Lugares geométricos. Cónicas.

Ejercicios de repaso.1. Sea el triángulo de vértices AH2, 5L, BH0, 0L y CH6, -3L. Determine las tres mediatrices de

sus lados. Halle el punto de corte de dichas mediatrices (circuncentro). Determine la

circunferencia que pasa por los tres vértices.

2. Determine el ángulo formado por las rectas 4 x - y - 1 = 0 y 2 x + 7 y - 6 = 0.

3. Calcule el valor de los ángulos del cuadrilátero de vértices AH0, 6L, BH-1, 0L, CH0, -8L y

DH3, 0L4. Determine el lugar geométrico de los puntos equidistantes de las rectas r ª 5 x + y + 1 = 0

y r ' ª x - y + 3 = 0.

5. Sea el triángulo de vértices AH3, 5L, BH-1, 2L y CH0, -4L.5.1. Halle las bisectrices de las rectas AB y AC.

5.2. Determine, de las dos rectas del apartado anterior, la que corta al otro lado BC. Esa recta es la

bisectric interna del triángulo ABC que pasa por A.

5.3. Realice lo mismo para hallar la bisectriz que pasa por el vértice B.

5.4. El punto de corte de ambas bisectrices es un punto que equidista de los tres lados, que

denominamos incentro. Hállelo, así como su distancia común a los tres lados.

5.5. La circunferencia con centro en el incentro y radio igual a su distancia a los lados es la

circunferencia inscrita (los tres lados son tangentes a ella). Determine dicha circunferencia.

6. Halle la recta que pasa por el origen y forma con la recta r ª 2 x - y + 2 = 0 un ángulo de p

4

radianes.

7. Halle el centro y el radio, así como la ecuación reducida de las circunferencias cuyas

ecuaciones son:

7.1. x2

+ y2

+ 2 x + 6 y + 6 = 0

7.2. x2

+ y2

- 6 x - 8 y = 0

7.3. x2

+ y2

- 2 y - 3 = 0

7.4. x2

+ y2

- 4 x - 1 = 0

7.5. x2

+ y2

- 6 x + 4 y = 0

8. De las circunferencias del ejercicio 7, indique las que tienen su centro en los ejes y las que

pasan por el origen de coordenadas.

9. Halle el centro, el radio y la ecuación reducida de la circunferencia

C ª 9 x2

+ 9 y2

- 6 x + 18 y - 125 = 0.

10. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos H0, 1L, H5, 1L y H2, -3L.11. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta y = x - 1 y pasa por

los puntos AH4, 0L y BH0, 6L.12. La recta

x

6+

y

8= 1 forma un triángulo con los ejes de coordenadas. Halle la ecuación de la

circunferencia circunscrita.

13. Halle la ecuación de la circunferencia sabiendo que uno de sus diámetros es el segmento

AB, con AH0, -3L y BH2, 0L.14. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto H3, 0L, sabiendo que

es tangente a la recta 5 x + 12 y = 6.

15. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadazs, por el

punto AH12, 5L y es tangente a la recta x + y = 0.

16. Halle la longitud de la cuerda determinada por la intersección de la recta x + 2 y - 5 = 0

con la circunferencia x2

+ y2

- x - 2 y = 0 (Nota: una cuerda en una circunferencia es un

segmento con extremos en dos puntos de la misma).

17. Sea C una circunferencia y P un punto. ¿Qué posición tiene P respecto de la

circunferencia C si su potencia respecto de C es positiva? ¿Y si es negativa? ¿Y si es

cero?

18. ¿Cuál es la potencia del centro de la circunferencia Hx - aL2+ Hy - bL2

- r2

= 0 respecto de

ella?

19. Halle el eje radical de las circunferencias x2

+ y2

+ 3 x - 2 y - 3 = 0 y x2

+ y2

+ x - y - 6 = 0

20. Halle el centro radical de las circunferencias C1 : x2

+ y2

- 4 y = 0,

C2 : Hx - 3L2- Hy + 4L2

- 1 = 0 y C3 : x2

+ y2

- 4 = 0

21. Calcule los semiejes y las coordenadas de los focos y la excentricidad de la elipse de

ecuación x

2

25+

y2

9= 1.

22. Halle las coordenadas de los focos, de los vértices y la ecuación de la elipse cuyo centro

es el punto H2, 5L, si 2 a = 52 y 2 c = 20.

