Ejercicios de la ecuación de la recta tangente y normal

1Dada la parábo la f (x ) = x 2 , ha l lar los puntos en los que la

recta tangente es para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante .

2Dada la curva de ecuac ión f (x ) = x 2 − 3x − 1 , ha l la las

coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la tangente

forma con e l e je OX un ángulo de 45° .

3Determinar los va lores de l parámetro b , para qué las

tangentes a la curva de la func ión f (x ) = b 2 x 3 + bx 2 + 3x + 9 en los

puntos de absc isas x = 1 , x = 2 sean para le las .

4Calcu lar los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 −

3x 2 − 9x + 5 es para le la a l e je OX.

5Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya

pendiente es 3 y pasa por e l punto (0 ,−2) . Ha l lar e l punto de

tangenc ia .

6Buscar los puntos de la curva f (x ) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1,

para los cua les la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

7Dada la func ión f (x ) = tg x , ha l lar e l ángulo que forma la

recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x ) en e l or igen, con e l

e je de absc isas .

8Calcu lar la ecuac ión de la tangente y de la normal a la

curva f (x ) = ln tg 2x en e l punto de absc isa : x = π /8 .

9Hal lar los coef ic ientes de la ecuac ión y = ax 2 + bx + c ,

sab iendo que su gráf ica pasa por (0 , 3) y por (2 , 1) . , y en este

ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3 .

10La gráf ica de la func ión y = ax 2 + bx + c pasa por los

puntos (2 , 3) y (3 , 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto

de absc isa 1 para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante . Ha l lar e l

va lor numér ico de a , b y c .

11Dada la func ión   f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , determina a , b ,

c y d ; sab iendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2 , 3) , y

que las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y −2 son

para le las a l e jes de absc isas .

12¿En qué punto de la curva y = ln x , la tangente es para le la

a la cuerda que une los puntos (1 , 0) y (e , 1)?

13Dada la ecuac ión 9x 2 + y 2 = 18, ha l lar la ecuac ión de la

recta tangente que sea para le la a la recta de ecuac ión 3x − y + 7

= 0 .

14Hal lar e l área de l t r iángulo determinado por los e jes de

coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en e l punto x = 1 .

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

1

Dada la parábo la f (x ) = x 2 , ha l lar los puntos en los que la

recta tangente es para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante .

y = xm= 1

f ' (a) = 1 .

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

2

Dada la curva de ecuac ión f (x ) = x 2 − 3x − 1 , ha l la las

coordenadas de los puntos de d icha curva en los que la tangente

forma con e l e je OX un ángulo de 45° .

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

3

Determinar los va lores de l parámetro b , para qué las

tangentes a la curva de la func ión f (x ) = b 2 x 3 + bx 2 + 3x + 9 en los

puntos de absc isas x = 1 , x = 2 sean para le las .

Para que sean para le las se t iene que cumpl i r que las

der ivadas en x = 1 y x = 2 sean igua les .

f ' (1) = f ' (2)

f ' (x ) = 3b 2 x 2 + 2bx + 3

f ' (1) = 3b 2 + 2b + 3

f ' (2) = 12b 2 + 4b + 3

3b 2 + 2b + 3 = 12b 2 + 4b + 3

9b 2 + 2b = 0

b = 0 b = −2/9

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

4

Calcu lar los puntos en que la tangente a la curva y = x 3 − 3x 2

− 9x + 5 es para le la a l e je OX.

y ' = 3x 2 − 6x − 9;       x 2 − 2x − 3 = 0 (s impl i f i cando por 3)

x 1 = 3 y 1 = −22

x 2 = −1y 2 = 10

A(3, −22) B(−1, 10)

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

5

Se ha t razado una recta tangente a la curva y= x 3 , cuya

pendiente es 3 y pasa por e l punto (0 ,−2) . Ha l lar e l punto de

tangenc ia .

