

vemos que la distancia buscada puede obtenerse

simplemente sustituye

l

x y p

d x y p

1ndo las coordenadas de

en el primer miembro de la forma normal de la

ecuación de .

P

l

1 1cos sin (11)d x y p


l 1 1 1( , )P x y

d





1 1 1

1 1

2 2


0




d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

ículo 32.

1 1 1

1 1

2 2


0



d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

tículo 32.

1 1 1

1 1 1






d P x y

d P x y

1 1 1

1 1 1

de la recta.




d P x y

d P x y

Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan

Aplicaciones de la forma normalb) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan

b) Determinación de las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos suplementarios formados por dos rectas que se cortan


Área de un triángulo







Ecuación de la recta que pasa por dos

puntos, en forma de determinante

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante



En la ecuación ( 1 ), puede ser cero,

pero y no pueden ser ambas cero.

C

A B

1 1

2 2

Sistema de ecuaciones lineal homogéneo

de tres ecuaciones con tres incógnitas:

0

0

0

Ax By C

Ax By C

Ax By C

Del estudio del Álgebra Lineal se sabe que para

que el sistema de ecuaciones tenga una solución

distinta de cero, es necesario y suficiente, que el

determinante del sistema se anule.

1 1

2 2

Sistema de ecuaciones lineal homogéneo

de tres ecuaciones con tres incógnitas:

0

0

0

Ax By C

Ax By C

Ax By C


Viernes 23 de enero del 2009

¿Cuál es la distancia del punto 1,3

a la recta 4 5 0?

¿Dónde se intersectan las dos rectas

6 0

y

2 3 4 0?

x y

x y

x y


1 1 1

1 1

2 2


0




d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

ículo 32.

1 1 1

1 1

2 2


0



d

Ax By C

P x y

Ax By Cd

A B

tículo 32.

1 1 1

1 1 1






d P x y

d P x y

1 1 1

1 1 1

de la recta.




d P x y

d P x y

I. Sistemas de coordenadas

II.Gráfica de una ecuación y lugares geométricos

III.La línea recta

IV.Ecuación de la circunferencia

V.Transformación de coordenadas

VI.La parábola

VII.La elipse

VIII.La hipérbola

Geometría Analítica Plana


Introducción Definición de la línea recta Ecuación de una recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada Otras formas de la ecuación de la recta Forma general de la ecuación de una recta Discusión de la forma general Posiciones relativas de dos rectas Forma normal de la ecuación de la recta Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma

normal Aplicaciones de la forma normal Área de un triángulo Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determinante Familias de líneas rectas Resumen de los resultados del capítulo


La ecuación de una recta vertical, es decir,

paralela al eje es

donde es un número real.

La ecuación de una recta horizontal, es decir,

paralela al eje es

donde es un número real.

Y

x k

k

X

y k

k

Resumen

1 1 1 1 1

2 11 1 1 2 2 2 1 1

2 1

La ecuación de una línea recta (exceptuando

las paralelas a los ejes) dados

La pendiente y un punto ( , ) es

Dos puntos ( , ) y ( , ) es

La pendiente

m P x y y y m x x

y yP x y P x y y y x x

x x

y la ordenada al origen es

La intersección con el eje en , la intersección con el eje en , es

1 (excepto las rectas que pasan por el origen)

la normal y es

m b y mx b

X a Y b

x y

a bp

cos sin 0x y p

Resumen

Viernes 23 de enero del 2009


Familias de líneas rectas

Familias de líneas rectasEn el artículo 29 vimos que una recta y su

ecuación quedan determinadas perfectamente

por dos condiciones independientes.

Por tanto, una recta que satisface solamente

una condición no es una recta única, hay

infinidad de rectas que la cumplen, cada

una de las cuales tiene la propiedad común

asociada con esa única condición.


Definición.

La totalidad de las rectas que

satisfacen una única condición

geométrica se llama familia

o haz de rectas.

Una recta que satisface solamente una condición no es una recta

única, hay infinidad de rectas que la cumplen, cada una de las

cuales tiene la propiedad común asociada con esa única condición.


Para entender mejor este nuevo concepto,

consideremos primero todas las rectas que

tienen pendiente 5.


La totalidad de estas rectas forma una familia

de rectas paralelas, teniendo todas la propiedad

común que su pendiente es igual a 5.

Consideremos todas las rectas que tienen pendiente 5.


Analiticamente, esta familia de rectas puede

representarse por la ecuacion

5

en donde es una constante arbitraria que puede

tomar todos los valores reales.

y x k

k



Podemos obtener la ecuación de

cualquier recta de la familia asignando

simplemente un valor particular a

en la ecuación

5

k

y x k



Recordando que la ecuación de la recta en

funcion de la pendiente y la ordenada en el

origen es este valor de

representa el segmento que la recta

determina sobre el eje .

y mx b k

Y


La ecuación de estas rectas es 5 .y x k

Familias de líneas rectasLas rectas de la familia

5

para los valores de ,

2, 0 y 1

están representadas

en la figura.

y x k

k

k k k


Como otro ejemplo, consideremos

todas las rectas que pasan por el

punto (2, 3 )

Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )

1 1

Segun la ecuación de la recta que pasa por

un punto y tiene una pendiente dada

esta familia de rectas puede representarse

analiticamente, por la ecuación

3 2

en donde , la pendiente, es una

y y m x x

y k x

k

constante arbitraria

a la que puede asignarse cualquier valor real.

Familias de líneas rectasConsideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 )

¡Ojo con las rectas verticales!

Como no está definida para una

recta paralela a1 eje , la ecuacion

3 2

no incluye a la recta 2 que

también pasa por el punto (2, 3).

k

Y

y k x

x


Consideremos todas las rectas que pasan por el punto (2, 3 ).

La ecuacion 3 2 es la de la familia de rectas.y k x

La familia de rectas

3 2

se llama

haz de rectas de vértice ( 2 , 3).

y k x


En la figura se han

construido tres rectas

de la familia

3 2

correspondientes a

0, 1 y 1.

y k x

k k k


Vemos , considerando las familias anteriores,

5

y

3 2

que una recta de una familia puede obtenerse

asignando un valor particular a la constante

arbitraria . Teniendo en cuenta su importancia,

se l

y x k

y k x

k

e da a un nombre especial ; se

parámetro de la

l

f

e ll

ami

ama

.lia

k




Encontrar la familia de líneas rectas

que pasa por la intersección de las

rectas

2 3 2 0

5 1 0

x y

x y

La intersección de las rectas es

2 3 2 0

5 1 0

2 3 2 0

15 3 3 0

17 1 0

1

171 5 12

5 1 5 1 117 17 17

x y

x y

x y

x y

x

x

y x

Las rectas

2 3 2 0

5 1 0

se intersectan en el punto

1 12,

17 17

x y

x y

Animación

La familia de todas las rectas que

pasan por la intersección de las rectas

2 3 2 0

5 1 0

con la única excepción de la recta

2

5 1

3 2 5 1 0

0

es

x y

x y

x

y

y

x k x y


Resumen de resultados



Documents

Sistemas de coordenadas Gráfica de una ecuación y lugares geométricos La línea recta