23. Escriba en forma de ecuación reducida y halle todos los elementos de las elipse con

ecuación:

23.1. 8 x2

+ 9 y2

- 48 x - 72 y - 936 = 0

23.2. 9 x2

+ 5 y2

+ 54 x - 40 y - 19 = 0

24. De las siguientes ecuaciones, indique las que se corresponden con la de una

circunferencia, indicando su centro y su radio:

24.1. x2

+ y2

= 25

24.2. 2 x2

+ 2 y2

+ 6 x - 10 y + 2 = 0

24.3. x2

+ 2 y2

- 3 x + 5 y + 2 = 0

24.4. x2

+ y2

- 2 x - 8 = 0

25. Sabiendo que la circunferencia x2

+ y2

+ D x + E y = 0 pasa por los puntos H2, 0L y H0, 3L, calcule D y E. Calcule también la potencia del punto H2, 5L respecto de dicha

circunferencia.

26. Halle la ecuación de la elipse centrada en H-3, 1L sabiendo que su excentricidad es c =2

3

y que su semieje mayor es vertical con a = 9.

27. Halle los puntos de intersección de la elipse 9 x2

+ 25 y2

= 225 con la circunferencia

x2

+ y2

= 16.

28. Halle la ecuación de la elipse que pasa por los puntos H-5, 0L, I2,12

521 M y cuyos ejes

son los ejes coordenados, así como todos sus elementos.

29. Demuestre que la elipse 3 x

2

2+ y

2= 1 y la recta y = -x + 5 no tienen ningún punto en

común.

30. Dada la ecuación de la hipérbola equilátera de ecuación xy = 3, halle:

30.1. Las coordenadas de los vértices.

30.2. Las coordenadas de los focos.

30.3. La ecuación de dicha hipérbola con ejes en los ejes coordenados.

31. Halle la ecuación de la hipérbola, su excentricidad y sus asíntotas, sabiendo que el eje

transverso (el perpendicular al eje focal) es paralelo al eje OX , su centro es el punto H4, 3L, 2 a = 10 y 2 c = 26.

32. Halle todos los elementos y represente gráficamente las hipérbolas con las siguientes

ecuaciones:

32.1. x2

- 9 y2

+ 4 x - 5 = 0

32.2. 4 y2

- 9 x2

+ 16 y + 18 x = 29

33. El vértice de una parábola es el punto H4, 5L y la directriz la recta x = 0. Halle su ecuación.

34. Calcule todos los elementos y represente gráficamente la parábola de ecuación

x2

- 14 x - 4 y - 37 = 0.

35. Dada la parábola de ecuación y = x2

- 2 x - 8. calcule:

35.1. El parámetro.

35.2. Las coordenadas del vértice.

35.3. Eje de simetría y directriz.

35.4. Puntos de intersección con el eje de abscisas.

36. Halle la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta 5 x - 12 y + 6 = 0 y por foco

el punto FH4, 0L. (Nota: aplique la definición de parábola como lugar geométrico).

Determine su eje de simetría.

37. Halle la ecuación de la parábola que tiene por directriz la recta 6 x + 8 y = 0 y por foco el

punto FH1, 0L. Determine su eje de simetría.

38. Halle el centro, vértices, focos y asíntotas en las siguientes hipérbolas:

38.1. x2

- 4 y2

- 6 x - 16 y - 11 = 0

38.2. 2 x2

- 3 y2

+ 4 x + 12 y + 4 = 0

38.3. x2

- y2

+ 2 x - 2 y + 1 = 0

38.4. 5 x2

- 4 y2

- 20 x - 24 y - 36 = 0

39. Halle el lugar geométrico de los puntos que equidistan de la recta x = 2 y del punto H4, 6L.40. Dada la parábola x = -y

2+ 10 y - 16, calcule:

40.1. El parámetro y las coordenadas del vértice.

40.2. Las coordenadas del foco.

40.3. Los puntos de intersección con el eje de abscisas.

41. Dada la circunferencia de centro CH1, 3L y radio 2, halle sus rectas tangentes que pasan

por el punto PH-5, 5L. Realice el ejercicio de dos formas diferentes (1ª forma: hallando, del

conjunto de rectas que pasan por P, aquéllas que sólo tienen un punto en común con la

circunferencia. 2ª forma: hallando los puntos X de la circunfencia tales que PX y CX son

perpendiculares.)

42. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto PH3, 1L y es tangente a los

ejes de coordenadas.

43. Halle la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto PH2, 1L y es tangente a las

rectas de ecuaciones r ª x - y = 0 y r ' ª x - y - 4 = 0.

44. Halle la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta y = x y es tangente a

las rectas de ecuaciones s ª 3 x + 4 y - 12 = 0 y s ' ª 4 x - 3 y + 9 = 0.

45. Halle el punto de la circunferencia de ecuación x2

+ y2

- 4 x + 2 y + 1 = 0 más próximo a la

recta de ecuación s ª x - y + 1 = 0.