Sea e l punto de tangenc ia (a , f (a ) )

f ' (x )= 3x 2 f ' (a )= 3a 2

3a 2 =3a = ±1

Las ecuac iones de la rectas tangentes son:

a = 1 f (a)  = 1

y − 1 = 3(x − 1) y = 3x−2

a = −1 f (a)  = −1

y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2    

E l punto (0 , −2) pertenece a la recta  y = 3x−2.

Por tanto e l punto de tangenc ia será (1, 1) .

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

6

Buscar los puntos de la curva f (x ) = x 4 + 7x 3 + 13x 2 + x +1,

para los cua les la tangente forma un ángulo de 45º con OX.

m = 1

f ' (x ) = 4x 3 + 21x 2 + 26x +1

4x 3 + 21x 2 + 26x +1 = 1

x = 0 x = −2 x z= 13/4

P(0, 4) Q(−2, 4) R(13/4, 1621/256)

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

7

Dada la func ión f (x ) = tg x , ha l lar e l ángulo que forma la

recta tangente a la gráf ica de la func ión f (x ) en e l or igen, con e l

e je de absc isas .

f ′ (x ) = 1 + tg² x             f ′ (0 ) = 1 = m

y = x

α = arc tg 1 = 45º

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

8

Calcu lar la ecuac ión de la tangente y de la normal a la curva

f (x ) = ln tg 2x en e l punto de absc isa : x = π /8 .

E

jercicios resueltos de la ecuación de la recta tangente

y normal

9

Hal lar los coef ic ientes de la ecuac ión y = ax 2 + bx + c ,

sab iendo que su gráf ica pasa por (0 , 3) y por (2 , 1) . , y en este

ú l t imo punto su tangente t iene de pendiente 3 .

Pasa por (0 , 3) 3 = c

Pasa por (2 , 1) 1= 4a + 2b + c

y ' = 2ax + b 3 = 4a + b

Reso lv iendo e l s i s tema se obt iene:

a = 2 b = −5 c = 3

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

10

La gráf ica de la func ión y = ax 2 + bx + c pasa por los puntos

(2 , 3) y (3 , 13) . s iendo la tangente a la misma en e l punto de

absc isa 1 para le la a la b isect r i z de l pr imer cuadrante . Ha l lar e l

va lor numér ico de a , b y c .

Pasa por (2 , 3) 3 = 4a + 2b + c

Pasa por (3 , 13)13 = 9a + 3b +c

y ' = 2ax + b 1 = 2a + b

Reso lv iendo e l s i s tema se obt iene:

a = 3 b = −5 c =1

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

11

Dada la func ión   f (x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d , determina a , b , c y

d ; sab iendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2 , 3) , y que

las tangentes a e l las en los puntos de absc isa 1 y −2 son para le las

a l e jes de absc isas .

f (−1) = 2  −a + b − c + d = 2

f (2) = 3 8a + 4b + 2c + d = 3

f ′ (−1) = 0 3a + 2b + c = 0

f ′ (2) = 0 12a − 4b + c = 0

a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9  

Ejercicios resueltos de la ecuación de la recta

tangente y normal

12

¿En qué punto de la curva y = ln x , la tangente es para le la a

la cuerda que une los puntos (1 , 0) y (e , 1)?

La pendiente de la cuerda t iene que ser igua l a la der ivada de

la func ión.

Ejercic

ios resueltos de la ecuación de la recta tangente y

normal

13

Dada la ecuac ión 9x 2 + y 2 = 18, ha l lar la ecuac ión de la recta

tangente que sea para le la a la recta de ecuac ión 3x − y + 7 = 0 .

Sea e l punto de tangenc ia (a , b )

y = 3x + 7 m = 3

Der ivando impl íc i tamente tenemos:

Ejercicios resueltos

de la ecuación de la recta tangente y normal

14

Hal lar e l área de l t r iángulo determinado por los e jes de

coordenadas y la tangente a la curva xy = 1 en e l punto x = 1 .